11 1 Fasor e Impedância

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11.1 Fasor e Impedância
11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais
Os números complexos podem ser representados em dois formatos básicos (Figura 11.1): no formato rectangular
P = a + jb (11.1)
em que a e b definem as coordenadas rectangulares do ponto no plano, e no formato polar
P = PÐ q (11.2)
cuja representação em notação exponencial é
P = Pejq (11.3)
e em que P eq definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas
regras
Figura 11.1 Representação de um número complexo nos formatos rectangular (a) e polar (b)
(11.4)
e
(11.5)
Os sinais sinusoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal
v(t) = Vcos(wt+q) (11.6)
define uma tensão eléctrica sinusoidal de amplitude máxima V, frequência angular w e fase na origem q. Por outro lado, as funções cos(x) e sin(x) podem ser expressas em
notação exponencial
(11.7)
e
(11.8)
respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas
(11.9)
e
(11.10)
Uma notação alternativa para as funções cos(x) e sin(x) consiste na utilização dos operadores Real de e Imaginário de. Neste caso,
(11.11)
e
(11.12)
Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:
(11.13)
relativamente ao operador derivada, e
(11.14)
relativamente ao operador adição.
Admita-se então que se pretende derivar o resultado da soma de duas funções sinusoidais, por exemplo
(11.15)
Recorrendo à notação estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-p/2), obtém-se
(11.16)
que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (11.13) e (11.14) se simplifica para
(11.17)
ou seja,
(11.18)
ou ainda
(11.19)
como seria de esperar por resolução directa de (11.15). De acordo com este resultado, o tratamento de uma equação com funções sinusoidais pode ser efectuada recorrendo à
função exponencial complexa, bastando para tal aplicar o seguinte procedimento:
(i) escreve-se a equação com base apenas na função cos(x);
(ii) converte-se a equação para a notação exponencial, efectuando a conversão cos(x) ® ej(x);
(iii) trata-se a equação na notação exponencial;
(iv) converte-se o resultado da notação exponencial à forma inicial, através do operador Real de.
11.1.2 Fasor
Considere-se a função exponencial complexa
(11.20)
em conjunto com a sua representação no plano complexo (Figura 11.2.a). Nos instantes t=ti a exponencial complexa vale
(11.21)
valores que se repetem com uma periodicidade T=2p/w. A periodicidade da função em (11.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a
circunferência de raio A roda com uma velocidade angular de w rad/s. No entanto, se se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horário com uma velocidade
angular w, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b)
(11.22)
grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas
(11.23)
ou
(11.24)
Figura 11.2 Conceito de fasor
A importância da notação fasorial na análise do regime forçado sinusoidal deve-se ao facto de nos circuitos lineares excitados por fontes sinusoidais as tensões e as correntes em
todos os nós e componentes do circuito serem também sinusoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e de representação das grandezas podem,
portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informação relativa à amplitude e à fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa à frequência angular (e
ao tempo) que, como se disse, é comum a todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo através da sequência
de operações
(11.25)
11.1.3 Impedância Eléctrica
Considere-se a resistência representada na Figura 11.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente
(11.26)
e admita-se que a corrente é sinusoidal, i(t)=Icos(wt+q). De acordo com (11.26), a tensão aos terminais da resistência é também sinusoidal
(11.27)
e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação exponencial
(11.28)
permite escrever a relação fasorial
(11.29)
Figura 11.3 Impedância eléctrica da resistência
a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionados pelo parâmetro resistência eléctrica. Como se indica na Figura 11.3.b,
e dada a natureza real do parâmetro R, os fasores da tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedância eléctrica da resistência o cociente
entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 11.3.c)
W, ohm (11.30)
Considere-se agora o condensador representado na Figura 11.4, cuja característica tensão-corrente é expressa pela derivada
(11.31)
e admita-se ainda que a tensão aplicada é sinusoidal, v(t)=Vcos(wt+q). Neste caso, a representação em notação exponencial
(11.32)
permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente
(11.33)
a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de p/2 radianos relativamente ao fasor da tensão (Figura 11.4.b). A impedância eléctrica do
condensador é um número imaginário puro (Figura 11.4.b)
W, ohm (11.34)
cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da sinusóide sob análise.
Figura 11.4 Impedância eléctrica do condensador
Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (Figura 11.5)
(11.35)
conduz à relação fasorial
(11.36)
de onde se obtém a expressão da impedância eléctrica
W, ohm (11.37)
A relação (11.37) indica que o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de p/2 radianos relativamente à corrente.
Figura 11.5 Impedância eléctrica da bobina
Considere-se o circuito RL representado na Figura 11.6.a e admita-se que a tensão aplicada é sinusoidal. Neste caso,
(11.38)
isto é,
(11.39)
e a impedância do conjunto é
(11.40)
A impedância eléctrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexo cuja representação no formato polar é
(Figuras 11.6.b), em que Z e j representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato rectangular é
(Figura 11.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última é vulgarmente designada por reatância). O inverso da impedância designa-se
por admitância eléctrica, cuja unidade é o siemens (S).
Figura 11.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas rectangulares (b) e polares (c) da impedância eléctrica
Na Tabela 11.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoriais, as impedâncias e as admitâncias eléctricas dos componentes
resistência, condensador e bobina.
COMPONENTE DOMÍNIOTEMPO
NOTAÇÃO
FASORIAL
IMPEDÂNCIA
(W)
ADMITÂNCIA
(S)
resistência v(t)=Ri(t) V=RI R G
condensador I=jwCV jwC
bobina V=jwLI jwL
Tabela 11.1 Resistência, condensador e bobina
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http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_00/indice.htm#Cap%C3%ADtulo%2011
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_00/index.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_11/smace_11.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_11/fasorimp.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_00/ajuda.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_12/anresfre.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_10/ancir_10.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_11/impedel.htm
http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_11/lekinofa.htm