Atividades Práticas Supervisionadas - 1º período

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BRUNO ARAÚJO NUNES
BRUNO FRANKS MELO LAGARES
DANILO SERRA SANTOS
GABRIEL CORREIA BORGINHO
JESSICA BUZOLO CÂMARA
MARCELLA CRISTINA VIEIRA SILVA
MATHEUS VIEIRA DE JESUS
RAYME ALVES AGUIRRA
FILOSOFIA, MATEMÁTICA, FÍSICA E O PENSAMENTO CIENTÍFICO
Goiânia
2016
BRUNO ARAÚJO NUNES
BRUNO FRANKS MELO LAGARES
DANILO SERRA SANTOS
GABRIEL CORREIA BORGINHO
JESSICA BUZOLO CÂMARA
MARCELLA CRISTINA VIEIRA SILVA
MATHEUS VIEIRA DE JESUS
RAYMA ALVEZ AGUIRRA
FILOSOFIA, MATEMÁTICA, FÍSICA E O PENSAMENTO CIENTÍFICO
Trabalho acadêmico avaliativo realizado como requisito parcial para obtenção de nota da disciplina Atividades Práticas Supervisionadas ao primeiro período do curso de Engenharia Básico da Universidade Paulista. 
Orientador: Prof. Esp. Leonardo Dantas Vieira
Goiânia
2016
SUMÁRIO
RENÉ DESCARTES	5
Biografia	5
Realizações: Ideias, teorias ou leis	8
Dúvida metódica	8
Geometria analítica	9
Sistema de coordenadas cartesiano	10
PITÁGORAS	12
Biografia	12
Realizações: Ideias, teorias ou leis	16
Números figurados	16
Números perfeitos	16
Teorema de Pitágoras	16
Por semelhança de triângulos	17
Uma variante	17
Demonstração de Bhaskara	17
Por cálculo diferencial	18
Recíproca	19
A diagonal do quadrado	19
A altura do triângulo equilátero	19
A diagonal do cubo	20
Identidade trigonométrica fundamental	20
Valor de pi	20
Lei dos cossenos	21
ARQUIMEDES	22
Biografia	22
Realizações: Ideias, teorias ou leis	24
A coroa de ouro: descoberta do empuxo	24
Análise da função	26
Parafuso de Arquimedes	27
O princípio da alavanca	27
Sistema de roldanas	28
Arquimedes na matemática	29
IMPACTOS PRODUZIDOS	32
DISSERTAÇÃO	35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	38
RENÉ DESCARTES
Biografia
René Descartes nasceu em 31 de Março de 1596 em La Haye, a cerca de 300 quilômetros de Paris (hoje Descartes), no departamento francês de Indre-et-Loire.
Sua mãe, Jeanne Brochard (1566 - 1597), morreu quando ele tinha um ano. Com oito anos, ingressou no colégio jesuíta Royal Henry-Le-Grand, em La Flèche. O curso em La Flèche durava três anos, tendo Descartes sido aluno do padre Estevão de Noel, que lia Pedro da Fonseca nas aulas de lógica, a par dos Commentarii. Descartes reconheceu que lá havia certa liberdade; no entanto, no seu "Discurso sobre o método", declara a sua decepção, não com o ensino da escola em si, mas com a tradição escolástica, cujos conteúdos considerava confusos, obscuros e nada práticos. Em carta a Mersenne1, diz que "os Conimbres2 são longos, sendo bom que fossem mais breves (crítica já então corrente, mesmo nas escolas da Companhia de Jesus). Descartes esteve em La Flèche por cerca de nove anos (1606-1615). Descartes não mereceu, como se sabe, a plena admiração dos escolares jesuítas, que o consideravam um deficiente filósofo. Prosseguiu depois seus estudos, graduando-se em direito, em 1616, pela Universidade de Poitiers.
No entanto, Descartes nunca exerceu o direito, e em 1618 foi para a Holanda, alistando-se no exército do príncipe Maurício3, com a intenção de seguir carreira militar. Mas se achava menos um ator do que um espectador: antes ouvinte numa escola de guerra do que verdadeiro militar. Conheceu então Isaac Beeckman4, que o influenciou fortemente, e compôs um pequeno tratado sobre música intitulado Compendium Musicae (Compêndio de Música).
Também é dessa época (1619-1620) o Larvatus prodeo (Ut comœdi, moniti ne in fronte appareat pudor, personam induunt, sic ego hoc mundi teatrum conscensurus, in quo hactenus spectator exstiti, larvatus prodeo). Esta declaração do jovem Descartes no preâmbulo das Cogitationes Privatae (1619) é interpretada como uma confissão que introduz o tema da dissimulação, e, segundo alguns, marca uma estratégia de separação entre filosofia e teologia. Jean-Luc Marion, em seu artigo Larvatus pro Deo : Phénoménologie et théologie refere-se à abordagem dionisíaca do homem escondido diante de deus (larvatus pro Deo) como justificativa teológica do filósofo que avança mascarado (larvatus prodeo).
Em 1619, viajou para a Alemanha, onde, segundo a tradição, em dia 10 de Novembro, teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. No mesmo ano, ele viajou para a Dinamarca e a Polónia. Em 1622 retornou à França, passando os anos seguintes em Paris.
Em 1628, compôs as Regulae ad directionem ingenii (Regras para a Direção do Espírito) e partiu para os Países Baixos, onde viveria até 1649. Em 1629, começou a redigir o "Tratado do Mundo", uma obra de física na qual aborda a sua tese sobre o heliocentrismo. Porém, em 1633, quando Galileu é condenado pela Inquisição, Descartes abandona seus planos de publicá-lo. Em 1635, nasce Francine, filha de uma serviçal. A criança é batizada em 7 de Agosto de 1635, morrendo precocemente em 1640, o que foi um grande baque para Descartes.
Em 1637, publicou três pequenos tratados científicos: "A Dióptrica", "Os Meteoros" e "A Geometria", mas o prefácio dessas obras é que faz seu futuro reconhecimento: o "Discurso sobre o método".
Em 1641, aparece sua obra filosófica e metafísica mais imponente: as "Meditações Sobre a Filosofia Primeira", com os primeiros seis conjuntos de "Objeções e Respostas". Os autores das objeções são: do primeiro conjunto, o teólogo holandês Johan de Kater; do segundo, Mersenne; do terceiro, Thomas Hobbes; do quarto, Arnauld; do quinto, Gassendi; e do sexto conjunto, Mersenne.
Em 1642, a segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta Pierre Bourdin, seguida de uma "Carta a Dinet".
Em 1643, o cartesianismo é condenado pela Universidade de Utrecht. Descartes inicia a sua longa correspondência com a princesa Isabel (1618 – 1680), filha mais velha de Frederico V e de Isabel da Boémia. A correspondência deverá durar sete anos, até a morte do filósofo, em 1650.
Também no ano de 1643, Descartes publica "Os Princípios da Filosofia", onde resume seus princípios filosóficos que formariam "ciência". Em 1644, fez uma visita rápida à França, onde encontrou Chanut, o embaixador francês junto à corte sueca, que o põe em contato com a rainha Cristina da Suécia. Nesta ocasião, Descartes teria declarado que o Universo é totalmente preenchido por um "éter" onipresente. Assim, a rotação do Sol, através do éter, criaria ondas ou redemoinhos, explicando o movimento dos planetas, tal qual uma batedeira. O éter também seria o meio pelo qual a luz se propaga, atravessando-o pelo espaço, desde o Sol até nós.
Em 1647, Descartes foi premiado pelo Rei da França com uma pensão e começa a trabalhar na "Descrição do Corpo Humano". Entrevista Frans Burman em Egmond-Binnen (1648), resultando na "Conversa com Burman". Em 1649, foi à Suécia, a convite da Rainha Cristina. Seu "Tratado das Paixões", que ele dedicou a sua amiga Isabel da Boêmia, fora publicado.
René Descartes morreu de pneumonia em 11 de Fevereiro de 1650, em Estocolmo, depois de dez dias doente, onde estava trabalhando como professor a convite da rainha. Acostumado a trabalhar na cama até meio-dia, há de ter sofrido com as demandas da rainha Christina, cujos estudos começavam às 5 da manhã. Como um católico num país protestante, ele foi enterrado num cemitério de crianças não batizadas, na Adolf Fredrikskyrkan, em Estocolmo.
Em 1667, os restos mortais de Descartes foram repatriados para a França e enterrados na Abadia de Sainte-Geneviève de Paris. Um memorial construído no século XVIII permanece na igreja sueca.
No mesmo ano, a Igreja Católica coloca os seus livros na lista proibida.
Embora a Convenção, em 1792, tenha projetado a transferência do seu túmulo para o Panthéon, ao lado de outras grandes figuras da França, desde 1819, seu túmulo está na Igreja de Saint-Germain-des-Prés, em Paris.
A vila no vale do Loire onde ele nasceu foi renomeada La Haye-Descartes e, posteriormente, já no final do século XX, Descartes.
Realizações: Ideias, teorias ou leis
René Descartes deixou importantíssimas contribuições para a filosofia e matemática, sendo ele mesmo precursor da filosofia moderna e considerado pai da geometria analítica. Das ideias de René Descartes,as principais e que trataremos aqui serão aquelas descritas e desenvolvidas nas obras “Discurso sobre o método (1637)” e “La Géométrie (1637)”, onde estão presentes os pensamentos a respeito da Dúvida Metódica e sobre o desenvolvimento da Geometria Analítica.
O "Discurso sobre o Método" foi a obra em que Descartes lançou as bases do pensamento que viria modificar toda a história da filosofia. Alguns anos depois suas ideias foram retomadas nas "Meditações". O filósofo estava disposto a encontrar uma base sólida para servir de alicerce a todo conhecimento. Na época, a filosofia não se distinguia das outras ciências e o livro deveria ser uma introdução para três escritos científicos, voltados para a meteorologia, a geometria, e o estudo do corpo humano.
Ao buscar um alicerce novo para a filosofia, Descartes rompeu com a tradição aristotélica e com o pensamento escolástico, que dominou a filosofia no período medieval. A separação entre sujeito e objeto do conhecimento tornou-se fundamental para toda a filosofia moderna.
Publicado em 1637, Descartes elaborou uma espécie de autobiografia intelectual, em que conta em primeira pessoa os fatos e as reflexões que o fizeram buscar um princípio seguro para edificar as ciências. Descreve também os passos que o levaram à fundação de seu método – o percurso que vai da dúvida sistemática à certeza da existência de um sujeito pensante.
