Apostila RacLog

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2020/01 
 
Curso de Logística 
1º período 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E 
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 1 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Ficha da Disciplina 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Módulo 1: Lógica matemática 
 
 Fundamentos da Lógica 
 Estudo das Proposições: definição, operações lógicas, tabelas-verdade, equivalências; 
 Estudo dos argumentos: validade de um argumento, proposições e argumentos 
categóricos. 
 
Módulo 2: Conjuntos 
 
 Conceitos básicos 
 Operações entre conjuntos; 
 Conjuntos numéricos; 
 Aplicações em exercícios de raciocínio. 
 
Módulo 3: Funções 
 
 Conceitos básicos; 
 Funções constantes, de 1º. e 2º. graus: definição, construção e interpretação de gráficos, 
aplicações. 
 
 
Bibliografia: 
 
Bibliografía Básica: 
 
 ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico: teoria e questões. 2ª. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. 
(Provas e concursos) 
 BONORA JR, Dorival. et al. Matemática:complementos e aplicações nas áreas de ciências 
contábeis, administração e economia. São Paulo: Ícone, 1994.447p. 
 
Bibliografia Complementar: 
 
 SERATES, J. Raciocínio lógico. 11. ed. Ed. Jonofon Serates, v. I. 
 FÁVARO, Sílvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. 1ª. ed. 
Ciência Moderna, 2005. 
 MEDEIROS, S. M.; MEDEIROS, E. & MEDEIROS, E. Matemática para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1 e 2. 
 DANTE, Luiz Roberto.Matemática:Contexto e Aplicações.2ed.São Paulo: Ática, 2000. 367p. 
 WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração.2ed.São Paulo:Harbra,1986.674p. 
 DOLCE, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São 
Paulo: Atual, 1999. 10v. 
 
 
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Lógica Matemática 
Fundamentos da Lógica Aula 01 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.1. numa listagem de frases, ser capaz de identificar as que são proposições, por escrito ou 
oralmente; 
1.2. numa listagem de proposições, ser capaz de classificá-las em simples e compostas, por 
escrito ou oralmente; 
1.3. numa listagem de proposições compostas, ser capaz de transformá-las da linguagem 
corrente para a simbólica e vice-versa, por escrito; 
 
 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
 Comunicação e expressão: 
 Fazer-se entender 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 
O que é Lógica? 
 
Podemos então definir Lógica como a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte 
de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. 
A lógica tem por finalidade principal dirigir os atos dos pensamentos para o verdadeiro, o que 
realiza de duas formas: primeiro analisando as leis do pensamento; segundo, estudando a maneira 
de aplicá-las, na prática, em contato com a vida e a realidade, a fim de evitar o erro e alcançar a 
verdade. 
 Suas áreas de pesquisa são de fundamental importância para o mundo contemporâneo, em 
especial para o desenvolvimento de tecnologias que envolvam a computação e para a solução de 
problemas voltados para a economia, administração, direito, entre outros. 
 
O que é Raciocínio? 
 
Podemos entender na lógica três partes distintas, constituindo um todo indissolúvel que é o 
pensar humano. Estas três partes são: idéia, juízo e raciocínio, enquanto pensamento. E termo, 
proposição e argumento, respectivamente, enquanto representação concreta, por sons orais ou por 
quaisquer outros símbolos representativos. 
 
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Raciocinar ou inferir é o ato pelo qual de dois ou mais juízos dados adquire-se um outro juízo 
como decorrência, sua essência é perceber as relações existentes entre os juízos (proposições). 
A argumentação é a expressão verbal do raciocínio 
Exemplo: 
 
Pensamento Representação Concreta 
Idéia Sócrates 
Juízo Sócrates foi filósofo 
Raciocínio Toda a esperança é vida 
Eu sou a esperança 
 Logo, eu sou a vida 
 
O estudo da proposição e do argumento constituem as preocupações da lógica formal. 
 
Qual o papel da Lógica? 
 
Normalmente fazemos uso da expressão é lógico quando acreditamos que um raciocínio ou 
uma observação qualquer faz sentido ou ainda quando corresponde à realidade ou, ainda, quando 
apresenta coerência. 
Para o senso comum, a lógica é um estudo da correspondência entre o discurso e a realidade. 
Porém, em sentido mais estrito, a lógica apresenta-se como uma metodologia de análise e 
construção de raciocínios e argumentos em âmbito formal. 
Falar que a lógica trabalha no âmbito formal significa dizer que ela se preocupa 
exclusivamente com a estrutura do argumento, sem preocupar-se com o conteúdo dos 
enunciados que o compõem. 
Como exemplo, vejamos o seguinte argumento: “Se todos os animais são mortais e se todo 
homem é um animal, então todo homem é mortal”. Nesse argumento existem três premissas ou 
sentenças: 
1ª. Todos os animais são mortais. 
2ª. Todo homem é um animal. 
3ª. Todo homem é mortal. 
Normalmente, o julgamento da logicidade do argumento se daria pela análise da verdade de 
cada uma das premissas, o que é equivocado. Esse não é o papel da lógica, e sim das diversas 
ciências; a lógica não pretende saber se cada uma das premissas corresponde à realidade ou 
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não, ou se são verdadeiras ou falsas. O que ela pretende analisar é se o argumento está 
estruturalmente bem construído, ou seja, se a conclusão deriva das premissas usadas. 
A maneira mais simples para deixar de lado o conteúdo e ater-se somente à forma é mediante a 
adoção da simbolização do argumento por meio de variáveis. No exemplo anterior, o argumento 
poderia ser simbolizado da seguinte maneira: 
Todo X é Y. 
Todo K é X. 
Logo, todo K é Y. 
Observe que, ao deixarmos de lado o conteúdo das premissas por meio de variáveis, restou-nos 
somente a forma, ou seja, a estrutura do argumento, a qual não pode ser mais denominada 
verdadeira ou falsa, mas somente de válida ou inválida. 
Em síntese, a lógica analisa formalmente argumentos ou raciocínios a fim de determinar sua 
validade e não sua verdade. Para tanto contará com uma metodologia e regras específicas. 
 Podemos notar a importância do estudo da proposição e do argumento no campo da lógica 
formal. Comecemos com o estudo da Proposição. 
 
Proposição 
A proposição é um enunciado declarativo, que pode ser classificado em verdadeiro ou 
falso.Por exemplo: 
 
A lua é o único satélite do planeta terra (V) 
A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) 
O número 712 é ímpar (F) 
Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
 
Não são proposições os enunciados interrogativos, os exclamativos, ordenativos, imperativos, 
suplicativos, etc. Por exemplo: 
Pare! 
Quer uma xícara de café? 
Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
 
Atenção sentenças que não possuem verbo não podem ser consideradas declarativas, 
consequentemente não são proposição. Por exemplo, “O carro é vermelho” é uma proposição, mas 
se estiver escrito somente “ O carro vermelho” então não será proposição pois falta o verbo. 
 
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Representação de uma Proposição 
As proposições são geralmente representadas pelas letras : a, b, ...,p,q, etc. Por exemplo: 
p: “A lua é o único satélite do planeta terra”. 
A negação de uma proposição simples “p” é “não p” . Ao negar uma proposição muda-se 
o seu valor verdade. A negação é considerada um modificador da proposição inicial, seu símbolo é 
“¬” ou “~”. (Adotaremos o “til”) 
Considerando a proposição p: “A lua é o único satélite do planeta terra” cujo valor lógico 
é verdadeiro, a sua negação ~p:“A lua não é o único satélite do planeta” é uma proposição falsa. 
As proposições “Não é verdade que a lua é o únicosatélite do planeta terra”, “É falso que 
a lua é o único satélite do planeta terra” também são consideradas negações de p. 
A negação de uma proposição ainda pode ser obtida utilizando-se palavras antônimas, 
assim “Maria é feia” é considerada a negação da proposição “Maria é bonita” 
 
Proposições simples e compostas 
 Há proposições nas quais o sujeito e o predicado são únicos e ligados pelo verbo, 
contendo a expressão de um só juízo e de forma direta . Por exemplo: “João é rico”, “Marta é 
feia”, “O número 8 é par”. As proposições deste tipo são denominadas simples. 
 No entanto, existem proposições que possuem como componentes não dois termos, mas 
pelo menos duas proposições conectadas como no exemplo: “ João é rico e Maria é pobre” na 
qual cada componente é uma proposição simples conectada pelo conectivo conjuntivo “e” . Tais 
proposições são chamadas compostas ou não categóricas. 
 Para obter uma proposição composta utilizamos conectivos. Os principais conectivos 
são: e, ou, se... então, se... e somente se, denominados respectivamente conjunção , disjunção, 
condicional e bicondicional. 
 
 
Conectivos Notação Exemplos 
Estrutura 
lógica 
e 
Conjunção 
 
 
qp  
ou 
Disjunção 
 
 
qp  
Pedro estuda lógica e Maria joga Xadrez 
 
 p q 
Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
 
 p q 
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Se Pedro estuda lógica então Maria joga Xadrez 
 
 p q 
 
O valor lógico de uma proposição composta depende de dois fatores: 
1º) do valor lógico das proposições componentes 
2º)do conectivo utilizado. 
 
 
Exercícios Propostos: 
1. Determine quais das sentenças abaixo são proposições e, para as que são, determine seu valor 
lógico: 
a) A Argentina e o Brasil. 
b) O Brasil é um país da América do Sul. 
c) Existem políticos que não são honestos. 
d) Será que meu médico é competente? 
e) João, vá estudar! 
f) (3 + 5)2 
g) (3 + 5)2 = 32 +52 
h) 
5
2
3
1
2
1
 
2. Sejam as proposições p: Marcos é alto. e q: Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem 
simbólica as seguintes proposições: 
a) Marcos é alto e elegante. 
b) Marcos é alto, mas não é elegante. 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante. 
d) Marcos não é nem alto e nem elegante. 
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 
3. Sejam as proposições p: Jô Soares é gordo. e q: Jô Soares é motoqueiro. Traduzir para a 
linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Jô Soares não é gordo. 
se... então 
Condicional 
 
 
qp  
se...e 
somente se 
Bicondicional 
 
Pedro estuda lógica se e somente se Maria joga Xadrez 
 
p q 
 
qp  
ou exclusivo 
Disjunção 
Exclusiva 
 
Ou Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
 
p q 
 
p q 
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b) Jô Soares não é motoqueiro. 
c) Não é verdade que Jô Soares não é gordo. 
d) Ou Jô Soares é gordo ou motoqueiro. 
e) Se Jô Soares não é gordo, é motoqueiro. 
4. CESPE) Considere que 
p: Fumar deve ser proibido. 
q: Fumar deve ser encorajado. 
r: Fumar não faz bem à saúde. 
s: Muitos europeus fumam. 
Represente simbolicamente cada item abaixo: 
a) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
b) Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
c) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
d) Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então 
fumar deve ser proibido. 
5. Identifique as proposições apresentadas no textos : 
a)Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, 
então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica. 
b)Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lógica Matemática 
Fundamentos da Lógica Aula 02 
 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.4. Ser capaz de descrever, por escrito ou oralmente, as regras dos cinco principais 
conectivos lógicos; 
 
 
Competências: 
Competências desenvolvidas na aplicação dos tópicos desta aula: 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
 
 
 
Olá alunos! 
Na aula de hoje continuaremos a tratar dos conceitos Fundamentais da Lógica. É importante 
ressaltar que estas duas primeiras aulas são os pilares de todo o curso. Assim não deixem de 
esclarecer nenhuma dúvida que surgir durante o nosso estudo; pergunte, refaça as atividades 
propostas,... 
Antes de iniciarmos a aula passemos a uma BREVE revisão do que já foi visto até aqui e que 
já deve ser dominado: 
 
Revisão da aula passada: 
 Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou 
falso); haverá proposições simples ou compostas. 
 As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas 
estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições 
componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), 
disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), 
e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...). 
 O valor lógico de uma proposição composta depende de dois fatores: do valor lógico 
das proposições componentes e do conectivo utilizado. 
 
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 Para facilitar o estudo das proposições compostas representam-se os valores lógicos das 
proposições (verdadeiro ou falso) em tabelas, denominadas tabelas-verdade. Por exemplo, a 
proposição “Mônica é médica” será representada pela tabela abaixo, onde p representa a 
proposição, e V e F os seus possíveis valores lógicos. 
 
p 
V 
F 
 
A tabela – verdade para a negação de uma proposição simples é : 
 
 
 
 
 
 Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa! 
 
 A tabela-verdade de uma proposição composta deve apresentar todas as combinações 
possíveis dos valores lógicos de cada proposição envolvida na composição. Assim a proposição 
composta “ Mônica é médica e Eduardo é estudante” será representada por uma tabela de quatro 
linhas (quatro possibilidades). Considerando p: Mônica é médica e q: Eduardo é estudante, 
temos: 
 
“Mônica é médica ” “Eduardo é estudante” “ Mônica é médica e Eduardo é estudante” 
p q p q 
V V ? 
V F ? 
F V ? 
F F ? 
 
 
Com as tabelas o estudo do valor lógico de uma proposição composta é bem mais fácil. 
Agora estamos preparados para iniciar um estudo mais detalhado de cada conectivo. Este estudo é 
necessário pois como já visto o valor lógico de uma proposição composta depende do conectivo 
utilizado. 
p ~p 
V F 
F V 
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Estudo da veracidade de uma proposição composta 
 Conjunção 
Uma proposição é conjuntiva quando as proposições são conectados pela conjunção “e”, por 
exemplo: 
 p: Pedro estuda lógica 
 q: Maria joga Xadrez 
 r: Pedro estuda lógica e Maria joga Xadrez 
As proposições compostas podem ser escritas utilizando uma notação especial. A 
proposição r poderia ser reescrita simplesmente com as indicações p  q. O símbolo  representa a 
conjunção “e”. 
A veracidade ou falsidade de uma proposição conjuntiva é baseada na seguinte afirmação: 
 
 “A proposição conjuntiva é VERDADEIRA se, e somente se, as proposições componentes são 
simultaneamente verdadeiras”. 
 
 Segue diretamente da afirmação a tabela: 
 
 p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 Dadasa proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e 
F, respectivamente, a proposição conjuntiva “ A terra é um planeta e a neve é preta” é falsa. 
 
 Disjunção 
 Outra conexão é feita com a disjunção “ou” obtendo dessa forma a proposição disjuntiva, 
assim, por exemplo: 
 p: Pedro estuda lógica 
 q: Maria joga Xadrez 
 r: Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
Para a disjunção é empregado o símbolo  . Assim no exemplo tem-se r: pq. 
 
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A veracidade ou falsidade de uma proposição conjuntiva é baseada na seguinte afirmação: 
 
 “A proposição disjuntiva é VERDADEIRA se, e somente se, uma das 
proposições componentes são verdadeiras” 
 
Utilizando a tabela-verdade tem-se: 
 
Dadas a proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e 
F, respectivamente, a proposição disjuntiva “ A terra é um planeta ou a neve é preta” é 
verdadeira. 
 
Exercícios Propostos: 
6. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Não é verdade que 2006 é um número ímpar. 
b) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 
c) 2 + 7 = 10 ou 4 + 8 = 12 
 
7. Sabendo que os valores lógicos de p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico 
de cada uma das seguintes proposições: 
a) qp~  b) q~p c) q~p~  
8. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Tancredo Neves teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil. 
b) Não é verdade que Tancredo teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil. 
c) Tancredo não teve um infarto ou Lula não é o presidente do Brasil. 
d) Não é verdade que Tancredo teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil. 
e) Tancredo não teve um infarto e Lula não é o presidente do Brasil. 
f) Tancredo teve um infarto ou Tancredo não teve um infarto. 
g) Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 
 
p q pq 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
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 Disjunção Exclusiva 
 
As proposições disjuntivas exclusivas são aquelas cujas componentes são unidas pelo 
conectivo “Ou ... ou” . O símbolo empregado é  . Assim a proposição “ Ou te darei uma bola ou 
te darei uma bicicleta” será representado por “p q” (ou p ou q), onde p e q são respectivamente, 
“Eu te darei uma bola” e “Eu te darei uma bicicleta”. 
Observe que a proposição disjuntiva exclusiva ( ou ...ou) apresenta uma diferença pequena, 
mas importante, com relação a proposição disjuntiva (ou). Comparemos as duas sentenças abaixo: 
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
 
Repare que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade isso não 
impedirá que a segunda parte também o seja (já vimos isso). Já na segunda proposição se for 
verdade que “te darei uma bola” então teremos que não será dada a bicicleta. E se de fato eu te der 
uma bicicleta então não te darei a bola. 
As componentes são mutuamente excludentes., ou seja, ambas nunca poderão ser, ao mesmo 
tempo , verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. 
A disjunção exclusiva determina que se uma sentença é verdadeira a outra necessariamente 
será falsa. Podemos então enunciar que: 
 
“A disjunção exclusiva é VERDADEIRA, quando houver uma componente verdadeira e 
a outra falsa” 
 
 
Exercícios Propostos: 
9. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Ou 3 + 2 = 7 ou 5 + 5 = 10 
b) Ou 2 + 7 = 10 ou 4 + 8 = 12 
c) Ou Tancredo Neves teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil. 
 
p q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
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d) Ou Tancredo não teve um infarto ou Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 Condicional 
As proposições condicionais são aquelas em que as componentes são unidas pela 
conjunção “se... então”, por exemplo: “Se falo tenho minhas razões” , “Irei se não chover”, “Se 
Carlos estuda então será aprovado”. Como já vimos é empregado o símbolo “”. Considerando p: 
Carlos estuda e q: Carlos será aprovado o condicional “ Se Carlos estuda então será aprovado” em 
linguagem lógica seria “ pq ”. 
Na proposição “Se p então q” a proposição “p” é chamada antecedente e “q” conseqüente. 
Para entender melhor o funcionamento desta proposição considere a sentença: 
“Se nasci em Uberlândia então sou Mineira”. 
Pense! Qual a única maneira da proposição acima estar incorreta? Existe apenas uma 
situação em que a proposição se torna falsa, quando a primeira parte é verdadeira e a segunda 
falsa. 
Ou seja, se é verdade que nasci em Uberlândia então necessariamente é verdade que eu 
sou mineira. 
Se alguém afirma ser verdadeiro que nasci em Uberlândia e que é falso que sou mineira 
então esta declaração toda está errada. 
Perceba que o fato de ter nascido em Uberlândia é condição suficiente (basta isto) para que 
eu seja mineiro necessariamente. 
 
 Uma condição suficiente gera um resultado necessário 
 
Assim a proposição “ Se nasci em Uberlândia então sou Mineira” pode ser reescrita nas 
formas abaixo: 
“Nascer em Uberlândia é condição suficiente para ser Mineira” 
“Ser Mineira é condição necessária para nascer em Uberlândia” 
Observe que não é necessário existir conexão entre as proposições componentes da 
condicional, por exemplo, a proposição “Se a baleia é um mamífero então Lula é presidente” é 
igual a “A baleia ser mamífero é condição suficiente para que Lula seja presidente” ou “Lula ser 
presidente é condição necessária para que a baleia seja um mamífero”. 
É importante conhecer as expressões que podem ser utilizadas como equivalentes da 
condicional “Se p então q”, são elas: 
 
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Se p, q 
q, se p 
Quando p, q 
p implica q 
p é condição suficiente para q 
q é condição necessária para p 
Todo p é q 
 
A proposição “ Se chove então faz frio” pode ser escrita das seguintes maneiras: 
 Se chove, faz frio. 
 Faz frio, se chove. 
 Quando chove, faz frio. 
 Chover implica fazer frio. 
 Chover é condição suficiente para fazer frio. 
 Fazer frio é necessário para chover 
 Toda vez que chove faz frio 
 
Exercícios Propostos: 
5)Marque Certo (C) ou Errado (E). 
Se nasci na Bahia então sou Baiano. Logo, 
( ) Nascer na Bahia é condição suficiente para ser Baiano 
( ) Nascer na Bahia é condição necessária para ser Baiano 
( ) Ser Baiano é condição suficiente para nascer na Bahia 
( ) Ser Baiano é condição necessária para nascer na Bahia 
( ) Todo aquele que nasci na Bahia é Baiano 
( ) Todo Baiano nasci na Bahia 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O valor lógico de uma condicional é baseado na seguinte afirmação: 
 
“A condicional é FALSA, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente 
é falso” 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Das proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e F, 
respectivamente, a proposição condicional “Se a terra é um planeta então neve é preta” é falsa. 
Já a proposição “ Se a neve é preta então a terra é um planeta” é verdadeira. 
 
Exercícios Propostos: 
6)Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Se 3 é primo então 3 é ímpar. 
b) Se 2 é primo então 2 é ímpar. 
c) Se 2 + 3 = 6 então 4 + 4 = 9 
d) Se Tancredo teve um infarto, então Lula é o presidente do Brasil. 
e) Se Tancredo não teve um infarto, então Lula é o presidente do Brasil. 
f) Se Tancredo não teve um infarto, então Lula não é o presidente do Brasil. 
g) Se Tancredo teve um infarto, então Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 Bicondicinal 
Quando a condicional é empregada nos dois sentidos dizemos que temos uma conexão do 
tipo bicondicional, a proposição é da forma “ p se, e somente se q” uma abreviação de : “ se p 
então q” , “ se q então p” Emprega-se o símbolo “” para o qual tem-se: 
 
“Uma bicondicionalé VERDADEIRA se e somente se as componentes possuem valores 
lógicos iguais” 
 
A tabela resume a afirmação acima: 
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A proposição bicondicional “p se e somente se q” equivale a proposição “se p então q e se q 
então p” ou seja, “ qp  ” é a mesma coisa que “    pqqp  ”. 
São também equivalentes à bicondicional as seguintes expressões: 
p se e só se q 
se p então q e se q então p 
p somente se q e q somente se p 
p é condição suficiente e necessária para q 
Todo p é q e todo q é p 
 
Pronto! O estudo dos conectivos chegou ao fim. Agora vocês têm condições de determinar o 
valor lógico de qualquer proposição composta. Antes de encerrar esta aula convém resumirmos o 
que aprendemos hoje. Observe com atenção o quadro abaixo: 
 
Estrutura 
Lógica 
É verdade quando É falso quando 
pq p e q são ambos verdadeiros 
p q pelo menos um é verdade 
p q p e q tiverem valores lógicos diferentes 
pq p for verdadeiro e o q for falso 
pq p e q tiverem valores lógicos iguais 
 
Na resolução de várias questões de lógica o conhecimento das tabelas verdade é fundamental. 
Complete a tabela abaixo e compare os valores lógicos de cada conectivo: 
 
 
p q qp  qp  p q qp  qp  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
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DEVER DE CASA 
 
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) 
Texto para os itens de 01 a 08 
 Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos e 
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam e,ou,não e então 
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-
verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir: 
01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (~ P) (~ Q) também é 
verdadeira. 
02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (~T) é falsa. 
03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) 
(~ Q) é verdadeira. 
-------------------------------------- 
Considere as sentenças abaixo. 
i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve 
ser proibido. 
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; 
conseqüentemente, muitos europeus fumam. 
 
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir: 
 
P Fumar deve ser proibido. 
Q Fumar deve ser encorajado. 
R Fumar não faz bem à saúde. 
T Muitos europeus fumam 
. 
 
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens 
seguintes. 
04. A sentença I pode ser corretamente representada por P (~ T). 
05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) (¬ R). 
06. A sentença III pode ser corretamente representada por R P. 
07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R (~ T)) P. 
08. A sentença V pode ser corretamente representada por T ((~ R) (~P)). 
Gabarito: 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. C 08. E 
 
 
 
 
Lógica Matemática 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 18 
 
Fundamentos da Lógica Aula 03 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.5. Ser capaz de construir tabelas-verdade de proposições compostas dadas; 
 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
 
 
 
Olá alunos, 
Nesta aula aprenderemos mais sobre tabela verdade. Já sabemos construir, pelo menos, cinco 
tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, 
da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional. 
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer 
outra proposição formada por duas ou mais proposições componentes. 
Antes de prosseguirmos faremos uma breve revisão; Complete a tabela abaixo e compare os 
valores lógicos de cada conectivo: 
Revisão dos conectivos 
p q qp  qp  p q qp  qp  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Estrutura 
Lógica 
É verdade quando É falso quando 
pq p e q são ambos verdadeiros 
p q pelo menos um é verdade 
p q p e q tiverem valores lógicos diferentes 
pq p for verdadeiro e o q for falso 
pq p e q tiverem valores lógicos iguais 
 
Pronto! Agora você tem todas as ferramentas necessárias para montar tabelas verdade de 
proposições mais elaboradas. Passemos à aula! 
 
 
Tabelas - Verdade 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 19 
 
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. 
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de 
proposições. 
 Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará 
exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição 
composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? 
O número de linhas da tabela depende do número “n” de proposições componentes da 
proposição composta . Por exemplo, se n =2 a tabela tem quatro linhas e se n =3, oito linhas. 
Observe as tabelas, 
 n = 2 n = 3 
p q p q r 
V V V V V 
V F V V F 
F V V F V 
F F V F F 
 F V V 
 F V F 
 F F V 
 F F F 
 
Assim para a construção prática da tabela-verdade de uma proposição composta, começa-se 
por contar o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições simples 
componentes, então a tabela-verdade contém 2
n
 linhas. E “n” colunas iniciais, uma para cada 
proposição. 
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos 
a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de 
precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência. 
 Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, 
passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem: 
 
 
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta 
~(p v ~q) 
e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, 
sempre o mesmo. Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e 
 )4)3)2~)1 e
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 20 
 
comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o 
~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos: 
 
p q ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente aos parênteses (p v ~q). 
 
p q ~q p  ~q ~(p  ~q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
Exercícios Proposto: 
1)Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) qp~  b) )q~p(~)qp(  
 
 Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdade 
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições 
simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade? 
 Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O 
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte: a 
coluna da proposiçãop será construída da seguinte forma: quatro V alternando com quatro F; a 
coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da 
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura 
inicial 
 
Vamos aprender construindo a tabela verdade da proposição )(~)~( rpqp  . 
O início é sempre o mesmo! 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 21 
 
p q r )rp(~)q~p(  
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
Exercícios Proposto: 
2)Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) )r~q()r~p(  b)    )r~p(q)rq(~p  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 22 
 
Lógica Matemática 
Estudo das Proposições Aula 04 
 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.6. Ser capaz de verificar se duas proposições dadas são equivalentes; 
1.7. Ser capaz de negar proposições dadas, por escrito ou oralmente, usando as equivalências 
lógicas; 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
Visão Sistêmica 
 Fazer Conexões 
Comunicação e expressão 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 
Oi amigos! 
 Vocês cumpriram mais uma etapa no estudo dos conceitos iniciais da Lógica. Muito bem! 
Já sabem construir a tabela verdade de qualquer proposição composta. 
 Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, 
Contradição e Contingência. A tabela verdade será muito útil neste estudo. 
 
Tautologia, Contradição e Contigência 
 
 Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r, ... que a compõem. 
 Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, 
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar 
VERDADEIRO (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! 
 Se você construir a tabela-verdade de uma proposição composta, e obter todos os 
resultados da última coluna FALSOS, então estará diante de uma contradição. 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, 
r, ... que a compõem. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 23 
 
 Uma proposição composta será dita uma Contingência sempre que não for uma tautologia 
nem uma contradição. 
 Muito fácil! Se você fizer uma tabela e encontrar valores: 
1) Somente VERDADEIROS tem uma TAUTOLOGIA 
2) Somente FALSOS tem uma CONTRADIÇÃO 
3) VERDAEIRO E FALSOS tem uma CONTIGÊNCIA 
 Resolva o exercício abaixo para fixar estes conceitos. 
Exercício Proposto: Classifique as proposições compostas abaixo: 
 
a) 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
b) 
p q ~q p↔~q p  q ~ 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
c) 
p q p  q ~ 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 24 
 
Exercício Proposto: (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 
 
Proposições Logicamente Equivalentes 
Duas proposições compostas são equivalentes se têm a mesma tabela de valores lógicos. 
Observe as tabelas das proposições compostas p  q e q  p são iguais. 
 
 
p q pq 
 V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Diz –se que “p ou q” é o mesmo que “q ou p” , ou seja, “p ou q” é equivalente a “q ou p”. 
O símbolo  representa a equivalência entre as proposições. Logo, em linguagem lógica a 
equivalência acima é representada pela expressão: p  q  q  p ou p  q = q  p. 
Observe que as proposições equivalentes são maneiras diferentes de declarar a mesma coisa. 
Por exemplo, a proposição “Pedro fala inglês ou francês” é equivalente a “Pedro fala francês ou 
inglês”. 
 As equivalências são de grande utilidade, pois simplificam a negação das proposições 
compostas e facilitam o estudo da validade dos argumentos. 
 
Negação das proposições compostas 
 Negação da Disjunção: ~p  ~q 
A proposição “Não é verdade que Jô Soares é gordo ou motoqueiro” em linguagem lógica é 
dada por ~(p  q). A declaração acima é a negação da disjunção p  q. Entretanto esta negação 
pode ser realizada de outra maneira, observe a tabela : 
 
 
p q qp 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 25 
 
p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q. Ou seja, a negação da proposição “Jô Soares é gordo ou 
motoqueiro” é “Jô Soares não é gordo e não é motoqueiro” . Observe o esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A negativa de uma disjunção se faz assim: 
1º) Nega-se a primeira parte; 
2º) Nega-se a segunda parte; 
3º) Troca-se o OU por um E. 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q 
 
 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Talita é magra ou loira. 
b) Marcos é alto ou elegante. 
c) Tancredo Neves teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil 
d) Os preços sobem ou Pedro é justo 
 
 Negação da Conjunção: ~p  ~q 
 Negar a proposição composta “Ela é inteligente e estuda” é o mesmo que declarar “Ela não é 
inteligente ou não estuda.” . 
Não é verdade que Jô Soares é gordo ou motoqueiro” 
 
 
p q  ~ 
~ p ~ q  
Jô Soares não é gordo e não é motoqueiro 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 26 
 
 A equivalência citada acima, representada por ~(p  q)  ~p  ~q , pode ser verificada 
com a tabela abaixo: 
p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Resumindo: 
 A negativa de uma conjunção se faz assim: 
1º) Nega-se a primeira parte; 
2º) Nega-se a segunda parte; 
3º) Troca-se o E por um OU. 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Talita é magra e loira. 
b) Marcos é alto e elegante. 
c) Jô Soares é gordo e é motoqueiro. 
d) Marcos é alto, mas é elegante. 
e) Tancredo Neves teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil 
f) Os preços sobem e Pedro é justo 
g) 73  xx 
 
 Negação da Condicional: p  ~q 
 A negação da proposição condicional é de fácil entendimento, basta pensar na tabela verdade 
da condicional. A condicional qp é FALSA se e somente se p é verdadeira e q é falso, assim, 
~( qp )  pq. Verifique esta equivalência com a tabela: 
 
p q ~q qp ~( qp ) pq 
V V 
V F 
F V 
F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 27 
 
 
A proposição “Não é verdade que se João é professor então ele é rico” é o mesmo que 
declarar que “João é professor e não é rico”. 
 
Negação de uma Condicional: 
A negativa de uma condicional se faz assim: 
 1º) Mantém-se a primeira parte; E 
 2º) Nega-se a segunda parte; 
 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Se ele é professor, então é instruído e educado. 
b) Se hoje é Natal então é 25 de dezembro. 
c) Se Maria foi aprovada, então estudou. 
d) Se o aluno não presta atenção, então ele não aprenderá. 
 
 Negação da Bicondicional: p q 
 A negação da bicondicional é dada pela equivalência ~( qp  )  p q . Observe que a 
disjuntiva exclusiva nega a bicondicional. Assimnegar a proposição “Hoje é natal se e somente 
se é 25 de Novembro” é o mesmo que declarar “Ou hoje é natal ou é 25 de novembro” (é 
impossível que as duas componentes sejam verdadeira simultaneamente). A equivalência vem da 
tabela abaixo: 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Negação da Disjunção Exclusiva : qp  
A análise acima nos remete a equivalência ~(p q )  qp  . Por exemplo, a proposição 
É falso que Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, é equivalente a “Te darei uma bola se e 
somente se te der uma bicicleta” 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 28 
 
 Negação da Negação : ~(~p) p (dupla negação) 
 Conforme apresentado em exemplos anteriores a negar duas vezes uma proposição nos leva a 
proposição inicial p. Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P ~p ~ ~ p 
V 
F 
O quadro abaixo resume as equivalências apresentadas acima. 
 
Proposição Composta Negação 
pq ~(p  q)  ~p  ~q 
p q ~(p  q)  ~p  ~q 
p q ~(p q )  qp  
p q ~( qp )  pq 
pq ~( qp  )  p q 
 
 
Exercício Proposto 4: Dar a negação, na linguagem corrente, das seguintes proposições: 
a) Ele disse que vai viajar de carro ou de ônibus. 
b) É falso que não está frio ou que está chovendo. 
c) A prova não foi fácil. 
d) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que sua mãe é gaúcha. 
e) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
f) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumentando. 
g) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química. 
h) Ou é nordestino ou é trabalhador. 
i) Maurício gosta de ler ou de ouvir música. 
j) Se Maria foi aprovada, então estudou. 
Não é verdade que Jô Soares não é gordo 
 
 
~ p ~ 
 p 
Jô Soares é gordo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 29 
 
k) Não é verdade que Maria estudou e foi aprovada. 
l) É falso que Maria não estudou e foi aprovada. 
m) Amália pratica natação ou gosta de dançar. 
n) Ele é professor se e somente se é instruído 
o) Se ele é professor, então é instruído e educado. 
p) Se hoje é Natal então é 25 de dezembro. 
 
Outras Equivalências 
 Comutação 
Comutar é inverter a ordem das componentes de uma proposição composta, por exemplo, p  q 
e q  p. É de fácil verificação as equivalências listadas abaixo, obtidas pela comutação das 
proposições componentes. 
p  q  q  p. 
p q  q  p. 
p ↔ q  q ↔ p. 
 
Atenção: O antecedente e conseqüente de uma condicional não podem ser comutados! Ou 
seja, qp NÃO É EQUIVALENTE a qp 
 
Exemplos: 
x > 2 e x < 3 é equivalente a x < 3 e x > 2 
“Pedro fala inglês ou francês” é equivalente a “Pedro fala francês ou inglês”. 
 
Equivalências da Condicional qp 
 Contraposição 
As proposições qp e pq ~~  são equivalentes. A proposição pq ~~  é chamada 
contrapositiva de pq. (verifique a equivalência, )~(~ pqqp  , utilizando a tabela –
verdade) 
 
 
 
 
 
 
p q ~p ~q qp pq ~~  
V V 
V F 
F V 
F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 30 
 
 
Considerando a proposição “ Se Jô Soares é gordo então é motoqueiro” podemos declarar que “ 
Se Jô Soares não é motoqueiro então não é gordo” . Observe o esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 5: 
1)Duas grandezas x e y são tais que “se x = 2, então y = 6”. Pode-se concluir que: 
a) Se 2x , então 6y . 
a) Se y = 6, então x = 2. 
b) Se 6y , então 2x . 
c) Se x = 4, então y = 4. 
 
2)Escreva em linguagem simbólica (quando necessário) e verifique se são logicamente 
equivalentes as proposições: 
a) “Se o motorista é uma mulher, então ele é desacreditado.” e “Se o motorista é 
desacreditado, então ele é uma mulher.” 
b)“Quem tem dinheiro, não compra fiado.” e “Quem não tem, compra.” 
 
3)A proposição “Se Maurício joga futebol, então Talita toca violino.” é equivalente a: 
a) Maurício joga futebol se, e somente se, Talita toca violino. 
b) Se Maurício não joga futebol, então Talita não toca violino. 
c) Se Talita não toca violino, então Maurício não joga futebol. 
d) Se Talita toca violino, então Maurício joga futebol. 
e) Se Maurício toca violino, então Talita joga futebol. 
4) A seguinte proposição “Se o aluno estudou, então ele passou” é logicamente equivalente a: 
a) Se o aluno passou, então ele estudou. 
b) Se o aluno não passou, então ele não estudou. 
c) Se o aluno não estudou, então ele não passou 
Se Jô Soares é gordo então motoqueiro” 
 
 
p q  
~ q ~ p  
 
Se Jô Soares não é motoqueiro então não é gordo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 31 
 
 
 Implicação Material 
 
A proposição condicional pq é equivalente a disjuntiva qp~ . Observe que esta 
equivalência permite reescrever uma proposição condicional utilizando uma proposição 
disjuntiva (ou ), e vice - versa. Desta forma dizer que “Se Pedro é pedreiro, então Paulo é 
paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é 
paulista” 
 
 Verifique a equivalência )(~ qpqp  
 
p q ~p ~q qp pq ~~  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Exercícios Proposto: Escreva em linguagem simbólica e verifique se são logicamente equivalentes 
as proposições: 
“Se eu me chamo Sônia, eu serei aprovada no concurso.” e “Eu serei aprovada no concurso, ou 
não me chamo Sônia.” 
 
As proposições condicionais merecem atenção pois têm suas particularidades. O quadro abaixo 
resume as propriedades das condicionais vistas nos tópicos anteriores. 
 
