Exercícios de Polinômios

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1. (EAM - Aprendiz de marinheiro) Analise a figura a seguir: 
 
Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medidas sejam 
representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que 
representa o perímetro desse terreno é: 
 
a. 2x + 3y + z 
 
b. 3x + 4y + 2z 
 
(2y + z) + x + y + x + x + y + z = 3x + 4y + 2z 
 
c. 3x + 3y + z 
 
d. 3x + 2y + 3z 
 
e. 4x + 3y + 2z 
 
 
 
2. (EAM - Aprendiz de marinheiro) Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão b(a - b) + (b + a) (b 
- a) - a(b - a) + (b - a)2, obtém-se: 
 
a. (a - b)² 
 
b(a - b) + (b + a) (b - a) - a(b - a) + (b - a)2 
ba - b² + b² - a² - ab + a² + b² - 2ba + a² 
ba - b² + b² - a² - ba + a² + b² - 2ba + a² 
 
- b² + b² + b² + ba - ba - 2ba - a² + a² + a² 
- b² + b² + b² + ba - ba - 2ba - a² + a² + a² 
 b² - 2ba + a² 
 b² - 2ba + a² = (b - a)² = (a - b)² 
 
 Observação: (a - b)² = (b - a)² qualquer número elevado a 2 retorna positivo 
 (2 - 4)² = -2² = 4 
 (4 - 2)² = 2² = 4 
 
b. (a + b)² 
 
c. b² - a² 
 
d. a² - b² 
 
e. a² + b² 
 
 
 
 
 
 
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3. Soma e Subtração de Polinômios: 
 
a. 1by + 15by = 3 + 15 by = 18by = 3by 
 2 6 6 6 
 
b. 25x - 42x = 25 - 126 x = -101x 
 3 3 3 
 
c. 6x² - 7x² + 28x² = (6-7+28)x² = 27x² 
 
d. (y² + 4y - 5) + (- 3y² + 12y - 1) = y² - 3y² + 4y + 12y - 5 - 1 = -2y² + 16y - 6 
 
e. (x² + 12x - 9) - (- 8x² + 7x - 1) = x² + 8x² + 12x - 7x - 9 + 1 = 9x² + 5x - 8 
 
f. (2x²-9x+2) + (3x²+7x-1) = 2x² + 3x² - 9x + 7x + 2 - 1 = 5x² - 2x + 1 
 
g. (5x²+5x-8) + (-2x²+3x-2) = 5x² - 2x² + 5x + 3x - 8 - 2 = 3x² + 8x - 10 
 
h. (3x-6y+4) + (4x+2y-2) = 3x + 4x - 6y + 2y + 4 - 2 = 7x - 4y + 2 
 
i. (5x²-7x+2) + (2x²+7x-1) = 5x² + 2x² - 7x + 7x + 2 - 1 = 7x² + 1 
 
j. (4x+3y+1) + (6x-2y-9) = 4x + 6x +3y - 2y + 1 - 9 = 10x + y - 8 
 
k. (2x³+5x²+4x) + (2x³-3x²+x) = 2x³ + 2x³ + 5x² - 3x² + 4x + x = 4x³ + 2x² + 5x 
 
l. (5x²-2ax+a²) + (-3x²+2ax-a²) = 5x² - 3x² - 2ax + 2ax + a² - a² = 2x² 
 
m. (y²+3y-5) + (-3y+7-5y²) = y² - 5y² + 3y - 3y - 5 + 7 = -4y² + 2 
 
n. (x²-5x+3) + (-4x²-2x) = x² - 4x² - 5x - 2x + 3 = -3x² - 7x + 3 
 
o. (9x²-4x-3) + (3x²-10) = 9x² + 3x² - 4x - 3 + 10 = 12x² - 4x + 7 
 
p. (5x²-4x+7) - (3x²+7x-1) = 5x² - 3x² - 4x - 7x + 7 + 1 = 2x² - 11x + 8 
 
q. (6x²-6x+9) - (3x²+8x-2) = 6x² - 3x² - 6x - 8x + 9 + 2 = 3x² - 14x + 11 
 
r. (7x-4y+2) - (2x-2y+5) = 7x - 2x - 4y + 2y + 2 - 5 = 5x - 2y - 3 
 
s. (4x-y-1) - (9x+y+3) = 4x - 9x - y - y - 1 - 3 = -5x - 2y - 4 
 
t. (-2a²-3a+6) - (-4a²-5a+6) = -2a² + 4a² - 3a + 5a + 6 - 6 = 2a² + 2a 
 
u. (4x³-6x²+3x) - (7x³-6x²+8x) = 4x³ - 7x³ - 6x² + 6x² + 3x - 8x = -3x³ - 5x 
 
v. (x²-5x+3) - (4x²+6) = x² - 4x² - 5x + 3 - 6 = -3x² - 5x - 3 
 
w. (x²+2xy+y²) - (y²+x²+2xy) = x² - x² + y² - y² + 2xy - 2xy = 0 
 
x. (7ab+4c-3a) - (5c+4a-10) = 7ab - 3a - 4a + 4c - 5c + 10 = 7ab - 7a - 1c + 10 
 
 
 
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4. Multiplicação de Polinômios: 
 
(a + b).(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d 
(a + b).(c - d) = a.c - a.d + b.c - b.d 
 
a. 3(x+y) = 3x + 3y 
 
b. 7(x-2y) = 7x - 14y 
 
c. 2x(x+y) = 2x² + 2xy 
 
d. 4x (a+b) = 4ax + 4bx 
 
e. 2x(x²-2x+5) = 2x³ - 4x² + 10x 
 
f. (x+5).(x+2) = x² + 2x + 5x + 10 = x² + 7x + 10 
 
g. (3x+2).(2x+1) = 6x² + 3x + 4x + 1 = 6x² + 7x + 1 
 
h. (x+7).(x-4) = x² - 4x + 7x - 28 = x² + 3x - 28 
 
i. (3x+4).(2x-1) = 6x² - 3x + 8x - 4 = 6x² + 5x - 4 
 
j. (x-4y).(x-y) = x² - xy - 4xy - 4y² = x² - 4y² - 5xy 
 
k. (5x-2).(2x-1) = 10x² - 5x - 4x + 2 = 10x² - 9x + 2 
 
l. (3x+1).(3x-1) = 9x² - 3x + 3x - 1 = 9x² - 1 (produto notável - soma pela diferença) 
 
m. (2x+5).(2x-5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25 (produto notável - soma pela diferença) 
 
n. (6x²-4).(6x²+4) = (6x²)² - 4² = 36x4 + 16 (produto notável - soma pela diferença) 
 
o. (3x²-4x-3).(x+1) = 3x³ + 3x² - 4x² - 4x - 3x - 3 = 3x³ - x² - 7x - 3 
 
p. (x²-x-1).(x-3) = x³ - 3x² - x² + 3x - x + 3 = x³ - 4x² + 2x + 3 
 
q. (x-1).(x-2).(x-3) = (x²-2x-x+2)(x-3) = (x²-3x+2)(x-3) = x³-3x²-3x²+9x+2x-6 = x³ - 6x² + 11x - 6 
 
r. (x+2).(x-1).(x+3) = (x²-x+2x-2)(x+3) = (x²+x-2)(x+3) = x³+3x²+x²+3x-2x-6 = x³ + 4x² - x - 6 
 
s. (x³-2).(x³+8) = x6 + 8x³ - 2x³ - 16 = x6 + 6x³ - 16 
 
t. (x²+2).(x²+6) = x4 + 6x² + 2x² + 12 = x4 + 8x² + 12 
 
 
 
5. Divisão de Polinômios 
 
Divisão por Monômios 
a. (12x² - 8x) : (2x) = 6x - 4 
 
b. (3y³ + 6y²) : (3y) = y² + 2y 
 
c. (10x² + 6x) : (-2x) = -5x - 3 
 
d. (4x³ - 9x) : (3x) = 4x² - 3 
 3 
 
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e. (15x³ - 10x²) : (5x²) = 3x - 2 
 
f. (30x² - 20xy) : (-10x) = -3x + 2y 
 
g. (-18x² + 8x) : (2x) = -9x + 4 
 
h. (6x²y - 4xy²) : (-2x) = -3xy + 2y² 
 
i. (x³ + 2x² + x ) : (x) = x² + 2x + 1 
 
j. (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) = -3x² + 3x - 5 
 2 
k. (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) = -x5 - x³ - x 
 
l. (3x²y - 18xy²) : (3xy) = x - 6y 
 
m. (7x³y - 8x²y²) : (-2xy) = -7x² + 4xy 
 2 
n. (4x²y + 2xy - 6xy²) : (-2xy) = -2x - 1 + 3y 
 
o. (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : (4x⁴) = 5x8 - 4x4 - 2x 
 
p. (3xy⁴ + 9x²y - 12xy²) : (3xy) = y³ + 3x - 4y 
 
Método Briot-Ruffini 
q. (x² + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3 
-2 1 5 6 
 1 3 0 
 
r. (x² - 7x + 10 ) : (x - 2) = x - 5 
2 1 -7 10 
 1 -5 0 
 
s. (2x² + 6x + 4 ) : (x + 1) = 2x + 4 
-1 2 6 4 
 2 4 0 
 
t. (x³ - 6x² + 11x - 6) : (x - 3) = x² - 3x + 2 
3 1 -6 11 -6 
 1 -3 2 0 
 
u. (7x³ + 27x² - 3x + 4) : (x + 4) = 7x² - 1x + 1 
-4 7 27 -3 4 
 7 -1 1 0 
 
Método da Chave 
v. (2x³ + 3x² - x - 2) : (2x - 3) = x² + 3x + 4 e resto 10 
 
 2x³ + 3x² - x - 2 2x - 3 
-2x³ + 3x² 
 6x² - x - 2 
 -6x² + 9x 
 8x - 2 
 -8x + 12 
 10 
x² + 3x + 4 
 
Conferindo: (x² + 3x + 4) (2x - 3) + 10 = 2x³ - 3x² + 6x² - 9x + 8x - 12 + 10 = 2x³ + 3x² - x - 2 
 
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w. (x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x - 1) = x - 4 
 
 x³ - 6x² + 7x + 4 x² - 2x - 1 
-x³ + 2x² + x 
 - 4x² + 8x + 4 
 +4x² - 8x - 4 
 0 
x - 4 
 
Corrigindo o polinômio: 
x. (3x³ - 13x² + 37x - 50) : (x² - 2x + 5) = 3x - 7 e resto 8x - 15 
 
 3x³ - 13x² + 37x - 50 x² - 2x + 5 
-3x³ + 6x² - 15x 
 -7x² + 22x - 50 
 +7x² - 14x + 35 
 8x - 15 
3x - 7 
 
Conferindo: (3x - 7) (x² - 2x + 5) + 8x - 15 
= 3x³ - 6x² + 15x - 7x² + 14x - 35 + 8x - 15 
= 3x³ + (-6-7)x² + (15+14+8)x + (-35-15) 
= 3x³ - 13x² + 37x - 50 
 
Sem corrigir o polinômio: 
 x. (3x³ - 13x + 37x - 50) : (x² - 2x + 5) 
(3x³ + 24x - 50) : (x² - 2x + 5) = 3x + 6 e resto 21x - 80 
 
 3x³ + 24x - 50 x² - 2x + 5 
-3x³ + 6x² - 15x 
 6x² + 9x - 50 
 -6x² + 12x - 30 
 21x - 80 
3x + 6 
 
Conferindo: (3x + 6) (x² - 2x + 5) + 21x - 80 
= 3x³ - 6x² + 15x + 6x² - 12x + 30 + 21x - 80 
= 3x³ + (-6+6)x² + (15-12+21)x + (30-80) 
= 3x³ + 24x - 50 
 
 
y. (10x³ - 31x² + 26x - 3) : (5x² - 8x + 1) = 2x - 3 
 
 10x³ - 31x² + 26x - 3 5x² - 8x + 1 
-10x³ + 16x² - 2x 
 -15x² + 24x - 3 
 +15x² - 24x + 3 
 0 
2x - 3 
 
z. (4x⁴ - 14x³ + 15x² - 17x + 5) : (x² - 3x + 1) = 4x² - 2x + 5 
 
 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 x² - 3x + 1 
-4x⁴ + 12x³ - 4x² 
 - 2x³ + 11x² - 17x + 5 
 + 2x³ - 6x² + 2x 
 5x² - 15x + 5 
 -5x² +15x - 50 
4x² - 2x + 5 
 
 
 
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6. Fatoração de Polinômios 
 
a. 33x + 22y - 55z = 3.11.x + 2.11.y - 5.11.z = 11(3x + 2y - 5z) 
 
b. 6nx - 6ny = 6n(x - y) 
 
c. 4x - 8c + mx - 2mc = (x - 2c)(4 + m) 
 
2.2.x - 2.2.2.c + m.x - 2.m.c 
2.2(x - 2c) + m(x - 2c) 
(x - 2c) (2.2 + m) 
(x - 2c) (4 + m) 
 
Produtos notáveis (não é necessário fatorar, uma vez que já se é conhecido o resultado) 
d. 49 - a² = 7² - a² = (7 + a) (7 - a) produto da soma pela diferença 
 
7.7 - a.a 
7.7 - 7.a + 7.a - a.a (cria-se termos “iguais” que se cancelam para permitir a fatoração por fator comum) 
7(7 - a) + a(7 - a) 
(7 + a) (7 - a) 
 
e. 9a2 + 12a + 4 = (3a + 2)² quadrado da soma 
 
3.3.a.a + 2.2.3.a + 2.2 
3.a.3.a + 2.3.a + 2.3.a + 2.2 
3a(3a + 2) + 2(3a + 2) 
(3a + 2) (3a + 2) 
(3a + 2)²