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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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Veja: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐𝟒: 𝟐
𝟑𝟔: 𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟖
=
𝟏𝟐: 𝟐
𝟏𝟖: 𝟐
=
𝟔
𝟗
=
𝟔: 𝟑
𝟗: 𝟑
=
𝟐
𝟑
 
 
Você pode também simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o 
máximo divisor comum aos dois termos. Observe: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐
𝟑
 
 
 8 
 
O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12, então, simplificamos da seguinte 
maneira: 
𝟐𝟒: 𝟏𝟐
𝟑𝟔: 𝟏𝟐
=
𝟐
𝟑
 
 
Observe mais alguns exemplos de simplificação: 
 
O MDC entre 32 e 40 é 8. 
𝟑𝟐
𝟒𝟎
=
𝟑𝟐: 𝟖
𝟒𝟎: 𝟖
=
𝟒
𝟓
 
 
O MDC entre 63 e 81 é 9. 
𝟔𝟑
𝟖𝟏
=
𝟔𝟑: 𝟗
𝟖𝟏: 𝟗
=
𝟕
𝟗
 
 
O MDC entre 90 e 120 é 30. 
𝟗𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟗𝟎: 𝟑𝟎
𝟏𝟐𝟎: 𝟑𝟎
=
𝟑
𝟒
 
 
O MDC entre 36 e 66 é 6. 
𝟑𝟔
𝟔𝟔
=
𝟑𝟔: 𝟔
𝟔𝟔: 𝟔
=
𝟔
𝟏𝟏
 
 
Portanto, para que uma fração torne-se irredutível, devemos dividir o numerador e o 
denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. 
 
 
 9 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Números Naturais 
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar objetos, números. 
Por exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por diante. Com os números naturais e possível realizar 
diversas operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja: 
24 + 50 = 74 
 
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A ordem dos números 
na adição não influencia no resultado. 
89 – 70 = 19 
 
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que dê negativo 
também, entretanto, na maioria das vezes é preciso verificar se deve“emprestar”do 
número esquerdo para realizar a operação corretamente. A ordem dos números influencia 
o resultado em uma expressão maior. 
5 x 100 = 500 
 
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, dobrando, 
triplicando o valor. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 
+ 100. A ordem não influencia o resultado. O número um é um elemento neutro, não 
alterando o resultado. 
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟐 
 
 
 10 
Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado leva ao primeiro 
número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto”e há 
vírgulas, com números decimais também. 
 
Números fracionários 
Os números fracionários são aqueles representados por frações. No momento de realizar as 
operações, é preciso rever algumas dicas práticas. 
 
Adição e Subtração 
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os numeradores. 
𝟐
𝟓
+
𝟏𝟎
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟓
 
 
O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver o denominador 
diferente, é necessário descobrir o denominador comum. 
Veja: 
𝟐
𝟓
+
𝟓
𝟏𝟎
+
𝟗
𝟐
 
 
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e veja com quantos 
números é possível chegar a um denominador comum. 
2, 5, 10 | 2 
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 | 1 
2 x 5 = 10 é o denominador comum. 
 
 
 
 11 
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 
𝟏𝟎
𝟓
= 𝟐 ; 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟏 ; 
𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓 
 
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e encontrar o 
resultado (vale também para subtração): 
𝟐 ∗ 𝟐
𝟏𝟎
+ 
𝟏 ∗ 𝟓
𝟏𝟎
+ 
𝟓 ∗ 𝟗
𝟏𝟎
=
𝟓𝟒
𝟏𝟎
 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐:
𝟐𝟕
𝟓
 
 
Multiplicação 
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador com 
denominador e numerador com numerador. Exemplo: 
𝟓
𝟖
∗
𝟗
𝟏𝟓
=
𝟒𝟓
𝟏𝟐𝟎
 
 
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais simples, se ambos 
numerador e denominador conseguirem ser divididos pelo mesmo número. 
𝟒𝟓: 𝟏𝟓
𝟏𝟐𝟎: 𝟏𝟓
=
𝟑
𝟖
 
 
Divisão 
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. Por exemplo: 
𝟖
𝟗
: 
𝟑
𝟐𝟒
=
𝟖 ∗ 𝟐𝟒
𝟗 ∗ 𝟑
=
𝟏𝟗𝟐
𝟐𝟕
 
 
Simplificando: 
𝟏𝟗𝟐: 𝟑
𝟐𝟕: 𝟑
=
𝟔𝟒
𝟗
 
 
 12 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma 
implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, 
ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. 
Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. 
Veja o exemplo: 
 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na 
redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando 
triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
 
 
 
 
 
 13 
Veja o exemplo: 
 
 
Razão: 
𝟏𝟐
𝟔
=
𝟐
𝟏
 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟏
𝟐
 
 
Note que 
𝟏𝟐
𝟔
 e 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
 possuem razões inversas, isto é, 
𝟐
𝟏
 é o inverso de 
𝟏
𝟐
. 
 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e 
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da 
regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos 
também entre si. 
 
 
 
 
 
 14 
Acompanhe: 
 
Exemplo: 
Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito 
para fazer 18 pães? Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela 
contendo os valores. 
 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número 
de pães são inversa ou diretamente proporcionais. 
- Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. 
Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo 
assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
- Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro 
acima e partir para sua solução; 
- As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. 
Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período 
histórico. Veja quais são eles: 
 
Conjunto dos Números Naturais 
O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. 
Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas 
os números inteiros e positivos. 
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ele é 
formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos e o zero. 
Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os 
seguintes elementos: 
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Conjunto dos Números Racionais 
O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir quantidades. Portanto, 
esse é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado 
por

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