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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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resultado dessa multiplicação é igual a 64. 
A notação usada para as raízes é a seguinte: 
 
 
 
 107 
No exemplo anterior, 64 é o radicando, 6 é o índice e 2 é a raiz sexta de 64 e resultado da 
raiz. 
Observação: Se a for um número real negativo e n for um número natural par, então não 
existe solução para essa raiz no conjunto dos números reais. 
 
Operações com radiciação 
 
Adição e Subtração 
Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes, ou seja, as unidades devem ser 
obrigatoriamente iguais. 
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, basta adicionar ou subtrair, 
algebricamente, os fatores externos de cada radical, conservando o radical: 
𝟐√𝟑 + 𝟓√𝟑 = 𝟕√𝟑 
√𝟐 + √𝟓𝟎 − √𝟖 = √𝟐 + 𝟓√𝟐 − 𝟐√𝟐
= (𝟏 + 𝟓 − 𝟐)√𝟐 = 𝟒√𝟐 
 
Multiplicação 
Para multiplicar radicais de mesmo índice, basta efetuar multiplicação entre os radicandos: 
√𝟐 ∗ √𝟑 = √𝟐 ∗ 𝟑 = √𝟔 
√𝟓
𝟒
∗ √𝟐
𝟒
∗ √𝟑
𝟒
= √𝟓 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑
𝟒
= √𝟑𝟎
𝟒
 
 
Observação: para multiplicar radicais de índices diferentes, primeiramente é necessário 
reduzi-los ao mesmo índice e, depois, aplicar a regra acima: 
 
 108 
 
Divisão 
Para dividir radicais de mesmo índice, basta efetuar a divisão entre os radicandos: 
√𝟐𝟏
𝟑
: √𝟕
𝟑
= √𝟐𝟏: 𝟕
𝟑
= √𝟑
𝟑
 
√𝟎, 𝟑𝟐
𝟒
: √𝟎, 𝟒
𝟒
= √𝟎, 𝟑𝟐: 𝟎, 𝟒
𝟒
= √𝟎, 𝟖
𝟒
 
√𝟒
√𝟐
= √
𝟒
𝟐
= √𝟐 
 
Observação: Para dividir 2 radicais de índices diferentes, reduzem-se ao mesmo índice e 
dividem-se os radicandos: 
√𝟓: √𝟒
𝟑
= √𝟓𝟑
𝟔
: √𝟒𝟐
𝟔
= √𝟓𝟑 + 𝟒𝟐
𝟔
= √𝟏𝟐𝟓 + 𝟏𝟔
𝟔
= √
𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟔
 
 
Propriedades da radiciação 
1) A raiz enésima de um número elevado a n é igual a esse mesmo número: 
√𝒂𝒏
𝒏
= 𝒂 
2) Índice e expoente do radicando podem ser multiplicados ou divididospelo mesmo 
número. Assim, dados os números reais a, m, n e p, teremos: 
 
 109 
√𝒂𝒏
𝒏
= √𝒂
𝒏
𝒑
𝒏
𝒑
 
3) Para simplificar a raiz de uma raiz, basta multiplicar seus índices. Matematicamente, isso 
pode ser representado da seguinte forma: 
√ √𝒂
𝒏𝒎
= √𝒂
𝒎𝒏
 
4) A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas: 
√𝒂 ∗ 𝒃
𝒏
= √𝒂
𝒏
∗ √𝒃
𝒏
 
5) A raiz enésima da razão é igual à razão das raízes enésimas, ou seja: 
√
𝒂
𝒃
𝒏
=
√𝒂
𝒏
√𝒃
𝒏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 110 
RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Considere a fração 
5
√3
, cujo denominador é um número irracional. 
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma 
fração equivalente: 
𝟓
√𝟑
∗
√𝟑
√𝟑
=
𝟓√𝟑
𝟑
 
 
Observe que a fração equivalente 
5√3
3
 possui um denominador racional. 
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores. 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com 
denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu 
denominador. 
Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta 
fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter 
uma nova fração equivalente com denominador sem radical. 
 
