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Regra de Cramer 
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só 
poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o 
número de incógnitas forem iguais. 
 
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a 
sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do 
sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular 
os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz: 
 
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma: 
 
 
x1 = D1 
 D 
 
x2 = D2 
 D 
 
x3 = D3 ... xn = Dn 
 D D 
 
Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer: 
 
Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de 
Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas 
é igual ao número de equações. 
 
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada 
de A. 
 
 
 
Agora calculamos o seu determinante que será representado por D. 
 
 
 
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 
D = 15. 
 
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz 
A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax. 
 
 
 
Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx. 
 
 
 
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 
Dx = 15 
 
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta 
formando a matriz Ay. 
 
 
Agora calcularmos o seu determinante Dy. 
 
 
 
Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16 
Dy = 30 
 
 
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz 
incompleta formaremos a matriz Az. 
 
 
Agora calculamos o seu determinante representado por Dz. 
 
 
Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8 
Dz = 45 
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos 
independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. 
 
A incógnita x = Dx = 15 = 1 
 D 15 
 
A incógnita y = Dy = 30 = 2 
 D 15 
 
A incógnita z = Dz = 45 = 3 
 D 15 
 
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}. 
 
Por Danielle de Miranda 
Graduada em Matemática 
Equipe Brasil Escola 
 
 
 
 
 
 
Solução de um Sistema Utilizando a Regra de Cramer 
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Matrizes e Determinantes0 Comentários 
Dado o sistema: 
 
2x + 8y = 0 
9x + 6y = 15 
 
Notemos que a matriz incompleta desse sistema é: 
 
2 8 
9 6 
 
Onde o determinante é dado por D = 2*6 – 8*9 →12 – 72 → – 60 
Verificamos que o D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. 
 
A solução desse sistema será dada por: 
 
x = Dx / D e y = Dy / D 
 
Onde Dx e Dy são obtidos trocando a coluna x ou a y (de acordo com a que está 
calculando) pela coluna dos termos independentes. Observe: 
 
Calculando Dx: 
 
 0 8 
15 6 
 
0*6 – 8*15 = – 120 
 
x = Dx / D = – 120/– 60 = 2 
x = 2 
 
Calculando Dy: 
 
2 0 
9 15 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/matriz-determinantes.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/solucao-um-sistema-utilizando-regra-cramer.htm#disqus_thread
2*15 – 0*9 = 30 
 
y = Dy / D = 30 / – 60 = – 0,5 
y = – 0,5 
 
Resolva o sistema a seguir aplicando a Regra de Cramer. 
 
2x + 4y + 2z = 18 
4x + 2y – 2z = 6 
6x – 2y – 4z = - 8 
 
Obtendo a Matriz incompleta: 
2 4 2 
4 2 -2 
6 -2 -4 
 
Obtendo D: (aplicar regra de Sarrus) 
 
2 4 2 2 4 
4 2 -2 4 2 
6 -2 -4 6 -2 
 
[-16 + (-48) + (-16)] – [ -64 + 8 + 24] 
-16 -48 -16 +64 -8 -24 
 -48 
Calculando x: 
Dx: 
18 4 2 18 4 
 6 2 -2 6 2 
-8 -2 -4 -8 -2 
 
-144 + 64 – 24 + 96 – 72 + 32 
 -48 
x = Dx / D = -48/-48 = 1 
x = 1 
 
 
Calculando y: 
Dy: 
2 18 2 2 18 
4 6 -2 4 6 
6 -8 -4 6 -8 
 
-48 -216 -64 +288 -32 -72 
 -144 
 
y = Dy / D = -144/-48 = 3 
y = 3 
 
Calculando z: 
Dz: 
2 4 18 2 4 
4 2 6 4 2 
6 -2 -8 6 -2 
 
-32 +144 -144 +128 +24 -216 
 -96 
 
z = Dz / D = -96 / -48 = 2 
z = 2 
 
O terno ordenado (1, 3, 2) satisfaz o sistema. 
 
QUESTÃO 4 
(Vunesp – SP) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre 
sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que 
o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não 
sócios que compareceram ao show. 
x: sócios 
y: não sócios 
 
 
 
Por Cramer 
 
x = Dx / D 
x = 600 / 5 
x = 120 
y = Dy / D 
y = 400 / 5 
y = 80 
 
Por substituição: 
 
Isolando x na 1ª equação: 
x + y = 200 
x = 200 – y 
Substituindo x na 2ª equação: 
5x + 10y = 1400 
5 * (200 – y) + 10y = 1400 
1000 – 5y + 10y = 1400 
–5y + 10y = 1400 – 1000 
5y = 400 
y = 400/5 
y = 80 
Substituindo y na 1ª equação: 
x + y = 200 
x = 200 – y 
x = 200 – 80 
x = 120 
No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios.