Lista+5 (1)

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ANHANGUERA- Engenharia – 2020/1 
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Cálculo III 
Profa Caroline Luft 
 
EXERCÍCIOS (LISTA 5): Massa e Centro de Massa 
 
1) Determine a massa e o centro de massa da região representada pela integral 
∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦+𝑥
0
1−𝑦
0
1
0
, cuja intensidade é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦. 
Resposta.: massa (m) = 
1
8
 e coordenadas do centro de massa = (
4
15
,
8
15
,
2
5
). 
2) Determine a massa e o centro de massa da região representada pela integral dupla 
∫ ∫ (1 + 3𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2−2𝑥
0
1
0
. 
Resposta: massa (m) = 
8
3
 e coordenadas do centro de massa = (
3
8
,
11
16
). 
3) Determine a massa e o centro de massa de um sólido E com densidade constante igual 
a 2 e que é limitado pelo cilindro parabólico 𝑥 = 𝑦2 e pelos planos 𝑥 = 𝑧, 𝑧 = 0 𝑒 𝑥 = 1. 
E = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥} 
Resposta: massa (m) = 
8
5
 e coordenadas do centro de massa = (
5
7
, 0,
5
14
). 
4) Determine a massa e o centro de massa de um cubo dado por 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎,
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎, 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. 
Resposta: massa (m) = 𝑎5 e coordenadas do centro de massa = (
7
12
𝑎,
7
12
𝑎,
7
12
𝑎). 
5) Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região 
D={(𝑥, 𝑦)/ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 ≤ 𝑦 ≤ 4} e tem função densidade 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑦2. 
Resposta: massa (m) = 42𝑘 e coordenadas do centro de massa = (2,
85
28
).