Equações de Planos e Retas

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1. 
 
 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) que 
passa pelo ponto (5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano perpendicular a 
este mesmo vetor, mas que passa pelo ponto (0, 0, 0). 
 
 
−x + 4y + 3z = 0 
 
 
x+4y+3z=0 
 
 
2x+4y+3z=0 
 
 
-x-4y-3z=0 
 
 
-2x-4y-3z=0 
 
 
 
Explicação: 
Uma equação geral deste plano terá forma: 
−x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) pertence a este plano: 
−5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. 
Portanto, uma equação geral para este plano será: 
−x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Uma equação geral para o plano perpendicular a N passando pela origem será: 
 −x + 4y + 3z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
4. 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
6. 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 3 
 
a = 3 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 3/2 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
8. 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
1. 
 
 
As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a 
será: 
 
 
a = 1 
 
 
a = 0 
 
 
a = -1 
 
a = 4 
 
 
a = -4 
 
 
 
Explicação: 
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero: 
ax + by + c = 0 
a'x + b'y + c' = 0 
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
5. 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 3 
 
 
a = 1/2 
 
a = 3 
 
 
a = 3/2 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
 
8. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
1. 
 
 
Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) 
que passa pelo ponto (5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano 
perpendicular a este mesmo vetor, mas que passapelo ponto (0, 0, 0). 
 
 
−x + 4y + 3z = 0 
 
 
x+4y+3z=0 
 
 
2x+4y+3z=0 
 
 
-2x-4y-3z=0 
 
 
-x-4y-3z=0 
 
 
 
Explicação: 
Uma equação geral deste plano terá forma: 
−x + 4y + 3z + d = 0. 
O coeficiente d será determinado pelo fato de que o ponto (5, −2, 7) pertence a este plano: 
−5 + 4(−2) + 3 · 7 + d = 0 =⇒ d = −8. 
Portanto, uma equação geral para este plano será: 
−x + 4y + 3z − 8 = 0. 
Uma equação geral para o plano perpendicular a N passando pela origem será: 
 −x + 4y + 3z = 0. 
 
 
 
 
 
2. 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
x + y + z = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
4. 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 0 
 
 
a = 3/2 
 
 
a = - 3 
 
a = 3 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
1. 
 
As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a 
será: 
 
 
a = 0 
 
 
a = -4 
 
 
a = -1 
 
 
a = 1 
 
a = 4 
 
 
 
Explicação: 
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero: 
ax + by + c = 0 
a'x + b'y + c' = 0 
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O 
ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por: 
 
 
P(-6,0,-3) 
 
P(3,-6,-3) 
 
 
P(-6,-3,3) 
 
 
P(0,0,0) 
 
 
P(-3,-6,-3) 
 
 
 
Explicação: 
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2) 
Para t = -3 
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x 
+ 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 
2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um 
sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
 
v = (-1,0,1) 
 
 
v = (-3,2,-1) 
 
 
v = (0,0,0) 
 
v = (1,1,1) 
 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a: 
 
 
a = 3 
 
 
a = 1/2 
 
 
a = 3/2 
 
 
a = - 3 
 
 
a = 0 
 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-
1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = 
(-2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 
- 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 
 
2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 
 
x + y + z = 0 
 
2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0