CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
 
CAPITALIZAÇÁO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO ÚNICO
 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.
 
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.
 
A simbologia usada será M para valor futuro ou montante, C para valor presente ou capital inicial, T para o prazo ou período de capitalização e i para a taxa.
 
A dedução da equação para calcular o montante para um único pagamento é pouco mais complexa que a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte problema:
 
Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado á taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados:
c = 1.000,00
T = 5 meses
i = 4% ao mês = 0,04
M = ?
	
mês(t)
	capital no início do mês (C) 
	juros correspondentes ao mês (jt)
	montante no final do mês (Mt)
	1
	1.000,00
	1.000,00 x 0,04 = 40,00
	1.040,00
	2
	1.040,00
	1.040,00 x 0,04 = 41,60
	1.081,60
	3
	1.081,60
	1.081,60 x 0,04 = 43,26
	1.124,86
	4
	1.124,86
	1.124,86 x 0,04 = 45,00
	1.169,86
	5
	1.169,86
	1.169,86 x 0,04 = 46,79
	1.216,65
 
Logo o montante será de R$ 1.216,65
 
Algebricamente podemos deduzir que:
 
M = C =>montante no momento zero (hoje).
 
Temos que Montante é Capital mais juros => M = C + C.i, então:
 
M1 = C + C x i = M (1+i) => montante no final do primeiro período;
M2 = C(1+i) + C(1+i) x i = C(1+i)(1+i) = C(1 + i)2
M3 = C(1 + i)2+ C(1 + i)2 x i = C(1 + i)2 (1+i) = C (1 + i)3
M4 = C(1 + i)3  + C(1 + i)3 x i= C(1 + i)3 (1+i) = C(1 + i)4
.
.
Mn = C(1 + i)n + C(1 + i)nx i = C(1 + i)n(1+i) = C(1 + i)n
 
Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a fórmula final do montante é dada pela equação:
 
M = C(1+i)n
 
No exercício anterior podemos fazer:
M = 1.000 (1+0,04 )5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.
 
Situação Problema:
1.    Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, á taxa de 3% ao mês.
 
Dados:
C = 15.000,00
N = 6 meses
i = 3% ao mês =0,03
M=?
 
Solução:
M = C(1+i)n
M =15000(1+0,03)6 = $ 17.910,78
 
Cálculo do Juro
 
Para calcular somente o juro, temos que J = M – C => J = C(1+i)n – VP resultando:
 
J = C [(1+i)n-1]
 Situação Problema
2.    Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?
 
Dados:
C = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
 
Solução:
J = C [(1+i)n-1]
 
J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99
 
Situação problema
3.    No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, sabendo que a taxa acordada foi de 4% ao mês com capitalização mensal, pergunta-se: Qual o valor emprestado?
 
Dados:
M = 200.000,00
n = 2 anos = 24 meses
¡ = 4% ao mês = 0,04
C = ?
 
Solução:
C = M / (1+i)n
Substituindo os termos temos:
 
C = 200000 / (1+0,04)24 = $ 78.024,29
 
Situação problema
4.    Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $ 1.299,99, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $ 2.151,48 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
 
Dados:
M = 2.151,48
C = 1.299,99
n = 8 meses
i =?
 
Solução:
Isolando a taxa ( i ) na equação C = M / (1+i)n, temos i = (M/C)1/n – 1
 
Substituindo os termos temos:
 
i = (2151,48 /1299,99)1/8 – 1 = 0,065 => 6,5% ao mês
 
 Situação problema
5.    Em que prazo um empréstimo de $ 20.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $ 41.578,56, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?
 
Dados:
M = 41.578,56
C = 20.000,00
¡ = 5% ao mês = 0,05
n =?
 
Solução:
Isolando-se o prazo ( n ) na equação C = M / (1+i)n, chegamos que n = log(M/C) / log(1 + i)
 
Substituindo os termos temos:
 
n = log(41578,56/20000)/log(1+0,05) = 15 meses, pois a taxa está em mês.
 
6.    Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $ 10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 15% ao ano, determinar o seu valor presente.
Dados:
M = 10.000,00
n = 3 meses
¡ = 15% ao ano
C = ?
 
Neste caso o período está em meses e a taxa em ano, na capitalização composta à taxa não pode ser dividida para se adequar ao período, para adequar a taxa ao período temos que fazer equivalência de taxa, ou adequar o período a taxa.