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2 O que você vai aprender nessas apostilas? Nessa apostila você vai aprender sobre as matérias mais importantes e que mais caem nos vestibulinhos de todo o país, e mais especificamente nas provas da ETEC, Colégio Embraer, Senai, Colégios da UNESP, Unicamp e USP, Colégios Militares e provas de bolsa. Resumi e organizei os principais assuntos que você precisa saber para garantir uma vaga nos melhores colégios e cursos técnicos do Brasil. Está fácil, está resumido e está divertido para você aprender tudo e mandar bem nas provas para o Ensino Médio. Essas apostilas que você tem em mãos vão te ajudar a se preparar para todas as provas! Por isso conto com seu esforço e entusiasmo para estudar bastante. Tudo o que você precisa está aqui, agora é com você. #BonsEstudos 3 Quem sou eu? Meu nome é Diego William, e minha missão esse ano é fazer você passar em um vestibulinho de Ensino Médio! Sou Engenheiro de Materiais de formação e professor de coração... Sou de São José dos Campos/SP, vim de escola pública, nunca tive dinheiro pra pagar um colégio particular, por isso sempre lutei para passar em um vestibulinho e mudar minha vida. E deu certo! Passei em 6 vestibulinhos e em 8 vestibulares! Desde 2013 trabalho como professor e mentor para alunos que sonham em passar em um vestibulinho... Mas em 2018 resolvi fazer diferente: fundei o Guia do Vestibulinho, que já é o maior portal de vestibulinhos do Brasil e ajuda alunos a se prepararem para as provas de bolsa e vestibulinhos das maiores e melhores escolas do país. https://guiadovestibulinho.com.br/ 4 https://guiadovestibulinho.com.br/ 5 SUMÁRIO SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES .............................................................................................................. 7 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................................................ 9 REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................................. 12 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................................. 16 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ...................................................................................................... 20 PORCENTAGEM ................................................................................................................................. 24 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................. 27 SISTEMAS DE EQUAÇÕES .................................................................................................................. 31 FRAÇÕES ALGÉBRICAS ...................................................................................................................... 34 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ...................................................................................................... 38 SISTEMAS DE MEDIDAS .................................................................................................................... 42 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................................... 48 RETAS ................................................................................................................................................ 50 NOÇÕES DE ÂNGULOS ...................................................................................................................... 53 TRIÂNGULOS ..................................................................................................................................... 56 QUADRILÁTEROS............................................................................................................................... 58 ÁREAS E PERÍMETROS ....................................................................................................................... 64 POLIEDROS ........................................................................................................................................ 69 PRISMAS ............................................................................................................................................ 73 CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS ........................................................................................................ 76 ESFERAS ............................................................................................................................................ 79 VOLUME DE SÓLIDOS ....................................................................................................................... 81 TEOREMA DE PITÁGORAS ................................................................................................................. 85 TEOREMA DE TALES .......................................................................................................................... 88 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ........................................................................................................ 92 PLANO CARTESIANO ......................................................................................................................... 98 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ...................................................................................................... 101 RADICIAÇÃO .................................................................................................................................... 106 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES ...................................................................................................... 110 JUROS COMPOSTOS ........................................................................................................................ 112 INEQUAÇÕES ................................................................................................................................... 116 6 EQUAÇÃO BIQUADRADA ................................................................................................................ 120 POLINÔMIOS ................................................................................................................................... 124 NOÇÕES DE FUNÇÕES ..................................................................................................................... 130 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA ................................................................................................................ 135 7 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração, quando tem seus termos reduzidos, torna-se uma fração equivalente. A fração 8 16 possui as seguintes frações equivalentes: 𝟖 𝟏𝟔 = 𝟒 𝟖 = 𝟐 𝟒 = 𝟏 𝟐 Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o mesmo valor proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração 1 2 é a fração irredutível de 8 16 . Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes.Veja: 𝟐𝟒 𝟑𝟔 = 𝟐𝟒: 𝟐 𝟑𝟔: 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟏𝟖 = 𝟏𝟐: 𝟐 𝟏𝟖: 𝟐 = 𝟔 𝟗 = 𝟔: 𝟑 𝟗: 𝟑 = 𝟐 𝟑 Você pode também simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Observe: 𝟐𝟒 𝟑𝟔 = 𝟐 𝟑 8 O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12, então, simplificamos da seguinte maneira: 𝟐𝟒: 𝟏𝟐 𝟑𝟔: 𝟏𝟐 = 𝟐 𝟑 Observe mais alguns exemplos de simplificação: O MDC entre 32 e 40 é 8. 𝟑𝟐 𝟒𝟎 = 𝟑𝟐: 𝟖 𝟒𝟎: 𝟖 = 𝟒 𝟓 O MDC entre 63 e 81 é 9. 𝟔𝟑 𝟖𝟏 = 𝟔𝟑: 𝟗 𝟖𝟏: 𝟗 = 𝟕 𝟗 O MDC entre 90 e 120 é 30. 𝟗𝟎 𝟏𝟐𝟎 = 𝟗𝟎: 𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎: 𝟑𝟎 = 𝟑 𝟒 O MDC entre 36 e 66 é 6. 𝟑𝟔 𝟔𝟔 = 𝟑𝟔: 𝟔 𝟔𝟔: 𝟔 = 𝟔 𝟏𝟏 Portanto, para que uma fração torne-se irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. 9 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Números Naturais Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar objetos, números. Por exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por diante. Com os números naturais e possível realizar diversas operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja: 24 + 50 = 74 Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A ordem dos números na adição não influencia no resultado. 89 – 70 = 19 Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que dê negativo também, entretanto, na maioria das vezes é preciso verificar se deve“emprestar”do número esquerdo para realizar a operação corretamente. A ordem dos números influencia o resultado em uma expressão maior. 5 x 100 = 500 A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, dobrando, triplicando o valor. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 + 100. A ordem não influencia o resultado. O número um é um elemento neutro, não alterando o resultado. 𝟑𝟎 𝟐 = 𝟐 10 Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado leva ao primeiro número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto”e há vírgulas, com números decimais também. Números fracionários Os números fracionários são aqueles representados por frações. No momento de realizar as operações, é preciso rever algumas dicas práticas. Adição e Subtração Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os numeradores. 𝟐 𝟓 + 𝟏𝟎 𝟓 = 𝟏𝟐 𝟓 O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver o denominador diferente, é necessário descobrir o denominador comum. Veja: 𝟐 𝟓 + 𝟓 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟐 Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e veja com quantos números é possível chegar a um denominador comum. 2, 5, 10 | 2 1, 5, 5 | 5 1, 1, 1 | 1 2 x 5 = 10 é o denominador comum. 11 Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 𝟏𝟎 𝟓 = 𝟐 ; 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝟏 ; 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟓 Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e encontrar o resultado (vale também para subtração): 𝟐 ∗ 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏 ∗ 𝟓 𝟏𝟎 + 𝟓 ∗ 𝟗 𝟏𝟎 = 𝟓𝟒 𝟏𝟎 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐: 𝟐𝟕 𝟓 Multiplicação Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador com denominador e numerador com numerador. Exemplo: 𝟓 𝟖 ∗ 𝟗 𝟏𝟓 = 𝟒𝟓 𝟏𝟐𝟎 Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais simples, se ambos numerador e denominador conseguirem ser divididos pelo mesmo número. 𝟒𝟓: 𝟏𝟓 𝟏𝟐𝟎: 𝟏𝟓 = 𝟑 𝟖 Divisão Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. Por exemplo: 𝟖 𝟗 : 𝟑 𝟐𝟒 = 𝟖 ∗ 𝟐𝟒 𝟗 ∗ 𝟑 = 𝟏𝟗𝟐 𝟐𝟕 Simplificando: 𝟏𝟗𝟐: 𝟑 𝟐𝟕: 𝟑 = 𝟔𝟒 𝟗 12 REGRA DE TRÊS SIMPLES cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Grandezas diretamente proporcionais Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. Veja o exemplo: Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 13 Veja o exemplo: Razão: 𝟏𝟐 𝟔 = 𝟐 𝟏 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏 𝟐 Note que 𝟏𝟐 𝟔 e 𝟔𝟎 𝟏𝟐𝟎 possuem razões inversas, isto é, 𝟐 𝟏 é o inverso de 𝟏 𝟐 . Regra de três simples Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. 14 Acompanhe: Exemplo: Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores. Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número de pães são inversa ou diretamente proporcionais. - Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais; - Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução; - As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. 15 16 CONJUNTOS NUMÉRICOS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico. Veja quais são eles: Conjunto dos Números Naturais O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas os números inteiros e positivos. Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} Conjunto dos Números Inteiros O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ele é formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos e o zero. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os seguintes elementos: Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir quantidades. Portanto, esse é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado porQ, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos: Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N} 17 A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais. Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional. Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 1 – Todos os números inteiros; 2 – Decimais finitos; 3 – Dízimas periódicas. Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Observe: 1,1 2,32 4,45 Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Observe: 2,333333... 4,45454545... 6,758975897589... Conjunto dos Números Irracionais A definição de números irracionais depende da definição de números racionais. Portanto, pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais. Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais. Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. São eles: 18 1 – Decimais infinitos 2 – Raízes não exatas Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas. Por exemplo: 0,12345678910111213... π √𝟐 Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados anteriormente. Sua definição é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira: 𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰 = {𝑸 + 𝑰} I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados anteriormente são também números reais. Relação entre conjuntos numéricos Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas relações foram evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir: 1. O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros; 2. O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais; 3. O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 4. O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 5. O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum; 6. O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos. Indiretamente, é possível estabelecer outras relações. É possível dizer, por exemplo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números complexos. 19 Também é possível fazer a leitura contrária das relações citadas anteriormente e das relações indiretas que podem ser construídas. Para tanto, basta dizer, por exemplo, que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte maneira: Representação geográfica dos diversos conjuntos numéricos https://guiadovestibulinho.com.br/ 20 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações. Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima. Expressões algébricas Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos. Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo: 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 𝒙 + 𝒚 𝟒 + 𝟕𝒂 Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados. Igualdade Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação. Observe alguns exemplos: 21 𝒙 + 𝟐 = 𝟕 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟒𝒂𝒃 = 𝟕 𝟏 𝒙 = 𝟑 A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação. Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x? Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. Observe que é possível pensar em um resultado“de cabeça”ou pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio: 𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟖 𝒙 = 𝟖 + 𝟏𝟒 𝒙 = 𝟐𝟐 Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado. Grau de uma equação O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. 22 O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto entre duas incógnitas de expoente 1. O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente. Solução de equações Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão listadas a seguir: 1. Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem; 2. Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o sinal deles; 3. Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número que as acompanha. 4. Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação dividindo os seus componentes. 5. Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado multiplicando. Exemplo 1) Qual o valor de x na equação: 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio: 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙= −𝟖 − 𝟒 23 Agora, realize a terceira regra para obter: 𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 Por fim, realize a regra 4: 𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 𝒙 = −𝟏𝟐 𝟐 𝒙 = −𝟔 Portanto, o valor de x é –6. 24 PORCENTAGEM cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística, possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais. Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, que serão demonstrados por meio das três formas possíveis: 25 A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir: Exemplos de aplicação da Porcentagem 1) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual é o preço da mercadoria na compra à vista? Solução: Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente: 𝟏𝟐% = 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟐 Razão centesimal 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 Número decimal 𝟎, 𝟏𝟐 ∗ 𝟗𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto, o preço é de R$ 792,00. 2) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine 26 o valor do depósito efetuado pelo empregador sabendo que o salário bruto do funcionário era R$ 1.200,00. Solução: 𝟖% = 𝟖 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟖 Razão centesimal 𝟖 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟗𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 Número decimal 𝟎, 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 O depósito efetuado foi de R$ 96,00. 27 JUROS SIMPLES cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como ele funciona. No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte: J=C*i*t Onde, J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) M = C + J M = montante final C = capital J = juros 28 Exemplo 1 Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses J = C * i * t J = 1200 * 0,02 * 10 J = 240 M = C + j M = 1200 + 240 O valor do montante é de R$1440,00. Exemplo 2 Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2688,00. J = C * i * t 2688 = C * 0,06 * 14 2688 = C * 0,84 C = 2688 / 0,84 C = 3200 29 O valor do capital é de R$ 3200,00. Exemplo 3 Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$3000,00 de juros em 45 dias? J = 3000 i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 t = 45 dias = 45/30 = 1,5 J = C * i * t 3000 = C * 0,015 * 1,5 3000 = C * 0,0225 C = 3000 / 0,0225 C = 133333,33 O capital é de R$133333,33. Exemplo 4 Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? J = C * i * t 90 = C * 0,02 * 3 90 = C * 0,06 C = 90 / 0,06 C = 1500 30 O capital corresponde a R$ 1500,00. 31 SISTEMAS DE EQUAÇÕES cai nos vestibulinhos: Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: { 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐 A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema pode ser feita através de dois métodos resolutivos: adição e substituição. Método da Adição Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no intuito de obter resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: { 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏 { 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔 Identificando o x 𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔 𝟐𝒙 = 𝟔 𝒙 = 𝟔 𝟐 𝒙 = 𝟑 32 Substituindo o x e identificando o y 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 − 𝟑 𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 𝒚 = 𝟏𝟒 𝟐 𝒚 = 𝟕 Método da Substituição Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e substituir o valor isolado na outra equação. Observe: { 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒 𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 Isolando o X 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒 𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 Substituindo na 2 equação 𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 𝟐(𝟑𝟒 − 𝟑𝒚) − 𝒚 = −𝟐 𝟔𝟖 − 𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 −𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 − 𝟔𝟖 −𝟕𝒚 = −𝟕𝟎 (−𝟕𝒚 = −𝟕𝟎) ∗ (−𝟏) 𝟕𝒚 = 𝟕𝟎 𝒚 = 𝟕𝟎 𝟕 𝒚 = 𝟏𝟎 33 Substituindo o y e identificando o x 𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑 ∗ 𝟏𝟎 𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝟎 𝒙 = 𝟒 Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a configuração do sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da adição ou o método da substituição. A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um sistema de duas equações possui duas retas representadas no plano e a intersecção dessas retas é a solução geométrica do sistema. Concluímos que a solução de um sistema pode ser apresentada de duas formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica (graficamente). 34 FRAÇÕES ALGÉBRICAS cai nos vestibulinhos: Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. EmMatemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e operações numéricas que possuem pelo menos um número desconhecido, chamado de incógnita. As expressões algébricas que possuem uma incógnita no denominador são chamadas de frações algébricas. Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de fração, possua uma letra no denominador é uma fração algébrica. Como ela é formada por números (alguns conhecidos, outros não), valem as propriedades das operações de números reais para elas. Multiplicação de fração algébrica A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico e parta para a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das propriedades de potência. 𝟒𝒙𝒚 𝟖𝒌 ∗ 𝟖𝒙𝒛 𝟐𝒙𝒌 = 𝟑𝟐𝒙𝟐𝒚𝒛 𝟏𝟔𝒌𝟐𝒙 Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um fator, não devem ser multiplicadas entre si, mas apenas repetidas. Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e incógnitas nas frações acima, portanto: 4xy = 4*x*y. 35 Divisão de fração algébrica Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda. Observe: 𝟒𝒙𝒚 𝟖𝒌 : 𝟖𝒙𝒛 𝟐𝒙𝒌 = 𝟒𝒙𝒚 𝟖𝒌 ∗ 𝟐𝒙𝒌 𝟖𝒙𝒛 = 𝟖𝒙𝟐𝒚𝒌 𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛 Adição e subtração de fração algébrica De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as operações de soma e subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em conta as regras de sinais para números inteiros, que também valem para os números reais. A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo modo que a adição de frações numéricas. 1º caso: Quando os denominadores são iguais Se os denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma ou subtração) apenas com os numeradores e repita o denominador no resultado: 𝟕𝒙𝒚 𝒙 − 𝟒𝒙𝒚 𝒙 = 𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙𝒚 𝒙 = 𝟑𝒙𝒚 𝒙 2º caso: Quando os denominadores são diferentes Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de frações com denominadores diferentes: 1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações algébricas, eles podem ser monômios ou polinômios. Clique aqui para aprender a calcular o MMC dessas expressões; 2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como denominador das frações e encontrar os respectivos numeradores da seguinte maneira: 36 - Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o resultado por seu numerador; - Repetir o último procedimento para todas as frações. Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores diferentes a seguir 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 𝟐𝒚𝟐 O MMC entre 3y e 2y é 6y², logo: ⋯ 𝟔𝒚𝟐 − ⋯ 𝟔𝒚𝟐 Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da primeira fração e multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso dará o numerador para a primeira lacuna. Para a segunda, repita o procedimento com a segunda fração. 𝟒𝒙²𝒚 𝟔𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 𝟔𝒚𝟐 Simplificação de fração algébrica A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de fatores iguais no numerador e no denominador. Muitas vezes, esses fatores não estão explícitos e precisam de algum cálculo para evidenciá-los. Observe o exemplo a seguir: 𝟖𝒙²𝒚𝒌 𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛 Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no denominador. 37 Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo que x·x) e, no denominador, existe apenas um x. Pois bem, é possível simplificar apenas um x do numerador e um x do denominador. O mesmo ocorre com k, resultando em: 𝟖𝒙²𝒚𝒌 𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛 = 𝟖𝒙𝒚 𝟔𝟒𝒛 A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda podemos simplificar a fração formada apenas pelos coeficientes por 8. O resultado final será: 𝟖𝒙𝒚 𝟔𝟒𝒛 = 𝒙𝒚 𝟖𝒛 Sempre que frações algébricas forem operadas (multiplicação, divisão, adição, subtração, potenciação e radiciação), será necessário simplificá-las, se for possível. 38 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja: 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 𝟐𝒙³ + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. 𝒙³ − 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau. O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de Bháskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois: Substituindo x = 4 na equação, temos: 39 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 𝟒² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 𝟏𝟔 − 𝟒𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 −𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 −𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 𝟎 = 𝟎 Ou seja, é uma igualdade verdadeira para a raiz 4. Substituindo x = 6 na equação, temos: 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 𝟔² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟔 + 𝟐𝟒 = 𝟎 𝟑𝟔 − 𝟔𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 −𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 −𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 𝟎 = 𝟎 Ou seja, é uma igualdade verdadeira também para a raiz 6. Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir. 40 Método de Bháskara Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3. Na fórmula de Bháskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 𝒙 = −𝒃 ± √∆ 𝟐𝒂 ∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ) ∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆= (−𝟐)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ (−𝟑) ∆= 𝟒 + 𝟏𝟐 ∆= 𝟏𝟔 2º passo: substituir na fórmula de Bháskara 𝒙 = −𝒃 ± √∆ 𝟐𝒂 𝒙 = −(−𝟐) ± √𝟏𝟔 𝟐 ∗ 𝟏 𝒙 = 𝟐 ± 𝟒 𝟐 41 𝒙𝟏 = 𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟏 Os resultados são x1 = 3 e x2 = –1. 42 SISTEMAS DE MEDIDAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. As unidades de medida são representações das grandezas físicas utilizadas em diversas áreas do conhecimento com o intuito de quantificar uma matéria, uma sensação, o tempo ou o tamanho de algo, por exemplo. Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão determinado pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). A partir da unidade padrão estabelecida pelo SistemaInternacional, podemos ainda utilizar outras unidades derivadas dela, o que permite compararmos e ampliarmos a noção quantitativa da grandeza. O Sistema Internacional adota a unidade Kelvin, por exemplo, como padrão para a grandeza temperatura. Essa unidade é muito utilizada em experimentos laboratoriais, mas, no dia a dia, a maioria dos países utiliza a unidade graus Celsius, que é derivada da unidade Kevin. Na Química, as unidades de medida mais utilizadas são: Unidades de massa As unidades mais utilizadas para o trabalho com a massa de uma matéria são: Tonelada (t); Quilograma (kg): é a unidade de massa padrão segundo o Sistema Internacional Grama (g); Miligrama (mg). Para converter uma unidade em outra, basta seguir estas relações: 1t = 1000Kg 1kg = 1000g 43 1g = 1000mg Relação entre as unidades de massa Como podemos observar, uma unidade de massa é sempre 1000 vezes maior que a outra. Veja alguns exemplos: 1) Transforme 2,5 kg em gramas Como 1 kg equivale a 1000 gramas, podemos montar a seguinte regra de três: 1 kg --------- 1000g 2,5Kg---------- x x * 1 = 2,5*1000 x=2500g 2) Transforme 4 mg em kg Como 1 kg equivale a 1000000 de mg (resultado da multiplicação 1000 x1000 da diferença entre a unidade kg e a mg), podemos montar a seguinte regra de três: 1kg --------- 1000000mg x---------- 4mg 1000000*x = 4*1 x = 4/1000000 x = 0,000004Kg Unidades de volume 44 Metro cúbico (m3): é a unidade de volume padrão segundo o Sistema Internacional; Litro (L) ou decímetro cúbico (dm3); Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 1m³ = 1000L 1L = 1dm³ 1L = 1000mL 1dm³ = 1000cm³ 1cm³ = 1mL Como podemos acompanhar no esquema acima, uma unidade de volume é sempre 1000 vezes maior que a outra. Quando comparamos a unidade maior (m³) com a unidade menor (mL ou cm³), a diferença é de 1000000 de vezes. Veja um exemplo: 3) Transforme 4,5m³ em dm³ Como 1m³ equivale a 1000dm³, podemos montar a seguinte regra de três: 1m³ --------- 1000dm³ 4,5m3---------- x x*1 = 4,5*1000 x = 4500dm³ Unidades de comprimento As unidades mais utilizadas para o trabalho com comprimento são: Quilômetro (km); 45 Metro (m): é a unidade de comprimento padrão segundo o Sistema Internacional; Centímetro (cm); Decímetro (dm); Milímetro (mm). Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 1 km = 1000 m 1 m = 100 cm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Veja alguns exemplos: 4) Transforme 5km em dm Analisando o esquema, a diferença entre km e dm é da ordem de 100000, assim, basta montar a seguinte regra de três: 1 Km --------- 100000dm 5 Km ---------- x x*1 = 5*100000 x = 500000dm 5) Transforme 500mm em cm Como 1cm equivale a 10mm, basta utilizar a seguinte regra de três: 1cm --------- 10mm 46 x ---------- 500mm x*10 = 500*.1 x = 500/10 x = 50cm Unidades de tempo Hora (h); Minuto (min); Segundo (s): é a unidade padrão de tempo estabelecida pelo Sistema Internacional. Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 1h = 60 min 1 min = 60 s Veja alguns exemplos: 6) Transforme 6h em segundos Como 1 hora equivale a 3600 segundos (resultado da multiplicação 60x60 da diferença entre horas e segundos), basta montar a seguinte regra de três: 1h --------- 3600s 6h ---------- x x*1 = 6*3600 x = 21600s 47 7) Transforme 600s em minutos Como 1 minuto equivale a 60s, basta utilizar a seguinte regra de três: 1min --------- 60s x ---------- 600s x*60 = 600 x = 600/60 x = 10m 48 GEOMETRIA PLANA cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Ponto, reta e plano Ponto, reta, plano e espaço são as noções primitivas da Geometria. Esses objetos não possuem definição, mas precisam existir para dar base para as definições geométricas. Embora não seja possível definir esses objetos, é possível discutir suas características, propriedades e suas utilidades para a Geometria. Ponto O ponto não possui forma nem dimensão. Isso significa que o ponto é um objeto adimensional. Um dos usos mais importantes do ponto refere-se à localização geográfica. Os pontos são os objetos que melhor representam as localizações porque oferecem precisão. Se, no lugar de ponto, usássemos um quadrado, em que lugar do quadrado estaria a localização precisamente? Reta As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são infinitas para as duas direções. Como esses pontos não estão no mesmo lugar, é possível medir a distância entre eles. Entretanto, como os pontos continuam não tendo dimensão ou forma, não é possível medir sua largura. Sendo assim, dizemos que a reta possui apenas uma dimensão ou que é unidimensional. A figura a seguir mostra a tentativa de desenhar um quadrado sobre uma reta. Note que a maior parte do quadrado“não cabe”na reta. Por essa razão, é necessário definir um novo local onde ele possa ser desenhado. 49 Plano O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é um conjunto de pontos. O objeto formado por esse alinhamento de retas é uma superfície plana que não faz curva e infinita para todas as direções. Em um plano, é possível desenhar figuras que, além de comprimento, possuem largura. A figura abaixo mostra um cubo sobre um plano. Note que a base do cubo, que é um quadrado e possui duas dimensões, encaixa-se perfeitamente no plano. Todavia, a profundidade desse sólido não é contemplada. 50 RETAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Na Geometria, as retas são definidas apenas como conjuntos de pontos. Sabemos, além disso, que as retas são linhas que não fazem curvas e que são ilimitadas e infinitas. Desse modo, as retas possuem infinitos pontos e nenhum espaço entre eles. As retas são objetos que possuem uma dimensão apenas, assim, só é possível tomar uma medida em qualquer objeto que esteja definido dentro de uma reta: o comprimento. As retas normalmente são representadas por uma linha finita que, às vezes, possui setas em suas pontas para indicar a sua direção. Semirretas As semirretas podem ser encontradas “dentro” de uma reta. Elas possuem um ponto inicial, mas não possuem ponto final. É como se, em algum ponto de sua extensão, a reta sofresse um corte. A notação usada para as semirretas é a SAB, em que A é o ponto inicial e B é a direção para onde a semirreta segue. É evidente que as semirretas também são unidimensionais e possuem infinitos pontos. 51 Segmento de reta Um segmento de reta é a parte de uma reta que pode ser medida. Isso significa que, embora possua infinitos pontos, não é ilimitado. Assim, um segmento de reta é uma parte da reta que possui ponto inicial e ponto final. Supondo que esses pontos sejam A e B, o segmento de reta será representado geometricamente da seguinte maneira: Esses pontos são chamados de extremidades do segmento de reta, que é denotado apenas por AB. Classificação das retas Retas concorrentes Dizemos que duas retas são concorrentes quando elas possuem apenas um ponto em comum. Isso significa que existe um ângulo entre essas duas retas justamente no ponto de encontro entre elas. Quando esse ângulo é de 90°, essas retas também são chamadas de perpendiculares.52 Retas paralelas Duas ou mais retas são ditas paralelas quando não existe ponto de encontro entre elas. Assim, elas não formam ângulo nem se encontram em qualquer parte de sua extensão infinita. Retas coincidentes São retas que possuem pelo menos dois pontos em comum. Como reta alguma faz curva, se duas retas possuem dois pontos em comum, elas possuem todos os pontos em comum. O resultado disso é visto geometricamente como uma reta só. 53 NOÇÕES DE ÂNGULOS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto (') e o segundo (''). Temos que 1º (grau) equivale a 60' (minutos) e 1' equivale a 60'' (segundos). O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de "meia volta" (180º) ou volta inteira (360º). Classificação de ângulos 54 Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: Agudo: ângulo com medida menor que 90º. Reto: ângulo com medida igual a 90º. Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais. 55 Retas paralelas cortadas por uma transversal Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g - Congruentes Ângulos colaterais externos: a e h, b e g - Suplementares Ângulos colaterais internos: e e d, c e f - Suplementares Ângulos alternos externos: a e g, b e h - Congruentes Ângulos alternos internos: d e f, c e e - Congruentes 56 TRIÂNGULOS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º. Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: - A, B e C são os vértices. - Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): AB, BC AC segmentos de retas. Tipos de triângulos O triângulo pode ser classificado segundo a medida de seus lados. Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. 57 Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60º. Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º. 58 QUADRILÁTEROS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados. Em outras palavras, essa definição implica as seguintes características: Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não existem pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de espaço); São formados por segmentos de reta que se encontram em suas extremidades, por isso, são figuras fechadas; Possuem três classificações básicas: Outros: Não possuem lados paralelos; Trapézios: Possuem um par de lados paralelos; Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos. O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto em comum não podem ser paralelos justamente por possuírem ponto em comum. Paralelogramos Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de resultados, chamados aqui de propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir: 59 1 – ângulos opostos são congruentes; 2 – ângulos não opostos são suplementares; 3 – Lados opostos são congruentes; 4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio. OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo. Retângulos Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto disso é que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus lados como uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados formando o mesmo ângulo: 90°. Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da seguinte: Todo retângulo possui diagonais congruentes. 60 O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um retângulo. Losangos Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um losango. Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da seguinte: As diagonais de um losango formam um ângulo reto. Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango. Quadrado Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado. 61 A propriedade específica do quadrado é a seguinte: As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes. Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto e que são congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado. Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para o retângulo. Trapézios São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos. Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não são paralelogramos, por isso, as propriedades dos paralelogramos não são válidas para os trapézios. Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os trapézios isósceles. Trapézios retângulos São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°. 62 Trapézios isósceles São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são congruentes). É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio isósceles. As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes: 63 1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. Trapéziosquaisquer São trapézios que não seguem quaisquer regras e não possuem semelhança entre si. https://youtube.com/c/guiadovestibulinho 64 ÁREAS E PERÍMETROS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura. Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura. Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l). Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados. Quadrado O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa figura plana. Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados com as mesmas medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por quatro ângulos retos (90°). 65 O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula: 𝑷 = 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 ou 𝑷 = 𝟒𝑳 Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a área do quadrado é calculada pela fórmula: 𝑨 = 𝑳² = 𝑳 ∗ 𝑳 Retângulo Muito comum haver confusão entre os conceitos de área e perímetro. No entanto, eles apresentam diferenças: Área: valor da superfície retangular, sendo calculado pela multiplicação entre a altura (h) e a base (b) do retângulo. É expresso pela formula: A=b.h. 66 Perímetro: valor encontrado quando se soma os quatro lados da figura. É expresso pela fórmula: 2(b + h). Assim, ele corresponde a soma de duas vezes a base e a altura (2b + 2h). Triângulo A área de um triângulo corresponde a metade do produto da medida de sua altura pela medida de sua base. É representada pela fórmula: 67 Onde, A: área do triângulo b: base h: altura O perímetro do triângulo corresponde a soma de todos os lados dessa figura plana. Lembre- se que o triângulo é um polígono (figura plana e fechada) que possui três lados. Assim, para calcular o perímetro do triângulo basta somar as medidas de seus lados. Losango Para calcular a área do losango é necessário traçar duas diagonais. Dessa forma tem-se 4 triângulos retângulos (com ângulo reto de 90º) iguais. Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4 triângulos retângulos ou 2 retângulos. Assim, a fórmula para encontrar a área do losango é representada da seguinte maneira: 𝑨 = 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 𝟐 68 Sendo A, a área do losango, D1 a diagonal maior e D2 a diagonal maior. E nesse caso, o perímetro de um losango será a soma de seus lados. Se for um losango regular, ou seja, que possui todos os lados iguais, a fórmula será: P = 4*l Paralelogramo Para calcular a medida da área do paralelogramo multiplica-se o valor do lado (a) pelo lado (b). Logo, a fórmula é: A = a*b O perímetro de uma figura plana, diferente de sua área, corresponde a soma de todas as medidas dos lados. Portanto, no caso do paralelogramo o perímetro é dado pela fórmula: P = 2 (a+b) 69 POLIEDROS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de Estudo. As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. Poliedros são sólidos geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes. Relação de Euler A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar onúmero de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte: V – A + F = 2 70 Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. Exemplo Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. Resolução: V – A + F = 2 6 – 10 + F = 2 –4 + F = 2 F = 4 + 2 F = 6 O sólido possui, portanto, 6 faces. 2) Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: 71 Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular. Resolução: Vértices V – A + F = 2 V – 8 + 5 = 2 V = 2 + 3 V = 5 Arestas V – A + F = 2 5 – A + 5 = 2 –A = 2 – 10 –A = –8 x(–1) A = 8 Poliedros de Platão Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são: 72 73 PRISMAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de Estudo. Prisma é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional. Para sua definição, são necessários um plano, um polígono paralelo ao plano e uma reta r concorrente a ele. O conjunto de segmentos de reta paralelos a r que tem como extremidades o polígono e o plano forma o sólido que conhecemos como prisma. Elementos do prisma Observe a figura a seguir, na qual são destacados os elementos de um prisma. Observe que o polígono é a figura ABDG. Bases A figura formada no plano é congruente ao polígono ABDG. Essas duas figuras são chamadas de bases do prisma. 74 Faces laterais As faces laterais de um prisma são os polígonos que não são bases. Um exemplo na imagem acima é o polígono ABCE. Note que as faces laterais de um prisma sempre são quadriláteros. Note também que, em razão de os segmentos de reta que partem de ABDG até o plano � serem paralelos e pelo fato de o próprio polígono ser paralelo ao plano, as faces laterais do prisma são paralelogramos. Faces São os polígonos que limitam o prisma: as bases e as faces laterais. Arestas São os segmentos de reta formados pelo encontro entre duas faces. No prisma da imagem acima, são exemplos de arestas os segmentos AB, AD, DF etc. Vértices São os pontos de encontro entre duas arestas. Na figura acima, os pontos A, B, … G, H. Diagonal É o segmento de reta cujas extremidades são dois vértices, mas que não pertence a uma face. Por exemplo: AF, BF e DE. Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado quanto ao número de lados de suas bases. Assim, se a base de um prisma for um triângulo, ele será chamado de prisma triangular. Se a sua base for um quadrilátero, ele será chamado de prisma quadrangular. Se a sua base for um pentágono, prisma pentagonal e assim por diante. Um prisma também pode ser classificado a partir da inclinação de suas arestas 75 À esquerda, um exemplo de prisma reto; à direita, um exemplo deprisma oblíquo. Prisma reto As arestas laterais são perpendiculares à base. Como só existirão ângulos retos em suas faces laterais, elas serão sempre retângulos em um prisma reto. Observe que não adianta formar um único ângulo reto com a base, é preciso que a aresta lateral seja perpendicular a ela. Prisma oblíquo As arestas laterais não são perpendiculares à base. Além disso, um prisma que possui polígonos regulares nas suas bases é chamado de prisma regular. Paralelepípedos Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é chamado de paralelepípedo. Os paralelepípedos podem ser classificados em oblíquos ou retos, da mesma maneira que os prismas comuns. Esse último também é chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco. 76 CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Circunferência e Círculo É muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença. Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua área interna. Raio e Diâmetro da Circunferência Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da figura a qualquer ponto localizado em sua extremidade. Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo centro da figura, dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro equivale duas vezes o raio (2r). 77 Perímetro da Circunferência No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, sendo representado pela expressão: Comprimento da Circunferência O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento. Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do perímetro: 𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 Onde, 78 C: comprimento π: constante pi (3,14) r: raio Área da Circunferência A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da circunferência, a fórmula da área é: 79 ESFERAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de Estudo. A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido. Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos: Pólos Equador Paralelo Meridiano 80 Área de uma superfície esférica Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 𝑨 = 𝟒𝝅𝑹² Volume da esfera Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação: 𝑽 = 𝟒𝝅𝑹³ 𝟑 81 VOLUME DE SÓLIDOS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de Estudo. Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume corresponde à “capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns sólidos geométricos, é possível preenchê-lo com algum material, como a água? Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume para cada objeto pensado. Se por acaso é impossível preencher a figura que você imaginou, é porque, provavelmente, ela é uma figura plana bidimensional, como um quadrado, um triângulo ou um círculo. Volume de um prisma qualquer Legenda: o volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim: V = área da base* altura 82 Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada por: 𝑉 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 Já a área do prisma de base triangular é dada por: 𝑉 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 2 Volume de um cilindro Legenda: o volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela altura Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura. Podemos definir novamente: V = área da base * altura Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 𝑽 = 𝝅 ∗ 𝑹² ∗ 𝒂 83 Volume de um cone Legenda: o volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por um terço da altura O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao calcularmos o volume do cone, nós multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Podemos definir: V = (área da base) * 𝟏 𝟑 da altura Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 𝑽 = 𝝅𝑹² ∗ 𝒂 𝟑 84 Volume de uma pirâmide A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Definimos novamente: V = (área da base) * 𝟏 𝟑 da altura Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como: 𝑽 = 𝒃 ∗ 𝒄 𝟐 ∗ 𝒂 𝟑 𝑽 = 𝒃 ∗ 𝒄 ∗ 𝒂 𝟔 85 TEOREMA DE PITÁGORAS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe: O Teorema de Pitágoras diz que: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 𝒂² + 𝒃² = 𝒄² Exemplos: 1) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 86 𝒙² = 𝟗² + 𝟏𝟐² 𝒙² = 𝟖𝟏 + 𝟏𝟒𝟒 𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 𝒙 = 𝟏𝟓 2) Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo: 𝒙² + 𝟐𝟎² = 𝟐𝟓² 87 𝒙² + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟐𝟓 𝒙² = 𝟔𝟐𝟓 − 𝟒𝟎𝟎 𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 𝒙 = 𝟏𝟓 A descoberta dos números irracionais Foi por meio do Teorema de Pitágoras que os números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu no cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja: 𝒙² = 𝟏² + 𝟏² 𝒙² = 𝟏 + 𝟏 𝒙² = 𝟐 𝒙 = √𝟐 √𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔𝟐𝟑𝟕𝟑 … 88 TEOREMA DE TALES cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que relaciona as medidas dos segmentos dereta formados por um feixe de retas paralelas cortado por retas transversais. Antes de falar do teorema em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas paralelas, retas transversais e uma de suas propriedades: Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, dizemos que elas formam um feixe de retas paralelas. As retas transversais são aquelas que “cortam” as retas paralelas. Suponha que um feixe de retas paralelas forme segmentos de reta congruentes sobre uma reta transversal qualquer. Nessa hipótese, ele também forma segmentos congruentes em qualquer outra reta transversal. A imagem a seguir mostra um feixe de retas paralelas, duas retas transversais e as medidas dos segmentos de reta formados por elas. Teorema de Tales Os segmentos de reta formados sobre retas transversais a um feixe de retas paralelas são proporcionais. 89 Isso significa que é possível que as divisões entre os comprimentos de alguns segmentos formados nessas circunstâncias tenham o mesmo resultado. Para compreender melhor o teorema enunciado, observe a imagem a seguir: O que o teorema de Tales garante a respeito dos segmentos formados sobre as retas transversais é a seguinte igualdade: 𝑱𝑲 𝑲𝑳 = 𝑶𝑵 𝑵𝑴 Note que a divisão foi feita, nesse caso, de cima para baixo. Os segmentos superiores nas retas transversais aparecem no numerador. O teorema também garante outras possibilidades. Veja: 𝑲𝑳 𝑱𝑲 = 𝑵𝑴 𝑶𝑵 Outras variações podem ser obtidas pela troca das razões de membro ou pela aplicação da propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos). Outras possibilidades de proporcionalidade pelo teorema de tales são: 𝑱𝑲 𝑶𝑵 = 𝑲𝑳 𝑵𝑴 𝑶𝑵 𝑱𝑲 = 𝑵𝑴 𝑲𝑳 𝑱𝑲 𝑱𝑳 = 𝑶𝑵 𝑶𝑴 90 𝑲𝑳 𝑱𝑳 = 𝑵𝑴 𝑶𝑴 Tanto esse teorema quanto essa propriedade são usados para descobrir a medida de um dos segmentos quando se conhece a medida dos outros três ou quando se conhece a razão de proporcionalidade entre dois segmentos. O mais importante para resolver exercícios que envolvem o teorema de Tales é respeitar a ordem em que os segmentos de reta são colocados nas frações. Exemplo No feixe de retas paralelas a seguir, vamos determinar a medida do segmento NM. Solução: Seja x o comprimento do segmento NM, vamos mostrar a proporcionalidade entre os segmentos e utilizar a propriedade fundamental das proporções para resolver a equação: 𝟐 𝟖 = 𝟒 𝒙 𝟐𝒙 = 𝟑𝟐 𝒙 = 𝟑𝟐 𝟐 𝒙 = 𝟏𝟔𝒄𝒎 91 Note que qualquer uma das razões expostas acima poderia ter sido utilizada para resolver esse problema e o resultado seria o mesmo. 92 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. Quando comparamos duas figuras geralmente queremos saber quais as semelhanças existentes entre elas. Algumas vezes elas são iguais, algumas vezes são apenas parecidas e também existem os casos em que as figuras comparadas são completamente diferentes. Na matemática, frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados possíveis são: Figuras congruentes, figuras semelhantes e figuras diferentes. A seguir, discutiremos a semelhança entre polígonos e os casos de semelhança entre triângulos. Dois polígonos são semelhantes quando existe proporcionalidade entre seus lados e seus ângulos correspondentes são todos iguais. Existir uma razão de proporcionalidade quer dizer que se dividirmos a medida de um lado da primeira figura pelo valor de um lado da segunda figura e o resultado for, por exemplo, o número 3, então todas as divisões entre medidas de lados da primeira figura por medidas dos lados da segunda figura terão 3 como resultado. Isso ocorre no caso dos hexágonos da imagem acima. Repare que a divisão de qualquer lado do primeiro hexágono por qualquer lado do segundo tem 3 como resultado. 93 Para que dois polígonos sejam semelhantes, deve existir proporcionalidade entre seus lados correspondentes, além de ângulos correspondentes congruentes. Voltando ao exemplo dos hexágonos acima, observe que a razão entre lados correspondentes é sempre 3: 𝑨𝑩 𝑮𝑯 = 𝑩𝑪 𝑯𝑰 = 𝑪𝑫 𝑰𝑱 = 𝑫𝑬 𝑱𝑲 = 𝑬𝑭 𝑲𝑳 = 𝑭𝑨 𝑳𝑮 = 𝟑 Para mostrar que eles são semelhantes, falta apenas mostrar que seus ângulos correspondentes são congruentes. Nesse caso são, por terem sido construídos como polígonos regulares. Para os triângulos a regra é a mesma. Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos correspondentes sejam congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de proporcionalidade. -- Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples. Basta observar se eles se enquadram em um dos casos de semelhança de triângulos a seguir: Caso Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes. 94 Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados semelhantes.: Caso Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos. Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes têm o mesmo resultado: 𝑨𝑩 𝑫𝑬 = 𝑩𝑪 𝑬𝑭 = 𝑪𝑨 𝑭𝑫 = 𝟏 Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são semelhantes. Caso Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Observe este caso de semelhança no exemplo: 95 𝑨𝑩 𝑫𝑬 = 𝑪𝑨 𝑭𝑫 = 𝟏 𝟐 Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. Configurando assim o caso LAL. Exercício resolvido Observe a figura abaixo 96 Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale a) 27 m b) 30 m c) 33 m d) 36 m e) 40 m Resolução Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar. Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais). 97 Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção: 𝑯 𝟑𝟎 = 𝟏, 𝟖 𝟐 𝟐𝑯 = 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟑𝟎 𝑯 = 𝟓𝟒 𝟐 = 𝟐𝟕𝒎 98 PLANO CARTESIANO cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas numéricas perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em comum, formando um ângulo de 90°. Esse ponto comum é conhecido como origem e é nele que é marcado o número zero de ambas as retas. O plano cartesiano recebeu esse nome por ter sido idealizado por René Descartes e é usado fundamentalmente para sistematizar técnicas de localização no plano. Retas numéricas: abcissa e ordenada As duas retas que dão origem