Exercício 4 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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1. 
 
 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) que passa pelo ponto 
(5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano perpendicular a este mesmo vetor, mas que passa 
pelo ponto (0, 0, 0). 
 
 
2x+4y+3z=0 
 
 
x+4y+3z=0 
 
−x + 4y + 3z = 0 
 
 
-x-4y-3z=0 
 
 
-2x-4y-3z=0 
 
 
 
Explicação: 
Uma equação geral deste plano terá forma: 
−x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) pertence a este plano: 
−5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. 
Portanto, uma equação geral para este plano será: 
−x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Uma equação geral para o plano perpendicular a N passando pela origem será: 
 −x + 4y + 3z = 0. 
 
 
 
 
2. 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é 
paralelo ao plano ππ: 2x + 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
 
x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
3. 
 
 
Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -
2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 
 
 
-3x - 2y + z - 3 = 0 
 
 
2x + 2y + z - 2 = 0 
 
 
2x + 3y + z - 6 = 0 
 
3x + 2y + z - 6 = 0 
 
 
3x + 3y - z + 6 = 0 
 
 
 
Explicação: 
O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a 
fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, 
temos: 
3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 
3x + 2y + z - 6 = 0 . 
 
 
 
 
4. 
 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é 
ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
x + y + z = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a distância entre as retas: 
r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. 
 
 
√ 40 3403 
 
 
403403 
 
 
√ 423 423 
 
 
9 
 
√ 4 23423 
 
 
 
Explicação: 
Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e 
S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: 
d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √ 42 3423 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e 
C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é 
corretamente representado por: 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
7. 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as 
equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção 
de v. 
 
r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t 
 
 
r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t 
 
 
r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t 
 
 
r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t 
 
 
r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t 
 
 
 
Explicação: 
Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: 
r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta.