Apostila RacLog

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2020/01 
 
Curso de Logística 
1º período 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E 
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 1 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Ficha da Disciplina 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Módulo 1: Lógica matemática 
 
 Fundamentos da Lógica 
 Estudo das Proposições: definição, operações lógicas, tabelas-verdade, equivalências; 
 Estudo dos argumentos: validade de um argumento, proposições e argumentos 
categóricos. 
 
Módulo 2: Conjuntos 
 
 Conceitos básicos 
 Operações entre conjuntos; 
 Conjuntos numéricos; 
 Aplicações em exercícios de raciocínio. 
 
Módulo 3: Funções 
 
 Conceitos básicos; 
 Funções constantes, de 1º. e 2º. graus: definição, construção e interpretação de gráficos, 
aplicações. 
 
 
Bibliografia: 
 
Bibliografía Básica: 
 
 ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico: teoria e questões. 2ª. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. 
(Provas e concursos) 
 BONORA JR, Dorival. et al. Matemática:complementos e aplicações nas áreas de ciências 
contábeis, administração e economia. São Paulo: Ícone, 1994.447p. 
 
Bibliografia Complementar: 
 
 SERATES, J. Raciocínio lógico. 11. ed. Ed. Jonofon Serates, v. I. 
 FÁVARO, Sílvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. 1ª. ed. 
Ciência Moderna, 2005. 
 MEDEIROS, S. M.; MEDEIROS, E. & MEDEIROS, E. Matemática para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1 e 2. 
 DANTE, Luiz Roberto.Matemática:Contexto e Aplicações.2ed.São Paulo: Ática, 2000. 367p. 
 WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração.2ed.São Paulo:Harbra,1986.674p. 
 DOLCE, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São 
Paulo: Atual, 1999. 10v. 
 
 
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Lógica Matemática 
Fundamentos da Lógica Aula 01 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.1. numa listagem de frases, ser capaz de identificar as que são proposições, por escrito ou 
oralmente; 
1.2. numa listagem de proposições, ser capaz de classificá-las em simples e compostas, por 
escrito ou oralmente; 
1.3. numa listagem de proposições compostas, ser capaz de transformá-las da linguagem 
corrente para a simbólica e vice-versa, por escrito; 
 
 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
 Comunicação e expressão: 
 Fazer-se entender 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 
O que é Lógica? 
 
Podemos então definir Lógica como a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte 
de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. 
A lógica tem por finalidade principal dirigir os atos dos pensamentos para o verdadeiro, o que 
realiza de duas formas: primeiro analisando as leis do pensamento; segundo, estudando a maneira 
de aplicá-las, na prática, em contato com a vida e a realidade, a fim de evitar o erro e alcançar a 
verdade. 
 Suas áreas de pesquisa são de fundamental importância para o mundo contemporâneo, em 
especial para o desenvolvimento de tecnologias que envolvam a computação e para a solução de 
problemas voltados para a economia, administração, direito, entre outros. 
 
O que é Raciocínio? 
 
Podemos entender na lógica três partes distintas, constituindo um todo indissolúvel que é o 
pensar humano. Estas três partes são: idéia, juízo e raciocínio, enquanto pensamento. E termo, 
proposição e argumento, respectivamente, enquanto representação concreta, por sons orais ou por 
quaisquer outros símbolos representativos. 
 
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Raciocinar ou inferir é o ato pelo qual de dois ou mais juízos dados adquire-se um outro juízo 
como decorrência, sua essência é perceber as relações existentes entre os juízos (proposições). 
A argumentação é a expressão verbal do raciocínio 
Exemplo: 
 
Pensamento Representação Concreta 
Idéia Sócrates 
Juízo Sócrates foi filósofo 
Raciocínio Toda a esperança é vida 
Eu sou a esperança 
 Logo, eu sou a vida 
 
O estudo da proposição e do argumento constituem as preocupações da lógica formal. 
 
Qual o papel da Lógica? 
 
Normalmente fazemos uso da expressão é lógico quando acreditamos que um raciocínio ou 
uma observação qualquer faz sentido ou ainda quando corresponde à realidade ou, ainda, quando 
apresenta coerência. 
Para o senso comum, a lógica é um estudo da correspondência entre o discurso e a realidade. 
Porém, em sentido mais estrito, a lógica apresenta-se como uma metodologia de análise e 
construção de raciocínios e argumentos em âmbito formal. 
Falar que a lógica trabalha no âmbito formal significa dizer que ela se preocupa 
exclusivamente com a estrutura do argumento, sem preocupar-se com o conteúdo dos 
enunciados que o compõem. 
Como exemplo, vejamos o seguinte argumento: “Se todos os animais são mortais e se todo 
homem é um animal, então todo homem é mortal”. Nesse argumento existem três premissas ou 
sentenças: 
1ª. Todos os animais são mortais. 
2ª. Todo homem é um animal. 
3ª. Todo homem é mortal. 
Normalmente, o julgamento da logicidade do argumento se daria pela análise da verdade de 
cada uma das premissas, o que é equivocado. Esse não é o papel da lógica, e sim das diversas 
ciências; a lógica não pretende saber se cada uma das premissas corresponde à realidade ou 
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não, ou se são verdadeiras ou falsas. O que ela pretende analisar é se o argumento está 
estruturalmente bem construído, ou seja, se a conclusão deriva das premissas usadas. 
A maneira mais simples para deixar de lado o conteúdo e ater-se somente à forma é mediante a 
adoção da simbolização do argumento por meio de variáveis. No exemplo anterior, o argumento 
poderia ser simbolizado da seguinte maneira: 
Todo X é Y. 
Todo K é X. 
Logo, todo K é Y. 
Observe que, ao deixarmos de lado o conteúdo das premissas por meio de variáveis, restou-nos 
somente a forma, ou seja, a estrutura do argumento, a qual não pode ser mais denominada 
verdadeira ou falsa, mas somente de válida ou inválida. 
Em síntese, a lógica analisa formalmente argumentos ou raciocínios a fim de determinar sua 
validade e não sua verdade. Para tanto contará com uma metodologia e regras específicas. 
 Podemos notar a importância do estudo da proposição e do argumento no campo da lógica 
formal. Comecemos com o estudo da Proposição. 
 
Proposição 
A proposição é um enunciado declarativo, que pode ser classificado em verdadeiro ou 
falso.Por exemplo: 
 
A lua é o único satélite do planeta terra (V) 
A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) 
O número 712 é ímpar (F) 
Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
 
Não são proposições os enunciados interrogativos, os exclamativos, ordenativos, imperativos, 
suplicativos, etc. Por exemplo: 
Pare! 
Quer uma xícara de café? 
Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
 
Atenção sentenças que não possuem verbo não podem ser consideradas declarativas, 
consequentemente não são proposição. Por exemplo, “O carro é vermelho” é uma proposição, mas 
se estiver escrito somente “ O carro vermelho” então não será proposição pois falta o verbo. 
 
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Representação de uma Proposição 
As proposições são geralmente representadas pelas letras : a, b, ...,p,q, etc. Por exemplo: 
p: “A lua é o único satélite do planeta terra”. 
A negação de uma proposição simples “p” é “não p” . Ao negar uma proposição muda-se 
o seu valor verdade. A negação é considerada um modificador da proposição inicial, seu símbolo é 
“¬” ou “~”. (Adotaremos o “til”) 
Considerando a proposição p: “A lua é o único satélite do planeta terra” cujo valor lógico 
é verdadeiro, a sua negação ~p:“A lua não é o único satélite do planeta” é uma proposição falsa. 
As proposições “Não é verdade que a lua é o únicosatélite do planeta terra”, “É falso que 
a lua é o único satélite do planeta terra” também são consideradas negações de p. 
A negação de uma proposição ainda pode ser obtida utilizando-se palavras antônimas, 
assim “Maria é feia” é considerada a negação da proposição “Maria é bonita” 
 
Proposições simples e compostas 
 Há proposições nas quais o sujeito e o predicado são únicos e ligados pelo verbo, 
contendo a expressão de um só juízo e de forma direta . Por exemplo: “João é rico”, “Marta é 
feia”, “O número 8 é par”. As proposições deste tipo são denominadas simples. 
 No entanto, existem proposições que possuem como componentes não dois termos, mas 
pelo menos duas proposições conectadas como no exemplo: “ João é rico e Maria é pobre” na 
qual cada componente é uma proposição simples conectada pelo conectivo conjuntivo “e” . Tais 
proposições são chamadas compostas ou não categóricas. 
 Para obter uma proposição composta utilizamos conectivos. Os principais conectivos 
são: e, ou, se... então, se... e somente se, denominados respectivamente conjunção , disjunção, 
condicional e bicondicional. 
 
 
Conectivos Notação Exemplos 
Estrutura 
lógica 
e 
Conjunção 
 
 
qp  
ou 
Disjunção 
 
 
qp  
Pedro estuda lógica e Maria joga Xadrez 
 
 p q 
Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
 
 p q 
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Se Pedro estuda lógica então Maria joga Xadrez 
 
 p q 
 
O valor lógico de uma proposição composta depende de dois fatores: 
1º) do valor lógico das proposições componentes 
2º)do conectivo utilizado. 
 
 
Exercícios Propostos: 
1. Determine quais das sentenças abaixo são proposições e, para as que são, determine seu valor 
lógico: 
a) A Argentina e o Brasil. 
b) O Brasil é um país da América do Sul. 
c) Existem políticos que não são honestos. 
d) Será que meu médico é competente? 
e) João, vá estudar! 
f) (3 + 5)2 
g) (3 + 5)2 = 32 +52 
h) 
5
2
3
1
2
1
 
2. Sejam as proposições p: Marcos é alto. e q: Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem 
simbólica as seguintes proposições: 
a) Marcos é alto e elegante. 
b) Marcos é alto, mas não é elegante. 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante. 
d) Marcos não é nem alto e nem elegante. 
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 
3. Sejam as proposições p: Jô Soares é gordo. e q: Jô Soares é motoqueiro. Traduzir para a 
linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Jô Soares não é gordo. 
se... então 
Condicional 
 
 
qp  
se...e 
somente se 
Bicondicional 
 
Pedro estuda lógica se e somente se Maria joga Xadrez 
 
p q 
 
qp  
ou exclusivo 
Disjunção 
Exclusiva 
 
Ou Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
 
p q 
 
p q 
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b) Jô Soares não é motoqueiro. 
c) Não é verdade que Jô Soares não é gordo. 
d) Ou Jô Soares é gordo ou motoqueiro. 
e) Se Jô Soares não é gordo, é motoqueiro. 
4. CESPE) Considere que 
p: Fumar deve ser proibido. 
q: Fumar deve ser encorajado. 
r: Fumar não faz bem à saúde. 
s: Muitos europeus fumam. 
Represente simbolicamente cada item abaixo: 
a) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
b) Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
c) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
d) Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então 
fumar deve ser proibido. 
5. Identifique as proposições apresentadas no textos : 
a)Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, 
então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica. 
b)Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lógica Matemática 
Fundamentos da Lógica Aula 02 
 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.4. Ser capaz de descrever, por escrito ou oralmente, as regras dos cinco principais 
conectivos lógicos; 
 
 
Competências: 
Competências desenvolvidas na aplicação dos tópicos desta aula: 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
 
 
 
Olá alunos! 
Na aula de hoje continuaremos a tratar dos conceitos Fundamentais da Lógica. É importante 
ressaltar que estas duas primeiras aulas são os pilares de todo o curso. Assim não deixem de 
esclarecer nenhuma dúvida que surgir durante o nosso estudo; pergunte, refaça as atividades 
propostas,... 
Antes de iniciarmos a aula passemos a uma BREVE revisão do que já foi visto até aqui e que 
já deve ser dominado: 
 
Revisão da aula passada: 
 Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou 
falso); haverá proposições simples ou compostas. 
 As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas 
estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições 
componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), 
disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), 
e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...). 
 O valor lógico de uma proposição composta depende de dois fatores: do valor lógico 
das proposições componentes e do conectivo utilizado. 
 
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 Para facilitar o estudo das proposições compostas representam-se os valores lógicos das 
proposições (verdadeiro ou falso) em tabelas, denominadas tabelas-verdade. Por exemplo, a 
proposição “Mônica é médica” será representada pela tabela abaixo, onde p representa a 
proposição, e V e F os seus possíveis valores lógicos. 
 
p 
V 
F 
 
A tabela – verdade para a negação de uma proposição simples é : 
 
 
 
 
 
 Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa! 
 
 A tabela-verdade de uma proposição composta deve apresentar todas as combinações 
possíveis dos valores lógicos de cada proposição envolvida na composição. Assim a proposição 
composta “ Mônica é médica e Eduardo é estudante” será representada por uma tabela de quatro 
linhas (quatro possibilidades). Considerando p: Mônica é médica e q: Eduardo é estudante, 
temos: 
 
“Mônica é médica ” “Eduardo é estudante” “ Mônica é médica e Eduardo é estudante” 
p q p q 
V V ? 
V F ? 
F V ? 
F F ? 
 
 
Com as tabelas o estudo do valor lógico de uma proposição composta é bem mais fácil. 
Agora estamos preparados para iniciar um estudo mais detalhado de cada conectivo. Este estudo é 
necessário pois como já visto o valor lógico de uma proposição composta depende do conectivo 
utilizado. 
p ~p 
V F 
F V 
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Estudo da veracidade de uma proposição composta 
 Conjunção 
Uma proposição é conjuntiva quando as proposições são conectados pela conjunção “e”, por 
exemplo: 
 p: Pedro estuda lógica 
 q: Maria joga Xadrez 
 r: Pedro estuda lógica e Maria joga Xadrez 
As proposições compostas podem ser escritas utilizando uma notação especial. A 
proposição r poderia ser reescrita simplesmente com as indicações p  q. O símbolo  representa a 
conjunção “e”. 
A veracidade ou falsidade de uma proposição conjuntiva é baseada na seguinte afirmação: 
 
 “A proposição conjuntiva é VERDADEIRA se, e somente se, as proposições componentes são 
simultaneamente verdadeiras”. 
 
 Segue diretamente da afirmação a tabela: 
 
 p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 Dadasa proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e 
F, respectivamente, a proposição conjuntiva “ A terra é um planeta e a neve é preta” é falsa. 
 
 Disjunção 
 Outra conexão é feita com a disjunção “ou” obtendo dessa forma a proposição disjuntiva, 
assim, por exemplo: 
 p: Pedro estuda lógica 
 q: Maria joga Xadrez 
 r: Pedro estuda lógica ou Maria joga Xadrez 
Para a disjunção é empregado o símbolo  . Assim no exemplo tem-se r: pq. 
 
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A veracidade ou falsidade de uma proposição conjuntiva é baseada na seguinte afirmação: 
 
 “A proposição disjuntiva é VERDADEIRA se, e somente se, uma das 
proposições componentes são verdadeiras” 
 
Utilizando a tabela-verdade tem-se: 
 
Dadas a proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e 
F, respectivamente, a proposição disjuntiva “ A terra é um planeta ou a neve é preta” é 
verdadeira. 
 