Contrapositiva )~(~ pqqp  
Implicação Material )(~ qpqp  
Negação da Condicional   )~(~ qpqp  
Comutação NÃO qp NÃO É EQUIVALENTE a qp 
Regra do conectivo É falso quando o antecedente for verdadeiro e 
a condição for falsa 
Expressões equivalentes na linguagem 
corrente (principais) 
p é condição suficiente para q 
q é condição necessária para p 
Todo p é q 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 32 
 
 
 
Exercício Proposto : Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, 
 a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
 b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
 c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
 d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
 e) Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 33 
 
 
 1 ª LISTA 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1) Considere as proposições p: O empregado foi demitido. e q: O patrão indenizou o 
empregado. Forme sentenças, na linguagem coloquial, que correspondam às proposições 
seguintes: 
a) a) ~p b) ~q c) qp  d) qp  
b) e) qp~  f) q~p g) ~(~p) h) pq  
2) Considere as proposições p: Cláudio fala inglês. e q: Cláudio fala alemão. Forme sentenças, 
na linguagem coloquial, que correspondam às proposições seguintes: 
a) a) qp  b) qp  c) q~p d) q~p~  
b) e) qp~  f) q~p  g) qp  h) pq  
3) Considere as proposições seguintes: 
p: Os agricultores se mobilizam. 
q: Os políticos nada fizeram. 
r: A reforma agrária continua sem solução. 
s: Os sem-terra apelam para o Presidente da República. 
E simbolize os seguintes argumentos: 
a) Os agricultores se mobilizam e, ou os políticos nada fizeram, ou a reforma agrária 
continua sem solução. 
b) Se agricultores não se mobilizam, então a reforma agrária continua sem solução. 
c) Ou os agricultores se mobilizam e os políticos nada fizeram, ou a reforma agrária 
continua sem solução e os sem-terra apelam para o Presidente da República. 
d) Ou a reforma agrária continua sem solução ou os sem-terra apelam para o 
Presidente da República, nem os agricultores se mobilizam, nem políticos nada 
fizeram. 
e) Se os agricultores se mobilizam, então os políticos nada fizeram e a reforma agrária 
continuasem solução. 
 
4) (CESPE) Suponha que 
a) p: Hoje choveu. 
b) q: José foi à praia. 
c) r: Maria foi ao comércio. 
d) Qual é a representação das sentenças abaixo? 
a) Se hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia. 
b) Hoje choveu e José foi à praia. 
 
5) (CESPE) Considere que 
p: Fumar deve ser proibido. 
q: Fumar deve ser encorajado. 
r: Fumar não faz bem à saúde. 
s: Muitos europeus fumam. 
Represente simbolicamente cada item abaixo: 
a) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
b) Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
c) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
d) Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então 
fumar deve ser proibido. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 34 
 
6) Dadas as proposições p: A neve é preta e q: A terra é um satélite, é certo afirmar que: 
a) p é verdadeira e q é falsa 
b) b)~p é verdadeira e “Se p, então q” é verdadeira 
c) p é falsa e “Se p, então q” é falsa 
d) d)p, q e “Se p, então q” são falsas 
 
7) Sejam as proposições p: Os meninos jogam e q: O cão ladra. Em linguagem corrente a 
proposição (p e ~q) fica: 
a) Os meninos não jogam e o cão ladra 
b) b)Os meninos não jogam e o cão não ladra 
c) Os meninos jogam e o cão não ladra 
d) d)Os meninos jogam e o cão ladra 
 
8) Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) q~p b) qp~  c) qp~  d) )q~p(~)qp(  
e) )rp(~)q~p(  f)   )rp()rq()qp(  
g) )r~q()r~p(  h)    )r~p(q)rq(~p  
 
9) Sabendo que os valores lógicos de p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico 
de cada uma das seguintes proposições: 
a) a) qp~  b) q~p c) q~p~  d) qp~  e) )qp(~p  
b) f)    )q~p()p~q(~)pp(~q  
c) 
10) Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) 5 é um número primo e Lula é o presidente do Brasil. 
b) Não é verdade que 5 é um número primo ou Lula é o presidente do Brasil. 
c) 5 não é um número primo ou Lula não é o presidente do Brasil. 
d) Não é verdade que 5 é um número primo e Lula é o presidente do Brasil. 
e) 5 não é um número primo e Lula não é o presidente do Brasil. 
f) 5 é um número primo ou 5 não é um número primo. 
g) Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil. 
h) Se 5 é um número primo, então Lula é o presidente do Brasil. 
i) Se 5 não é um número primo, então Lula é o presidente do Brasil. 
j) Se 5 não é um número primo, então Lula não é o presidente do Brasil. 
k) Se 5 é um número primo, então Lula não é o presidente do Brasil. 
 
11) Determine o valor lógico das proposições: 
a) Se 9 + 7 = 17, então eu sou o rei da Inglaterra. 
b) Se x + 5 = 0, então 252 x . 
c) Se x > 0, então 0x . 
d) Se 81 x 11 = 811, então eu sou o rei da Holanda. 
 
12) Em uma roda de amigos Jorge, Edson e Geraldo contam fatos sobre suas namoradas. Sabe-se 
que Jorge e Edson mentiram e Geraldo falou a verdade. Determine o valor lógico das 
proposições abaixo: 
a) Se Geraldo mentiu então Jorge falou a verdade 
b) Edson falou a verdade e Geraldo mentiu 
c) Se Edson mentiu então Jorge falou a verdade 
d) Jorge falou a verdade e Geraldo mentiu 
e) Edson mentiu e Jorge falou a verdade 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 35 
 
13) Por argumento entendemos uma série de enunciados, dos quais um é a conclusão e os demais 
são as premissas, que servem para provar ou pelo menos fornecer alguma evidência para a 
conclusão. 
Exemplo: Todos os homens são mortais. (premissa) 
 Sócrates é homem. (premissa) 
 Logo, Sócrates é mortal. (conclusão) 
 
Dados os argumentos identifique as premissas e a conclusão. Represente-as simbolicamente, 
conforme o exemplo resolvido abaixo 
 
a) Se houvesse uma guerra , a humanidade seria destruída. 
Haverá uma guerra nuclear. 
Portanto, a humanidade será destruída por uma guerra nuclear. 
 
Solução: 
p: Haverá uma guerra 
q: A humanidade será destruída 
Premissas  1)pq 
 2)p 
Conclusão  3)q 
 
a) Se é domingo, Miriam vai à missa. 
Miriam não foi à missa. 
Logo, não é domingo. 
 
b) Se 2 não é primo, então 3 não é ímpar. 
Mas 2 é primo. 
Logo, 3 é ímpar. 
 
c) João vai estudar ou não vai passar no concurso. 
João passou no concurso. 
Logo, João estudou. 
 
d) Trabalho ou serei aprovado em Matemática. 
Trabalhei. 
Logo, fui reprovado em Matemática. 
 
e) Se uma mulher é feia, ela é infeliz. 
Se uma mulher é infeliz, ela não casa. 
Logo, mulheres feias não casam. 
 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sergio. Assim, quando Sandra não 
abraça Sergio, João não está feliz e Daniela abraça Paulo. 
 
g) Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
h) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não 
brigou com Carla. Logo ,Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 36 
 
 
i) (Técnico Ministério Público) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. 
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo 
Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje 
vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
 
14) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 2, então y = 6”. Pode-se concluir que: 
a) Se 2x , então 6y . 
b) Se y = 6, então x = 2. 
c) Se 6y , então 2x . 
d) Se x = 4, então y = 4. 
e) Nenhuma das conclusões anteriores. 
 
15) Duas grandezas x e y são tais que “se 2x , então y = 1”. Pode-se concluir que: 
a) Se x = 2, então 1y . 
b) Se y = 1, então 2x . 
c) Se 1y , então x = 2. 
d) Se x = 0, então y = 0. 
e) Nenhuma das conclusões anteriores. 
 
16) Determine o valor lógico das proposições: 
a) Se 9 + 7 = 17, então eu sou o rei da Inglaterra. 
b) Se x + 5 = 0, então 252 x . 
c) Se x > 0, então 0x . 
d) Se 81 x 11 = 811, então eu sou o rei da Holanda. 
 
17) Escreva em linguagem simbólica (quando necessário) e verifique se são logicamente 
equivalentes as proposições: 
a) “Se eu me chamo Sônia, eu serei aprovada no concurso.” e “Eu serei aprovada no 
concurso, ou não me chamo Sônia.” 
b) “Se o motorista é uma mulher, então ele é desacreditado.” e “Se o motorista é 
desacreditado, então ele é uma mulher.” 
c) x – 1 = 0 e 12 x 
d) “Quem tem dinheiro, não compra fiado.” e “Quem não tem, compra.” 
 
18) Dadas as proposições p: A neve é preta e q: A terra é um satélite, é certo afirmar que: 
a) p é verdadeira e q é falsa 
b) b)~p é verdadeira e “Se p, então q” é verdadeira 
c) p é falsa e “Se p, então q” é falsa 
d) p, q e “Se p, então q” são falsas 
 
19) Sejam as proposições p: Os meninos jogam e q: O cão ladra. Em linguagem corrente a 
proposição (p e ~q) fica: 
a) Os meninos não jogam e o cão ladra 
b) Os meninos não jogam e o cão não ladra 
c) Os meninos jogam e o cão não ladra 
d) Os meninos jogam e o cão ladra 
 
20) A negação da proposição p: Os preços sobem e Pedro não é justo é: 
a) Os preços não sobem e Pedro não é justo 
b) Os preços sobem ou Pedro não é justo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 37 
 
c) Os preços não sobem ou Pedro não é justo 
d) Os preços não sobem ou Pedro é justo 
 
21) Sejam as proposições p: Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4= 9 e q: 3+4 = 7 e 6 + 4 = 10. Os valores de p 
e q, nesta ordem, são: 
a) a)VeF b)VeV c)FeF d)FeV 
 
23. A negação de “ 4x ou 2x ” é: 
a) 4x e 2x 
b) 4x ou 2x 
c) 4x e 2x 
d) 4x ou 2x 
e) Se 4x , então 2x . 
 
24. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, 
a. seu esforço é condição necessária para vencer. 
b. se vocênão se esforçar, então não irá vencer. 
c. você vencerá só se você se esforçar. 
d. mesmo que se esforce, você não vencerá. 
e. seu esforço é condição suficiente para vencer. 
 
25. Considere as afirmações abaixo. 
 
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. 
 
II. A proposição “ (10 < ) ↔ (8 - 3 = 6)” é falsa. 
 
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) (~q)” é uma tautologia. 
 
É verdade o que se afirma APENAS em 
 
(A) I. 
 
(B) II. 
 
(C) III. 
 
(D) I e II. 
 
(E) I e III. 
 
 
26. Negue em linguagem corrente as seguintes proposições: 
f. As vendas diminuem e os preços aumentam. 
g. É falso que está frio ou que está chovendo. 
h. Se João passar em Física então se formará. 
i. Não tenho carro e não tenho moto. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 38 
 
27. Se p e q são proposições, então a proposição p  (~q) é equivalente a 
 
(A) ~(p → ~q) 
 
(B) ~(p → q) 
 
(C) ~q → ~p 
 
(D) ~(q → ~p) 
 
(E) ~(p q) 
 
28. Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é 
 
(A) ~q → ~p 
 
(B) ~q → p 
 
(C) ~p → ~q 
 
(D) q → ~p 
 
(E) ~(q → p) 
 
29. Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. 
(A) As proposições ~(p  q) e (~p  ~ q) não são logicamente equivalentes. 
(B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a 
proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”. 
(C) A proposição ~[ p  ~(p  q)] é logicamente falsa. 
(D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à 
proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. 
(E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa. 
 
30. (ESAF) – Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa 
é solteira.” é: 
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. 
c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. 
d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. 
e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 
 
31. (FGV) – O Ministro da economia de um certo país afirmou, em entrevista a um jornal: 
 
SE UM PAÍS TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE NÃO PEDE MORATÓRIA. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 39 
 
No dia seguinte, o referido jornal publicou: 
 
MINISTRO AFIRMA: SE UM PAÍS NÃO TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE PEDE 
MORATÓRIA. 
 
Compare a declaração do Ministro com o que foi publicado no jornal, assinalando 
a alternativa correta: 
a) As duas afirmações são logicamente equivalentes. 
b) Se um país tem crédito e pede moratória , isto contradiz a declaração do Ministro na 
entrevista. 
c) Se um país tem crédito e não pede moratória, isto contradiz o que foi publicado no 
jornal. 
d) Se um país não tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na 
entrevista. 
 
32. (FGV) – A ciência provou que, se os pais têm olhos azuis, seus filhos também 
terão olhos azuis. João tem olhos azuis. Daí se concluí que. 
b) Os pais de João têm olhos azuis. 
c) Os pais de João não tem olhos azuis. 
d) Um dos pais de João tem olhos azuis. 
e) NDA. 
 
33. Marcos é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos 
outros dias da semana.Em qual dos dias da semana não é possível que o Marcos faça a seguinte 
afirmação: “Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.” 
a) sábado 
b) domingo 
c) segunda 
d) terça 
e) quarta 
 
34. Marcos é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos 
outros dias da semana.Em qual dos dias da semana não é possível que o Marcos faça a seguinte 
afirmação: “Menti ontem se somente se mentirei amanhã.” 
a) segunda 
b) terça 
c) quinta 
d) sexta 
e) sábado 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 40 
 
Lógica Matemática 
Estudo dos Argumentos Aula 05 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.8. Partindo de premissas de uma dada situação, ser capaz de fazer deduções lógicas, 
justificadas por meio da lógica da argumentação; 
1.9. Dado um argumento dedutivo, ser capaz de classificá-lo em válido ou inválido e justificar 
tal classificação por escrito; 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
 
 
Vencemos a primeira etapa! Começaremos hoje mais um módulo. Finalmente chegamos ao 
estudo dos argumentos. Todo o trabalho desenvolvido até aqui servirá para o estudo do raciocínio 
que desde o início era nosso objeto de estudo, lembra? 
A lógica analisa formalmente argumentos ou raciocínios a fim de determinar sua validade. 
Para tanto contará com uma metodologia e regras específicas. 
Vamos ao trabalho! 
 
 O que é Argumento ? 
 Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que 
algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. 
 Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra 
proposição q. 
 Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q 
de conclusão do argumento. Assim: 
 
Argumento é uma série de enunciados, dos quais um é a conclusão e os demais são as premissas 
 
 Para determinar quais as premissas e a conclusão num argumento, podemos utilizar termos 
indicadores de conclusão e de premissas. 
 São indicadores de conclusão: portanto, por conseguinte, assim, logo, desta forma, 
resulta que, segue-se que, ... 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 41 
 
 São indicadores de premissas: visto que, pois, como, porque, desde que, dado que, 
supondo que, em vista de,... 
 No argumento, “Os partidários do socialismo histórico não são partidários de idéias 
neoliberais, pois os neoliberais defendem as privatizações, e os socialistas históricos as negam” 
identificamos o indicador de premissas “pois”, as proposições “os neoliberais defendem as 
privatizações” e “os socialistas históricos as negam” são portanto premissas. E “Os partidários 
do socialismo histórico não são partidários de idéias neoliberais” é a conclusão. 
 
“Os partidários do socialismo histórico não são partidários de idéias neoliberais, 
 
 
pois os neoliberais defendem as privatizações, e os socialistas históricos as negam 
 
 
 
 
Observe o argumento: 
 
 “Se alguém é carioca, então é brasileiro. Fernanda é brasileira. Logo, Fernanda é carioca. 
 
 
2.2 Validade de um Argumento 
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um 
argumento diremos que ele é válido ou não válido. 
Pensar que a validade de um argumento se dá pela análise da verdade de cada uma das 
premissas é um equívoco. Esse não é o papel da lógica, e sim das diversas ciências; a lógica não 
pretende saber se cada uma das premissas corresponde à realidade ou não, ou se são verdadeiras ou 
falsas. O que ela pretende analisar é se o argumento está estruturalmente bem construído, ou seja, 
se a conclusão deriva das premissas usadas. 
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) 
lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. 
Observe os argumentos abaixo: 
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os pássaros são peixes. ( F ) 
 Todos os pássaros têm asas. ( V ) 
P1 P2 
Conclusão 
Indicador de conclusão 
P1 P2 Conclusão 
Indicador de 
premissas 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 42 
 
 
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os cães são peixes. ( F ) 
Todos os cães têm asas. ( F ) 
 
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as 
conclusões também as seriam. 
Um argumento é válido se, e somente se, sua conclusão estiver suficientementeapoiada nas 
premissas, ou ainda, na hipótese de todas as premissas serem verdadeiras, então a conclusão é 
necessariamente verdadeira. Caso contrário, se as premissas não constituírem evidência suficiente 
e necessária para a conclusão, então trata-se de um argumento inválido. Exemplos: 
Cabral era português. Logo, Cabral descobriu o Brasil. (inválido) 
Todo presidente é ancião. Todo octogenário é presidente. Logo, todo octogenário é ancião. 
(válido) 
Todos os alemães são europeus. Todos os ingleses são europeus. Logo, todos os ingleses são 
alemães. (inválido) 
Assim, podemos perceber que não é o conteúdo semântico, de que tratam as proposições, que 
garante a validade de um argumento. Ao contrário, dependendo do assunto, pode nos confundir em 
virtude de envolvimento psicológico. Por isso, para determinar a validade de um argumento, 
devemos nos atentar para sua forma, ou seja, na maneira como se combinam os enunciados 
constituintes. Exemplos: 
Se alguém é carioca, então é brasileiro. Fernanda é brasileira. Logo, Fernanda é carioca. 
Se Luiz é cristão, então é monoteísta. Luiz é monoteísta. Logo, Luiz é cristão. 
A maneira mais simples para deixar de lado o conteúdo e ater-se somente à forma é 
mediante a adoção da simbolização do argumento por meio de variáveis. 
Os dois argumentos acima, apesar de tratarem de conteúdos diferentes, estão na mesma 
forma: 
A
B.
BA.


2
1
 
Todo argumento válido tem a seguinte regra: 
 
Considerando as premissas verdadeiras, a conclusão deverá ser verdadeira 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 43 
 
Assim para determinar a validade de um argumento devem-se considerar todas as premissas 
verdadeiras e verificar a veracidade da conclusão. 
A seguir apresentaremos alguns formas de argumentos válidos, importantes no estudo da 
validade de argumentos mais elaborados. 
 
Alguns Formas de argumentos Válidas 
Forma 
 
q
p
qp


.2
.1
 
“Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no 
concurso. Logo José será demitido do serviço.” 
 
Para verificar a validade do argumento 
 
1º) identifique as premissas e a conclusão e o reescreva na forma lógica: 
 
q
p
qp


.2
.1
 
2º) considere as premissas 1. e 2. verdadeiras: 
p
qp 
 
 
3º) Use as regras dos conectivos e determine os valores lógicos das proposições simples 
(nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
 
p
qp 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
V 
Observe que a proposição q deve ser verdadeira, pois caso contrário a condicional pq 
é falso, isto é impossível, pois é premissa. 
V 
V 
V 
V 
p q pq 
V ??? V 
 
Premissa 
(dado) Premissa 
(dado) 
q deve ser 
V 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 44 
 
 
4º) Considerando os valores das proposições verifique a conclusão, Se verdadeira então o 
argumento é válido. Caso contrário argumento inválido. 
q
p
qp


.2
.1
 
 
Observação: Todo argumento que tem a forma descrita acima é válido. 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento : “ Se BIPBIP É BOP então BOPBOP é 
BIP. Sabe-se que BIPBIP É BOP. Logo BOPBOP é BIP” 
Forma 
 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
Analisaremos o argumento acima, seguindo os passos explicados no caso anterior. 
1º) identifique as premissas e a conclusão e o reescreva na forma lógica: 
 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
2º) considere as premissas 1 e 2 verdadeiras: 
q
qp
~

 
 
3º) Use as regras dos conectivos e determine os valores lógicos das proposições simples 
(nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
q
qp
~

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido !! 
V 
V 
F 
V 
F 
V 
Observe que a proposição p deve ser falsa pois caso contrário a condicional 
pq é falsa, isto é impossível, pois é premissa. 
p q pq 
??? F V 
 
Premissa 
(dado) 
p deve ser 
F 
 
~q é V (Premissa) 
q é F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 45 
 
 
4º) Considerando os valores das proposições verifique a conclusão; 
Conclusão: ~ p é Verdadeira pois p é falso 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento “Não aumentamos os meios de 
pagamentos, pois se aumentamos os meios de pagamentos, há inflação. E, não há inflação.” 
 
 Forma 
p
q
qp


~.2
.1
 
 
Considere as premissas 1 e 2 verdadeiras e use a regra da disjunção para determinar os valores 
lógicos das proposições simples (nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
 
q
qp
~.2
.1 
 
 
 
Seguindo as setas temos: 
 
Afirmação Justificativa 
~q (V) Premissa 
 q (F) Negação 
pq (V) Premissa 
 p (V) Disjunção 
 
Considerando os valores das proposições a conclusão é verdadeira logo o argumento é válido 
 
p
q
qp


~.2
.1
 
 
 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento “João vai estudar ou não vai passar no 
concurso. João passou no concurso. Logo, João estudou. 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido!! 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido!! 
p q pq 
??? F V 
 
Premissa 
(dado) 
p deve ser 
V 
 
~q é V (Premissa) 
q é F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 46 
 
 
Utilizando a técnica e as formas apresentadas acima podemos determinar a validade de 
qualquer argumento dado. Observe a questão abaixo: 
 
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, 
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: 
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. 
b) Camile e Carla não foram ao casamento. 
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. 
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. 
 e) Vera e Vanderléia não viajaram. 
 
Solução: Note que o enunciado do exercício apresenta as premissas, que são consideradas 
verdadeiras, e pede a conclusão. Assim devemos determinar os valores lógicos das proposições 
simples envolvidas e procurar nas alternativas uma declaração verdadeira que será a conclusão do 
argumento. 
 
 1.Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. 
 
 P ( ~q  ~r) 
 (F) 
 
 (F) (F) 
 
 2.Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. 
 
 ~r s 
 
 (F) (F) 
 
 3.Se Vanderléia viajou, o navio afundou. 
 
 s t 
 (F) (F) 
 
 4.Ora, o navio não afundou. 
 
 ~t 
 (V) 
Verificando a validade de cada uma das opções, concluímos “Vera e Vanderléia não 
viajaram” é a opção correta. 
Vera e Vanderléia não viajaram 
 
 ~ p  ~ s 
(F) (F) 
 
(V) (V) 
 
 (V) 
Valores das proposições: 
 
Prop. Valor Lógico 
p F 
q ??? 
r V 
s F 
t F 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 47 
 
 
Exercício proposto : Dados os argumentos identifique as premissas e a conclusão, e determine a 
sua validade 
a) Se houvesse uma guerra , a humanidade seria destruída. 
Haverá uma guerra nuclear. 
Portanto, a humanidade será destruída por uma guerra nuclear. 
 
b) Se é domingo, Miriam vai à missa. 
Miriam não foi à missa. 
Logo, não é domingo. 
 
c) Se 2 não é primo, então 3 não é ímpar. 
Mas 2 é primo. 
Logo, 3 é ímpar. 
 
d) João vai estudar ou não vai passar no concurso. 
João passou no concurso. 
Logo, João estudou. 
 
e) Se uma mulher é feia, ela é infeliz. 
Se uma mulher é infeliz, ela não casa. 
Logo, mulheres feias não casam. 
. 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sergio. Assim, quando Sandra não 
abraça Sergio, João nãoestá feliz e Daniela abraça Paulo. 
 
g) Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
h) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não 
brigou com Carla. Logo ,Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 48 
 
i) (Técnico Ministério Público) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. 
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo 
Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje 
vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
 
Até o momento, estudamos um tipo de enunciado, em que havia sempre (pelo menos) uma 
sentença apropriada para ser o ponto de partida da resolução. Na seqüência, veremos questões um 
pouco mais, digamos, interessantes: nelas, não haverá nenhuma sentença em forma de 
proposição simples ou de conjunção, de sorte que não estará previamente definido qual o ponto 
de partida da resolução. A análise se aprofunda um pouco. 
 Aprenderemos esse tipo de resolução resolvendo questões! Vamos lá! 
 
Para resolvermos esta tipo de questão, devemos: 
1º Passo) consideraremos todas as premissas verdadeiras; (como nos casos anteriores) 
2º Passo) atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples (isso é 
novidade!) 
3º Passo) Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas premissas e 
verificaremos se está correto, ou seja, se não vai ocorrer alguma contradição entre os resultados 
obtidos. 
 
