ADM - Empreendedorismo e Cálculos Financeiros

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ADMINISTRAÇÃO
O EMPREENDEDOR E OS
CÁLCULOS FINANCEIROS
PROFESSOR: LILIANE DE OLIVEIRA REZENDE
SUMÁRIO:
UNIDADE 1:
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA E SEUS CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
1.1 A importância da matemática financeira no ato de empreender
1.2 Como a matemática financeira pode me ajudar?
1.3 Conceitos fundamentais da matemática financeira
1.4 Capital, Montante, Período e Taxa de juros
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UNIDADE 2:
CALCULADORA HP 12C
2.1 Apresentação HP 12C
2.2 Operações básicas na HP 12C
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UNIDADE 3:
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
3.1 Juros 
3.2 Capitalização simples 
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26
UNIDADE 4:
TAXAS EM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
4.1 Taxas proporcionais
4.2 Taxa nominal e taxa efetiva
31
32
UNIDADE 5:
REGIME DE JUROS COMPOSTOS
5.1 Cálculo de juros compostos e suas aplicações nas fórmulas e HP 12C
5.2 Juros compostos no Excel 
5.3 Taxas equivalentes
5.4 Taxa nominal e efetiva em juros compostos
36
37
40
42
UNIDADE 6:
DESCONTO SIMPLES
6.1 Desconto racional simples (por dentro)
6.2 Desconto comercial simples (por fora)
6.3 Cálculo do valor do desconto simples para uma série de títulos de mesmo 
valor
48
49
50
UNIDADE 7:
DESCONTO COMPOSTO
7.1 Desconto racional composto (por dentro)
7.2 Desconto comercial composto (por fora)
55
56
UNIDADE 8:
PRESTAÇÕES
8.1 Renda certa postecipada
8.2 Renda certa antecipada
61
63
UNIDADE 9:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
9.1 Sistema francês de amortização
9.2 Sistema de amortização constante (SAC)
9.3 Sistema americano (SA)
9.4 Sistema de amortização misto (SAM)
9.5 Aplicação na calculadora HP 12C, método SAC
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UNIDADE 10:
ANÁLISE DE INVESTIMENTO
10.1 Payback
10.2 Payback descontado (PBD)
10.3 VPL – Valor presente líquido
10.4 TIR – Taxa interna de retorno
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85
INTRODUÇÃOSOBRE O PROFESSOR
Mestre em Administração, pela Faculdade Novos Horizontes (2015). 
Graduada em Ciências Econômicas pela Fundação Universidade de Itaúna (2002).
Graduada em Ciências Contábeis pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (2012). 
Especialista em Gerenciamento e Gestão de Micro e Pequenas Empresas, pela Universidade Fe-
deral de Lavras (2008). 
Mais de 12 anos de prática em instituições de Ensino Superior, em 
empresas do segmento de TI (Tecnologia da Informação), tendo 
trabalhado em duas multinacionais. 
Experiência com serviço prestação contábil e consultoria em seg-
mentos diversos na área financeira, administrativa e contábil.
LILIANE DE OLIVEIRA REZENDE
POSSUI
É professora substituta da área Finanças, Contabilidade e Econo-
mia do IFMG – Instituto Federal de Minas Gerais.
ATUALMENTE
INTRODUÇÃO
A disciplina EMPREENDER E CÁLCULOS FINANCEIROS é aplicada no cotidiano de todas 
as pessoas e tipos de empresas. Ao comprar qualquer produto ou serviço, há diferenças nos pre-
ços praticados à vista ou parcelados. Várias pessoas físicas e jurídicas estão a todo momento se 
decidindo em como pagar suas compras, em que investir e até mesmo como financiar um bem 
ou serviço ou fazer um empréstimo. 
DIANTE DE TANTAS OPÇÕES, QUAL A MELHOR ESCOLHA A SER FEITA?
Além de se decidir como serão feitos as compras e os pagamentos provenientes de aquisições, 
gestores financeiros avaliam projetos de investimentos diferentes, quais deles proporcionam 
maior retorno, em quanto tempo retornará o capital investido. Quando há falta de dinheiro, os 
administradores financeiros também deverão analisar formas de buscar empréstimos ou de fa-
zer seus financiamentos. E assim acontece toda uma análise financeira; são feitos cálculos em 
torno das sobras ou faltas de recursos financeiros na busca de tomada da decisão mais assertiva.
Esta disciplina trata de todos estes assuntos citados nos dois parágrafos anteriores. Convido a 
você a apreender os cálculos financeiros que compõem essa disciplina, a equacionar e resolver os 
problemas matemáticos na busca de tomada de decisões eficientes, tanto para a sua vida profis-
sional como pessoal! 
EM NOSSA PRIMEIRA UNIDADE, será apresentada a você a importância da disciplina Empreen-
der e Cálculos Financeiros, assim como os conceitos principais que serão trabalhados durante 
todo o semestre.
A UNIDADE 2 apresentará a calculadora HP 12C, como ferramenta de auxilio nos cálculos finan-
ceiros, embora não seja obrigatória sua aquisição – você poderá utilizar o respectivo aplicativo em 
seu celular e aprender a manuseá-la.
AS UNIDADES 3 A 5 tratarão dos conteúdos iniciais de cálculos financeiros, tais como juros sim-
ples, tipos de taxas de juros, juros compostos e suas aplicações. Estas unidades apresentam as 
fórmulas e a aplicação na HP 12C e no Excel.
AS UNIDADES 6 E 7 abordarão os descontos simples e compostos, fórmulas e aplicações nas or-
ganizações, de modo a contribuir para a análise de opções de desconto de títulos.
INTRODUÇÃOSOBRE O PROFESSOR
A UNIDADE 8 apresenta os conceitos de anuidades ou rendas certas postecipadas e antecipadas, 
que trata das chamadas prestações. Quando se compra algo em dez prestações, pode-se dar en-
trada (prestações antecipadas) ou não (prestações postecipadas). Deste modo, através do estudo 
da Unidade 8 você entenderá como as lojas fazem os cálculos do valor de cada prestação que 
você paga por mês ao comprar algo parcelado.
Em compras de longo prazo, tais como financiamento de imóveis e veículos, temos a aplicação 
dos chamados sistemas de amortização utilizados no mercado financeiro. A UNIDADE 9 tratará 
dos diferentes sistemas de amortização nas modalidades de financiamentos de longo prazo, que 
são praticados pelas instituições financeiras.
POR ÚLTIMO, a disciplina Empreender e Cálculos Financeiros apresentará as técnicas existentes 
na análise de investimento. As ferramentas de viabilidade de investimentos são relevantes para 
a tomada de decisão nas empresas, assim como podem também ser utilizadas pelas pessoas 
físicas.
BONS ESTUDOS! ESPERO QUE APRECIE O CONTEÚDO!!
PROFESSORA LILIANE DE OLIVEIRA REZENDE
INTRODUÇÃO
UNIDADE
Apresentação da 
Disciplina e seus 
Conceitos Introdutórios
1
1.1 A importância da matemática financeira no ato de empreender
1.2 Como a matemática financeira pode me ajudar?
1.3 Conceitos fundamentais da matemática financeira
1.4 Capital, Montante, Período e Taxa de juros
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UNIDADE 1 : APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA E SEUS CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
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1.1 A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ATO DE EMPREENDER
Segundo Chiavenato (1999), o empreendedor precisa mais que criar seu próprio negócio: deve sa-
ber geri-lo, sustentá-lo por uma vida longa e obter retornos significativos sobre o capital investido 
no negócio. Deste modo, fica evidente a importância de aprender a efetuar cálculos financeiros, 
de saber analisá-los com o objetivo de garantir não só a rentabilidade, mas também a sobrevivên-
cia dos negócios. 
Como dono do seu próprio negócio, como funcionário de uma empresa, ou em alguma outra 
posição, você deverá conhecer e praticar os cálculos financeiros no dia a dia. Sempre estaremos 
comprando ou vendendo algo, investindo ou pegando recursos financeiros emprestados. Apoia-
da nestes preceitos a Matemática Financeira se torna essencial para todos os estudantes, profis-
sionais, pessoas de qualquer formação, pois faz parte do nosso cotidiano. É uma matéria bem prá-
tica e envolvente. A parte dos cálculos é simples de efetuar, e a calculadora HP 12C proporciona 
maior agilidade e praticidade.
Além da calculadora HP 12C, é possível contar com as fórmulas quase automáticas disponíveis no 
Excel. A construção de planilhas também agiliza os cálculos financeiros, dando suporte à tomada 
de decisão diante das diversas situações financeiras que passamos no dia a dia. 
Proponho a leitura do artigoa seguir, que destaca a relevância dos cálculos financeiros no nosso 
dia-a-dia:
BOA LEITURA!
TEXTO:
 "OS DESAFIOS DA 
ESCOLA PÚBLICA 
PARANAENSE NA 
PERSPECTIVA DO 
PROFESSOR - PDE"
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1.2 COMO A MATEMÁTICA FINANCEIRA PODE ME AJUDAR?
Quando há sobras de recursos financeiros, os gestores devem identificar as opções de investi-
mentos disponíveis no mercado e analisar, comparar as modalidades de investimento e quais 
retornos proporcionados por cada um deles. Quando há falta de recursos financeiros, deve-se 
avaliar os juros que serão pagos ao contratar um empréstimo e ou financiamento; 
SERÁ QUE COMPENSAM?
Neste sentido, a Matemática Financeira irá ajudar, gerando informações sobre os juros a serem 
pagos ou recebidos. Ao comprar uma casa ou veículo, por exemplo, deve-se decidir sobre juntar 
o dinheiro com antecedência, aplicando uma parcela mês a mês para no futuro fazer a aquisição 
toda à vista, ou toda a prazo, ou até mesmo parte à vista e parte parcelada.
E assim são feitas as negociações, pagando-se juros ou recebendo-se juros. Através dos cálculos 
financeiros são calculados:
01_Os juros;
02_O montante;
03_O capital; 
e outras variáveis envolvidos nas transações financeiras do dia a dia das pessoas físicas ou jurídicas. 
1.3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os cálculos financeiros são norteados pelo conceito de fluxo de caixa e 
outras simbologias e representações do valor do dinheiro no tempo. Os 
conceitos de fluxo de caixa e juros estão interligados e são indispensáveis 
para o estudo da matemática financeira (PUCCINI, 2009).
Fluxo de caixa representa a saída e entrada de dinheiro no caixa no decor-
rer do tempo, sendo útil o seu acompanhamento para análise de investi-
mentos, projetos e outras operações financeiras (PUCCINI, 2009).
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A representação gráfica do fluxo de caixa pode ser vista a seguir.
01_A escala horizontal representa o tempo, representa uma linha do tempo do fluxo de caixa, 
pode ser expressa em dias, meses, anos e outros períodos de tempo;
02_As saídas (desembolsos) de dinheiro terão sinais negativos (ou seta para baixo);
03_As entradas (ingressos) de dinheiro terão sinais positivos (ou seta para cima).
Representam objetivos dos cálculos financeiros, conforme Puccini (2009, p. 4):
01_A operacionalização de cálculos em fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de 
cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;
02_A obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa.
03_A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.