Dúvida metódica
Para fundamentar o conhecimento, o filósofo deve rejeitar como falso tudo aquilo que possa ser posto em dúvida. A dúvida é, portanto, um momento necessário para a descoberta da substância pensante, da realidade do sujeito que pensa. Através da dúvida metódica, o filósofo chega à descoberta de sua própria existência enquanto substância pensante.
A palavra cogito (penso) deriva da expressão latina cogito ergo sum (penso logo existo) e remete à auto evidencia do sujeito pensante . O cogito é a certeza que o sujeito pensante tem da sua existência enquanto tal.
O método pelo qual se duvida consistiria de quatro regras básicas:
· VERIFICAR se existem evidências reais e indubitáveis acerca do fenômeno ou coisa estudada;
· ANALISAR, ou seja, dividir ao máximo as coisas, em suas unidades mais simples e estudar essas coisas mais simples;
· SINTETIZAR, ou seja, agrupar novamente as unidades estudadas em um todo verdadeiro;
· ENUMERAR todas as conclusões e princípios utilizados, a fim de manter a ordem do pensamento.
Geometria analítica
A geometria analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado Geometria, como um dos três apêndices do Discurso sobre o Método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.
Matemáticos consideram Descartes muito importante por sua descoberta da geometria analítica. Até Descartes, a geometria e a álgebra apareciam como ramos completamente separados da Matemática. Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra, abordando esses problemas através de um sistema de coordenadas.
Em essência, a geometria analítica pensada por Descartes seria uma tradução das operações algébricas em linguagem geométrica, e a essa nova forma de proceder segue uma enorme crença do autor no novo método como uma forma organizada e clara de resolver problemas de natureza geométrica.
A exemplo, observa-se como a ideia central do método cartesiano está impregnada nos procedimentos de resolução do seguinte problema geométrico sem uso da fórmula de distância de ponto a reta: determinar a altura relativa ao vértice C do triângulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc).
Divide-se o problema em 5 problemas menores:
Primeira etapa: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e B;
Segunda etapa: encontrar o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta que passa por A e B;
Terceira etapa: determinar a equação da reta que passa por C e tem o coeficiente angular igual ao encontrado na segundo etapa;
Quarta etapa: encontrar o ponto P de intersecção das retas da primeira e terceira etapas;
Quinta etapa: calcular a distância entre os pontos P e C (a altura do triângulo).
Percebe-se como o método proposto do filósofo se encaixa em amplos aspectos de assuntos. Falando de matemática, o método fora usado por Descartes também na geometria, usando esta como exemplo para realçar aquele.
Sistema de coordenadas cartesiano
Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere à Descartes que também desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana.
Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.
A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 nas duas obras de Descartes já citadas:
· Discurso sobre o método
Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou objeto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam;
· La Géométrie
Onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior.
O sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso modo de ver o universo.
PITÁGORAS
Biografia
Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ela foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos. Algumas pessoas chegaram a dizer que ele não existiu e que seu nome teria sido criado para unificar os adeptos de uma seita filosófico-religiosa. A doutrina e a vida de Pitágoras, desde os tempos da antiguidade, vem envolta num véu de mistério. Dele não restou sequer um fragmento escrito.
Apesar de todo o mistério que envolve a sua vida, as hipóteses mais aceitas por todos que se debruçaram a estudar sua vida são de que Pitágoras nasceu por volta do ano 570 a.C na cidade de Samos, uma Ilha Grega situada no Mar Egeu. Relata a lenda que Pitágoras era filho de Menesarco – um rico comerciante de Samos – e de Partêmis. No início de sua juventude Pitágoras estudou filosofia sob os cuidados de um discípulo de Tales, o filósofo Ferecídio, tendo sido, posteriormente, aluno do próprio Tales, em Mileto. Tales era o maior sábio da época e considerado o fundador da matemática grega. Ainda bem jovem, aconselhado por Tales, foi para o Egito estudar geometria.
Na época em que visitou o Egito, Pitágoras ficou impressionado com as pirâmides e desenvolveu o famoso “Teorema de Pitágoras”. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. Alguns povos antigos usavam um instrumento muito simples e prático para construir ângulos retos: uma corda. Na corda eles iam fazendo nós sempre em distâncias iguais e depois marcavam três nós a distâncias de três, quatro e cinco nós entre si. Em seguida juntavam o primeiro ao último nó. Quando esticavam a corda, fixando-a nos três nós marcados, obtinham um triângulo retângulo.
Viajou também para a Babilônia e Caldéia, mas em suas viagens ele não buscava diversão. Queria aprender matemática, pois Egípcios e Babilônios faziam cálculos complexos para construir prédios, por exemplo. Para eles os cálculos deviam dar a resposta certa. Esse modo de pensar incomodava Pitágoras. Ele queria entender os números e não apenas utilizá-los.
Partiu então para Creta a fim de receber os ensinamentos do filósofo Epinêmides e finalmente retornou a Samos em 532 a.C. Mas nessa época a Ilha de Samos era governada pelo temível tirano Polícrates. As condições políticas da ilha o impediram de ensinar livremente sobre suas experiências. Ele condenou publicamente a tirania em Samos.
Polícrates o convidou para participar da corte, mas Pitágoras recusou a oferta, pois sabia que o tirano queria silenciá-lo. Fugiu então para uma caverna onde estudava sem temer perseguições. Como queria transmitir conhecimentospagava um aluno, mas o estudante gostou muito das aulas e passou a segui-lo sem ganhar dinheiro.
Na segunda metade do século VI a.C. Pitágoras teve que deixar a ilha e ficou exilado em Crotona, no sul da Itália, onde naquela época a presença da linguagem grega era muito forte. O matemático fundou ali uma associação religiosa e secreta, foi perseguido por suas ideias e odiava ser contestado.
Em Crotona, colônia grega na Magna Grécia, Pitágoras foi bem recebido e fundou sua Escola, Instituto ou Ordem por volta de 530 a.C.
Nesta cidade conheceu Milo, um homem forte que gostava de matemática e filosofia e que deu sua casa para Pitágoras fundar a Irmandade Pitagórica, com cerca de 600 membros, os Pitagóricos. Ali as melhores famílias da cidade lhe confiaram prazerosamente a educação de seus filhos. Em sua escola Pitágoras passou a ensinar aritmética, geometria, música e astronomia, que constituíam as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Também havia aulas de religião e moral. Na escola pitagórica podia ingressar qualquer pessoa, até mesmo mulheres. Nessa época e durante muito tempo, mesmo entre a maioria dos povos, as mulheres não eram admitidas em nenhuma espécie de escola. Conta a lenda que Pitágoras se casou com uma das alunas.
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.
Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.
Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C.
A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:
· prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;
· lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais;
· austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; 
· purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;
· classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis.
Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.
O modo de vida e as doutrinas atribuídas a Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo.
Pentagrama
O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama. Este é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.
O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Existem indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico.
Realizações: Ideias, teorias ou leis
Números figurados 
Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1+2+3+4, e servia de representação para a completude do todo.
	α
	α α
	α α α
	α α α α
A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas.
Números perfeitos 
A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:
1. Os divisores de 6 são: e . Então, .
2. Os divisores de 28 são: e .
Então, .
Teorema de Pitágoras
Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.
Por semelhança de triângulos
Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.
Uma variante
Usando a mesma figura da demonstração acima, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)².
Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x,
Então (a/c)² + (b/c)² = 1;
Então a² + b² = c².
Demonstração de Bhaskara
A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a).
Equacionando-se, segue que:
Logo:
Por cálculo diferencial
Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo.
Como resultado da mudança da no lado a,
Por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,
Por separação de variáveis que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.
Pela integração, segue:
Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b2. Logo,
Recíproca
"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°”. Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.
A diagonal do quadrado
A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a diagonal, segue que:
Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:
A altura do triângulo equilátero
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:
Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:
A diagonal do cubo
Seja a a medida da aresta de um cubo (isto é, a medida de um lado de uma das faces quadradas), pelo teorema de Pitágoras:
 (I)
Pelo mesmo teorema, tem-se que:
 (II)
De I e II:
Então:
 
Identidade trigonométrica fundamental 
Disso, segue que:
Valor de pi 
Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes utilizou o teorema de Pitágoras para calcular uma aproximação para o valor do número pi. Ele fez isso posicionando um hexágono regular circunscrito a um círculo e um hexágono regular menor inscrito no círculo,e então realizando a progressiva duplicação do número de lados de cada polígono regular assim obtido, cujo perímetro em cada nova etapa ele calculava por meio do teorema de Pitágoras. 
Lei dos cossenos 
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:
Onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.
ARQUIMEDES
Biografia
Arquimedes (287 – 212 a.C.) foi um físico, matemático e inventor grego. A "Espiral de Arquimedes" e a "Alavanca" são algumas de suas invenções. Desenvolveu a ideia de "gravidade específica", denominado de "Princípio de Arquimedes".
Arquimedes nasceu na colônia grega de Siracusa, na Sicília. Filho de Fídias, um astrônomo grego, que costumava reunir em sua casa a elite de filósofos e homens da ciência. Estudou em Alexandria, que na época era o centro intelectual do mundo. Teve contato com o que havia de mais avançado na ciência do seu tempo, convivendo com grandes matemáticos e astrônomos, entre os quais Erastóstenes de Cirene, o matemático que fez o primeiro cálculo da circunferência da terra.
De volta a sua cidade, resolveu colocar em prática uma série de projetos. Chegou à ideia da gravidade específica, denominada de "Princípio de Arquimedes", no qual afirmou "Qualquer corpo mais denso que um fluido, ao ser mergulhado neste, perderá peso correspondente ao volume de fluido deslocado". Passou então a comparar o peso de um volume dos materiais, com o peso correspondente de água.
Inventou um dispositivo em espiral para elevar água, "Parafuso de Arquimedes", que consiste numa espécie de mola espiral, ajustada dentro de um cilindro, que ao girar, a água vai subindo no cilindro. Arquimedes desenvolveu as fórmulas da área da superfície e do volume da esfera, como também as fórmulas para os cilindros nos quais a esfera pudesse se ajustar.
Voltou suas criações para engenhos de guerra: desenvolveu a alavanca, que permite mover pesadas cargas. Seu conhecimento de alavancas foi usado em catapultas. Declarou Arquimedes: "Deem-me um ponto de apoio e uma alavanca e eu moverei a terra". Criou enormes espelhos destinados a dirigir os raios solares sobre as velas dos navios inimigos, ateando-lhes fogo. Enormes gruas para agarrar e virar as embarcações inimigas.	
A eficiência dos engenhos bélicos criados por Arquimedes resistiram durante três anos durante as invasões de Siracusa pelas tropas do general romano Marcellus Claudius.
No ano de 212 a.C., mesmo recebendo ordens para que a vida de Arquimedes fosse poupada, o soldado com um golpe de espada matou o grande inventor.
Felizmente muitas das suas obras sobre matemática e mecânica foram preservadas, entre elas, o Tratado dos Corpos Flutuantes, Arenário e Sobre o Equilíbrio dos Planos.
Realizações: Ideias, teorias ou leis
A coroa de ouro: descoberta do empuxo
A curiosidade mais conhecida sobre Arquimedes conta sobre como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma irregular.
De acordo com Vitrúvio, uma coroa votiva para um templo tinha sido feita para o Rei Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para ser usado, e Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma prata tinha sido usada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto ferreiro. Arquimedes tinha que resolver o problema sem danificar a coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um corpo de formato regular, a fim de encontrar seu volume para calcular a sua densidade.
Enquanto tomava um banho, ele percebeu que o nível da água na banheira subia enquanto ele entrava, e percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa. Para efeitos práticos, a água é incompressível, assim a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da coroa pelo volume de água deslocada, a densidade da coroa podia ser obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais baratos e menos densos tivessem sido adicionados.
Arquimedes teria ficado tão animado com sua descoberta que teria se esquecido de vestir-se e saiu gritando pelas ruas "Eureka!" (em grego: "εὕρηκα!" significando "Encontrei!"). O teste foi realizado com sucesso, provando que prata realmente tinha sido misturada.
A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes, além disso, a praticidade do método descrito tem sido posta em dúvida devido à extrema acurácia com que se teria que medir o deslocamento de água. Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido em hidrostática como princípio de Arquimedes, que ele descreveu em seu tratado Sobre os Corpos Flutuantes. Esse princípio afirma que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca.
Usando esse princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro à de ouro maciço equilibrando-se a coroa em uma balança de braços iguais com uma amostra de ouro, e então imergindo o aparato na água. Se a coroa fosse menos densa que ouro, ela deslocaria mais água, devido ao seu maior volume, e assim experimentaria um a força de empuxo maior do que a amostra de ouro. Essa diferença de empuxo causaria a balança a inclinar-se de acordo. Galileu considerou "provável que esse método é o mesmo que Arquimedes seguiu, uma vez que, além de ser bastante acurado, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes." Num texto do século XII intitulado Mappae clavicula há instruções detalhadas sobre como realizar as pesagens dentro da água com o fim de calcular a porcentagem de prata utilizada, e assim, resolver o problema. Além disso, o poema latino Carmen de ponderibus et mensuris do século IV ou V d.C. descreve a utilização de uma balança hidrostática para solucionar o problema da coroa, e atribui esse método a Arquimedes.
Fórmula do empuxo	Peso Aparente
		
Onde:
 = Empuxo (N)
 = Densidade do fluido (kg/m³)
 = Volume do fluido deslocado (m³)
g = Aceleração da gravidade (m/s²)
Análise da função
Parafuso de Arquimedes
Grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego Ateneu de Náucratis descreveu como o Rei Hierão II encarregou Arquimedes de projetar um grande barco, o Siracusia, que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de suprimentos, e como um navio de guerra. É dito que o Siracusia foi o maior barco construído na Antiguidade Clássica. De acordo com Ateneu, ele era capaz de carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um gymnasion e um templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações. Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover água da sentina.
A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes, tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos, pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.
O princípio da alavanca
Segundo a lenda, Arquimedes disse aos seus conterrâneos gregos: "Dê-me uma alavanca que moverei o mundo".
Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca, ele deu uma explicação do princípio envolvido em sua obra Sobre o Equilíbrio dos Planos. São conhecidas descrições anteriores da alavanca pela Escola Peripatética dos seguidores de Aristóteles e às vezes são atribuídas a Arquitas de Tarento.
Arquimedes explicou queuma balança de braços iguais está em equilíbrio quando seus braços ficam parados na horizontal, tendo ela liberdade para girar ao redor do fulcro. Dois corpos A e B possuem o mesmo peso P se, ao serem colocados em pratos separados de uma balança de braços iguais inicialmente em repouso na horizontal, permanecem em repouso. O corpo que equilibra outros N corpos de mesmo peso P em uma balança de braços iguais possui N vezes o peso P.
Sistema de roldanas
A história relata que Arquimedes foi a primeira pessoa que construiu e usou um sistema de roldanas, assim ele podia deslocar grandes pesos exercendo pequenas forças.
Para mostrar a eficiência deste dispositivo, ele preparou uma espetacular demonstração experimental: um navio da frota real grega foi tirado da água, com grande esforço, por um grupo de soldados e colocado sobre a areia da praia. Ligando o sistema de roldanas ao navio, Arquimedes convidou o rei Hierão para puxar a extremidade livre da corda, o qual conseguindo sozinho e sem grande esforço arrastar o navio sobre a areia, causando surpresa geral e fazendo aumentar ainda mais o prestígio de Arquimedes junto ao rei. 
Quando se utiliza uma máquina o interesse é fazê-lo de modo que a força motora seja, de preferência, menor que a força resistente e com isso, define-se uma grandeza chamada de vantagem mecânica (Vm) de uma máquina que é a proporção entre os módulos da força resistente e da força motora aplicada.