Exercícios Propostos 
01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não 
estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, 
a) não durmo, estou furioso e não bebo 
b) durmo, estou furioso e não bebo 
c) não durmo, estou furioso e bebo 
d) durmo, não estou furioso e não bebo 
e) não durmo, não estou furioso e bebo 
 
02. (MPU Administrativa 2004 ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é 
inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são 
culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. 
Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, 
a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. 
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c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
 
03. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos 
carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é 
branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o 
Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do 
Fiesta são, respectivamente, 
a) branco, preto, azul 
b) preto, azul, branco 
c) azul, branco, preto 
d) preto, branco, azul 
e) branco, azul, preto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 2 ª LISTA 
 
2ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1. Alguns dos enunciados seguintes são argumentos. Identifique quais são argumentos e, nesse 
caso, as premissas e a conclusão. 
a) Ele é Leão, pois nasceu na primeira semana de agosto. 
 
b) A economia não pode ser melhorada, já que o déficit comercial está crescendo todo dia. 
 
c) Eu não quero ir para cama, mamãe. O filme ainda não acabou. 
 
d) O edifício estava em ruínas, coberto de fuligem marrom, numa região abandonada. A 
fuga dos ratos ressoava pelos corredores. 
 
e) As pessoas talentosas como você deveriam receber uma educação superior. Você 
deveria ir para a faculdade! 
 
f) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam 
constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo. 
Assim, um ataque direto teria sido suicídio. 
 
g) “Outras leis esparsas foram impostas aos poucos, na medida em que os problemas 
foram se agravando.” 
 
h) Há alguém aqui que entende esse documento? 
 
i) Nos Estados Unidos muitas pessoas não sabem se seu país apóia ou se opõe ao governo 
da Nicarágua. 
 
j) “A construção de uma nova orientação moral impõe-se, pois estamos presenciando a 
destruição da natureza e do próprio ser humano.” 
 
k) Bem-aventurado aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado. 
 
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l) Todos os comunistas são críticos do capitalismo selvagem, porque todos os críticos do 
capitalismo selvagem são defensores de uma política econômica voltada para o lucro e 
os comunistas são defensores de uma política social mais ampla. 
 
m) O ouro conduz eletricidade, pois todo metal conduz eletricidade e o ouro é um metal. 
 
 
n) “Valeu o esforço, pois a colheita deu resultado bem melhor do que esperavam.” 
 
2. Testar a validade dos seguintes argumentos: 
 
a) Amelinha não foi trabalhar esta noite, porque usava um colar e se ela vai trabalhar, 
nunca usa um colar. 
 
b) Deve haver uma greve na universidade, pois há um piquete à porta e se existem 
piquetes, há greves. 
 
c) Somente se o governo aprovar as medidas e prover os meios para seu cumprimento, é 
que então teremos uma melhoria nas condições de vida dos trabalhadores. Ora, o 
governo aprovou as medidas e não proveu os meios para seu cumprimento. Assim, não 
teremos uma melhoria nas condições de vida dos trabalhadores. 
 
d) O presidente da empresa deverá adotar medidas de contenção de gastos ou não teremos 
um aumento substancial de salário. As medidas de contenção de gastos não foram 
aprovadas e, portanto, não serão colocadas em prática. Isso significa que não teremos 
um aumento substancial de salário. 
 
e) Qualquer que seja o índice de desemprego, ele acarreta aumento nos índices de 
criminalidade. Ora, o índice de desemprego é causado por uma política econômica 
deficiente. Logo, uma política econômica deficiente acarreta um aumento nos índices 
de criminalidade. 
 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
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condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra 
não abraça Sérgio, João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. 
 
3. Se amanhã for feriado, então hoje José irá viajar. Ora, amanhã não será feriado. Então, pode-se 
afirmar que: 
a) José não viajará hoje. 
b) José viajará hoje. 
c) É possível que José viaje hoje. 
d) José somente viaja em véspera de feriado. 
e) José nunca viaja no feriado. 
 
4. (AFCE/TCU) Se Geraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Cris. Se Beatriz briga 
com Cris, então Cris vai ao bar. Se Cris vai ao bar, então Beto briga com Cris. Ora, Beto não 
brigou com Cris. Logo, 
a) Cris não foi ao bar e Beatriz brigou com Cris. 
b) Cris foi ao bar e Beatriz brigou com Cris. 
c) Beatriz não brigou com Cris e Geraldo não brigou com Beatriz. 
d) Beatriz brigou com Cris e Geraldo brigou com Beatriz. 
e) Beatriz não brigou com Cris e Geraldo brigou com Beatriz. 
 
5. (AFC) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não brigou 
com Carla. Logo, 
a) Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
b) Carla ficou em casa e Glória foi ao cinema. 
c) Carla não ficou em casa e Glória foi ao cinema.d) Glória foi ao cinema e Beto brigou com Glória. 
e) Glória não foi ao cinema e Beto brigou com Glória. 
 
6. (Técnico Ministério Público) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando 
chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando 
não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje 
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. 
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. 
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d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. 
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 
 
7. (Técnico Ministério Público) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é 
inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são 
culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano 
é culpado. Logo, 
a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. 
c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
 
 
8. (AFC) Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, 
então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: 
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. 
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. 
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. 
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. 
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 
 
9. (ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a 
professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de 
português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram 
resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, 
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. 
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. 
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. 
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. 
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. 
 
10. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala 
chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas 
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Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, 
Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, 
a)Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. 
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. 
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. 
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. 
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 
 
11) (AFTN-96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a 
verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz 
nesta sala, logo: 
 a) Nestor e Júlia disseram a verdade. 
 b) Nestor e Lauro mentiram. 
 c) Raul e Lauro mentiram. 
 d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. 
 e) Raul e Júlia mentiram. 
 
12. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou 
Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou 
Homero é honesto. Logo, 
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
c)) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. 
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
 
13. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se 
Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou 
Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: 
a)) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina 
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina 
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina 
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática 
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 
 
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14. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que 
ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou 
Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais 
moço dos três irmãos são, respectivamente: 
a) Caio e José 
b)) Caio e Adriano 
c) Adriano e Caio 
d) Adriano e José 
e) José e Adriano 
 
 
 
 
Gabarito 
1) 
a) Premissa: Ele nasceu na primeira semana de agosto. 
Conclusão: Ele é Leão. 
 
b) Premissa: O déficit comercial está crescendo todo dia. 
Conclusão: A economia não pode ser melhorada. 
 
c) Premissa: O filme ainda não acabou. 
Conclusão: Eu não quero ir para cama, mamãe. 
 
d) Não é argumento. 
 
e) Premissa 1: As pessoas talentosas deveriam receber uma educação superior. 
Premissa 2: Você é uma pessoa talentosa. 
Conclusão: Você deveria ir para a faculdade! 
 
f) Premissa 1: Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo. 
Premissa 2: Suas tropas estavam constantemente sendo reforçadas. 
Premissa 3: As nossas forças estavam diminuindo. 
Conclusão: Um ataque direto teria sido suicídio. 
 
g) Premissa: Os problemas foram se agravando. 
Conclusão: Outras leis esparsas foram impostas aos poucos. 
 
h) Não é argumento. 
 
i) Não é argumento. 
 
j) Premissa: Estamos presenciando a destruição da natureza e do próprio ser humano. 
Conclusão: A construção de uma nova orientação moral impõe-se. 
 
k) Premissa: Aqueles que nada esperam nunca serão decepcionados. 
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Conclusão: Bem-aventurado aquele que nada espera. 
 
l) Premissa 1: Todos os críticos do capitalismo selvagem são defensores de uma política 
econômica voltada para o lucro. 
Premissa 2: Os comunistas são defensores de uma política social mais ampla. 
Conclusão: Todos os comunistas são críticos do capitalismo selvagem. 
 
m) Conclusão: O ouro conduz eletricidade. 
Premissa 1: Todo metal conduz eletricidade. 
Premissa 2: O ouro é um metal. 
 
n) Conclusão: Valeu o esforço. 
Premissa: A colheita deu resultado bem melhor do que esperavam. 
 
2) a) Válido. b) Inválido. i) Válido. c) Válido. d) Válido. e) Válido. f) Inválido 
 
3)C 4) C 5) A 6) C 7) E 8) B 9) B 
10) A 11) B 12)C 13)A 14)B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lógica Matemática 
Estudo dos Argumentos Aula 06 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.10. Ser capaz de representar proposições categóricas dadas usando diagramas de conjuntos; 
1.11. Ser capaz de negar proposições categóricas dadas, por escrito ou oralmente; 
1.12. Dado um argumento categórico, ser capaz de diagramá-lo e classificá-lo em válido ou 
inválido. 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 
Iniciaremos nesta aula mais um tópico no estudo dos argumentos, trata-se do Silogismo 
categórico. Para testar a validade de um silogismo utilizamos diagramas. 
 Um silogismo categórico é composto de, no mínimo, três proposições categóricas Maso 
que é uma proposição categórica? Antes de responder a esta pergunta é necessário apresentarmos o 
conceito de Quantificadores. 
Quantificadores 
 Quantificador Universal 
O quantificador universal é dado pelas expressões para todo, qualquer que seja, simbolizadas 
por  . Exemplos: 
Todo homem é mortal. ( Fulano, Fulano é mortal.) 
 Todos os números ímpares não são múltiplos de 2.(  x ímpar, x não é múltiplo de 2) 
Dada a sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo  , referido à variável x, representa 
uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, 
conforme p(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A. Portanto, num universo 
finito, o quantificador universal equivale a conjunções sucessivas. 
Exemplos: 
- No universo finito },,{A 753 e sendo p(x) a sentença aberta x é primo, temos que: 
 ( x,Ax é primo) é equivalente a (3 é primo 5 é primo 7 é primo) 
 - xx,x  2 
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 - Rx,xx 1 
 Quantificador Existencial 
 Já o quantificador existencial é dado pela expressão existe, simbolizada por  . 
 Exemplos: Existem pessoas que não são machistas. (Fulano, Fulano não é machista.) 
 Existe um número primo que é par. ( x primo, tal que x é par) 
 Dada a sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo  , referido à variável x, 
representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira 
ou falsa, conforme p(x) exprime ou não uma condição possível no conjunto A. Portanto, num 
universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas. 
Exemplos: 
No universo finito },,{A 543 e sendo p(x) a sentença aberta x é par, temos que: 
 ( x,Ax é par) é equivalente a (3 é par  4 é par  5 é par) 
 - ,x x vive na Lua. 
 - 
2xx,x  
Negação de proposições envolvendo Quantificadores 
 A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de 
negação) e vice-versa, ou seja, 
))x(p~,Ax())x(p,Ax(~  e ))x(p~,Ax())x(p,Ax(~  
 Exemplos: 
- A negação de Todo aluno da turma A é bem comportado. é Existe aluno da turma A que não 
é bem comportado. ou Nem todo aluno da turma A é bem comportado. 
- A negação de Existe pelo menos uma pessoa doente nessa sala. é Ninguém nessa sala está 
doente. ou Qualquer que seja a pessoa nessa sala, ela não está doente. 
Exercício Proposto: Escreva em linguagem corrente a negação das proposições: 
a) Todo nordestino é trabalhador. 
b) Existe galinha com pescoço pelado. 
c) Todos os meus colegas são inteligentes. 
d) Existem advogados que não são competentes. 
e) Todos os pescadores são mentirosos. 
f) Alguma música é erudita. 
g) Existe ao menos um habitante no planeta Vênus. 
h) Nenhum peixe vive fora d’água. 
 Proposições categóricas 
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Dizemos que um enunciado é uma proposição categórica quando ele está caracterizado por 
um quantificador seguido por uma classe de atributos, um elo e, finalmente, outra classe de 
atributos. As proposições categóricas envolvidas em um raciocínio imediato podem ser 
classificadas quanto à quantidade (Universal e Particular) e à qualidade (Afirmativa ou Negativa). 
Observe o quadro abaixo: 
 
 Qualidade 
 Afirmação Negação 
Quantidade 
Universal Todo cão é fiel Nenhum cão é fiel 
Particular Algum cão é fiel Algum cão não é fiel 
 
Portanto, as proposições categóricas se dividem em quatro tipos: Universal Afirmativa, 
Particular Afirmativa, Universal Negativa e Particular Negativa. Nelas, os termos estão 
relacionados uns com outros por meio das expressões “todo” e “algum”, isto é, pelos 
quantificadores. 
Podemos associar a um conjunto e a um termo proposições da forma “Todo A é B”, que 
afirmam que A é subconjunto de B, ou seja, todos os elementos de A são também elementos do 
conjunto B. Já as proposições da forma “Algum A é B” estabelecem que o conjunto A tem pelo 
menos um elemento em comum com o conjunto B. 
 Note que os enunciados da forma “Algum S não é P” contêm a expressão “não”. O “não” 
atua nos enunciados categóricos de duas maneiras diferentes: aplicado à sentença toda, tornando 
proposições verdadeiras em falsas e vice-versa; e aplicado a um termo, modificando, dessa forma, 
somente uma idéia e não todo o juízo. Quando o “não” se aplica a um termo, ele expressa uma 
complementação e não a negação. Veja o exemplo abaixo: 
 
 Quando se trabalha com proposições categóricas é útil visualizar as relações entre os 
conjuntos. A maneira mais nítida de ser fazer isto é através dos diagramas. 
 Diagramas 
Algumas árvores são carvalhos 
Algumas árvores não são carvalhos Não é o caso de que algumas árvores são carvalhos 
O conjunto das árvores tem pelo 
menos um elemento em comum 
com o conjunto de carvalhos 
Algumas árvores são carvalhos é 
verdadeira, contudo a proposição acima é 
falsa. 
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A região interna do círculo representa o conteúdo do conjunto; a região externa do círculo 
representa o conteúdo do seu complemento. A região determinada pela intersecção dos dois 
círculos representa os elementos que têm em comum. 
 
 
 
 
 
Cada tipo de proposição é representado por diagramas para os quais a proposição é válida. 
 
1. Todo S é P. (Universal Afirmativa) 
 
 
 
 
 
2. Algum S é P. (Particular Afirmativa) 
 
 
 
 
 
3. Nenhum S é P. (Universal Negativa) 
 
 
 
 
4. Algum S é não P. (Particular Negativa) 
 
 
 
 
 
 
S 
P P= S 
Diagrama I Diagrama II 
P 
P 
S 
P P= S 
P 
S 
Diagrama I Diagrama II Diagrama III Diagrama IV 
S P 
S P 
~ P 
S P 
~P 
Diagrama I 
P 
S 
Diagrama II Diagrama III 
P 
~P ~P 
S 
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 Exemplo: Represente cada uma das seguintes proposições através de diagramas: 
 a) Alguns pintores são escultores. 
 b) Todos os oradores são cultos. 
 c) Nenhum atleta é gordo. 
 
 Dedução imediata 
Os argumentos dedutivos imediatos partem de uma proposição categórica para outra 
proposição categórica sem intermediários. Por exemplo: “Todo cão é fiel. Portanto algum cão é 
fiel”. 
Para analisar a validade de uma inferência imediata construímos todos os diagramas possíveis 
para a premissa. Se ao fizermos isso tivermos, também, diagramado a conclusão então a forma é 
válida. 
Assim, para verificar a validade argumento “Todo cão é fiel. Portanto, algum cão é fiel.”, 
primeiro construímos os diagramas possíveis para a proposição “Todo cão é fiel”: 
 
Depois verificamos se a conclusão foi representada em todos os diagramas possíveis para a 
premissa. Os diagramas possíveis para a proposição “algum cão é fiel” são: 
 
 
 
 
 
 
Assim ao representarmos a premissa “Todo cão é fiel” diagramamos também a conclusão 
“algum cão é fiel.” . Logo o argumento “Todo cão é fiel. Portanto, algum cão é fiel.” é válido. 
 
Exemplo: Os seguintes argumentos podem ser formalizados como inferências que envolvem 
um par de proposições. Formalize e teste a validade dos argumentos resultantes por meio de 
diagramas. 
 a) Todo espião não é vegetariano. Logo, algum vegetariano é espião. 
C 
F C= F 
Diagrama I Diagrama II 
C 
F 
C= F C 
F 
Diagrama I Diagrama II Diagrama III Diagrama IV 
C 
F 
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 b) Todo espião é vegetariano. Portanto algum vegetariano não é espião. 
 c) Nenhum espião é vegetariano. Assim algum espião não é vegetariano. 
 d) Algum espião é vegetariano. Portanto algum espião não é vegetariano. 
 e) Todo vegetariano é espião. Logo algum espião não é vegetariano. 
 
 Silogismo e sua Validade 
 
Silogismo é um argumento no qual há duas premissas e uma conclusão. Um silogismo 
categórico é composto de três proposições categóricas. Para testar a validade de um silogismo 
através de diagramas, desenhamos os círculoscorrespondentes às premissas, com suas interseções, 
se a conclusão tiver sido diagramada, o argumento é válido. Caso contrário, ele é inválido. 
Exemplos: 
1) Alguns quadrúpedes são leões. 
Todos os leões são carnívoros. 
Portanto, alguns quadrúpedes são carnívoros. 
 
2) Todos os brasileiros são homens. 
Todos os brasilienses são brasileiros. 
Logo, todos os brasilienses são homens. 
 
3) Todos os atletas bem treinados são dedicados ao seu esporte. 
Nenhum atleta que é dedicado ao seu esporte é viciado em drogas. 
Logo, nenhum atleta que é viciado em drogas é um atleta bem treinado. 
 
Exercícios Propostos 
1) (ICMS/SP) Todo A é B e todo C não é B, portanto: 
 a) algum A é C. 
 b) nenhum A é C. 
 c) nenhum A é B. 
 d) algum B é C. 
 e) nenhum B é A. 
 
2) (Fiscal do Trabalho) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo 
B é C. Segue-se, portanto, necessariamente, que: 
 a) todo C é B. 
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 b) todo C é A. 
 c) algum A é C. 
 d) nada que não seja C é A. 
 e) algum A não é C. 
 
3) (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente 
verdadeiro que: 
a)algum A não é G 
b)algum A é G 
c)nenhum A é G 
d)algum G é A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 64 
 
 3 ª LISTA 
 
3ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
 
1) Verifique se os seguintes argumentos são válidos: 
a) Nenhum mortal pode frear o tempo. 
Você é mortal. 
Portanto, você não pode frear o tempo. 
 
b) Todos os leitores daquele jornal têm mais de 20 anos. 
Tales lê aquele jornal. 
Logo, Tales tem mais de 20 anos. 
 
c) Quase todos os baianos gostam de acarajé. 
Antônio é baiano. 
Logo, Antônio gosta de acarajé. 
 
d) Todo caranguejo é crustáceo. 
Peixe não é caranguejo. 
Logo, peixe não é crustáceo. 
 
e) Existem professores que são carecas. 
Todas as pessoas carecas são competentes. 
Portanto, existem professores que são competentes. 
 
f) Existem brasileiros que são famosos. 
Todas as pessoas famosas são cultas. 
Logo, existem brasileiros que são cultos. 
 
g) Nenhum agricultor é rico. 
Todos os ricos são saudáveis. 
Logo, nenhum agricultor é saudável. 
 
h) Todos os sergipanos são brasileiros. 
Jorge é sergipano. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 65 
 
Logo, Jorge é brasileiro. 
 
i) Malba Tahan não foi presidente. 
Se Malba Tahan tivesse sido presidente, ele seria famoso. 
Portanto, Malba Tahan não é famoso. 
 
j) Alguns engenheiros são professores. 
Nenhum engenheiro é infalível. 
Logo, nenhum professor é infalível. 
 
02. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum 
músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que: 
 
a) nenhum músico é escritor 
b) algum escritor é músico 
c) algum músico é escritor 
d) algum escritor não é músico 
e) nenhum escritor é músico 
 
03. (AFCE TCU 99 ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se 
não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja 
responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente, 
 
a) todo responsável é artista 
b) todo responsável é filósofo ou poeta 
c)) todo artista é responsável 
d) algum filósofo é poeta 
e) algum trabalhador é filósofo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 66 
 
Módulo 2: Conjuntos 
Teoria de Conjuntos Aula 07 
 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
2.1. Ser capaz de representar informações dadas por meio de diagramas de Venn ou tabelas 
cruzadas; 
2.2. Ser capaz de interpretar informações apresentadas em diagramas ou tabelas; 
2.3. Ser capaz de operar com conjuntos em exercícios por escrito 
2.4 Ser capaz de aplicar a teoria de conjuntos na solução de problemas 
. 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
 Entender e decodificar mensagens 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
 Analisar situações e problemas inseridos num contexto 
 
 
Teoria de Conjuntos 
 Conjunto x elemento 
 Um conjunto é qualquer agrupamento de elementos, podendo esses, os elementos, ser da 
mesma espécie ou não.Em geral, utiliza-se uma letra maiúscula do alfabeto, A, B, C, D, ..., para 
representar um conjunto. 
Exemplos 
1) A Seleção Brasileira de Futebol é um conjunto formado por, jogadores, técnicos, médicos, 
massagista, preparador físico, preparador de goleiro, etc. 
2) A = {1, 3, a, c, d, Joaquim, , , , , , , , , , , , , , } 
3) B = {a, b, c} 
A ordem em que os elementos se apresentam no conjunto, não influencia no mesmo, por exemplo: 
{a, b, c} = {b, c, a} = {c, b, a} 
 Podemos caracterizar um conjunto através de duas maneiras, a primeira é listando todos os 
seus elementos e, a segunda é definindo uma condição que identifique todos os elementos do 
conjunto, por exemplo: 
 A = {a, b, c, d, e}, aqui foram listados todos os elementos do conjunto A. 
 B = {todos os alunos da sala} 
 Dentre os mais variados tipos de conjuntos existentes, destacam-se, os conjuntos que 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 67 
 
B 
A 
possuem apenas um único elemento e os que não possuem elemento algum, a estes chamamos de 
conjuntos unitário e vazio, respectivamente. Denotaremos o conjunto vazio por, . Por exemplo: 
Conjunto unitário A = {a} 
Conjunto vazio B = {conjunto de jacarés que voam} =  
 Um conjunto finito é aquele em que podemos determinar a quantidade de elementos. Do 
contrário, o conjunto é dito infinito. Por exemplo, 
 Conjuntos Finitos: 
dígitos decimais = { 0, 1, 2, ..., 9} 
dígitos binários = { 0, 1} 
Conjuntos Infinitos: 
números naturais = { 0, 1, 2, ...} 
números naturais pares = { 0, 2, 4, ...} 
 
 Relação de Pertinência 
 Dizemos que um elemento, x, pertence a um conjunto A, se e somente se, este elemento, x, 
for um membro (elemento) do conjunto A. Para indicarmos que um elemento pertence ou não 
a um conjunto, A, utilizamos o símbolo  ou , respectivamente, por exemplo: A = {a, b, c, 
d}. Assim, a  A e h  A. 
 
Conjunto x Conjunto 
Dizemos que um conjunto B está contido em um outro conjunto A se, e somente se, 
todo elemento de B é também elemento de A (Todo B é A). 
 Notação: B  A. A definição acima pode ser expressa da forma 
  BxAxxBA  
 
Exemplo 
A = {conjunto de todos os alunos matriculados na disciplina Raciocínio} 
B = { conjunto de todos alunos, do sexo feminino, da disciplina Raciocinio} 
Assim, B  A (lê-se, B está contido em A ou B é um subconjunto de A) ou A  B (lê-se, A 
contém B ou B é um subconjunto de A). Portanto, B  A = A  B. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 68 
 
Observe que quando se escreve B  A não está incluída a possibilidade de A = B. Para que 
ocorra igualdade entre conjuntos deve-se ter B  A (todo B é A) e ainda A  B (todo A é B). 
Isto é: 
A = B  AB e BA. 
 
Operação entre conjuntos 
Conjunto universo 
 U é chamado de conjunto universo ou universo de discurso. O conjunto universo U 
contém todos os conjuntos que estão sendo considerados. Ou seja, o conjunto universo define o 
“contexto de discussão”. 
 Podemos definir operações nos conjuntos de U, esta deve utilizar dois subconjuntos de U 
para produzir um único subconjunto de U. 
 
 União 
 Dado um conjunto universo U, a união de dois A e B pertencem a (U), denotada por 
A B , é um operação definida por 
 BxAxxBA  / 
 
 
 
 
 A B 
 
 Interseção 
 Dado um conjunto universo U, a interseção de dois A e B denotada por A B , é uma 
operação definida por  BxAxxBA  / 
 
 
 
 A B 
 
A=B 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 69 
 
 
 
 
 Complementar (negação)Para um conjunto A do universo o complemento de A, ~A uma operação definida por 
~  AxUxxA  / 
 
 
 Diferença 
Uma outra operação definida em um conjunto A e B é a diferença entre conjuntos; 
  BxAxxBA  / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
A B 
~ A 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 70 
 
 4 ª LISTA 
 
4ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1) Represente em diagramas os conjuntos abaixo: 
a) BA b) CA 
c) BB d) CBA  )( 
e) )( CBA  f) A~ 
g) BA ~ h) CBA ~)~(  
i) )(~ BA j) BA 
 
 
 
2) Suponha o conjunto Universo S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} bem como os seguintes conjuntos: 
A={2,4,5,6,8} B={1,4,5,9} C= 52/  xxx 
a. BA 
b. BA 
c. CA 
d. ~  BA 
e. A~ 
f.    BAAB ~ 
3) De 32 pessoas que guardam papéis e garrafas para a reciclagem, 30 guardam papéis e 14 
guardam garrafas. Encontre o número de pessoas que guardam somente papel e o número 
de pessoas que guardam tanto papel quanto garrafas. 
4) Em um conjunto de 60 pessoas, sabemos que 25 lêem Newsweek, 26 lêem Time, 26 lêem 
Fortune e 8 lêem revista alguma. 9 lêem tanto a Newsweek quanto a Fortune, 11 lêem a 
Newsweek e a Time e 8 lêem a Time e a Fortune. Encontre o número de pessoas que lêem 
as três revistas. 
5) Suponha que 100 de 120 estudantes de Matemática estudam pelo menos uma das seguintes 
línguas: Francês, Alemão e Russo. Suponha também que: 65 estudam Francês, 45 estudam 
Alemão, 42 estudam Russo, 20 estudam Francês e Alemão, 25 estudam Francês e Russo e 
15 estudam Alemão e Russo. Quantos estudantes estudam todas as três línguas? 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 71 
 
6) Uma empresa fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. 
Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas 
embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas e o resultado foi precisamente o 
seguinte: 150 pessoas gostam somente da embalagem A, 240 gostam de B e 60 das duas. 
Quantas não gostam de embalagem alguma sabendo que todas opinaram? 
7) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B, exatamente 80% dos alunos lêem o 
jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, 
determine o percentual de alunos que lêem ambos. 
8) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou um teste 
em 44 candidatos. Uma das perguntas foi: você já trabalhou no (a) setor de montagem; (b) 
setor de pintura; (c) setor de eletricidade? Concluiu-se que todos os candidatos têm 
experiência em pelo menos um dos setores e que: 28 trabalham em montagem; 4 só em 
montagem; 1 só em eletricidade; 21 montagem e pintura; 16 pintura e eletricidade; 13 
montagem e eletricidade. 
a) Quantos trabalharam nos três? 
b) quantos trabalharam em pintura? 
c) Quantos trabalharam em eletricidade? 
9) Numa pesquisa de mercado verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O 
produto B é usado por 800 pessoas e 300 pessoas usam os dois produtos. Quantas pessoas 
usam o produto A? 
10) Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado a 
respeito do consumo desses produtos obteve-se o seguinte resultado: A: 150; B: 200; C: 
250; A e B: 70; A e C: 90; B e C: 80; A e B e C: 60; nenhum dos produtos: 180. 
a) Quantas pessoas consomem só o produto A? 
b) Quantas pessoas consomem A ou B ou C? 
c) Quantas pessoas consomem A ou B? 
d) Quantas pessoas consomem somente o produto C? 
e) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
11) Num grupo de mineiros há 164 pessoas, entre homens e mulheres que torcem pelo Cruzeiro 
ou Atlético ou não apreciam futebol. Torcem para o Cruzeiro 34 homens e 22 mulheres e, para o 
Atlético, 52 homens e 31 mulheres. Também sabe-se que 17 mulheres não apreciam futebol. 
Calcule: 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 72 
 
a) o número de mulheres que gostam de futebol; 
b) o número de homens que não apreciam futebol. 
 
12) Em um certo ano os dados dos candidatos ao concurso vestibular para os cursos de 
Administração modalidade Adm. Empresas e Adm. Pública foram: 
a. 70% do número total de candidatos optaram por Administração de Empresas 
b. 60% do número total de candidatos eram do sexo masculino 
c. 30% de candidatos a Administração Pública eram do sexo masculino. 
d. 1000 mulheres optaram por Adm. Pública. 
Complete o quadro e determine quantos homens optaram por Administração de Empresas. 
 
 Administração de Empresas Administração Pública Total 
Homens 
Mulheres 
Total 
 
13) Num grupo de 500 vestibulandos, exatamente: I) 18% são fumantes; II) 30 mulheres são 
fumantes; III) 30% dos homens são fumantes. Qual é o número de homens no grupo de 
vestibulandos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 73 
 
Módulo 3: Funções 
Aplicações de Funções Aula 08 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
3.1. Identificar as variáveis do problema; 
3.2. Criar o modelo de função de 1º grau que relaciona essas variáveis; 
3.3. Aplicar a teoria de funções de 1º grau para solucionar o problema; 
3.4. Interpretar o resultado encontrado para a situação considerada 
 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
 Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Analisar situações e problemas inseridos num contexto 
Visão Sistêmica 
 Fazer conexões 
Comunicação e expressão 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 O processo usado para expressar fenômenos da vida real em linguagem matemática é chamado 
Modelagem Matemática. 
 Os modelos podem ser expressos em termos de gráficos, de tabelas ou de equações. 
Função 
 As tabelas, os gráficos e as equações descrevem como uma quantidade depende da outra, 
para descrever esta dependência usamos o termo Função. 
 
Definição: Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma que cada valor de x 
determina exatamente um valor de y , então dizemos que y é função de x. 
 
Variáveis dependentes e independentes: 
 
xvariável independente (indica que x está livre para variar) 
 
yvariável dependente (uma vez especificado o valor de x um único valor correspondente de 
y fica determinado) 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 74 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) Um estacionamento em uma universidade cobra R$ 3,00 por dia mas oferece um selo por 
R$40,00 com o qual o estudante paga somente 0.25 por dia.. Encontre uma equação que 
modele as duas opções de pagamento. 
 
2) Um fabricante produz caixas abertas de papelão quadrado de 6cm de lado cortando pequenos 
quadrados dos cantos. O departamento de pesquisa e desenvolvimento pede que você 
determine o tamanho do quadrado a ser retirado de cada canto, para que a caixa resultante 
tenha o maior volume possível? 
 
Exercícios Propostos: 
1) Considere a função f: A  B representada pelo diagrama a seguir: 
Determine: 
a)o domínio (D) de f; 
b)f(1), f(-3), f(3) e f(2); 
c)o conjunto imagem (Im) de f; 
d)a lei de associação 
 
Resolução: 
a)O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. 
b)f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. 
c)O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = 
{1,4,9}. 
d)Como 1
2
=1, (-3)
2
=9, 3
2
=9 e 2
2
=4, temos y=x
2
. 
Entrada 
x 
Real 
Saída y 
Real 
 
y= f(x) 
 
Valor de f 
em x 
ou 
imagem de 
x sobre f 
Domínio de f 
(conjunto de 
todos 
as entradas 
possíveis 
f 
Função 
(lei) 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 75 
 
 
2)Dada a função f: IRIR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida 
por f(x)=x
2
-5x+6, calcule: 
a)f(2), f(3) e f(0); 
b)o valor de x cuja imagem vale 2. 
 
Resolução: 
a)f(2)= 2
2
-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 
 f(3)= 3
2
-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 
 f(0)= 0
2
-5(0)+6 = 0-0+6 = 6 
b)Calcular o valor de x cujaimagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x
2
-
5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de 
x que têm imagem 2 são 1 e 4. 
 
Raízes de uma função 
 Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados 
raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o 
gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo: 
 
No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função. 
Função Crescente e Decrescente 
 Dada uma função f: AB, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’  A, se, e 
somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). 
 Por exemplo, a função f:IRIR definida por f(x)=x+1 é crescente em IR, pois x1<x2 => 
x1+1<x2+1 => f(x1)<f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também 
crescem. 
 
 Por outro lado, dada uma função f: AB, dizemos que f é decrescente em algum conjunto 
A’  A, se, e somente se, para quaisquer x1  A’ e x2  A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função de 1º grau 
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em 
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0. 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo 
constante. 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos 
Ox e Oy. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto
3
1x , e outro ponto é (1/3, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse é um exemplo de 
função crescente. 
Podemos notar no gráfico 
que à medida que os 
valores de x vão 
aumentando, suas 
imagens também vão 
aumentando. 
 
 
Esse é um exemplo de 
função decrescente. 
Podemos notar no gráfico 
que à medida que os 
valores de x vão 
aumentando, suas 
imagens vão diminuindo. 
x y 
0 -1 
1/3 0 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 77 
 
 
 
 
 
 Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
 
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. 
 
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está 
ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente 
linear da reta ou intercepto-y. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a 
ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
Crescimento e decrescimento 
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e 
observar o que ocorre com y: 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. 
Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Trace o gráfico e verifique! 
 
 
 
 
 
 
Regra geral: 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); 
 
Sinal 
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os 
valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. 
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax +b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa 
função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis: 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 78 
 
1º) a > 0 (a função é crescente) 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x 
menores que a raiz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) a < 0 (a função é decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 79 
 
 5 ª LISTA 
 
5ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1) Representar graficamente as funções lineares, identifique “a”e “b” em cada caso 
a) y=3x para x≥0 
b) y=5 para x≥3 
c) y= 10-2x para x ≥0 e y ≥0 
d) y=2x-3 
e) y= 5/2 x +3 
 
2) Construir a equação da reta determinada pelos pontos, esboce o gráfico: 
a) P(1,2) e Q(3,8) 
b) P(-3,-5) e Q(-1,0) 
c) P(-1,-1) e Q(0,0) 
d) P(1/2,4) e Q(2,-1) 
 
3) Um táxi cobra R$2,00 de bandeirada e R$1,50 por quilômetro rodado. 
a) Quanto pagará uma pessoa que percorreu 8 km? 
b) Quantos quilômetros foram percorridos por uma passageira que pagou R$8,00? 
 
4) Um vendedor recebe a título de rendimento mensal um valor fixo de R$150,00 e mais um 
adicional de 4% das vendas por ele realizadas no mês. Com base nestas informações: 
a) Calcule seu rendimento nos meses de junho, julho e agosto, cujas vendas foram, 
respectivamente, R$9.450, R$11.250 e R$13.000. 
b) Expresse em termos de uma equação o rendimento mensal y desse vendedor em função 
de valor x de suas vendas mensais. 
c) Construa o gráfico dessa função. 
 
5) O valor de um carro novo é de R$40.000 e, com quatro anos de uso, é de R$ 30.000. Supondo 
que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, determine o valor do carro com um ano 
de uso. 
 
6) O preço de uma certa mercadoria se comporta segundo o gráfico a seguir. Determine: 
a) Em que meses o preço manteve-se constante? Quanto custava a mercadoria nessas 
ocasiões? 
b) Qual o preço da mercadoria no mês de fevereiro? 
c) Qual a equação da função que representa a variação de preço entre os meses de janeiro 
e março? 
d) Qual a equação da função que representa a variação de preço entre os meses de agosto 
e outubro? 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 80 
 
 
 
 
7) Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p = 10 + 0,2 
x, onde p é o preço total e x é a quantidade de bolos vendidos (oferta). 
a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? 
b) Se o preço unitário for R$15,00, qual a quantidade ofertada? 
c) Se a curva de demanda diária por esses bolos for p = 30 - 1,8 x, qual o preço de 
equilíbrio? (preço onde a oferta é igual a demanda) 
 
8) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é R$20,00. A esse 
preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$15,00, estacionarão 75 
automóveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha sua equação. (A função demanda 
relaciona o preço com a quantidade procurada.) 
 
9) Calcular os pontos de intersecção das retas (esboce o gráfico das retas e localize o ponto de 
interseção) 
a) y = x e y = 10 - x 
b) y = 10x - 10 e y = 2x + 5 
c) y = 6 - 4x e y = 10 - 4x 
d) y = 1 - x e y = x – 1 
 
10) A transportadora x cobra por seus serviços R$3.000 fixos mais R$20 por quilômetro rodado. A 
transportadora y cobra R$2.000 fixos mais R$30 por quilômetro rodado. A partir de quantos 
quilômetros rodados é preferível usar a transportadora x? 
 
11) Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$ 100,00 mais R$50,00 por 
hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 60,00 por 
hora de trabalho. A partir de quantas horas de trabalho o encanador A é preferível ao B? 
 
 
12) Nos sistemas abaixo, p representa o preço e q representa a quantidade de um produto. Para 
cada um dos sistemas: 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 81 
 
I) 





53
9
qp
qp
 
II) 





22
73
qp
qpIII) 





2050
321
p,q
p,q
 
 
13) Um estacionamento em uma universidade cobra R$ 3,00 por dia mas oferece um selo por 
R$40,00 com o qual o estudante paga somente 0.25 por dia. Encontre uma equação que modele 
as duas opções de pagamento. 
 
14) Uma empresa de aluguel de carros tem duas opções de pagamento para seus clientes, para os 
modelos populares: um valor fixo de $100 por dia (independente da quilometragem rodada) ou 
uma taxa única de $51, mais $1,10 por km rodado. 
a) Para um cliente que percorrerá 250 km em dois dias, qual é a melhor opção? 
b) Para um cliente que percorre em média 60 km por dia, encontre as equações que modelem 
as duas opções de pagamento, em função do número x de dias de aluguel. 
c) Represente no mesmo plano cartesiano as duas equações. 
d) Faça uma análise sobre qual das opções é mais vantajosa para esse cliente da letra b: a 
partir de quantos dias rodados é melhor pagar o valor fixo de $100 por dia? 
 
 
a) identifique as funções oferta e demanda 
b) determine o Ponto de Equilíbrio 
c) trace os gráficos no mesmo sistema cartesiano 
d) faça a análise econômica do problema