O fluxo de caixa é usado na análise de rentabilidades e custos de opera-
ções financeiras, no estudo de viabilidade econômica de projetos e inves-
timentos, sendo importante para as empresas e até as pessoas físicas em 
geral (PUCCINI, 2009).
1.4 CAPITAL, MONTANTE, PERÍODO E TAXA DE JUROS
Para o acompanhamento do dinheiro ao longo do tempo, há dois tipos de regime de juros: 
01_Capitalização simples; e 
02_Capitalização composta; 
Ambos se utilizam das variáveis a seguir para operacionalização dos cálculos financeiros, assim 
como outros conteúdos que serão abordados no decorrer desta disciplina. 
1 2 3 4 5 n...
(-) pagamento (+) recebimento
tempo
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CAPITAL (P); (C) OU (PV): 
Qualquer valor expresso em moeda e disponível no presente.
P = M - J
JURO (J): 
É o rendimento ou a remuneração do capital expresso em um determinado período de tempo. 
J = M - P
PRAZO (N): 
Representa o tempo, período que se empresta ou capitaliza o capital; tais como mês, ano, dias e 
outros.
MONTANTE (M); (S) OU (FV): 
Representa o valor futuro, ou seja, a soma do o capital aplicado/emprestado mais os juros; é dado 
pela fórmula a seguir.
M = P + J
TAXA DE JUROS (i): 
É a taxa de juros em um determinado período, expressa em porcentagem. Pode ser obtida atra-
vés da através da razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital inicialmente aplicado/em-
prestado, conforme a seguir.
i = J
P
O mais usual é que as taxas de juros sejam expressas em porcentagem, tais como 10% ao mês, 
25% ao ano; porém, na aplicação das fórmulas elas devem estar expressas em forma decimal. 
» 10% ao mês = 10 / 100 (forma fracionária) = 0,10 (forma decimal) → como deve ser utilizada 
nas fórmulas.
» 25% ao ano = 25 / 100 (forma fracionária) = 0,25 (forma decimal) → como deve ser utilizada 
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nas fórmulas.
DICA IMPORTANTE!
Toda vez que forem efetuados cálculos financeiros, deve-se colocar a taxa 
de juros na mesma unidade de tempo que o período, conforme exemplo 
a seguir.
Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 60 dias rende juros a uma taxa de 2% ao mês.
OBSERVE : DIA é diferente de MÊS
OBRIGATÓRIO: Neste caso, trabalhar SÓ EM DIA ou SÓ EM MÊS.
60 DIAS = 2 MESES
(60 dias / 30 dias (quantidade de dias que se tem em um mês) = 2 meses)
Para aplicação das fórmulas, deve-se usar o prazo de 2 meses e a taxa de 2% ao mês, assim am-
bos estão na mesma unidade de tempo.
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A Unidade 1 visa apresentar a terminologia que será utilizado no decorrer da disciplina Empreen-
der e Cálculos Financeiros. Neste sentido, a disciplina contribui muito para a sua formação profis-
sional e pessoal, ajudando a operacionalizar cálculos financeiros do seu dia a dia. 
Toda parte conceitual apresentada nessa unidade será aplicada na busca de resolução de proble-
mas que norteiam a tomada de decisão dos gestores financeiros e administrativos. Sendo assim, 
é importante que não restem dúvidas em relação ao o que é:
01_Capital;
02_Montante;
03_Juros;
04_Taxa de juros;
05_Prazo; e o 
06_Fuxo de caixa;
RESUMO:
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REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima.Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
UNIDADE 2
Calculadora HP 12C
2.1 Apresentação HP 12C
2.2 Operações básicas na HP 12C
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UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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2.1 APRESENTAÇÃO HP 12C
A calculadora HP 12C foi desenvolvida pela Companhia Hewlett Packard e representa uma valiosa 
ferramenta para o auxílio de todos que desejam operacionalizar cálculos financeiros, estatísticos 
e outros. 
A figura mostra dois modelos, o Platinum e o Gold. 
O quadro a seguir resume as diferenças entre os dois modelos de calculadoras da HP 12C:
Fonte: Elaborado pela autora.
VIDEO: 
"QUESTÕES DE 
INFORMÁTICA PARA 
CONCURSO - PROF. 
ERICO ARAUJO"
MODELOS DE HP 12C
HP 12C GOLD HP 12C PLATINUM
Opera apenas em modo RPN (Reverse Polony 
Notation - Notaçao Polonesa Reversa).
Os modelos mais novos com duas baterias são 
mais rápidos que os antigos.
Opera tanto em modo RPN quanto em modo 
Algébrico.
Tende a ser mais rápida nos cálculos.
Algumas Funções a mais.
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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Assista ao vídeo, com uma comparação entre os dois modelos, disponível em: 
2.2 OPERAÇÕES BÁSICAS NA HP 12C
Para ligar e desligar a calculadora, utilizamos a mesma tecla: ON. Os botões da calculadora HP 
12C estão dispostos numa matriz de 4 linhas e 10 colunas. As teclas da HP 12C realizam 1, 2 ou até 3 
funções. As funções primárias (as mais utilizadas) estão impressas na face superior de uma tecla, 
na cor branca. As outras teclas têm uma função alternativa impressa em azul na parte oblíqua 
inferior da tecla. Para acionar a função alternativa em azul é necessário pressionar primeiro a tecla 
azul de prefixo g, que está em azul. Para acionar a função alternativa em amarelo ou laranja, que 
está impressa acima da tecla, é necessário acionar a tecla amarela f.
A tecla ENTER é primordial para a entrada dos dados, uma vez que a calculadora trabalha com 4 
tambores ao mesmo tempo. 
VIDEO: 
"JUROS 
COMPOSTOS, HP 
12C"
Linha Financeira
Teclas comuns em 
calculadoras científicas
Teclas Especiais
Acesso Função Amarela
Acesso Função Azul
Acesso à memória
EntradaLigar e Desligar
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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Vejamos um exemplo de cálculos simples operacionalizados na calculadora HP 12C. Efetue os 
cálculos na HP 12C e anote os passos das teclas apertadas.
» 2 + 3 → 2 ENTER 3 + → visor 5
» 2 + 8 – 4 → Aperte CLX para limpar o visor antes de começar resolvendo → 2 ENTER 8 + 4 -
 → Visor 6.
Para mais exemplos de cálculos na HP 12C, acesse o manual da HP 12C, página 19, disponível em: 
FUNÇÕES DE LIMPEZA:
01_A tecla CLX limpa o visor.
02_A combinação f ∑ apaga os registradores estatísticos, os registradores da pilha operacional e 
o visor.
03_A combinação f PRGM apaga a memória de programação. 
04_A combinação f FIN apaga os registradores financeiros. 
05_A combinação f REG apaga os registradores de armazenamento de dados, os registradores 
financeiros, os registradores da pilha operacional e o visor. 
Para programar o número de casas decimais devem aparecer no visor:
» 4 casas decimais: f 4
» 2 casas decimais: f 2, assim por diante.
VIDEO: 
"HP 12C 
CALCULADORA 
FINANCEIRA - GUIA 
DO USUÁRIO"
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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FUNÇÕES FINANCEIRAS 
Embora as funções financeiras façam os juros compostos e simples, não é muito didático utilizá-
-las na capitalização simples. Portanto, a disciplina apresentará somente os cálculos financeiros 
na HP 12C na capitalização composta.
FUNÇÕES FINANCEIRAS
n = prazo (tempo)
i = taxa de juros (%)
PV = Valor presente ou capital
PMT = Valor da prestação
FV = Valor futuro ou montante
Observe que, como falado anteriormente, a tecla da calculadora HP 12C pode ter até 3 funções, 
branca, amarela e azul. Na linha das funções financeiras destacadas aqui, usaremos as três fun-
ções na linha das funções financeiras.
OUTRAS TECLAS
Colocando o número negativo - 2 (2 CHS), caso o número esteja negativo no visor e você queira 
colocá-lo positivo, aperte CHS; a tecla inverterá de positivo para negativo e vice-versa.
% → 10% de 600 = 600 ENTER 10% = visor 60
Yx → potência 23 = 2 ENTER 3 YX = visor 8
√x → √4 = 4 ENTER g √x = visor 2
A HP 12C só faz direto raiz quadrada; na raiz cúbica de 8 deve-se eliminar a raiz ficando 81/3, na 
HP 12C.
8 ENTER 3 1/X Yx = visor 2
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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TEXTO: 
"HP 12C CALCULADORA 
FINANCEIRA" 
TEXTO: 
"CALCULATORS"
SITE: 
"CALCULADORA 
FINANCEIRA HP 12C 
(VIDEO AULA)" 
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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RESUMO:
A calculadora HP 12C é um poderoso instrumento que auxilia os cálculos financeiros. Embora não 
seja obrigatória sua aquisição, é de extrema importância aprender a manuseá-la. 
Na atualidade é possível baixar o aplicativo da HP 12C no celular para que seja utilizada na resolu-
ção dos problemas matemáticos.
Não deixe de ler o manual e assistir a vídeos de curso de HP 12C que contenham as funções bási-
cas e financeiras que serão aplicadas no decorrer da disciplina. 
UNIDADE 2 : CALCULADORA HP 12C
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REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
UNIDADE 3
Regime de 
Capitalização Simples
3.1 Juros 
3.2 Capitalização simples 
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UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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3.1 JUROS
Conforme foi afirmado anteriormente, a matemática financeira trata do estudo do dinheiro no 
tempo; se você tem uma nota de R$ 100 hoje, você não terá o mesmo poder de compra daqui 
a um ano, considerando essa mesma nota. Portanto, receber uma quantidade e dinheiro hoje 
ou no futuro não é a mesma coisa. Neste sentido, são os juros que efetivam o adiantamento do 
consumo de um bem ou serviço incentivam a formação de poupança, de modo a gerar novos 
investimentos na economia como um todo. As taxas de juros, segundo Assaf Neto (2008) devem 
ser eficientes, de maneira a remunerar:
01_O risco envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, representando a incerteza com 
o futuro;
02_A perda do poder de compra do capital devido à inflação;
03_Deve gerar lucro ao proprietário de capital, como forma de compensar a sua privação do ca-
pital por determinado período do tempo.
Embora o uso da capitalização simples não seja usual no mercado financeiro, ele mesmo deve ser 
estudado, pois apresenta sua relevância. 
3.2 JUROS SIMPLES
Você já deve ter ouvido falar em juros simples ou juros sobre juros - este último tipo é mais co-
nhecido, por ser praticado no mercado financeiro. Quando você aplica seu dinheiro na poupan-
ça, receberá juros sobre juros, mas antes de irmos para a capitalização composta, teremos que 
aprender a capitalização simples. 
https://imef.furg.br/images/stories/jm_extra3.pdf
https://imef.furg.br/images/stories/jm_extra3.pdf
UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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Nos juros simples, ou o que é chamado capitalização simples, os juros incidem sobre o capital 
inicial, sendo bem fácil seu cálculo e aplicação; o valor dos juros é constante, linear. Temos as fór-
mulas a seguir para a execução dos cálculos dos juros simples.
J = Juros
P = Capital J = P · n · i
i = Taxa de Juros ( % )
M = Montante M = P + J
n = Período
Imagine que você gostaria de comprar um veículo, mas não tem o capital disponível para efetuar 
a compra à vista na concessionária X. Seu irmão mais velho é muito bondoso e se dispõe a ajudá-
-lo, lhe fornecendo o capital necessário para a compra do veículo e lhe cobrando somente os juros 
simples de 1% ao mês. O capital necessário para a compra do veículo hoje é de R$ 30.000, a ser 
pago após 30 meses. Calcule o saldo do montante e os juros pagos a seu irmão. 
RESOLUÇÃO:
P = R$ 30.000,00
i = 1% a. m (ao mês)
n = 30 meses
M = ?
J = ?
J = P · i · n
J = 30.000 · 0,01 · 30 
J = R$ 9.000,00
M = J + P
M = 30.000 + 9.000
M = R$ 39.000,00
UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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RESUMO:
Nesta unidade, você aprendeu como são operacionalizados os juros simples, que incidem so-
mente sobre o capital inicial. Embora não seja praticado pelo mercado financeiro, o conteúdo se 
faz relevante até para futuras comparações com a capitalização composta. 
Vale ressaltar que no estudo desta unidade você reforçou os conceitos iniciais das unidades an-
teriores, tais como capital, juros, montante, taxa de juros e prazo. Precisaremos de uma excelente 
fixação destes conceitos. 
Bons estudos!
UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES UNIDADE 3 : REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
UNIDADE
Taxas Em Juros Simples 
E Compostos
4
4.1 Taxas proporcionais
4.2 Taxa nominal e taxa efetiva
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32
UNIDADE 4 : TAXAS EM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
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4.1 TAXAS PROPORCIONAIS
Nos problemas práticos do dia a dia, as taxas nem sempre são fornecidas no período de tempo 
que precisamos para efetuar os cálculos financeiros, sendo necessária sua transformação.
Um exemplo típico que necessita de transformação seria o de uma taxa (%; i) dada ao ano e o 
período (n) de uma aplicação, que é dado em meses. Vejamos uma aplicação nos juros simples.
i = 24% a.a. (deve-se transformar para ficar em meses; ou transformar o prazo “n” para ano)
n = 8 meses
Neste sentido, as taxas proporcionais são aquelas referenciadas em uni-
dades de tempo diferentes que, ao serem utilizadas a um mesmo capital, 
considerando o mesmo prazo produzirão o mesmo montante no final da 
aplicação, conforme os juros simples (PUCCINI, 2009).
i = 24% a.a. é igual a 2% a.m.
Considerando um prazo de 8 meses, irá gerar o mesmo montante ao final. Veja a seguir:
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" 
M = J + P
M = 1.000 · 0,6667 · 0,24 + 1.000
M = 160, 00 + 1.000
M = R$ 1.160,00
CONSIDERANDO A TAXA AO ANO CONSIDERANDO A TAXA AO MÊS
P = R$ 1.000,00
n = 8 meses 
i = 24% a.a. (2% a.m.)
M = ? 
DADOS
M = J + P
M = 1.000 · 8 · 0,02 + 1.000
M = 160, 00 + 1.000
M = R$ 1.160,00
UNIDADE 4 : TAXAS EM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
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Deste modo, pode-se confirmar que a taxa de 24% ao ano é proporcional a 2% ao mês na capita-
lização simples, uma vez que gerou o mesmo montante de R$ 1.160,00 para um mesmo capital e 
prazo.
4.2 TAXA NOMINAL E EFETIVA
A taxa de juros nominal está sempre referenciada ao ano, já os períodos de capitalização são dife-
rentes, podendo ser referenciados ao mês, ao bimestre e outras unidades de tempo diferentes de 
ano. Deste modo, uma taxa nominal deve ser convertida ou o prazo transformado em ano.
Puccini (2009) ressalta que, embora a taxa nominal seja bastante utilizada no mercado, não deve 
ser aplicada na capitalização composta sem que antes seja transformada em taxa efetiva. Na 
Unidade 5, em que trataremos a capitalização composta, a taxa nominal será retomada para que 
possa ser ajustada para fins de capitalização composta. 
Já a taxa de juros efetiva, conforme Puccini (2009, p. 62) 
[...] é aquela em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
Exemplos, 2% ao ano, capitalizado ao ano; 10% ao mês, capitalizado por mês.
Portanto, ao utilizar uma taxa efetiva não haverá nenhuma necessidade de 
transformação na taxa ou no prazo, podendo ser aplicada diretamente nas 
funções financeiras ou planilhas (PUCCINI, 2009).
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UNIDADE 4 : TAXASEM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
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RESUMO:
Na capitalização simples, a transformação da taxa de juros é bem prática e fácil de ser efetuada; o 
mesmo não acontece na capitalização composta, que será apresentada nas próximas unidades. 
A Unidade 4 apresentou os conceitos de taxas proporcionais, nominal e efetiva que podem ser 
aplicados nos juros simples diretamente ou transformados sempre que a unidade de tempo for 
igual à taxa de juros. 
UNIDADE 4 : TAXAS EM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
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REFERÊNCIA:
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática fi-
nanceira. Capítulo 1. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. Capítulo 6. 
7. ed. São Paulo: Atlas, 2015.
UNIDADE
Regime De Juros Compostos
5
5.1 Cálculo de juros compostos e suas aplicações nas fórmulas e HP 12C
5.2 Juros compostos no Excel 
5.3 Taxas equivalentes
5.4 Taxa nominal e efetiva em juros compostos
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UNIDADE 5 : REGIME DE JUROS COMPOSTOS
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5.1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA X SIMPLES
Na capitalização composta, os juros de um período são incorporados ao capital para o cálculo do 
período seguinte, podendo ser chamados de “juros sobre juros”. Segundo Penido (2008), os juros 
compostos também podem ser denominados de anatocismo.
Diferente dos juros simples, que são constantes, na capitalização composta o valor dos juros cres-
ce exponencialmente, como em progressão geométrica. Veja o comparativo dos dois métodos. 
FONTE: Elaborado pela autora.
Veja a tabela demonstrando os cálculos dos juros simples e compostos, considerando o mesmo 
capital, tempo e taxa de juros. 
FONTE: https://imef.furg.br/images/stories/jm_extra3.pdf
DIFERENÇAS: JUROS SIMPLES X COMPOSTO
SIMPLES COMPOSTO
Capitalização Simples é aquela em que a taxa (%) 
de juros incide somente sobre o capital inicial, 
portanto não incide sobre o juros acumulados.
Portanto o valor do juros tende a ser constante.
Juros Compostos ou Capitalização Composta é 
aquela em que o juros incide sobre o capital 
inicial, acrescido do juros acumulados até o pe-
ríodo anterior.
"Juros sobre juros"
Portanto o juros cresce em função do tempo.
TABELA: CÁLCULO A JUROS COMPOSTOS
n
1
2
3
4
JURO POR PERÍODO MONTANTE
1000 · 0,2 = 200
1200 · 0,2 = 240
1440 · 0,2 = 288
1728 · 0,2 = 345,6
R$ 1200,00
R$ 1440,00
R$ 1728,00
R$ 2073,60
https://imef.furg.br/images/stories/jm_extra3.pdf
UNIDADE 5 : REGIME DE JUROS COMPOSTOS
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O gráfico a seguir compara o crescimento do valor dos juros no método simples e composto.
O gráfico acima mostra as evoluções no tempo do montante a juros simples e composto, consi-
derando a mesma taxa de juros. 
O montante é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a 
taxa de juros utilizada e a um mesmo capital. 
Portanto, verifica-se, ao utilizar as tabelas de cálculos dos juros simples e composto que antece-
dem o gráfico, que na capitalização simples os juros ao mês serão sempre R$ 200,00, pois repre-
sentam 2% ao mês do capital inicial de R$ 1.000,00, tornando-se linear, como demonstra o gráfico. 
Na capitalização composta, os juros do primeiro mês são de R$ 200,00, sendo 2% a.m. sobre o 
capital inicial de R$ 1.000,00. Já no segundo mês a base de cálculo que incidirá os juros será sobre 
o saldo acumulado do mês anterior (mês 1), 2% sobre R$ 1.200,00, correspondendo aos juros R$ 
240,00 no segundo mês e assim para os outros meses. Deste modo, fica exemplificada a diferen-
ça dos dois métodos, o primeiro (linear) e o segundo (exponencial). 
5.2 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS E SUAS APLICAÇÕES
Os conceitos das variáveis utilizadas nos juros simples são os mesmos dos juros compostos. O que 
muda é a base de cálculo que incide sobre os juros, como apresentado na parte 1 desta unidade. 
1
C0
Montante (M)
Composto
tempo (t)
Simples
UNIDADE 5 : REGIME DE JUROS COMPOSTOS
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Seguem as fórmulas para os cálculos da capitalização composta:
M = P · ( 1 + i ) n
Outras fórmulas:
P = M · 1 
 ( 1 + i )
n
n = log M
 P
 log ( 1 + i )
i = M -1 · 100
 P
Aplicações:
01_Para a compra de um imóvel, seu tio irá lhe emprestar um capital de R$ 30.000,00 a juros 
compostos de 1% ao mês. Você deverá paga-lo após 30 meses. Calcule o saldo do montante total 
pago ao seu tio e o valor dos juros.
RESOLUÇÃO:
P = R$ 30.000,00
i = 1% a. m (ao mês)
n = 30 meses
M = ?
J = ?
Resolvendo na HP 12C (juros compostos).
f CLX (limpar funções)
30 000 CHS PV 1 i 30 n FV 40 435,47 (Visor, resposta do montante)
( ( ) ) √n
M = P · (1+ i)n
M = 30.000 · (1+ 0,01)30
M = 30.000 · (1,01)30
M = 30.000 · 1,3478 
M = R$ 40.435,47
J = M - P
J = 40.435,47 – 30.000
J = R$ 10.435,47
) ( 
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i.
02_Seu tio lhe emprestou um capital de R$ 30.000,00 a juros compostos de 1% ao mês. Você pa-
gou a seu tio o valor de R$ 40.435,47. Quanto tempo você levou para pagá-lo?
RESOLUÇÃO:
P = R$ 30.000,00
i = 1% a. m (ao mês)
M = 40.435,47
n = ?
Resolvendo na HP 12C (juros compostos).
f CLX (limpar funções)
30 000 CHS PV 1 i FV 40 435,47 n 30 (Visor, resposta do prazo)
03_Sua tia lhe emprestou um capital de R$ 30.000,00 a juros compostos. Você pagou a ela o valor 
de R$ 40.435,47, após 30 meses. Qual foi a taxa de juros cobrada?
