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Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava 
 
UNIDADE 1 
 
VISÃO E ASPECTOS HISTÓRICOS, REPRESENTAÇÕES 
DE CÁLCULOS 
 
OBJETIVOS 
-Reconhecer os aspectos históricos do ensino da Matemática. 
-Identificar e analisar representações de cálculos. 
-Analisar a função social dos conteúdos de Matemática. 
 
1.1 Aspectos históricos do Ensino da Matemática 
 
A História da Matemática é uma importante ferramenta de pesquisa, 
compreensão de suas origens e construções, suas principais metodologias e 
linguagens que foram desenvolvidas ao longo da história, desde as civilizações 
a antigas até o presente momento. As bases do que do que conhecemos hoje 
como Matemática foi desenvolvida desde o início da coexistência entre 
sociedade. 
 Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava 
 
 
O Reconhecimento dos momentos históricos é um processo importante 
e fundamental na compreensão das origens e nos aspectos das noções 
culturais, e no desenvolvimento humano, ou seja, através da fundamentação 
histórica o estudante pode relacioná-la com no seu dia a dia. Estudos de 
construção dos conhecimentos em matemática levam a um entendimento da 
evolução e/ou as dificuldades epistemológicas dos conceitos, ou seja, seu 
princípio, organização, técnicas e comprovação do estudo, em particular a 
noção que está sendo investido. Ao verificar o processo histórico da 
compreensão matemática percebe-se que ela tem sido elaborada por meio da 
tentativa de compreender o mundo. 
A organização da abordagem matemática a partir do conceito histórico 
permite ao professor a elaboração de concepções pedagógicas do que irá 
trabalhar e desenvolver no processo de aprendizagem 
O aspecto investigativo precisa ser despertado nos estudantes pelo 
professor de forma que ele encontre soluções que garantam a resolução dos 
problemas, promovendo o desenvolvimento do senso crítico, e a 
conscientização de seu papel na sociedade. 
Conforme as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 
no que se refere ao aspecto histórico da matemática é importante destacar o 
ensino que visa a recuperação de sentidos, símbolos que foram apresentados 
 Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava 
 
sem qualquer rigor, traços, fontes que possibilita estabelecer conceitos que ela 
propõe. Nesta visão dois aspectos são importantes de observar e mudar no 
ensino tais como: 
 Primeira visão é 
aquela que muitos acreditam que o 
ensino de matemática tem 
estrutura pronta e acabada 
 
 Segundo é o pesar da 
maioria dos estudantes onde 
acreditam que a matemática é o 
privilégio das cabeças mais bem-dotadas, um dom. 
 
 
 
É importante compreender que quando mais próximo a matemática for da 
realidade dele, a resistência será menor para o estudo dessa disciplina. 
 
 
 
De acordo com Garbi (1997): A matemática é vista e apresentada de 
maneira fria e insípida, sem relação com a realidade humana e histórica que 
somente os “Gênios” que dominam as ciências exatas, consegue compreender 
toda tecnologia que existe e as que vão existir. Uma afirmação como precisa 
vir acompanhada dos motivos de estar estudando aqueles assuntos, como este 
assunto realmente mantém relação com o cotidiano. Enfim levar o aluno a 
raciocinar, pensar matematicamente. 
 Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
Núcleo de Educação a Distância --- Pedagogia Licenciatura--- FFCL de Ituverava 
 
