Álgebra Linear - Combinação Linear, Vetores LI e LD, Bases e Coordenadas

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Lista 3 - Álgebra Linear
Combinação linear, vetores LI e LD, bases e coordenadas
3◦ quadrimestre de 2014 - Professores Mauŕıcio Richartz e Vladislav Kupriyanov
Leitura recomendada: seções 4.4 - 4.7 do Boldrini; seções 1.7 - 1.9 do Apostol
1 — Para cada uma das coleções de vetores abaixo, determine se o primeiro vetor é combinação
linear dos vetores restantes:
a) (1, 2, 3), (1, 0, 1), (2, 1, 0) ∈ R3.
b) x3 + 2x2 + 3x+ 1; x3; x2 + 3x; x2 + 1 ∈ P4.
c) (1, 3, 5, 7), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1) ∈ R4
d)
[
4 −4
−6 16
]
,
[
1 2
3 4
]
,
[
−1 2
3 −4
]
,
[
1 −2
−3 4
]
∈ M(2,2).
2 — Para cada uma das coleções de vetores abaixo, determine se os vetores são LI ou LD:
a) (1, 2, 3), (1, 0, 1), (2, 1, 0) ∈ R3.
b) (1, 2), (3, 5), (−1, 3) ∈ R2.
c) (2, 5,−3, 6), (1, 0, 0, 1), (4, 0, 9, 6) ∈ R4.
d) x2 + 1, x+ 1, x2 + x ∈ P3.
e) 2x2 + 3, x2 + 1, 1 ∈ P3.
f) 2x2 + 3, x3 + 1, x3 + x2, 1 ∈ P3.
3 — Mostre que os polinômios 1− t3, (1− t)2, 1− t e 1 geram P3. Eles formam uma base para P3?
4 — Considere S o subespaço de R3 gerado pelos vetores u = (0,−2, 2) e v = (1, 3,−1).
a) Os vetores (2, 2, 2), (−1,−7, 5) e (0, 0, 0) pertencem a S?
b) Encontre uma base de S.
5 — Considere o subespaço de R4 gerado por u1 = (1,−1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 1), u3 = (−2, 2, 1, 1) e
u4 = (1, 0, 0, 0).
a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [u1,u2,u3,u4]?
b) Exiba uma base para [u1,u2,u3,u4].
c) [u1,u2,u3,u4] = R4? Por quê?
6 — Sejam U =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x = 0
}
, V =
{
(x, y, z) ∈ R3 | y− 2z = 0
}
e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]
subespaços de R3. Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços: U, V, W,
U ∩ V, V +W e U+ V +W.
7 — Os conjuntos abaixo são subespaços de M(2, 2). Em cada caso, exiba uma base do subespaço
e diga qual a sua dimensão.
a) O conjunto das matrizes 2x2 reais com traço zero.
b) O conjunto das matrizes 2x2 reais que são diagonais.
c) O conjunto das matrizes 2x2 reais que são triangulares inferiores.
d) O conjunto das matrizes 2x2 reais que tem a forma
[
2a a+2b
0 a−b
]
, com a, b,∈ R.
8 — Encontre as coordenadas dos vetores abaixo em relação às bases dadas.
a) v = (8,−2) ∈ R2, base B = {(1, 0), (−4, 3)}.
b) v = (3, 1) ∈ R2, base B = {(1, 3), (3, 1)}.
c) v = (1, 2, 5) ∈ R3, base B = {(0, 1, 0), (−1, 2, 0), (1, 1, 1)}.
d) v = x− 3 ∈ P2, base B = {1− x, x, x2 + 3}.
e) v = 2x ∈ P2, base B = {2,−x+ 1, x2}.
f) v =
[
0 1
3 5
]
∈ M(2, 2), base B =
{[
−1 0
−1 3
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
0 1
]
,
[
0 2
1 0
]}
.
9 — Sejam B1 = {(1, 0), (0, 1)},B2 = {(1, 1), (2, 3)} e B3 = {(−1, 2), (−2, 1)}.
a) Exiba as matrizes de mudança de base da base B2 para a base B1, da base B1 para a base B3
e da base B3 para a base B2.
b) Quais são as coordenadas do vetor v = (2,−3) em relação às bases B1,B2 e B3?
c) As coordenadas de um vetor w em relação à base B2 são dadas por [w]B2 =
[
0
3
]
. Quais são as
coordenadas de w em relação às bases B1 e B3?
10 — Considere as bases B1 = {6+ 3x, 10+ 2x} e B2 = {2, 3+ 2x} de P1.
a) Encontre a matriz mudança de base de B1 para B2.
b) Encontre as coordenadas de v = 4 + x na base B1 e, fazendo a mudança de base, encontre as
coordenadas na base B2.
11 — Mostre que apenas os vetores de R3 que possuem a forma (a, b, c) com 37a+13b = 9c podem
ser escritos como combinação linear dos vetores (1, 2, 7), (2,−5, 1) e (3,−3, 8).
12 — Resolva:
a) Determine m de modo que o vetor (12, 5) ∈ R2 possa ser escrito de infinitas maneiras como
combinação linear dos vetores (m, 2) e (3, 12).
b) Para que valores de k é imposśıvel escrever o vetor (1, 3) ∈ R2 como combinação linear de (1, 2),
(2, k) e (k, 8)?
c) Para que valores de k é posśıvel escrever o vetor (2, 0, k) ∈ R3 como combinação linear de
(−4, 5, 2) e (3,−4,−1)?
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13 — Resolva:
a) Para que valores de a os polinômios p1 = 1+ ax
2, p2 = x e p3 = 1+ x+ x
2 formam uma base
de P2?
b) Para que valores de k as matrizes
[
1 1
1 1
]
,
[
0 k
0 0
]
,
[
1 0
k+1 1
]
e
[
1 k2
1 k
]
formam uma base de M(2, 2)?
14 — Considere u1 = (1,−1, 2, 0), u2 = (1, 1, 0, 0), u3 = (0,−1, 0, 0) e u4 = (0, 1, 0, 3) em R
4. O
vetor (1, 2, 3, 4) ∈ [u1, u2, u3, u4]? Podemos afirmar que {u1, u2, u3, u4} é uma base de R4?
15 — Seja V = M(2, 2) e seja W o subespaço gerado por
[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
e
[
1 −7
−5 1
]
.
Encontre uma base e a dimensão de W.
16 — Considere os seguintes subespaços de R4: W1 =
{
(x, y, z,w) ∈ R4 | x+ y = 0 e z−w = 0
}
e
W2 =
{
(x, y, z,w) ∈ R4 | x− y− z+w = 0
}
.
a) Encontre uma base para W1 e uma para W2. Qual a dimensão de cada subespaço?
b) Determine W1 ∩W2 e encontre uma base desse subespaço.
c) Determine W1 +W2 e encontre uma base para esse subespaço. W1 +W2 = R4?
d) Mostre que a relação dim(W1+W2) = dim(W1)+dim(W2)−dim(W1∩W2) é satisfeita nesse
caso.
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