RESOLUÇÃO:
P = R$ 30.000,00
n = 30 meses
M = 40.435,47
i = ?
i = M -1 · 100
 P
i = {[ 30√(40435,47/30 000)] -1 } · 100
i = {[ 30√ 1,3478 ] -1 } 
i = {[1,3478 1/30 ] -1 } · 100
i = {[1,3478 0,0333 ] – 1 } · 100
i = { 1,01 – 1 } · 100 
i = 1% a.m 
( ) √n( ) 
n = log M
 P
 log ( 1 + i )
n = log 40435
 30000
 log ( 1 + 0,01 )
n = log 1,3478
 log 1,01
n = 0,1296
 0,0043
n = 30 meses
) ( 
) ( 
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Resolvendo na HP 12C (juros compostos).
f CLX (limpando funções)
30 000 CHS PV 30 n 40 435,47 FV i 1 (Visor, resposta da taxa%)
04_Para a compra de um imóvel, seu tio lhe emprestou certo capital a juros compostos de 1% ao 
mês. Você deverá paga-lo após 30 meses. Calcule o valor do capitalemprestado, sabendo que o 
valor total pago foi de R$ 40.435,47.
RESOLUÇÃO:
M = 40.435,47
n = 30 meses
i = ?
n = 30 meses
P = ?
Resolvendo na HP 12C, (juros compostos).
f CLX (limpando funções)
40 435,47 FV 30 n i 1 PV 30 000,00 (Visor, resposta do valor do capital)
5.3 TAXAS EQUIVALENTES
Teremos duas ou mais taxas referenciadas a períodos distintos equivalentes quando produzirem 
o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. 
Na capitalização composta, toda vez que for necessária a transformação da taxa de juros (i), de-
ve-se aplicar o conceito de taxa equivalente. Para calcular as taxas equivalentes, temos a fórmula 
a seguir:
iq = taxa que quero
it = taxa que tenho
q = prazo que quero
t = prazo que tenho
P = M · 1 
 ( 1 + i )
n
P = 40.435,47 · (1/(1 + 0,01)30
P = 40.435,47 · (1/(1,01)30
P = 40.435,47 · (1/1,3478)
P = 40.435,47 · 0,7419
P = R$ 30.000,00
iq = ( 1 + it ) - 1 * 100
q
 t
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APLICAÇÃO
Julia irá financiar seus estudos a uma taxa de 15% ao ano, porém só irá fazer o financiamento de 1 
semestre. Calcule o montante a ser pago para um capital de R$ 6.000,00.
P = 6.000
n = 1 semestre
i = 15% a.a
M = ?
Conclui-se que a taxa equivalente de 15% ao ano é igual a 7,23% ao semestre, pois, considerando 
o mesmo capital (seis mil) e o mesmo prazo (um semestre), gera-se o mesmo montante final: 
R$ 6.434,28.
OBRIGATÓRIO: 
toda vez que você precisar transformar a taxa na capitalização composta, 
deve usar a fórmula de taxas equivalentes. Procure verificar se transformar 
o prazo não seria mais fácil do que a taxa.
1º PASSO:
PASSAR A TAXA PARA SEMESTRE
iq = ? ao semestre
it = 15% a.a
q = ao semestre – 6 meses
t = ao ano – 12 meses
iq = ( 1 + it ) - 1 · 100
iq = (1,15) - 1 · 100
iq = (1,15)0,5 - 1 · 100
iq = 1,0724 - 1 · 100
iq = 0,0724 · 100
iq = 7,2381% a.s
2º PASSO:
CALCULAR O MONTANTE
M = 6000 · (1,072381)1
M = R$ 6.434,28
q
 t
6
12
M = 6000 · (1,15)0,5
M = 6000 · 1,0724
M = R$ 6.434,28" 
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5.3 TAXA NOMINAL EM JUROS COMPOSTOS
Veja a diferença entre as duas taxas a seguir e como deve ser aplicada na capitalização composta.
 
 
 X 
APLICAÇÃO:
Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano, capi-
talizado bimestralmente durante 1 ano (composto). 
M = ?
n = 1 ano
i = 79,59% aa
P = 1500
TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA
Quando a unidade de tempo não é a mesma que 
a do prazo. 
Exemplo: 
Taxa nominal igual a 12% ao ano (i) e o Prazo (n) é 
dado ao mês.
A taxa nominal sempre vem referenciada ao ano, 
segundo Puccini (2009). Nunca deve ser aplicada 
nos juros compostos, somente nos juros simples.
Na capitalização simples, utiliza-se a taxa efeti-
va a partir da proporcionalidade em relação à 
taxa nominal. 
Exemplo: 
12% ao ano (i) capitalizados mensalmente é 
igual a 12% ao ano/12 meses = 1% ao mês. 
Na capitalização composta, deve-se achar a 
taxa efetiva a partir da taxa nominal e poste-
riormente transformá-la em taxa equivalente, 
caso queira voltar a taxa para ano.
Exemplo: 
Taxa nominal = 12% a.a., capitalizada ao mês – 
12% a.a. /12 meses = taxa efetiva 1% a.m. 
Para voltar a taxa para ao ano nos juros com-
postos = {[(1+ 0,01)12] – 1} x 100 = 12,6825% a.a.
1º PASSO:
TRANSFORMAR EM TAXA EFETIVA AO MÊS
60% a. a = 5% a. m
iq = (1,05) 12/1 - 1 · 100
iq = 1,7959 - 1 · 100
iq = 0,7959 · 100
iq = 79,59% a.a.
2º PASSO:
CALCULAR O MONTANTE
M = 1500 · (1,7959)1
M = R$ 26.937,85
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VIDEO: 
"COMO CALCULAR 
JUROS USANDO 
A CALCULADORA 
HP12C"
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RESUMO:
Nesta unidade, você aprendeu como são calculados os juros compostos praticados pelo mercado 
financeiro. Caso você faça um investimento, por exemplo, receberá “juros sobre juros”, conforme 
proposto pela capitalização composta. 
Você também pode comparar os juros compostos com os juros simples e identificar as diferenças 
nos seus cálculos. 
Vale ressaltar um conceito importante estudado na Unidade 5: as taxas equivalentes aplicadas na 
capitalização composta, uma vez que se tornam obrigatórias toda vez que se for mudar a unida-
de de tempo de uma taxa de juros. Além das taxas equivalentes, verificou-se que a taxa nominal 
exige transformação para taxa efetiva e equivalente para a aplicação nas fórmulas dos juros com-
postos. 
Esperamos que você aplique em breve todo conhecimento apresentado até agora, tanto na vida 
profissional como pessoal. Bons investimentos e opções de financiamento!
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REFERÊNCIA:
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 
Parte II. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira Fácil. Capítulo 10. 14. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2009.
UNIDADE
Desconto Simples
6
6.1 Desconto racional simples (por dentro)
6.2 Desconto comercial simples (por fora)
6.3 Cálculo do valor do desconto simples para uma série de títulos de mesmo 
valor
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É comum no mercado financeiro a operação de desconto de títulos, que consiste em pegar um 
valor futuro e trazê-lo a valor presente, descontado a uma determinada taxa percentual. Um 
exemplo comum é a venda de uma empresa na data de hoje, concedendo um prazo recebimen-
to de 30 dias para o cliente. Quando a empresa vende a prazo ela gera um título a receber, seja 
uma boleta, uma duplicata a receber que terá vencimento no futuro. Caso a organização esteja 
precisando de dinheiro antes do vencimento do título, ela pode ir a uma instituição financeira e 
descontar o título, ou seja, o banco lhe pagará uma quantia menor que o valor do título. Essa dife-
rença entre o valor do título e o valor recebido da empresa pelo o banco é chamada de desconto, 
que representa a parte do banco por antecipar o dinheiro da organização. As variáveis utilizadas 
nos cálculos dos descontos são:
D = desconto
VN = valor nominal (valor de face), ou valor futuro
VR ou VA = valor de resgate ou valor atual
id = taxa de desconto
n = prazo 
D = VN – VA
Considerando-se um exemplo de um título com vencimento para 30 dias no valor de R$ 100.000,00 
que gerou um valor atual de R$ 97.000,00 para a empresa. O valor do desconto (parte recebido 
pela instituição financeira) é a diferença do valornominal do título e o valor de resgaste da em-
presa, resultando em R$ 3.000,00.
D = 100.000 – 97.0000 
D = R$ 3.000,00
O cliente paga 100.000 na data do vencimento, o dinheiro fica todo para o banco. O banco an-
tecipa o título para a empresa no valor de 97.000, ficando com 3.000, que seria o seu ganho na 
transação de desconto de títulos.
A empresa recebe 97.000 do banco agora (na data de hoje), ou seja, recebe um valor menor que 
o título, pois precisa de recursos financeiros neste momento, não pode esperar os 30 dias para 
receber do cliente o valor total de 100.000.
UNIDADE 6 : DESCONTO SIMPLES
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Portanto, conforme Mathias e Gomes (2011), desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal; 
valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o valor de resgate.
6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES (POR DENTRO)
O desconto racional simples (por dentro) trata das mesmas fórmulas da capitalização simples, 
conforme a seguir.
DRS = VA . i . n
VN = VA . (1 + i . n)
VA = VN / (1 + i . n)
i = [(D / VA) . 100)] / n
n = D / (VA . i)
A única mudança do chamado desconto racional simples para a capitalização simples é o nome 
das variáveis, tais como:
VA ou VR = P ou PV ou C de Capital; 
VN = FV montante ou valor futuro
APLICAÇÃO
Uma pessoa pretende saldar um título no valor total de R$ 5.500,00 3 meses antes do seu venci-
mento. Sabe-se que a taxa de juros é de 40% a.a. Qual o desconto e o valor atual?
VN = 5.500
i = 40% a.a. = 3,33% a.m.
n = 3 meses
D = ?
VA = ?
VA = VN / (1 + i · n)
VA = 5.500 / (1 + 0,0333 · 3)
VA = 5.500 / (1 + 0,10)
VA = 5.500 / 1,10
VA = R$ 5.000,00
DRS = VA · i · n ou D = VN - VA
D = 5.000 · 0,0333 · 3
D = R$ 500,00
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6.2 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (POR FORA)
Esse conceito é mais utilizado em determinadas operações bancárias, tais como desconto de 
duplicatas, desconto de cheques, e outros títulos. Também pode ser conhecido como desconto 
bancário, desconto comercial ou desconto “por fora”. As fórmulas para a operacionalização dos 
cálculos financeiros são apresentadas a seguir.
DCS = VN . i . n
VA = VN . (1 – i . n)
i = (D/VN) . 100
VN = VA . (1- i . n)
n = D /(VN . i)
OBSERVAÇÕES: 
iefetiva = icomercial / (1 - icomercial · n)
icomercial = iefetiva / (1 + iefetiva · n)
FIQUE ATENTO: 
A classificação dos descontos se limita a simples (ou “por fora”, ou bancá-
rio) e composto. O desconto chamado “por dentro” (ou racional), não pas-
sa de uma aplicação de juros simples sobre o capital inicial. Caso alguma 
questão seja dada de juros simples e peça para calcular o desconto, sem 
detalhar se é racional ou comercial, deve-se usar o COMERCIAL.
APLICAÇÃO
Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente e o desconto correspondente ao adian-
tamento de uma duplicata no valor de R$ 34.000, com prazo de 30 dias, sabendo-se que o banco 
está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,0% a.m.; considere o desconto comer-
cial simples.
VN = 34.000
n = 30 dias
id = 4% a.m.
VA = ?
D = VN · i · n
D = 34.000 · 0,04 · 1
D = R$ 1.360,00
VA = VN · (1 – i · n) ou VA = VN – D
VA = 34.000 · (1 – 0,04 · 1)
VA = 34.000 · 0,96
VA = R$ 32.640,00
UNIDADE 6 : DESCONTO SIMPLES
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6.3 CÁLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA UMA SÉRIE DE TÍTU-
LOS DE MESMO VALOR
DT : desconto total
VN : valor nominal de cada título
id : taxa de desconto
n : número de títulos
t1 : prazo de antecipação do 1º título
tn : prazo de antecipação do último título
DT = VN · id · n · t1 + tn
 2
APLICAÇÃO 
Sua empresa emitiu cinco duplicatas no valor de R$ 32 mil cada uma, com vencimento para 30, 
60, 90, 120 e 150 dias, que serão descontadas do Banco Paga Mais. Sabendo-se que a taxa desta 
operação é de 4% a.m., responda às questões a seguir.
01_Calcular o valor de desconto de cada duplicata.
RESOLUÇÃO
DUPLICATA 1:
D = 32.000 x 0,04 x 1
D = R$ 1.280,00
DUPLICATA 4:
D = 32.000 x 0,04 x 4
D = R$ 5.120,00
DUPLICATA 2:
D = 32.000 x 0,04 x 2
D = R$ 2.560,00
DUPLICATA 3:
D = 32.000 x 0,04 x 3
D = R$ 3.840,00
DUPLICATA 5:
D = 32.000 x 0,04 x 5
D = R$ 6.400,00
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UNIDADE 6 : DESCONTO SIMPLES
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02_Calcular o desconto total concedido. 
DT = 1.280 + 2.560 + 3.840 + 5.120 + 6.400
DT = R$ 19.200,00
Usando a fórmula desconto de títulos para uma série de duplicatas de mesmo valor
DT = VN · id · n · t1 + tn
 2
DT = 32.000 x 0.04 . 5 x (1 + 5 / 2)
DT = 6.400 x (6/2) 
DT = 6.400 x 3 
DT= R$ 19.200,00
03_Calcular o valor total resgatado. 
VA = 32.000 x 5 – 19.200
VA = 160.000 – 19.200
VA = R$ 140.800,00
) ( 
UNIDADE 6 : DESCONTO SIMPLES
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RESUMO:
Nesta unidade você aprendeu como efetuar os cálculos do desconto simples “por dentro” e “por 
fora”. Como relatado no início da unidade, é comum as empresas efetuarem o desconto de títulos, 
boletas, cheques, valores a receber de modo geral com o objetivo de gerar capital de giro.
Portanto, caso a organização esteja precisando de recursos financeiros antes do vencimento do 
título, ela pode ir a uma instituição financeira e descontar este título; o banco lhe pagará uma 
quantia menor por antecipar o capital. Essa diferença entre o valor do título e o valor recebido da 
empresa pelo o banco é chamada de desconto, que representa a parte do banco por antecipar o 
dinheiro da a organização.
Ressalta se ainda que a metodologia usada para desconto simples é a comercial, “por fora”, uma 
vez que o cálculo “por dentro” aborda a capitalização simples.
UNIDADE 6 : DESCONTO SIMPLES
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REFERÊNCIA:
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
UNIDADE
Desconto Composto
7
7.1 Desconto racional composto (por dentro)
7.2 Desconto comercial composto (por fora)
55
56
UNIDADE 7 : DESCONTO COMPOSTO
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Assim como no desconto simples, o composto terá dois tipos: o desconto racional composto, 
chamado de “por dentro”, que trata da mesma fórmula da capitalização composto, alterando os 
nomes das variáveis, e o desconto comercial “por fora”.
7.1 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (POR DENTRO)
O desconto racional composto, “por dentro”, trata da capitalização composta, conforme as fórmu-
lasa seguir.
DRC = VN · {[ (1 + i)n – 1 ]/ [(1+ i) n] }
DRC = VA . [ (1+i)n – 1]
VA = VN
 (1+i) n
VN = VA . (1 + i) n
n = log (VN / VA) / log (1+ i)
i = { [ n ] – 1} . 100
APLICAÇÃO 
A empresa X desconta um título no valor nominal de R$ 112.000,00 quatro meses antes do seu 
vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 1,5% ao mês. Calcule 
o valor do desconto e o valor atual desta operação.
VN = 112.000
i = 1,5% a.m.
n = 4 meses
D = ?
VA = ?
VA = VN / (1 + i)n
VA = 112.000 / (1,015)4
VA = 112.000 / 1,0614
VA = R$ 105.521,00
UNIDADE 7 : DESCONTO COMPOSTO
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D = VN – VA 
D = 112.000 – 105.521,00
D = R$ 6.479,00
Na HP 12C
Achando o VA = PV
112.000 CHS PV 4 n 1,5 i PV -105.524,63 (Visor da calculadora, resposta do VA).
A diferença de valor de R$ 3,63 é porque nos cálculos através das fórmulas foram usadas só 4 ca-
sas decimais, e na HP 12C os cálculos consideraram todas as casas decimais.
7.2 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (POR FORA)
Quando uma resolução de problemas exige o cálculo de desconto composto e não explicita se é 
o desconto racional ou comercial, deve-se utilizar o desconto comercial composto, também cha-
mado de “por fora”. Seguem as fórmulas para a operacionalização dos cálculos financeiros. 
DCC = VN . [ 1 - (1 - i) n]
VN = VA / (1 - i) n
VA = VN . (1 - i) n
n = log (VA / VN) / log (1 - i)
i = {1- [ n ] } . 100
DRC = VN . {[ (1+i)n – 1 ]/ [(1+ i) n] }
D = 112.000 x { [(1,015) 4 – 1 ] / [(1,015)4]}
D = 112.000 x [ 1,0614 – 1 ]/ 1,0614
D = 112.000 x { 0,0614 / 1,0614}
D = 112.000 x 0,0578
D = R$ 6.479,00
DRC = VA . [ (1+i)n – 1]
D = 105.521 x [(1,015) 4 – 1]
D= 105.521 x[(1,0614 – 1]
D = 105.521 x 0,0614
D = R$ 6.479,00
UNIDADE 7 : DESCONTO COMPOSTO
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APLICAÇÃO
A empresa X desconta um título no valor nominal de R$ 112. 000,00 quatro meses antes do seu 
vencimento, por meio de um desconto comercial composto calculado à taxa de 1,5% ao mês. Cal-
cule o valor atual e o valor do desconto.
VN = 112.000
i = 1,5% a.m
n = 4 meses
D = ?
VA = ?
VA = VN . (1 - i)n
VA = 112.000 x (1 – 0,015)4
VA = 112.000 x (0,9850)4
VA = 112.000 x 0,9413 
VA = R$ 105. 425,60
DCC = VN . [ 1- (1- i)n]
D = 112.000 x [ 1 - (1 – 0,015)4 ]
D = 112.000 x [ 1 – (0,9850)4 ]
D = 112.000 x [ 1 – 0,9413 ]
D = 112.000 x 0,0587
D = R$ 6.574,40
D = VN – VA
D = 112.000 – 105.425,60
D = R$ 6.574,40
UNIDADE 7 : DESCONTO COMPOSTO
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RESUMO:
Nesta unidade você aprendeu como efetuar os cálculos do desconto composto “por dentro” e 
“por fora”. Como relatado no início da unidade, é comum as empresas efetuarem o desconto de 
títulos, boletas, cheques, valores a receber, de modo geral, com o objetivo de gerar capital de giro.
Portanto, caso a organização esteja precisando de recursos financeiros antes do vencimento do 
título, ela pode ir a uma instituição financeira e descontar o este título; ou seja, o banco lhe paga-
rá uma quantia menor por lhe antecipar o capital. Essa diferença entre o valor do título e o valor 
recebido da empresa pelo o banco é chamada de desconto, que representa a parte do banco por 
antecipar o dinheiro da a organização.
 
Ressalta-se ainda que a metodologia usada para desconto composto é a comercial “por fora”, 
uma vez que a racional o “por dentro” aborda a capitalização composta.
UNIDADE 7 : DESCONTO COMPOSTO
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REFERÊNCIA:
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
UNIDADE
Prestações
8
8.1 Renda certa postecipada
8.2 Renda certa antecipada
61
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UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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Esta unidade consiste em apresentar as fórmulas aplicadas na solução de problemas matemáti-
cos envolvendo uma série uniforme de pagamentos ou recebimentos de um período de tempo 
consecutivos.
Esta modalidade também pode ser chamada de prestações; quando compramos um eletrodo-
méstico na loja por exemplo, pagamos um número “x” de prestações de mesmo valor; estamos 
então falando de uma série uniforme de pagamentos (iguais).
O diagrama de fluxo de caixa a seguir ilustra bem no pagamento ou recebimento de uma série 
de parcelas iguais:
Conforme o diagrama, imagine a compra de um fogão que à vista custaria R$ 1.199,00, mas como 
você não dispõe do valor a prazo, irá comprá-lo em 20 vezes de R$ 99,90. Esta unidade irá detalhar 
os cálculos financeiros envolvidos nas chamadas prestações, ressalta-se que existem dois tipos: as 
postecipadas e antecipadas, conforme apresentadas a seguir.
8.1 RENDA CERTA POSTECIPADA
As séries de pagamentos, ou prestações em termos postecipados, são vencimentos sucessivos de 
valores iguais. Seguem as características dos termos postecipados:
01_O prazo (n) se mantém constante entre uma prestação e a prestação seguinte, como por 
exemplo vencimento de 30 em 30 dias;
02_O número de prestações (PMT) é finito e todas são de mesmo valor;
03_O vencimento de cada prestação acontecerá no final de cada período (postecipado).
Seguem as fórmulas dos termos postecipados de uma série de pagamentos uniforme:
» PMT = FV · i 
 (1 + i)n – 1
1 2 3 4 5 ...
PMT = 99,90
6 7 8 9 20
1.199,00
0
UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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» PMT = PV · [(1 + i)n · i ]
 [(1 + i)n - 1]
» PV = PMT · [(1 + i)n - 1] 
 [(1 + i)n · i] 
» FV = PMT · [(1 + i)n – 1]
 i 
APLICAÇÃO
Uma empresa quer comprar um servidor novo no valor de R$ 7.000,00 à vista, mas não dispõe 
do capital. Sabe-se que o fornecedor financia em 5 vezes à taxa de 1,5% ao mês. Apure o valor das 
prestações, considerando que terão vencimentos consecutivos por mês, sendo a primeira presta-
ção paga após os primeiros 30 dias.
PV = 7.000
i = 1,5% a.m
n = 5 prestações (postecipadas)
HP 12C
A observação que deve ser feita na HP 12C é que não pode aparecer a palavra “BEGIN” no visor da 
calculadora, para cálculos de prestações antecipadas; colocar: g END (tecla 8)
f clx
7.000 CHS PV 1,5 i 5 n PMT 1.463,63 
A diferença entre fórmula e a HP 12C é que pelas fórmulas usamos só 4 casas decimais e na HP 
12C se faz com todas as casas decimais. 
PMT = PV . {[(1 + i)n . i ]/ [(1 + i)n - 1]}
PMT = 7000 · { [(1,015)5 · 0,015 ] / [ (1,015)5 - 1]}
PMT = 7000 · { [1,0773 · 0,015 ] / 1,0773 – 1]}
PMT = 7.000 · { 0,0162 / 0,0773}
PMT = 7.000 · 0,2096
PMT = R$ 1.467,20
UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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8.2 RENDA CERTA ANTECIPADA
Nas séries de pagamentos iguais com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos 
ocorrem no início de cada período. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no 
momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo, ou do financiamento, ou de qual-
quer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações. Problemas des-
se tipo poderão ser resolvidos com o auxílio da tabela financeira, calculadora HP 12C ou manipu-
lação das fórmulas a seguir.
PMT= PV . { [(1+i)n . i ]/ [ (1+i)n -1] . (1+i)}
PMT= FV. { [ i /(1+i)n -1] . [1/(1+i)]}
PV = PMT . { [ (1+i)n -1 ]/[(1+i)n . i] . [(1+i)]} 
FV = PMT . {[(1+i)n -1]/ i . [(1+i)]}
A observação que deve ser feita na HP 12C é que deve aparecer a palavra “BEGIN”, para cálculos 
de prestações antecipadas; para colocar: g BEG (tecla 7) 
APLICAÇÃO
Uma empresa quer comprar um servidor novo no valor de R$ 7.000,00 à vista, mas não dispõe 
do capital. Sabe-se que o fornecedor financia em 5 vezes à taxa de 1,5% ao mês. Apure o valor das 
prestações, considerando que terão vencimentos consecutivos por mês, sendo a primeira pres-
tação paga no ato da compra.
PV = 7.000
i = 1,5% a.m
n = 5 prestações (antecipados)
PMT = PV . {[(1+i) n . i ]/ [(1+i)n -1] . (1+i)}
PMT = 7000 x { [(1,015) 5 x 0,015 ]/ [ (1,015)5 -1] x (1,015)}
PMT = 7000 x { [ 1,0773 X 0,015 ] / [ 1,0773 – 1] x 1,015}
PMT = 7.000 x { 0,0162 / [ 0,0773 x 1,015}
PMT = 7.000 x { 0,0162 / 0,0785 }
PMT = 7.000 x 0,2065
PMT = R$ 1. 445,33
UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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HP 12C
A observação que deve ser feita é que na HP 12C não pode aparecer a palavra “BEGIN” no visor da 
calculadora, para cálculos de prestações antecipadas; para colocar: g END (tecla 8)
f clx
7.000 CHS PV 1,5 i 5 n PMT 1.442,00
A diferença pela fórmula e pela HP 12C é que pelas fórmulas usamos só 4 casas decimais e na HP 
12C se faz com todas as casas decimais. 
UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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RESUMO:
No estudo da série uniforme de pagamento verificam-se dois métodos diferentes de cálculos: 
01_POSTECIPADOS: Trata-se de compras parceladas sem exigir entrada no ato.
02_ANTECIPADOS: Exigem entrada na aquisição do bem parcelado.
Ambos os cálculos tratam de parcelamento de compra com parcelas iguais e com juros. As fór-
mulas se diferenciam por se tratar do pagamento da entrada ou não no ato de aquisição. 
BONS ESTUDOS!
UNIDADE 8 : PRESTAÇÕES
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REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
UNIDADE
Sistema de Amortização
9
9.1 Sistema francês de amortização
9.2 Sistema de amortização constante (SAC)
9.3 Sistema americano (SA)
9.4 Sistema de amortização misto (SAM)
9.5 Aplicação na calculadora HP 12C, método SAC
68
70
71
72
74
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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i.
As modalidades de empréstimo ou financiamento, seja de uma casa, um 
imóvel e outros bens ou serviços, contará com os cálculos chamados de 
amortização. Toda prestação que você paga em datas predeterminadas é 
composta por duas partes, conforme nos ensina Penido (2008).
Amortização: é a parte da prestação que está sendo deduzida do valor inicial do empréstimo ou 
financiamento, portanto não computa os juros. 
Juros: é a parte que remunera o proprietário do capital pelo o tempo do capital emprestado; em 
outras palavras, uma espécie de “aluguel” cobrado pelo empréstimo do dinheiro.
Conforme exposto, um indivíduo ao pegar um empréstimo se obriga a pagar o valor principal 
(amortização) mais os juros devidos. O sistema de amortização visa calcular os juros sobre o sal-
do devedor utilizando juros compostos. Existem vários sistemas de amortização, dentre os quais 
estudaremos:
SAC: Sistema de amortização constante
SF: Sistema francês
SA: Sistema americano
SAM: Sistema de amortização misto
9.1 SAC – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Segundo Tosi (2007), 
é amplamente divulgado no Brasil, no mercado imobiliário; consiste em 
amortizar o principal da dívida por meio de prestações que vão diminuin-
do. A amortização, como o próprio nome já diz, é constante, ou seja, pos-
sui o mesmo valor para todos os períodos e é obtida pela divisão do valor 
do empréstimo pelo número de prestações do contrato, sendo o primeiro 
passo para apuração do SAC. 
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UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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APLICAÇÃO
Um empréstimo de R$ 100.000,00 deverá ser pago por meio de 10 parcelas mensais e sucessivas, 
vencendo a primeira 30 dias após a contratação. Segundo o SAC, construa a tabela demonstran-
do o comportamento da dívida.
Observe que o saldo devedor decresce em progressão aritmética, portanto o valor dos juros e 
das prestações decrescem também em valores fixos, neste exemplo aplicado em valores de R$ 
1.000,00.
SAC - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL:
1º PASSO 2º PASSO 3º PASSO 4º PASSO
A = VALOR DO EMPRÉSTI-
MO / TOTAL DE PARCELAS
AMORTIZAÇÃO (A)
--
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 100.000,00
J = SD ANTERIOR · 10%
JUROS (J)
--
R$ 10.000,00
R$ 9.000,00
R$ 8.000,00
R$ 7.000,00
R$ 6.000,00
R$ 5.000,00
R$ 4.000,00
R$ 3.000,00
R$ 2.000,00
R$ 1.000,00
R$ 55.000,00
PMT = JUROS + AMORTI-
ZAÇÃO
PRESTAÇÃO (PMT)
R$ 10.000,00
R$ 20.000,00
R$ 19.000,00
R$ 18.000,00
R$ 17.000,00
R$ 16.000,00
R$ 15.000,00
R$ 14.000,00
R$ 13.000,00
R$ 12.000,00
R$ 11.000,00
R$ 155.000,00
SD = SALDO DEVEDOR AN-
TERIOR - AMORTIZAÇÃO
SALDO DEVEDOR
R$ 100.000,00
R$ 90.000,00
R$ 80.000,00
R$ 70.000,00
R$ 60.000,00
R$ 50.000,00
R$ 40.000,00
R$ 30.000,00
R$ 20.000,00
R$ 10.000,00
--
PRAZO
VIDEO: 
"TABELA SAC 
USANDO A 
CALCULADORA HP 
12C - TABELA SAC 
PASSO A PASSO"
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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i.
9.2 SF – SISTEMA FRANCÊS (PRICE)
As prestações possuem valores iguais com periocidade constante e termos postecipados. A pres-
tação contém juros sobre o valor que será amortizado do valor principal. O sistema francês tam-
bém pode ser chamado de tabela Price.
O primeiro passo no sistema Price é calcular as prestações de acordo com os juros compostos e 
termos postecipados, conforme exposto na Unidade 8, parte 1.
APLICAÇÃO
Um empréstimo de R$ 100.000,00 deverá ser pago por meio de 10 parcelas mensais e sucessivas, 
vencendo a primeira 30 dias após a contratação. Segundo o SF, construa a tabela demonstrando 
o comportamento da dívida.
1º PASSO: PMT = PV x { [ (1+ i)n . i ] / [ (1+ i)n – 1]}
HP 12C: 100.000 CHS PV 10 i 10 n PMT 16.275,54, este mesmo valor de parcela da prestação para 
todos os períodos. 
Segue a tabela com os outros passos e fórmulas aplicadas ao sistema de amortização francês. 
SF - SISTEMA FRANCÊS OU PRICE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL:
1º PASSO 2º PASSO 3º PASSO 4º PASSO
PMT = PV · {[(1 + i)n 1 / [(1 + i)
n - 1]}
PRESTAÇÃO (PMT)
--
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 162.745,40
PMT = PV x {[ (1+ i)n . i ] / [(1+ 
i)n – 1]}
JUROS (J)
--
R$ 10.000,00
R$ 9.372,55
R$ 8.682,35
R$ 7.923,13
R$ 7.087,99
R$ 6.169,33
R$ 5.158,81
R$ 4.047,24
R$ 2.824,51
R$ 1.479,50
R$ 62.745,39
A = PMT - J
AMORTIZAÇÃO (A)
--
R$ 6.274,54
R$ 6.901,99
R$ 7.592,19
R$ 8.351,41
R$ 9.186,55
R$ 10.105,21
R$ 11.115,73
R$ 12.227,30
R$ 13.450,03
R$ 14.795,03
R$ 100.000,00
SD = SALDO DEVEDOR AN-
TERIOR - AMORTIZAÇÃO 
SALDO DEVEDOR (SD)
R$ 100.000,00
R$ 93.725,46
R$ 86.823,47
R$ 79.231,27
R$ 70.879,86
R$ 61.693,31
R$ 51.588,10
R$ 40.472,37
R$ 28.245,06
R$ 14.795,03
--
--
PRAZO
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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9.3 SA – SISTEMA AMERICANO “SINKING FUND” (FUNDO DE AMORTIZAÇÃO)
Os juros são pagos mensalmente, calculados sobre o valor principal do empréstimo. O valor amor-
tizado é igual ao valor do principal, mas só incide na última parcela do prazo, ou seja, a última 
prestação tem um valor muito alto, que consiste na quitação dos juros e da amortização total do 
principal, que ocorre no final do período de vencimento do financiamento.
APLICAÇÃO:
Sr. José tomou um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 pelo prazo de 10 meses, comprome-
tendo-se a pagar no final de cada mês juros e principal. A tabela a seguir mostra os valores pagos 
de juros ao mês e o estado da dívida, valores das prestações e o principal. Os juros incidem sobre 
o capital inicial, a amortização é paga somente no final do prazo, ou seja, no último vencimento, 
conforme proposta do SA.
LIMITAÇÕES
Por concentrar um pagamento “alto” na última parcela (saldo devedor mais juros), aconselha-se que 
o devedor constitua um fundo de amortização para que consiga quitar a última parcela. Segundo 
Tosi (2007), é um sistema pouco usado no Brasil, pois oferece risco assumido pelo financiador.
