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Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava UNIDADE 1 VISÃO E ASPECTOS HISTÓRICOS, REPRESENTAÇÕES DE CÁLCULOS OBJETIVOS -Reconhecer os aspectos históricos do ensino da Matemática. -Identificar e analisar representações de cálculos. -Analisar a função social dos conteúdos de Matemática. 1.1 Aspectos históricos do Ensino da Matemática A História da Matemática é uma importante ferramenta de pesquisa, compreensão de suas origens e construções, suas principais metodologias e linguagens que foram desenvolvidas ao longo da história, desde as civilizações a antigas até o presente momento. As bases do que do que conhecemos hoje como Matemática foi desenvolvida desde o início da coexistência entre sociedade. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava O Reconhecimento dos momentos históricos é um processo importante e fundamental na compreensão das origens e nos aspectos das noções culturais, e no desenvolvimento humano, ou seja, através da fundamentação histórica o estudante pode relacioná-la com no seu dia a dia. Estudos de construção dos conhecimentos em matemática levam a um entendimento da evolução e/ou as dificuldades epistemológicas dos conceitos, ou seja, seu princípio, organização, técnicas e comprovação do estudo, em particular a noção que está sendo investido. Ao verificar o processo histórico da compreensão matemática percebe-se que ela tem sido elaborada por meio da tentativa de compreender o mundo. A organização da abordagem matemática a partir do conceito histórico permite ao professor a elaboração de concepções pedagógicas do que irá trabalhar e desenvolver no processo de aprendizagem O aspecto investigativo precisa ser despertado nos estudantes pelo professor de forma que ele encontre soluções que garantam a resolução dos problemas, promovendo o desenvolvimento do senso crítico, e a conscientização de seu papel na sociedade. Conforme as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) no que se refere ao aspecto histórico da matemática é importante destacar o ensino que visa a recuperação de sentidos, símbolos que foram apresentados Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava sem qualquer rigor, traços, fontes que possibilita estabelecer conceitos que ela propõe. Nesta visão dois aspectos são importantes de observar e mudar no ensino tais como: Primeira visão é aquela que muitos acreditam que o ensino de matemática tem estrutura pronta e acabada Segundo é o pesar da maioria dos estudantes onde acreditam que a matemática é o privilégio das cabeças mais bem-dotadas, um dom. É importante compreender que quando mais próximo a matemática for da realidade dele, a resistência será menor para o estudo dessa disciplina. De acordo com Garbi (1997): A matemática é vista e apresentada de maneira fria e insípida, sem relação com a realidade humana e histórica que somente os “Gênios” que dominam as ciências exatas, consegue compreender toda tecnologia que existe e as que vão existir. Uma afirmação como precisa vir acompanhada dos motivos de estar estudando aqueles assuntos, como este assunto realmente mantém relação com o cotidiano. Enfim levar o aluno a raciocinar, pensar matematicamente. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava De acordo com D’Ambrósio (1996, p.09), “a invenção matemática é acessível a todo indivíduo e a importância dessa invenção depende do contexto social, político, econômico e ideológico”. De acordo com os PCNs, a história da Matemática é capaz de estimular alguns conceitos nos alunos. Entre esses conceitos, é possível destacar aqueles que são abordados em conexão com a sua história, que se constituem como veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. Para o Ensino Fundamental, os PCNs trazem o auxílio da história da Matemática como ferramenta importante para estimular e fixar conceitos. De acordo com os PCNs (1996), "os conceitos abordados em conexão com sua história constituem-se em veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A história da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural”. A história da Matemática busca, por meio da imaginação, fazer com que o aluno e o seu aprendizado supere não só as paredes da sala de aula, mas o faça viajar pelo tempo, colocando-o diante de situações- problema que fizeram com que o homem construísse as bases para o que se conhece hoje. A história da Matemática não busca a formalização e a demonstração de teoremas. Ao contrário, pela história, é possível ver que diversos problemas foram lançados e só resolvidos séculos depois, enquanto alguns ainda estão sem solução. Por fim, os conceitos gerados pela história da Matemática são tão aprofundados e precisos quanto a história real os propõe; portanto, a história da Matemática não aborda somente problemas elementares. O Movimento da Matemática Moderna (MMM) iniciou na década de 1960 e tinha como objetivo reestruturar a forma de lecionar Matemática. No Brasil, o MMM buscou a renovação do currículo de Matemática, com a introdução de elementos baseados na Teoria dos Conjuntos, com ênfase na formalização e no rigor matemático. Essa reformulação não visou ao aumento ou à redução do currículo, apesar de ter inserido a Teoria dos Conjuntos. O objetivo curricular principal era a formalização da Matemática, buscando mais rigor. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Na década de 1960, ainda não se pensavana utilização de computadores. Portanto, a matemática computacional, era restrita a algoritmos complexos feitos por poucas mentes aptas a essas atividades. O movimento, apesar de ter tido envolvimento político em alguns países da Europa, não era desse cunho. Além disso, no Brasil, os militares só assumiram o poder na metade da década de 1960, sem ainda influenciar o movimento. As primeiras modalidades de ensino a distância eram baseadas no ensino via correspondência, e, nessa versão inicial, o professor, apesar de distante, era insubstituível. Dentre todos os antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de hoje, talvez, os mais famosos sejam os chamados Papiro de Ahmes (ou Rhind) e Papiro de Moscou. O de Ahmes é um longo papiro egípcio, de cerca de 1.650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes ensina as soluções de 85 problemas de aritmética e geometria. Esse papiro foi encontrado pelo egiptólogo inglês Rhind, no final do século XIX e, hoje, está exposto no Museu Britânico, em Londres. O de Moscou é um pouco mais antigo e contém a fórmula correta para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide. Muito provalvelmente existiram papiros análogos anteriores, mas estes foram os que se salvaram. Em ambos os papiros, aparecem problemas que contêm, timida e disfarçadamente, equações de 1.