A vantagem mecânica (Vm) exprime a existência ou não da redução de esforço, ou seja:
· Vm = 1: não há nem vantagem nem desvantagem mecânica, isto é, não há redução nem acréscimo de esforço para equilibrar ou deslocar a força resistente.
· Vm >1: que é a situação, obviamente, mais interessante, pois nesse caso a máquina reduz esforço.
· Vm < 1: temos uma desvantagem mecânica neste caso não haverá interesse em se utilizar ou empregar a máquina.
Em qualquer caso, o princípio da conservação do trabalho numa máquina continua sendo válido:
Trabalho motor = trabalho resistente
Dessa forma, se a máquina permitir fazer economia de força (Vm > 1), o deslocamento da força motora deverá ser maior que o deslocamento sofrido pela força resistente, de modo que haja sempre igualdade entre o trabalho motor e o trabalho resistente.
Arquimedes na matemática
Arquimedes, proeminente matemático e inventor grego, escreveu importantes trabalhos sobre a geometria plana e sólida, aritmética e mecânica. Sem dúvida o maior gênio da Antiguidade clássica e um dos maiores de todos os tempos. Arquimedes reúne todas as características que o imaginário popular atribui a um verdadeiro sábio.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral, 2000 anos antes de ter sido "inventado" por Newton e Leibniz. Arquimedes também provou que o volume de uma esfera corresponde a dois terços do volume do cilindro circunscrito. Evidentemente ele considerou este como seu maior feito, pois pediu que sua lápide tivesse uma esfera circunscrita por um cilindro.
Em Geometria, o sábio teve o mérito de conceber métodos gerais para calcular as áreas de figuras planas curvilíneas e os volumes de sólidos delimitados por superfícies curvas.
Aplicou tais sistemas a vários casos particulares: à esfera, ao círculo, ao segmento de parábola, à área compreendida entre dois raios e dois passos sucessivos de uma espiral, aos segmentos esféricos, às superfícies geradas pelas revoluções em torno dos eixos principais dos retângulos (ou melhor, os cilindros), a entidades geométricas produzidas pela revolução dos triângulos (ou seja, os cones), das parábolas (paraboloides), das hipérboles (hiperboloides) e das elipses (elipsoides). Arquimedes tinha, portanto, um sistema de cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz.
Arquimedes não antecipa apenas o cálculo integral. Ele pode ser também considerado como precursor do cálculo diferencial. Na verdade, uma das suas mais conhecidas e importantes descobertas matemáticas é a construção da famosa espiral de Arquimedes.
Além disso, fez surgir a ideia de infinitamente grande ao querer contar os grãos de areia da praia de Siracusa. Esta abordagem da ideia de infinito surge também numa das suas obras, onde se propõe avaliar o número de grãos de areia que seria preciso para encher uma esfera grande como o Universo. Para resolver este problema, teve de ultrapassar duas dificuldades: a primeira, dar as dimensões do universo; a segunda, criar um modo de escrever o número colossal dos grãos de areia. Tarefa tanto mais difícil quanto à escrita grega dos números só permitia escrever números inferiores à miríade das miríades (100 000 000). 
A primeira dificuldade foi ultrapassada com base nos conhecimentos astronômicos da sua época, em particular, no sistema heliocêntrico de Aristarco de Samos. Neste sistema, a Terra roda em torno de si mesma descrevendo uma órbita circular à volta do Sol. Aristarco de Samos (primeiro grande astrônomo da escola de Alexandria) é, com dezessete séculos de avanço, o precursor de Copérnico.
A segunda dificuldade foi ultrapassada idealizando um novo sistema de numeração que permite escrever ou enumerar números tão grandes quanto se quiser. Esse sistema consistia em escrever os números em óctuplos ou potências de 8 na base 10, que constituem uma das leis de operação com logaritmos. Desta forma Arquimedes supera os evidentes obstáculos inerentes ao modo como os gregos representavam os números (pelas letras do alfabeto).
Arquimedes, também já tinha dado exemplos de como se pode caminhar para o infinitamente pequeno por meio de uma série geométrica decrescente como um, um quarto, um dezesseis avos, um sessenta e quatro avos, etc.
Contribuiu assim para a evolução do cálculo infinitesimal, surpreendendo todos os seus contemporâneos com a ideia de infinito e também pela facilidade de cálculo que revelou ao resolver estes problemas.
IMPACTOS PRODUZIDOS
O pensamento de Descartes é revolucionário para uma sociedade feudalista em que ele nasceu, onde a influência da Igreja ainda era muito forte e quando ainda não existia uma tradição de "produção de conhecimento". Aristóteles tinha deixado um legado intelectual que o clero se encarregava de disseminar.
Foi um dos precursores do movimento, considerado o pai do racionalismo, e defendeu a tese de que a dúvida era o primeiro passo para se chegar ao conhecimento.
Descartes viveu numa época marcada pelas guerras religiosas entre Protestantes e Católicos na Europa – a Guerra dos Trinta Anos. Viajou muito e viu que sociedades diferentes têm crenças diferentes, mesmo contraditórias. Aquilo que numa região é tido por verdadeiro, é considerado ridículo, disparatado e falso em outros lugares.
Descartes viu que os "costumes", a história de um povo, sua tradição "cultural" influenciam a forma como as pessoas veem e pensam naquilo em que acreditam.
A teoria de Descartes forneceu a base para o cálculo de Newton e Leibniz, e então, para muito da matemática moderna. Isso parece ainda mais incrível tendo em mente que esse trabalho foi intencionado apenas como um exemplo no seu "Discurso sobre o Método".