SA – SISTEMA AMERICANO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL:
1º PASSO 2º PASSO 3º PASSO 4º PASSO
J = CAPITAL INICIAL X 10%
JUROS (J)
--
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 110.000,00
R$ 100.000,00
PMT = J + A
PRESTAÇÃO (PMT)
--
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 110.000,00
R$ 200.000,00
A = VALOR DO EMPRÉSTI-
MO / TOTAL DE PARCELAS
AMORTIZAÇÃO (A)
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
R$ 100.000,00
R$ 100.000,00
SD = SALDO DEVEDOR AN-
TERIOR - AMORTIZAÇÃO 
 SALDO DEVEDOR (SD) 
R$ 100.000,00
R$ 90.000,00
R$ 80.000,00
R$ 70.000,00
R$ 60.000,00
R$ 50.000,00
R$ 40.000,00
R$ 30.000,00
R$ 20.000,00
R$ 10.000,00
--
--
PRAZO
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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9.4 SAM – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO
No sistema de amortização misto (SAM), calculam-se as prestações médias do sistema francês e 
o SAC. Depois seguem-se as mesmas etapas de operacionalização do sistema francês, apresen-
tado nesta unidade, na parte 1 e 2. 
APLICAÇÃO: 
Sr. José tomou um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 pelo prazo de 10 meses, comprometen-
do a pagar no final de cada mês juros e o principal. A tabela a seguir mostra os valores pagos de 
juros ao mês e o estado da dívida, valores das prestações e o principal, conforme o SAM.
Após calculadas as prestações médias entre o SAC e SF, dar continuidade aos cálculos da amorti-
zação conforme a tabela Price. 
SAM – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (MÉDIA DAS PRESTAÇÕES DO SF E SAC)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1º PASSO
PMT MÉDIA = (PMT SAC + 
PMT SF) / 2
AMORTIZAÇÃO (A)
--
R$ 18.137,27
R$ 17.637,27
R$ 17.137,27
R$ 16.637,27
R$ 16.137,27
R$ 15.637,27
R$ 15.137,27
R$ 14.637,27
R$ 14.137,27
R$ 13.637,27
PMT SAC
JUROS (J)
--
R$ 20.000,00
R$ 19.000,00
R$ 18.000,00
R$ 17.000,00
R$ 16.000,00
R$ 15.000,00
R$ 14.000,00
R$ 13.000,00
R$ 12.000,00
R$ 11.000,00
PMT SF
PRESTAÇÃO (PMT)
--
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
R$ 16.274,54
PRAZO
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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SAM – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (MÉDIA DAS PRESTAÇÕES DO SF E SAC)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL:
1º PASSO 2º PASSO 3º PASSO 4º PASSO
PMT MÉDIA = (PMT SAC + 
PMT SF) /2
PRESTAÇÃO (PMT)
--
R$ 18.137,27
R$ 17.637,27
R$ 17.137,27
R$ 16.637,27
R$ 16.137,27
R$ 15.637,27
R$ 15.137,27
R$ 14.637,27
R$ 14.137,27
R$ 13.637,27
R$ 158.872,70 
J = SALDO DEVEDOR ANTE-
RIOR X TAXA DE JUROS%
JUROS (J)
--
R$ 10.000,00
R$ 9.186,27
R$ 8.341,17
R$ 7.461,56
R$ 6.543,99
R$ 5.584,67
R$ 4.579,40
R$ 3.523,62
R$ 2.412,25
R$ 1.239,75
R$ 58.872,70
A = PMT - J
AMORTIZAÇÃO (A)
--
R$ 58.872,70
R$ 8.451,00
R$ 8.796,10
R$ 9.175,71
R$ 9.593,28
R$ 10.052,60
R$ 10.557,87
R$ 11.113,65
R$ 11.725,02
R$ 12.397,52
R$ 100.000,00
 SD = SALDO DEVEDOR AN-
TERIOR - AMORTIZAÇÃO 
SALDO DEVEDOR (SD)
R$ 100.000,00
R$ 91.862,73
R$ 83.411,73
R$ 74.615,64
R$ 65.439,93
R$ 55.846,65
R$ 45.794,05
R$ 35.236,18
R$ 24.122,53
R$ 12.397,51
--
--
PRAZO
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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9.5 APLICAÇÃO NA CALCULADORA HP 12C
A HP 12C faz o método do sistema de amortização francês. Veja os passos abaixo, conforme apli-
cações anteriores.
PV 100.000,00
n = 10 parcelas mensais e consecutivas
i = 10% ao mês.
HP 12C VISOR ETAPA
100.000 CHS PV PMT 
1 f AMOR
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCLPV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 f AMORT 
X<> y 
RCL PV 
1 16.274,54 
10.000,00
6.274,54
93.725,46
9.372,55
6.901,99
86.823,47 
8.682,35
7.7592,19
79.231,28
7.923,13
8.351,41 
70.879,87 
7.088,00
9.186,50 
61.693,40
6.169,34
10.105,16
51.588,24
5.158,82
11.115,68
40.472,56
4.047,26
12.227,24
28.245,32
2.824,53
13.449,97
14.495,03
1.479,50
14.495,03
0,00
1º Passo (valor de todas prestações, termos postecipados) 
Juros da primeira parcela
Amortização da primeira parcela
Saldo devedor na linha da primeira parcela
Juros da segunda parcela
Amortização da segunda parcela
Saldo devedor na linha da segunda parcela
Juros da terceira parcela
Amortização da terceira parcela
Saldo devedor na linha da terceira parcela
Juros da quarta parcela
Amortização da quarta parcela
Saldo devedor na linha da quarta parcela
Juros da quinta parcela
Amortização da quinta parcela
Saldo devedor na linha da quinta parcela
Juros da sexta parcela
Amortização da sexta parcela
Saldo devedor na linha da sexta parcela
Juros da sétima parcela
Amortização da sétima parcela
Saldo devedor na linha da sétima parcela
Juros da oitava parcela
Amortização da oitava parcela
Saldo devedor na linha da oitava parcela
Juros da nona parcela
Amortização da nona parcela
Saldo devedor na linha da nona parcela
 Juros da décima parcela
Amortização da décima parcela
Saldo devedor na décima da primeira parcela
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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Assista ao vídeo sobre o SAC na HP 12C: https://www.youtube.com/watch?v=Bs1iRCefeDc
VIDEO: 
"COMO CALCULAR 
A TABELA PRICE 
POSTECIPADA 
USANDO A HP 12C"
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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RESUMO:
A Unidade 9 apresentou como são calculadas as amortizações dos financiamentos ou emprés-
timos de longo prazo. Assim, com o estudo dos sistemas de amortização, é possível identificar 
quais os sistemas usados nas instituições financeiras e os respectivos valores das amortizações e 
juros presentes no valor de cada prestação paga.
SA – SISTEMA AMERICANO
0
1
2
3
TOTAL:
1º PASSO 2º PASSO 3º PASSO 4º PASSO
J = CAPITAL INICIAL X 10%
JUROS (J)
--
R$ 3.000,00
R$ 3.000,00
R$ 3.000,00
R$ 9.000,00
PMT = J + A
PRESTAÇÃO (PMT)
--
R$ 3.000,00
R$ 3.000,00
R$ 33.000,00
R$ 39.000,00
A = VALOR DO EMPRÉSTI-
MO / TOTAL DE PARCELAS
AMORTIZAÇÃO (A)
--
--
--
R$ 30.000,00
R$ 100.000,00
SD = SALDO DEVEDOR AN-
TERIOR - AMORTIZAÇÃO 
 SALDO DEVEDOR (SD) 
R$ 30.000,00
R$ 30.000,00
R$ 30.000,00
--
--
PRAZO
UNIDADE 9 : SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
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i.
REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
UNIDADE
Análise de Investimento
10
10.1 Payback
10.2 Payback descontado (PBD)
10.3 VPL – Valor presente líquido
10.4 TIR – Taxa interna de retorno
79
81
84
85
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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Imagine-se como gestor financeiro de uma empresa ou dono do seu próprio negócio: em algum 
momento deverá fazer investimento, comparando os retornos alcançados de acordo com as op-
ções disponíveis no mercado. Antes de se decidir pelas diversas opções de investimento, você 
deverá calcular os retornos de cada opção. Para que isto seja possível, você deverá conhecer as 
diferentes técnicas de investimentos existentes, que serão abordadas em nossa unidade final. 
Vejamos alguns conceitos:
01_PAYBACK: tempo (prazo) em que o capital investido retornará.
02_PAYBACK DESCONTADO: tempo (prazo) em que o capital investido retornará descontado a 
uma determinada taxa percentual.
03_VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL): representa o somatório do valor presente de cada uma das 
parcelas futuras (pagamento ou recebimento), dispostas em um fluxo de caixa, que foram trazidas 
para o tempo “zero” (agora), sob uma determinada taxa de juros. Em inglês, Net Present Value (NPV).
04_TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR): é a taxa de juros implícita no investimento ou financia-
mento. Em inglês, Internal Rate of Return (IRR).
Os objetivos da análise de investimento são:
01_Determinar o valor aplicado ou financiado por uma instituição financeira;
02_Obter a taxa de juros implícita nessa aplicação ou nesse financiamento;
03_Análise de Investimentos.
Teclas utilizada na análise de investimento na HP 12C
NPV: Valor presente líquido (função em amarelo, acionar f antes) 
IRR: Taxa interna de retorno (função em amarelo, acionar f antes) 
CFo: introduz valores na data “zero” (função em azul, acionar g antes)
CFj: introduz valores nas demais datas, seguindo uma ordem cronológica (função em azul, acio-
nar g antes)
Nj: introduz a quantidade de vezes que um valor se repete consecutivamente no fluxo de caixa 
(função em azul, acionar g antes).
10.1 PAYBACK
Mostra em quanto tempo o capital investido retornará. Para aceitação da proposta, o payback 
calculado deve ser menor que o payback esperado. Se as entradas forem iguais, para cálculo do 
payback teremos:
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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Payback = investimento inicial
 valor de cada parcela de entrada
APLICAÇÃO
Uma empresa visa adquirir um maquinário no valor de R$ 600.000,00, o qual gerará entradas de 
fluxo de caixa de R$ 40.000,00 ao mês durante 1 ano. Sabe-se que o payback aceitável é de 20 
meses, ou seja, a empresa quer seu capital de R$ 600.000,00 de volta em até 20 meses. Avalie a 
proposta de aceitação ou não do investimento.
Valor do investimento = 600.000
Valor de todas entradas = 40.000 ao mês por 1 ano (do mês 1 ao 24)
Payback aceitável = 20 meses (o capital de 600 mil reais, deve ser recuperado em até 20 meses)
Payback calculado = 600.000 = 15 meses 
 40.000
CONCLUSÃO: 
ACEITA-SE a proposta de investimento baseada no payback, uma vez que a expectativa de re-
cuperação do investimento (R$ 600 mil) é de no máximo 20 meses, mas isto vai ocorrer em 15 
meses. Portanto, toda vez queo payback aceitável for maior ou igual ao payback calculado, ACEI-
TA-SE a proposta de investimento.
APLICAÇÃO
Uma empresa visa adquirir um maquinário no valor de R$ 600.000,00, o qual gerará entradas de 
fluxo de caixa de R$ 40.000,00 para os 4 primeiros meses e R$ 25.000,00 para os 20 consecutivos 
meses. Sabe-se que o payback aceitável é de 14 meses. Avalie a proposta de aceitação ou não da 
proposta de investimento.
