Avaliação II - Individual FLEX - Estruturas Algébricas (MAD17)

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Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17) 
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( peso.:1,50) 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: ​Resposta Certa​ ​Sua Resposta Errada 
 
1.  Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: 
realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base 
(conservar a base e subtrair os expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) 
= 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise as 
opções a seguir que procuram apresentar a solução desta equação, e classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - F - V - F. 
 c)  V - F - F - F. 
 d) F - V - F - F. 
 
2.  Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. 
As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se 
que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do 
conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é: 
 
 a) S = {0, -i, i}. 
 b) S = {-i, i, 1}. 
 c)  S = {0, 1, i}. 
 d) S = {1, -1, i}. 
 
3.  O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio 
P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, 
podemos escrever P(x) como: 
 
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 a) 2·(x² - 4)·(x - 3). 
 b) 2·(x² + 4)·(x + 3). 
 c)  2·(x² + 4)·(x - 3). 
 d) 2·(x² - 4)·(x + 3). 
 
4.  Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto 
entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os 
coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, 
considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir quanto à soma e ao produto 
das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
 
I) -2 e 3. 
II) 2 e -3. 
III) -2 e -3. 
IV) 2 e 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c)  Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 
5.  No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os 
grupos abelianos são assim chamados em honra ao matemático noruego Niels Henrik Abel que 
trouxe grandes contribuições à Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir 
sobre a caracterização de um grupo (G, *) como abeliano: 
 
I- Se, além das propriedades que o caracterizam como grupo, é verificada em (G, *) a 
propriedade comutativa. 
II- Se (G, *) apresentar a propriedade de fechamento. 
III- Se (G, *) possuir ao menos um subgrupo no qual se verifique a comutatividade. 
IV- Se a propriedade associativa for verificada para todas as possíveis combinações dos 
elementos de (G, *). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença IV está correta. 
 b) Somente a sentença III está correta. 
 c)  Somente a sentença I está correta. 
 d) Somente a sentença II está correta. 
 
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6.  Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em 
equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na 
equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é: 
 
 a) S = {0, 1, 3}. 
 b) S = {-3, 0, 1}. 
 c)  S = {-3, -1, 0}. 
 d) S = {-1, 0, 1}. 
 
7.  Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um 
número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos 
envolvendo a variável x. Por exemplo, tomando a equação algébrica 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, quanto 
às características de suas raízes, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Inteiras e positivas. 
( ) Inteiras e de sinais contrários. 
( ) Irracionais e positivas. 
( ) Irracionais e de sinais contrários. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - V - F. 
 b) F - F - F - V. 
 c)  F - F - V - F. 
 d) F - V - F - F. 
 
8.  A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante 
depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do 
dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) = 
-3x³ + 2x + 1 por Q(x) = x - 5, analise as sentenças a seguir: 
 
I- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 225. 
II- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -364. 
III- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 214. 
IV- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -312. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) Somente a sentença I está correta. 
 c)  Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença IV está correta. 
 
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9.  Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3.
Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de 
polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos 
quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções 
a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c)  Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 
10. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita em 
função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4 e o 
coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeirase F para as 
falsas: 
 
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 
( ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0 
( ) x³ - 5x² + 2 = 0 
( ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - V - F - V. 
 c)  V - F - F - F. 
 d) F - F - V - V. 
 
Prova finalizada com ​10 acertos​ e ​0 questões erradas​. 
 
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