Principais casos de racionalização 
1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo: 
𝟓
√𝟐
∗
√𝟐
√𝟐
=
𝟓√𝟐
𝟐
 
 
 111 
√𝑎 é 𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 √𝑎, 𝑝𝑜𝑖𝑠 √𝑎 ∗ √𝑎 = √𝑎2 = 𝑎 
 
2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de 
dois termos. 
Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por um termo 
conveniente, para que desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo: 
𝟑
√𝟕
𝟑 =
𝟑
√𝟕
𝟑 ∗
√𝟕²
𝟑
√𝟕²
𝟑
=
𝟑√𝟕²
𝟑
√𝟕³
𝟑
=
𝟑√𝟕²
𝟑
𝟕
 
 
A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador. 
√𝒂𝒏−𝒎
𝒏
 é 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 √𝒂𝒎
𝒏
 
√𝒂 − √𝒃 é 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 √𝒂 + √𝒃 
√𝒂 + √𝒃 é 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 √𝒂 − √𝒃 
√𝒂 + 𝒃 é 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 √𝒂 − 𝒃 
 
Veja outro exemplo: 
𝟏
(𝟐 + √𝟑)
= 
𝟏
(𝟐 + √𝟑)
∗
(𝟐 − √𝟑)
(𝟐 − √𝟑)
=
(𝟐 − √𝟑)
(𝟐² − √𝟑²)
=
𝟐 − √𝟑
𝟏
= 𝟐 − √𝟑 
 
 
 112 
JUROS COMPOSTOS 
cai nos vestibulinhos: Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, CEFET e Bolsas de Estudo. 
 
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o 
juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre 
juros). 
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas 
transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos). 
 
Exemplo 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 
10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período? 
 
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do 
período será resgatado o valor de R$13.310,00. 
 
 
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em 
matemática financeira. São eles: 
 
Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento. 
Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital. 
Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, 
 
 113 
bimestre, trimestre ou ano. 
Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros. 
 
Como Calcular os Juros Compostos? 
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão: 
 
𝑴 = 𝑪 ∗ (𝟏 + 𝒊)𝒕 
 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
t: período de tempo 
 
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para 
isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se 
referir à mesma unidade de tempo. 
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula: 
 
𝑱 = 𝑴 − 𝑪 
 
Exemplos 
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros 
compostos. 
 
 
 114 
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob 
uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal 
de juros? 
 
Sendo: 
C = 500 
M = 800 
t = 4 
 
Aplicando na fórmula, temos: 
 
𝟖𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ (𝟏 + 𝒊)𝟒 
𝟖𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎
= (𝟏 + 𝒊)𝟒 
𝟏, 𝟔 = (𝟏 + 𝒊)𝟒 
√𝟏, 𝟔
𝟒
= 𝟏 + 𝒊 
𝟏, 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏 + 𝒊 
𝟏, 𝟏𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝒊 
𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟓% 𝒂. 𝒎. 
 
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar 
o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês. 
 
 115 
 
2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros 
compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês? 
 
Sendo: 
C = 5000 
i = 1% ao mês (0,01) 
t = 1 semestre = 6 meses 
 
Substituindo, temos: 
 
𝑴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏)𝟔 
𝑴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏, 𝟎𝟏𝟔 
𝑴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏, 𝟎𝟔𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏𝟓 
𝑴 = 𝟓𝟑𝟎𝟕, 𝟔𝟎 
 
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim: 
 
𝑱 = 𝟓𝟑𝟎𝟕, 𝟔 − 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟕, 𝟔 
 
O juro recebido será de R$ 307,60. 
 
 
 
 116 
INEQUAÇÕES 
cai nos vestibulinhos: Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, CEFET e Bolsas de Estudo. 
 
Quando estudamos equações do 1º grau lidamos com igualdades, ou seja, expressões em 
que precisamos encontrar um valor para a variável em questão. Porém, quando tratamos 
de uma inequação a

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