Mudanças de Variáveis nas Integrais Múltiplas

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ANHANGUERA- Engenharia – 2020/1 
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Cálculo III 
Profa Caroline Luft 
 
EXERCÍCIOS (LISTA 7): Mudanças de Variáveis nas Integrais múltiplas 
 
1) Determine o jacobiano de cada transformação: 
 
a) 𝑥 = 5𝑢 − 𝑣 , 𝑦 = 𝑢 + 3𝑣 
b) 𝑥 = 𝑢𝑣 , 𝑦 =
𝑢
𝑣
 
c) 𝑥 = 𝑒−𝑟 sen 𝜃 , 𝑦 = 𝑒𝑟 cos 𝜃 
d) 𝑥 = 𝑒𝑠+𝑡 , 𝑦 = 𝑒𝑠−𝑡 
e) 𝑥 =
𝑢
𝑣
 , 𝑦 =
𝑣
𝑤
 , 𝑧 =
𝑤
𝑢
 
f) 𝑥 = 𝑣 + 𝑤2, 𝑦 = 𝑤 + 𝑢2, 𝑧 = 𝑢 + 𝑣2 
 
2) Considere a integral ∫ ∫ ∫ √2𝑧 − 𝑥 + 3𝑦
3 √𝑧 − 𝑥
5
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 , onde os intervalos são: 
2 ≤ 2𝑧 − 𝑥 + 3𝑦 ≤ 8, 1 ≤ 𝑧 − 𝑥 ≤ 5, 3 ≤ 𝑧 ≤ 4. Efetuando a mudança de coordenadas 
𝑢 = 2𝑧 − 𝑥 + 3𝑦, 𝑣 = 𝑧 − 𝑥, 𝑤 = 𝑧 , determine a escrita da integral nas novas variáveis 
(𝑢, 𝑣, 𝑤) e com os limites de integração. 
 
3) Considere a mudança de variáveis: 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧, 𝑣 = 3𝑥 − 𝑧 , 𝑤 = 𝑦 + 2𝑧. Vamos 
denotar por T a mudança de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), nas coordenadas (𝑢, 𝑣, 𝑤). Calcule o 
determinante de T. 
 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 16 
b) −
2𝑢
𝑣
 
c) 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
d) −2𝑒2𝑠 
e) 0 
f) 1 + 8𝑢𝑣𝑤 
2) 
1
3
 ∫ ∫ ∫ √𝑢 
3
√𝑣
5
 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
8
2
5
1
4
3
 
3) −
1
8