º grau. A tábua Plimpton tem grande valor arqueológico, e algumas informações sobre ela ainda são enigmas, porém não é um achado egípcio. A tábua algébrica não é nenhum documento histórico real, enquanto as tábuas de logaritmos foram uma série de tabela com logaritmos conhecidos utilizados, principalmente no período das grandes navegações. Ampliando o conhecimento a respeito desse assunto: <http://www.mat.ufmg.br/ead/wp- content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR20 13.pdf> acesso em 13 de fev. 2020 1.2 A ESTRUTURAÇÃO DE UM NÚMERO http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma cor ou mesmo formato. Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem. Vejamos em detalhes: Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, segundo uma determinada relação. Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de classes. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e os representam com seus indicadores. Entre outros: Contagem, correspondência termo a termo, reconhecimento, ordinalidade e cardinalidade. É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração Decimal e constituição do conceito de número natural. A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese coordenada e Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978). A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os constituem. A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os números ordinais. Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os anos iniciais Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação. Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificar grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente. Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997). A Figura abaixo ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar essas quantidades da mesma forma. Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi historicamente construído. Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e irracionais. Também quandose deparar com situações– problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de número. O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito. 1.3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário etc. No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00 0.000.000 = 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton (0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje. Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental. 1.3.1 O homem aprendeu a contar Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência um a um com a história de pastores contando o seu rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha. Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão, através do estabelecimento de uma relação de correspondência um a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada 1.3.2 Aperfeiçoando do cálculo e Contagem À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualquer outro recurso não era tarefa prática e possível, em algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia). Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros. Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis e mais duráveis do que as mais antigas. Mais detalhes podem ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998). 1.3.3 Do ábaco aos algoritmos O surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes do sistema de numeração decimal utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro e não eram utilizados para realização de cálculos. Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes especialistas do cálculo. Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo. Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou o que hoje se conhece como zero. Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos escrever diferentes números com um algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387. Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje descende dele. Mas deixar de lado o ábaco e operar com os algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental 1.4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Sistema de numeração decimal- SND usado atualmente tem características peculiares: • é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores: 123 é diferente de 321; • as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante; • o símbolo zero representa a ausência de quantidade; • é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em 564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100,6 x 10 e 4 x 1; • é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4; usa dez símbolos para representar qualquer quantidade 1.4.1 O valor posicional, ordens e classes No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos. Para compreender melhor o conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7 ordens e 3 classes. 1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e cinquenta e seis unidades). Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe. 1.4.2 Valor relativo e valor absoluto A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700. Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo I) Comutativa: Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma 3 + 9 = 9 + 3 = 12 Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 3 x 4 = 4 x 3 = 12 Genericamente: se a e b representam números naturais, então: a + b = b + a e a x b = b x a Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava II) Associativa: Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se altera (1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10 ou 1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10, Logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6) Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não se altera (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60 ou 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60 Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então: (a + b) + c = a + (b + c) ou (a x b) x c = a x (b x c) III) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração 3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3 ou 3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3 Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale: a x (b + c) = a x b + a x c ou a x (b – c) = a x b – a x c IV) Distributiva da adição em relação à divisão (70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25 Genericamente: a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale: Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava (a + b) : c = a: c + b: c 1.4.3 Algumas estratégias de cálculo Na adição, podemos: Na subtração, podemos: Na multiplicação, podemos: Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava Na divisão, podemos: As habilidades para fazer estimativas e cálculo dão autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da utilização da decomposição para cálculo exato, já no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando operações com racionais na forma decimal.