EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - LIMITES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS – UFLA 
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA – DAE 
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA 
 
 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
Questão 01 – Determine o valor dos limites: 
 
a) 
2
 2
lim( 2 3)
x
x x

  
b) 
2
1
1
lim
1x
x
x


 
c) 
3
1
1
lim
1x
x
x


 
d) 
3
2
8
lim
2x
x
x


 
e) 2 1
1
lim
3 4x
x
x x 

 
 
f) 
2
 3
6
lim
3x
x x
x 
 

 
g) 
1
1
lim
1x
x
x


 
h) 
0
1 1
lim
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução da questão 01 
 
a) 
2 2
 2 2 2 2
2
 2 2 2
2
lim( 2 3) lim lim(2 ) lim( 3)
 lim 2 lim lim( 3)
 (2) 2(2) ( 3) 4 4 3 5.
x x x x
x x x
x x x x
x x
   
  
     
   
       
 
b) 
2
1 1 1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim( 1) lim lim(1) 1 1 2.
1 ( 1)x x x x x
x x x
x x
x x    
  
       
 
 
Obs.: O fato de f(x) não ser definida no ponto x = 1 é irrelevante para a 
determinação do limite. O limite depende somente dos valores de f(x) nas proximidades 
de x = 1, não do valor da função em x = 1. 
 
c) Antes de calcularmos o limite seguinte, devemos proceder a simplificação, 
como no caso anterior, porém neste temos x
3
. 
3 2
2 2
1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim( 1) (1) 1 1 3.
1 1x x x
x x x x
x x
x x  
   
       
 
 
Obs. A técnica usada para calcular o limita da letra “c” é conhecida como 
técnica do cancelamento. Esta técnica consiste em escrever a função racional como a 
razão de termos semelhantes para a posterior simplificação. 
 
d) 
3 2
2
2 2 2
8 ( 2)( 2 4)
lim lim lim( 2 4) 4 4 4 12.
2 2x x x
x x x x
x x
x x  
   
       
 
 
 
e) 2 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim .
3 4 ( 1)( 4) 4 5x x x
x x
x x x x x    
 
   
    
 
 
f) 
2
 3 3 3
6 ( 3)( 2)
lim lim lim ( 2) 5.
3 3x x x
x x x x
x
x x    
   
    
 
 
g) 
1 1 1
1
1 1 1 ( 1)
lim lim lim
1 1 1 ( 1)( 1)
1 1 1
 lim .
2( 1) ( 1 1)
x x x
x
x x x x
x x x x x
x
  

        
                  
  
 
 
 
h) 
0 0
0 0
0
1 1 1 1 1 1
lim lim
1 1
( 1) 1
 lim lim
( 1 1) ( 1 1)
1 1 1
 lim .
2( 1 1) ( 0 1 1)
x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x x x x
x
 
 

        
           
  
 
    
  
   
 
Podemos racionalizar o resultado, ficando com a resposta: 
1 1 2 1 2 1
2 1.
2 12 1 2 1 2 1
   
           
 
 
Questão 02 – Determine o limite de f(x), quando x tende a 1,sendo f(x) dada da 
seguinte forma: 
2
4 , 1
( )
4 1
x x
f x
x x x
 
 
 
 
 
Resolução: Lembre-se de que estamos interessados no valor de f nas 
vizinhanças do ponto x = 1 e não no ponto x = 1. Logo, para x < 1, f(x) é dada por 4 – x, 
e podemos usar o método da substituição (isto é, substituir x por 1, neste caso) 
 1 1
lim ( ) lim (4 ) 4 1 3.
x x
f x x
  
     
Para x > 1, f(x) é dada por 4x – x
2
, e podemos usar o método da substituição 
direta para obter 
2 2
 1 1
lim ( ) lim (4 ) 4(1) 1 3.
x x
f x x x
  
     
Como os limites unilaterais existem e são iguais a 3, temos que 
 
 
1
1 1
lim ( ) lim ( ) lim ( ) 3.
xx x
f x f x f x

  
   
 
Questão 03 – Um serviço de entrega rápida cobra R$ 8,00 pelo primeiro quilo e 
R$ 2,00 por cada quilo adicional. Chamando de x o peso de uma encomenda e de f(x) o 
custo da entrega, podemos escrever: 
8, 0 < 1
( ) 10, 1 < 2
12, 2 < 3
x
f x x
x


 
 
 
Mostre que o limite de f(x), quando x tende a 2, não existe. 
 
Resolução: O limite de f(x), quando x tende a 2 pela esquerda é 
 
 2
lim ( ) 10,
x
f x
 
 
enquanto o limite de f(x) quando x tende a 2 pela direta é 
 
 2
lim ( ) 12.
x
f x
 
 
Como os limites unilaterais são diferentes, o limite de f(x), quando x tende a 2, 
não existe. 
 2 2
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
  
 
 
 
Questão 04 – Calcule o
3
3 
3 5
lim .
2 3x
x x
x 
  
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Para calcularmos o limite acima, devemos simplificar a expressão 
por x
3
, visto que é o que possui maior grau. Desta forma o limite fica: 
3
3 3 3 3 2 3
33 
33 3
2 3
3
3 5 3 5
1
3 5
lim lim lim
32 32 3
2
3 5
1
1 (0) (0) 1( ) ( )
 .
3 2 (0) 2
2
( )
x x x
x x
x x x x x x x
xx
xx x
     
   
        
     
        
  
 
      
    
     
 
 
Questão 05 – Seja f(x) uma função definida para todo número real por 
2 4 , se 2
( )
4 , se 2
x x x
f x
k x
   
 
  
 
Determinar o valor da constante k para que a função f(x) seja contínua em x = -2. 
 
Resolução: Para que a função f(x) seja contínua no ponto x = - 2, os limites 
unilaterais devem ser iguais, isto é 
 
2
 
 
2 2
2
2
lim ( ) lim ( )
lim ( ) ( 2) 4( 2) 4 8 12
lim ( ) 4 12
12 4 8.
x x
x
x
f x f x
f x
f x k
k k
   
 
 
 



      
  
     
 
 
Questão 06 – Calcule a e b, sabendo que 
2
lim( ) 0
x
ax b

  e 
1
lim( ) 1
x
bx a

  . 
Resolução: Calculando os limites encontramos um sistema linear simples. 
2
1
lim( ) 0 (2) 2 0
lim( ) 1 (1) 1
x
x
ax b a b a b
bx a b a a b


      
      
 
2 0
1 2.
1
a b
a b
a b
 
   
 
 
 
Questão 07 – Considere a função f(x) abaixo, definida para todos os reais com 
exceção de x =3. Calcule o valor do limite. 
2
2
( ) .
( 3)
f x
x


 
Resolução: Para valores de x se aproximando de 3 pela direita, x > 3 , temos que 
os valores de f(x), dados no quadro abaixo: 
 
, 3x x  
2
2
( )
( 3)
f x
x


 
4 3,5 3,25 3,1 3,01 3, 001 ... 
 
2 
 
8 
 
32 
 
128 
 
20.000 
 
2.000.000 
 
... 
 
Observamos que, fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3, com x > 3, f(x) 
cresce ilimitadamente, isto é, pode-se tornar f(x) tão grande quando você desejar, desde 
que se tome x bem próximo de 3. Logo, 
2
3 3
2
lim ( ) lim .
( 3)x x
f x
x  
  

 
Fazendo, agora x cada vez mais próximo de 3 pela esquerda, tem-se o seguinte 
quadro: 
, 3x x  
2
2
( )
( 3)
f x
x


 
2 2,5 2,75 2,8 2,9 2, 999 ... 
 
2 
 
8 
 
32 
 
50 
 
2.000 
 
2.000.000 
 
... 
 
Observamos que fazendo x aproximar-se mais e mais de 3, com x < 3, f(x) cresce 
ilimitadamente, isto é, pode-se tornar f(x) tão grande quanto você desejar, desde que se 
torne x bem próximo de 3. Portanto se tem: 
2
3 3
2
lim ( ) lim .
( 3)x x
f x
x  
  

 
Logo podemos dizer que o limite para a função f(x), enunciada acima, quando x 
tende a 3 é +∞. 
3 3
lim ( ) lim ( ) .
x x
f x f x
  
   
Questão 08 – Calcule o limite: 
0
2 2
lim .
x
x
x
 
 
 
Resolução: Para calcularmos o limite, é preciso proceder à multiplicação da 
expressão pelo seu conjugado, tanto no numerador quanto no denominador, para que a 
expressão seja possível de ser simplificada. 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 ( 2 2)
1
.
( 2 2) 2 2
x x x x
x x x x x
x
x x x
         
          
 
   
 
0 0
2 2 1 1
lim lim .
2 2 2 2x x
x
x x 
 
 
 
 
 
É possível fazer a racionalização da fração e ficarmos com: 
1 1 2 2
.
42 2 2 2 2
  