De acordo com D’Ambrósio (1996, p.09), “a invenção matemática é 
acessível a todo indivíduo e a importância dessa invenção depende do 
contexto social, político, econômico e ideológico”. 
De acordo com os PCNs, a história da Matemática é capaz de estimular 
alguns conceitos nos alunos. Entre esses conceitos, é possível destacar 
aqueles que são abordados em conexão com a sua história, que se constituem 
como veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande 
valor formativo. 
Para o Ensino Fundamental, os PCNs trazem o auxílio da história da 
Matemática como ferramenta importante para estimular e fixar conceitos. De 
acordo com os PCNs (1996), "os conceitos abordados em conexão com sua 
história constituem-se em veículos de informação cultural, sociológica e 
antropológica de grande valor formativo. A história da Matemática é, nesse 
sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural”. 
A história da Matemática busca, por meio da imaginação, fazer com que 
o aluno e o seu aprendizado supere não só as paredes da sala de aula, mas o 
faça viajar pelo tempo, colocando-o diante de situações- problema que fizeram 
com que o homem construísse as bases para o que se conhece hoje. 
A história da Matemática não busca a formalização e a demonstração de 
teoremas. Ao contrário, pela história, é possível ver que diversos problemas 
foram lançados e só resolvidos séculos depois, enquanto alguns ainda estão 
sem solução. 
Por fim, os conceitos gerados pela história da Matemática são tão 
aprofundados e precisos quanto a história real os propõe; portanto, a história 
da Matemática não aborda somente problemas elementares. 
O Movimento da Matemática Moderna (MMM) iniciou na década de 1960 
e tinha como objetivo reestruturar a forma de lecionar Matemática. No Brasil, o 
MMM buscou a renovação do currículo de Matemática, com a introdução de 
elementos baseados na Teoria dos Conjuntos, com ênfase na formalização e 
no rigor matemático. 
Essa reformulação não visou ao aumento ou à redução do currículo, 
apesar de ter inserido a Teoria dos Conjuntos. O objetivo curricular principal 
era a formalização da Matemática, buscando mais rigor. 
 Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
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Na década de 1960, ainda não se pensavana utilização de 
computadores. Portanto, a matemática computacional, era restrita a algoritmos 
complexos feitos por poucas mentes aptas a essas atividades. 
O movimento, apesar de ter tido envolvimento político em alguns países 
da Europa, não era desse cunho. Além disso, no Brasil, os militares só 
assumiram o poder na metade da década de 1960, sem ainda influenciar o 
movimento. 
As primeiras modalidades de ensino a distância eram baseadas no 
ensino via correspondência, e, nessa versão inicial, o professor, apesar de 
distante, era insubstituível. 
Dentre todos os antigos documentos matemáticos que chegaram aos 
dias de hoje, talvez, os mais famosos sejam os chamados Papiro de Ahmes 
(ou Rhind) e Papiro de Moscou. O de Ahmes é um longo papiro egípcio, de 
cerca de 1.650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes ensina as soluções de 
85 problemas de aritmética e geometria. Esse papiro foi encontrado pelo 
egiptólogo inglês Rhind, no final do século XIX e, hoje, está exposto no Museu 
Britânico, em Londres. O de Moscou é um pouco mais antigo e contém a 
fórmula correta para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide. Muito 
provalvelmente existiram papiros análogos anteriores, mas estes foram os que 
se salvaram. Em ambos os papiros, aparecem problemas que contêm, timida e 
disfarçadamente, equações de 1.º grau. 
A tábua Plimpton tem grande valor arqueológico, e algumas informações 
sobre ela ainda são enigmas, porém não é um achado egípcio. 
 A tábua algébrica não é nenhum documento histórico real, 
enquanto as tábuas de logaritmos foram uma série de tabela com logaritmos 
conhecidos utilizados, principalmente no período das grandes navegações. 
 
Ampliando o conhecimento a respeito desse assunto: 
<http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-
content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR20
13.pdf> acesso em 13 de fev. 2020 
 
1.2 A ESTRUTURAÇÃO DE UM NÚMERO 
http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf
http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf
http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/historia_do_ensino_da_matematica_CORRIGIDO_13MAR2013.pdf
 Competências Matemáticas para o Ensino Fundamental. 
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A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os 
primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos 
no mundo. Uma das habilidades mais básicas 
que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em 
coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma 
cor ou mesmo formato. 
Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se 
desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, 
entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de 
modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de 
quantificação e operação numéricas se consolidem. Vejamos em detalhes: 
 Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, 
segundo uma determinada relação. 
 
 
 
 Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que 
nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. 
Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de 
classes. 
 
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 Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, 
identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e 
os representam com seus indicadores. 
 
 
Entre outros: Contagem, correspondência termo a termo, reconhecimento, 
ordinalidade e cardinalidade. 
É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, 
mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e 
seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de 
base dez que estruturam o Sistema de Numeração Decimal e constituição do 
conceito de número natural. 
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese coordenada e 
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reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação 
(com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978). 
 
 
A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente 
agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente 
esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os 
constituem. 
 
 A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas 
de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números 
naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As 
investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a 
gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os 
números ordinais. 
Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição 
inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as coisas, com as 
situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas 
cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam 
e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os 
anos iniciais 
 
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Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda 
sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de dimensões 
qualitativas relacionadas ao processo de quantificação. Quando a criança está 
diante de um conjunto de elementos de igual forma, tamanho e cor, como, por 
exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede 
automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. 
Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade 
e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando 
precisamos quantificar grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, 
área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a 
inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente. 
Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de 
número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. 
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Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que 
podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo 
que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997). 
A Figura abaixo ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que 
resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das 
medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é 
necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar 
essas quantidades da mesma forma. 
 
Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 
2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é 
construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número 
aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto 
de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o 
modo como o conceito de número foi historicamente construído. 
Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de 
números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que 
enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e 
irracionais. Também quandose deparar com situações– problema, envolvendo 
adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de 
número. 
 O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos 
diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e 
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no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e 
aproximado, mental e escrito. 
 
1.3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das 
atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na 
terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o 
conhecimento do tempo, das estações do ano 
e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações 
de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário 
etc. 
 No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa 
sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como 
o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00 0.000.000 = 70 
sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton 
(0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um 
sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de 
numeração que usamos. 
 Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de 
Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje. Para 
falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é 
compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, 
passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características 
e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental. 
 
1.3.1 O homem aprendeu a contar 
 
 Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a 
correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como 
pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de 
marcação. 
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 Os livros didáticos sempre 
ilustram a correspondência um a 
um com a história de pastores 
contando o seu rebanho, 
associando uma pedrinha a cada 
ovelha a ser contada. 
A palavra que usamos 
hoje, cálculo, é derivada da 
palavra latina calculus, que significa pedrinha. Mas como surgiram os símbolos 
numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? 
Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de 
numeração está na utilização dos dedos da mão, através do estabelecimento 
de uma relação de correspondência um 
a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada 
 
 
 
 
1.3.2 Aperfeiçoando do cálculo e Contagem 
 
À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, 
ocupar a mão ou qualquer outro recurso não era tarefa prática e possível, em 
algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação 
do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia). 
Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram 
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pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou 
desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se 
frequentemente estes tabuleiros. 
Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de 
madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas 
pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram 
perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os 
antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis 
e mais duráveis do que as mais antigas. 
Mais detalhes podem ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla 
(2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998). 
1.3.3 Do ábaco aos algoritmos 
 
 
O surgimento do ábaco 
constituiu uma etapa 
intermediária antes do sistema 
de numeração decimal utilizado 
hoje; pois, por muitos anos, o 
homem fez seus cálculos 
utilizando o ábaco e os símbolos 
numéricos serviam apenas como 
forma de registro e não eram 
utilizados para 
realização de cálculos. 
Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade 
Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não 
estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de 
especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado 
dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com 
facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho 
delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas 
receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes 
especialistas do cálculo. 
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Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e 
difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os 
sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do 
cálculo. 
Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de 
valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez 
algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também 
um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou 
o que hoje se conhece como zero. 
Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos 
escrever diferentes números com um algarismo, dois algarismos, três 
algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 
2.489; 256.387. 
Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos 
cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração 
adotado hoje descende dele. Mas deixar de lado o ábaco e operar com os 
algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo 
processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos 
eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores 
ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” 
(defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. 
Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era 
ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por 
escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa 
(1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, 
ficando evidente 
o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental 
 
1.4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado 
para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar 
quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O 
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Sistema de numeração decimal- SND usado atualmente tem características 
peculiares: 
• é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume 
diferentes valores: 123 é diferente de 321; 
• as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que 
a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam 
uma centena e assim por diante; 
• o símbolo zero representa a ausência de quantidade; 
• é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em 564, 
recorremos a uma multiplicação 5 x 100,6 x 10 e 4 x 1; 
• é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4; usa dez 
símbolos para representar qualquer quantidade 
 
 
 
1.4.1 O valor posicional, ordens e classes 
 
No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de 
algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 
10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas 
quantidades, utilizando apenas 10 símbolos. Para compreender melhor o 
conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e 
classes. A cada algarismo corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 
1.223.456 possui 7 
ordens e 3 classes. 1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, 
quatrocentos e cinquenta e seis unidades). 
 
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O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a 
organização das ordens e classes, até a 3ª classe. 
 
1.4.2 Valor relativo e valor absoluto 
A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está 
relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos 
algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa 
três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700. 
 
 
Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo 
I) Comutativa: 
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma 
 
3 + 9 = 9 + 3 = 12 
 
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 
 
3 x 4 = 4 x 3 = 12 
Genericamente: se a e b representam números naturais, então: 
 
a + b = b + a e a x b = b x a 
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II) Associativa: 
Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se 
altera 
 
(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10 ou 1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10, 
Logo 
(1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6) 
 
Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não 
se altera 
 
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60 ou 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60 
 
Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então: 
 
(a + b) + c = a + (b + c) ou (a x b) x c = a x (b x c) 
 
III) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à 
subtração 
 
3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3 ou 3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3 
 
Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale: 
 
a x (b + c) = a x b + a x c ou a x (b – c) = a x b – a x c 
 
 
IV) Distributiva da adição em relação à divisão 
 
(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25 
 
Genericamente: a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale: 
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(a + b) : c = a: c + b: c 
 
1.4.3 Algumas estratégias de cálculo 
 
Na adição, podemos: 
 
Na subtração, podemos: 
 
Na multiplicação, podemos: 
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Na divisão, podemos: 
 
As habilidades para fazer estimativas e cálculo dão autoconfiança aos alunos e 
os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem 
decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em 
relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, 
enfatizam a necessidade da utilização da decomposição para cálculo exato, já 
no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando 
operações com racionais na forma decimal.

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