1
(em meses)
24
40.000
0
40.000
-600.000
(Aceita-se a proposta de investimento), pois foi 
menor que 20 meses (payback aceitável)
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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i.4 primeiros meses = 
4 · 40.000 = 160.000 (valor recuperado do investimento), 
faltando a recuperar 440.000 (600.000 – 160.000)
440.000 (Valor que falta recuperar) = 17,6 meses
 25.000 (Valor das outras entradas) 
Payback calculado: 4 meses + 17,6 meses = 21,6 meses
CONCLUSÃO: 
REJEITA-SE a proposta de investimento baseada no payback, uma vez que a expectativa de recu-
peração do investimento (R$ 600 mil) é de no máximo 20 meses, mas isto vai só vai ocorrer em 
21,6 meses. Portanto toda vez que o payback aceitável for menor ou igual ao payback calculado, 
NÃO SE ACEITA a proposta de investimento.
LIMITAÇÕES
Segundo os teóricos, o método payback possui a limitação de não considerar o valor do dinheiro 
no tempo. Sendo assim, propõe-se utilizar o payback descontado.
10.2 PAYBACK DESCONTADO (PBD)
Visando corrigir as deficiências do payback simples, o payback descontado considera o valor do 
dinheiro no tempo. Do mesmo modo que o payback simples, o payback descontado só deverá 
aceitar uma proposta de investimento se o capital retornar em um tempo menor ou igual ao pa-
cyback aceitável. Seguem os passos e fórmulas para a operacionalização do payback descontado.
Conforme Assaf Neto e Lima (2014), o primeiro passo para os cálculos do payback descontado 
deve ser trazer todas as entradas ao valor presente, descontando a uma taxa. Essa taxa de descon-
to também pode ser chamada de custo de oportunidade, taxa mínima de atratividade.
1
(em meses)
24
40.000
0
25.000
-600.000
4 5 12
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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i.
APLICAÇÃO
Considere o mesmo exemplo do payback simples, sendo descontada a taxa de 1% ao mês. 
Será 15 anos + 11.285,05 = 15,3308 meses
 
 34.112,85
1
(em meses)
24
40.000
0
25.000
-600.000
4 5 12
PERÍODOS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
- R$ 600.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
 R$ 40.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
- R$ 040.000,00
VALORES VALOR PRESENTE VALORES
- R$ 600.000,00
- R$ 039.603,96
- R$ 039.211,84
- R$ 038.823,61
- R$ 038.439,21
- R$ 037.681,00
- R$ 037.308,72
- R$ 036.939,33
- R$ 036.573,59
- R$ 036.211,48
- R$ 035.852,95
- R$ 035.497,97
- R$ 035.146,50
- R$ 034.798,52
- R$ 034.453,98
- R$ 034.112,85
 R$ 33.775,10
- R$ 033.440,69
- R$ 033.109,60
- R$ 032.781,78
- R$ 032.457,21
- R$ 032.135,85
- R$ 031.827,67
- R$ 031.502,65
--
- R$ 560.396,04
- R$ 521.184,20
- R$ 482.360,59
- R$ 443.921,38
- R$ 405.862,75
- R$ 368.180,94
- R$ 330.872,22
- R$ 293.932,89
- R$ 257.359,30
- R$ 221.147,82
- R$ 185.294,87
- R$ 149.796,90
- R$ 114.650,40
- R$ 079.851,88
- R$ 045.397,90
 R$ 11.285,05
1º PASSO 2º PASSO
3º PASSO
( )
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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Para o cálculo do valor presente de cada entrada do fluxo de caixa, utiliza-se a fórmula a seguir:
1º PASSO:
PV = VALOR DA ENTRADA 
 (1 + i)n
Mês 1: 40.000 
 (1,01)1
Mês 2: 40.000 ...... Fazer para todo o período 40.000 
 (1,01)2 (1 + 0,01)
24
2º PASSO: 
VALOR DO INVESTIMENTO A RECUPERAR – VALOR PRESENTE DO PERÍODO
Mês 1: 600.000 – 39.603,96 = 560.396,04 
Mês 2: 560.396,04 – 39.211,84 = 521.184,20 .... até recuperar todo capital
3º PASSO
O mês 16 não se completará, faltando o valor de R$ 11.285,05 para recuperar o capital investido de 
(600 mil), então serão 15 anos mais uma fração do tempo do mês 16.
11.285,05 (valor que falta para completar o investimento no 16º mês) = 0,3308 meses
34.112,85 (valor presente do 16º mês) 
Payback descontado total = 15 meses completos + 0,3308 meses
= 15,3308 meses
Portanto, considerando o payback descontado da taxa de 1% ao mês, levará 15,3308 meses para 
recuperar o capital investido de 600 mil. Como o payback descontado calculado é menor que o 
payback aceitável (20 meses), deve-se ACEITAR a proposta de investimento.
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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10.3 VPL – VALOR PRESENTE LÍQUIDO
É a técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente (valor agora) 
de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes sob uma taxa conhecida, 
menos o valor do fluxo de caixa inicial (investimento inicial). 
 8.928,57
39.859,69
 7.117,80
 6.355,18
10.213,66
VPL = 2.474,93
Se NPV > 0, o investimento será vantajoso e a TIR será maior que a desejada (POSITIVO).
Se NPV < 0, o investimento não será vantajoso e a TIR será menor que a desejada (NEGATIVO).
Se NPV = 0, não há vantagem nem prejuízo no investimento e a TIR será igual à desejada.
Esta proposta do fluxo de caixa deverá ser aceita, uma vez que o VPL é positivo, ou seja, um inves-
timento de R$ 70.000,00 (valor desembolsado no presente) descontada a taxa de 12% ao mês, irá 
proporcionar um valor presente a mais de R$ 2.474,93. Toda vez que VPL for positivo ou igual a 
zero, deve-se ACEITAR a proposta de investimento.
Fórmula:
NPV = ∑ FCj - FC0 = FC1 + FC2 + FC3 + .... + FCN - FC0
 
J = 1 
(1 + i)j (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n
1 2 3 4 5
-70.000,00
(+) recebimento
18.00010.00010.00050.00010.000
10.000(1,12)-1
50.000(1,12)-2
10.000(1,12)-3
10.000(1,12)-4
18.000(1,12)-5
n
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FC 0 = Valor do fluxo de caixa no momento 0; geralmente representa o valor do capital ini-
cial investido no projeto
FC j = Valor de cada entrada
i = taxa de desconto
n = prazo; tempo
10.4 TIR – TAXA INTERNA DE RETORNO
É a taxa que iguala o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas do caixa) com o valor 
presente de um ou mais recebimentos (entradas no caixa), ou seja, gera NPV = 0.
Se TIR > TMA,o investimento será vantajoso, pois a TIR será maior que a taxa mínima de 
atratividade (a taxa que se deseja ou espera);
Se TIR < TMA, o investimento não será vantajoso, pois a TIR será menor que a taxa mínima 
de atratividade;
Se TIR = TMA, não há vantagem nem prejuízo no investimento e a TIR será igual à taxa mí-
nima de atratividade.
APLICAÇÃO
Calcule a TIR do investimento de R$ 100.000,00 que gerará duas entradas anuais de R$ 140.000,00 
consecutivas para os anos 1 e 2 respectivamente. Considere uma taxa mínima de atratividade de 50%.
100.000 = 110.000 / (1+K) 1 + 105.000 / (1+0,K)2
100.0000 x (1 + k)2 = 110.000 x (k+1) + 105.000
100.000 (1+ 2k + k2) = 110.000k + 110.000 + 105.000
100.000 + 200.000 k + 100.000 k2 + 110.000 k – 110.000 – 105.000 = 0
100.000 k2 + 90.000 k – 115.000 = 0 (dividido por 1.000) 
1
(em anos)
2
110.000
0
105.000
-100.000
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100 k2 + 90 k – 115 = 0 (EQUAÇÃO DE 2º GRAU):
x = - b ± √Δ Δ = b2 – 4 · a · c
 2a
Δ = b2 – 4 · a · c
Δ = (90)2 – 4 · 100 · (-115)
Δ = 8.100 + 46.000
Δ = 54.100
k' = - 90 + 232,60 k" = - 90 - 232,60
 200 200
k' = 0,713 · 100 k" = 1,6130 · 100 
k' = 71,3% k" = 161,30
HP 12C
f REG (para limpar os registros, antes de começar as funções financeiras).
100.000 CHS g CF0 (fluxo de caixa inicial)
110.000 g CFj (fluxo de caixa ano 1)
105.000 g CFj (fluxo de caixa ano 2)
f IRR 71,3% 
A proposta de investimento deve ser aceita de acordo com a TIR calculada de 71,3%, uma vez que 
a taxa mínima esperada era de 50%. Toda vez que a TIR for maior ou igual a TMA, deve-se ACEITAR 
a proposta de investimento.
TEXTO:
 "ORÇAMENTO 
DE CAPITAL: UM 
CASO ESPECIAL DE 
SEQUENCIAÇÃO DE 
PROJETOS"
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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RESUMO:
Para analisar a viabilidade de investimentos, podemos utilizar três técnicas diferentes, conforme 
explicado na Unidade 10. O quadro abaixo faz um resumo das três técnicas mais utilizadas.
Elaborado pela autora.
Assim finalizamos o nosso conteúdo da disciplina Empreender e Cálculos Financeiros, espero que 
tenha contribuído para a sua formação profissional e pessoal, independente do curso que este-
jam cursando! Desejo muito sucesso e boa tomada de decisão nas finanças!
PAYBACK (tempo)
Mostra em quanto tempo o 
capital investido retornará. 
Para aceitação da proposta, o 
payback calculado deve ser me-
nor que o payback esperado.
VPL (Valor presente líquido - R$) TIR (Taxa interna de retorno - %)
É a técnica de análise de fluxos 
de caixa que consiste em cal-
cular o valor presente de uma 
série de pagamentos (ou rece-
bimentos) iguais ou diferentes 
sob uma taxa conhecida e se 
deduzir deste o valor do fluxo 
de caixa inicial.
Se NPV > 0, o investimento será 
vantajoso e a TIR será maior 
que a desejada. 
Se NPV < 0, o investimento 
não será vantajoso e a TIR será 
menor que a desejada. 
Se NPV = 0, não há vantagem 
nem prejuízo no investimento 
e a TIR será igual à desejada.
É a taxa que iguala o valor 
presente de um ou mais paga-
mentos (saídas do caixa) com o 
valor presente de um ou mais 
recebimentos (entradas no 
caixa), ou seja, gera NPV = 0. 
Se TIR > TMA, o investimento 
será vantajoso, pois a TIR será 
maior que a taxa mínima de 
atratividade (a taxa que se de-
seja ou espera). 
Se TIR < TMA, o investimento 
não será vantajoso, pois a TIR 
será menor que a taxa mínima 
de atratividade. 
Se TIR = TMA, não há vantagem 
nem prejuízo no investimento 
e a TIR será igual à taxa míni-
ma de atratividade.
UNIDADE 10 : ANÁLISE DE INVESTIMENTO
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REFERÊNCIA:
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 13 ed. 
São Paulo: Atlas, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração. 3. 
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
MATIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetivo e aplicada .9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TOSI. Armando José. Matemática financeira com utilização do Excel. 7. ed. 
São Paulo: Atlas, 2015.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2015.
	mc02: 
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