Sem dúvida, o projeto filosófico-matemático de Descartes trouxe inegáveis contribuições para o desenvolvimento da ciência de modo geral e da matemática em particular, contudo vale ressaltar que a fragmentação do conhecimento que dele decorre é um dos mais sérios problemas a serem enfrentados pelo homem contemporâneo.
Na época de Pitágoras, a sociedade grega voltava a vivenciar práticas religiosas estimuladas por líderes populares para enfraquecer a aristocracia daquele tempo. Estes líderes incentivavam a expansão dos cultos religiosos, fossem eles de origens populares locais ou estrangeiros. Neste cenário, surge o matemático e filósofo grego Pitágoras com sua escola “pitagórica”, onde se ensinava geometria, aritmética, música, astronomia e religião.
O pensamento pitagórico, como já mencionado anteriormente, produziu grandes impactos na sociedade grega da antiguidade e também tem lugar de destaque na sociedade moderna dos dias atuais. A fundação de uma escola depensamento batizada em sua homenagem e que existiu por mais de mil anos, evidencia a importância de seu legado para a humanidade. O modo de vida e as doutrinas atribuídas à Pitágoras revolucionaram o meio social e o pensamento de sua época. Sua influência foi tão grande que a ele se concede a glória de fundar a “primeira Universidade do Mundo” onde centenas de alunos compunham uma irmandade religiosa e intelectual parcialmente secreta. Ela ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.
No meio acadêmico, Pitágoras mantém-se imortalizado por seus feitos e trabalhos, sobretudo por suas teorias e leis matemáticas. É quase que impossível falar de trigonometria sem mencioná-lo, tendo em vista que, uma das mais conhecidas leis matemáticas de toda história da humanidade recebe seu nome (Teorema de Pitágoras) e está de diversas formas aplicadas, junto a teorias e ideias de outros grandes pensadores por ele influenciados, no contexto de um simples dia de nossa atualidade.
Outro interesse peculiar de Pitágoras que acabou sendo convertido em trabalhos de grande imodéstia foi à música. Além de lhe ser creditado a descoberta das 7 notas musicais, através de pesquisas e experimentos, constatou a existência de uma associação entre pares harmônicos e relações numéricas, criando-se assim termos utilizados até hoje no ramo musical. Esta descoberta, provavelmente, foi a primeira formulação de uma lei física, podendo ser apontada como o ponta pé inicial do que é hoje conhecido como Física Teórica
Arquimedes considerado na época dele revolucionário, inventor e devotado à matemática, com suas invenções foi um dos maiores matemáticos existentes, com suas ideias inovadoras. Era tão prestigiado que o rei suspeitando de roubo, o chamou para saber se tinha realmente ocorrido o roubo na coroa. Assim Arquimedes com esse mistério nas mãos ao tomar um banho descobriu a lei do empuxo.
Arquimedes facilitou muito a vida da época dele como na nossa com seu sistema de alavancas e etc. Construiu catapultas para se defender dos romanos que o mataram. O impacto na sua sociedade foi de ele ser um gênio que marcou sua época e suas teorias são usadas até hoje.
Arquimedes mudou a maneira de se fazer as coisas, como as alavancas, por exemplo, no uso de tesouras, gangorras e etc.
Arquimedes é o pai da matemática e seus conceitos, além de serem os mais usados, serão os mais usados futuramente também. Ele foi considerado, além de pai da matemática, um grande inventor. Graças a ele, hoje temos condições de criar navios, armas que utilizam sistema.
Arquimedes transformou o mundo antigo e fez com que o atual seja o que é, e graças a ele podemos dizer que somos capazes de fazer coisas tecnicamente ditas como impossíveis! Exemplo disso, o seu estudo sobre o sistema de roldanas que abalou em sua época fazendo homem erguerem um navio enorme com muito menos esforço.
Os seus estudos são de muita importância para a prática de construção civil, pois a partir deles, pôde-se aprimorar e construir edifícios, assim também para a mecânica e todas as engenharias com seus estudos matemáticos sobre integrais.
DISSERTAÇÃO
A humanidade deve muito aos visionários abordados neste trabalho, que movidos por sua curiosidade, dedicaram suas vidas a entender como o mundo funciona. Por causa deles, a qualidade de vida da humanidade deu grandes saltos, e muito do que consideramos hoje lugar comum só foi possível por causa de certas descobertas e avanços científicos. Além disso, vale aqui ressaltar a interdisciplinaridade envolvida neste trabalho por meio da abordagem da influência de cada descoberta em outras áreas da ciência. 
No caso do filósofo, Descartes nomeia a dúvida como a sua primeira verdade inquestionável e que levaria o ser humano ao conhecimento verdadeiro. Assim ele cria a dúvida metódica (por ter caráter puramente instrumental) que deveria ser aplicada a todos os tipos de conhecimento. Esse instrumento metodológico tornou-se uma referência importantíssima e um clássico da filosofia moderna. Dessa forma é possível relacionar seu pensamento às necessidades de um profissional de engenharia que ao exercer suas funções, assume o risco de sua atividade que deve ser exercida com a cautela técnica tanto para atender seus objetivos dentro do custo e tempo previstos assim como minimizar eventuais efeitos decorrentes de acidentes, erros, sub-dimensionamento, etc. Logo, pode-se dizer que ao procurar ser competente em meio a esta profissão o homem está inconscientemente usando das regras de utilização da intuição e da dedução de Descartes que são: a regra da evidência, da análise, da síntese e da enumeração.
Ele também sugeriu a fusão da álgebra e da geometria, criando a geometria analítica e os sistemas de coordenadas cartesianas. Estes por sua vez são extremamente utilizados no primeiro período do curso de engenharia na matéria de física, matemática, informática e até mesmo de desenvolvimento e sustentabilidade. A criação da Geometria Analítica por Descartes foi fundamental para a criação do Cálculo Diferencial e Integral. O Cálculo (que será abordado no segundo período do curso) se tornou muito importante na Física, Biologia e Química, no que diz respeito a cálculos mais complexos e detalhados.
As contribuições de Descartes à física foram feitas principalmente na óptica, mas ele escreveu extensamente sobre muitos outros temas, incluindo biologia, cérebro e mente. Ele não foi um experimentalista, no entanto tentou descrever o universo físico em Le Monde (O Mundo) além de devotar maior parte do Principia Philosophiae (Princípios da Filosofia) à física, especialmente as leis do movimento. Permitindo assim a progressão dos estudos de física aos seus posteriores para que hoje fosse possível desfrutar dos conhecimentos mais precisos de até então.
Já no caso do matemático, Pitágoras desenvolveu a tábua de multiplicação, o sistema decimal, as proporções aritméticas e o teorema de Pitágoras. Este último é usado na disciplina de matemática aplicada do curso de engenharia assim como, por exemplo, na dinamização da área de transportes de um país (ao precisar descobrir a distância entre duas cidades para abastecer um caminhão). Além disso, a resolução de triângulos retângulos faz parte do cotidiano dos cálculos envolvidos em usinagem mecânica, desenho técnico, etc. Ele também descobriu que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis. Ou seja, criou a matemática musical, que são as notas musicais utilizadas até hoje: sete tons principais que se compõe em doze sons musicais. Portanto, ele se tornou um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos existente atualmente.
A Escola pitagórica foi de fato muito importante para diversas descobertas utilizadas atualmente. Ela foi uma influente corrente da filosofia grega que influenciou o futuro platonismo, o cristianismo e ainda foi invocado por sociedades secretas que atravessaram o tempo até alcançarem os dias de hoje. Pitágoras (inventor da palavra ‘filósofo’) ficou conhecido também como o "filósofo feminista", visto que na escola havia muitas mulheres discípulas e mestres. A última questão é de extrema importância devido à progressiva quebra do machismo desde épocas mais remotas, o que acabou contribuindo para que hoje a mulher pudesse pertencer às diversas áreas antes restritas á ela.
Os pitagóricos também concluíram que a Terra é uma esfera que gira em torno do sol. Eles chegaram a prever a rotação do Planeta, o que explica a existência do dia e da noite. Ademais o cálculo da hipotenusa é muito utilizado para resolver muitos problemas da Física, principalmente no campo da Ótica, das Forças e Resistências.
Por fim no caso do físico, Arquimedes realizou inúmeras descobertas que são usadas ainda hoje no estudo ou na prática de engenharia,são elas: a hidrostática (que é estudada desde o primeiro período do curso), o parafuso de Arquimedes (que hoje em dia é feito de ferro ou plástico industrial e usado, por exemplo, para o bombeamento de esgoto), a roldana (usada para que um operário possa levantar um balde de um andar para outro puxando uma corda que passa por uma polia) e o princípio das alavancas (usado no guindaste de construção, na cancela manual, na suspensão em veículos mecatrônicos- com elásticos- no caso de modelo em Lego, no braço robótico equilibrado com contrapeso, na alavanca do macaco do automóvel, no martelo e no carrinho de mão).
Na área da matemática Arquimedes descobriu como calcular a área do círculo e o valor de PI, estabeleceu a relação entre uma esfera e o cilindro circunscrito nela, demonstrou que a área de um segmento de parábola é igual a 4/3 da área do triângulo de mesma base e mesma altura do segmento, caracterizou as propriedades das tangentes, demonstrou que a área de um segmento de parábola é igual a 4/3 da área do triângulo de mesma base e mesma altura do segmento e demonstrou a relação entre o comprimento da circunferência e o diâmetro. Sem essas noções seria impossível dar continuidade a resolução de problemas matemáticos e até de física presentes no curso de engenharia. 
Arquimedes foi um grande filósofo da antiguidade, realizado no âmbito da disciplina de Físico-Química. Introduziu, no estudo da estática e da hidrostática, o que se chama hoje método científico, aliando em certo sentido o empirismo à formulação das leis e demonstrações de teoremas, usando conceitos de geometria.
Assim é possível afirmar que através deste trabalho foi possível descobrir a origem do progresso científico utilizado pelo curso de engenharia e o quão necessárias foram as descobertas, promovidas pelos personagens abordados, para a profissão de um engenheiro. 
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• P = m*g
Empuxo = d*v*g
Primeiramente devemos saber:
• d = m/v, portanto, m = d*v
• Empuxo = Peso
Calculando:
Empuxo = m*g
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	Primeiramente devemos saber:
	• P = m*g
	• d = m/v, portanto, m = d*v
	• Empuxo = Peso
	Calculando:
	Empuxo = m*g
	• Substituindo: m = d*v
	Empuxo = d*v*g