Exercícios Propostos: 
6. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Não é verdade que 2006 é um número ímpar. 
b) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 
c) 2 + 7 = 10 ou 4 + 8 = 12 
 
7. Sabendo que os valores lógicos de p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico 
de cada uma das seguintes proposições: 
a) qp~  b) q~p c) q~p~  
8. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Tancredo Neves teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil. 
b) Não é verdade que Tancredo teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil. 
c) Tancredo não teve um infarto ou Lula não é o presidente do Brasil. 
d) Não é verdade que Tancredo teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil. 
e) Tancredo não teve um infarto e Lula não é o presidente do Brasil. 
f) Tancredo teve um infarto ou Tancredo não teve um infarto. 
g) Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 
 
p q pq 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
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 Disjunção Exclusiva 
 
As proposições disjuntivas exclusivas são aquelas cujas componentes são unidas pelo 
conectivo “Ou ... ou” . O símbolo empregado é  . Assim a proposição “ Ou te darei uma bola ou 
te darei uma bicicleta” será representado por “p q” (ou p ou q), onde p e q são respectivamente, 
“Eu te darei uma bola” e “Eu te darei uma bicicleta”. 
Observe que a proposição disjuntiva exclusiva ( ou ...ou) apresenta uma diferença pequena, 
mas importante, com relação a proposição disjuntiva (ou). Comparemos as duas sentenças abaixo: 
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
 
Repare que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade isso não 
impedirá que a segunda parte também o seja (já vimos isso). Já na segunda proposição se for 
verdade que “te darei uma bola” então teremos que não será dada a bicicleta. E se de fato eu te der 
uma bicicleta então não te darei a bola. 
As componentes são mutuamente excludentes., ou seja, ambas nunca poderão ser, ao mesmo 
tempo , verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. 
A disjunção exclusiva determina que se uma sentença é verdadeira a outra necessariamente 
será falsa. Podemos então enunciar que: 
 
“A disjunção exclusiva é VERDADEIRA, quando houver uma componente verdadeira e 
a outra falsa” 
 
 
Exercícios Propostos: 
9. Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Ou 3 + 2 = 7 ou 5 + 5 = 10 
b) Ou 2 + 7 = 10 ou 4 + 8 = 12 
c) Ou Tancredo Neves teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil. 
 
p q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
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d) Ou Tancredo não teve um infarto ou Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 Condicional 
As proposições condicionais são aquelas em que as componentes são unidas pela 
conjunção “se... então”, por exemplo: “Se falo tenho minhas razões” , “Irei se não chover”, “Se 
Carlos estuda então será aprovado”. Como já vimos é empregado o símbolo “”. Considerando p: 
Carlos estuda e q: Carlos será aprovado o condicional “ Se Carlos estuda então será aprovado” em 
linguagem lógica seria “ pq ”. 
Na proposição “Se p então q” a proposição “p” é chamada antecedente e “q” conseqüente. 
Para entender melhor o funcionamento desta proposição considere a sentença: 
“Se nasci em Uberlândia então sou Mineira”. 
Pense! Qual a única maneira da proposição acima estar incorreta? Existe apenas uma 
situação em que a proposição se torna falsa, quando a primeira parte é verdadeira e a segunda 
falsa. 
Ou seja, se é verdade que nasci em Uberlândia então necessariamente é verdade que eu 
sou mineira. 
Se alguém afirma ser verdadeiro que nasci em Uberlândia e que é falso que sou mineira 
então esta declaração toda está errada. 
Perceba que o fato de ter nascido em Uberlândia é condição suficiente (basta isto) para que 
eu seja mineiro necessariamente. 
 
 Uma condição suficiente gera um resultado necessário 
 
Assim a proposição “ Se nasci em Uberlândia então sou Mineira” pode ser reescrita nas 
formas abaixo: 
“Nascer em Uberlândia é condição suficiente para ser Mineira” 
“Ser Mineira é condição necessária para nascer em Uberlândia” 
Observe que não é necessário existir conexão entre as proposições componentes da 
condicional, por exemplo, a proposição “Se a baleia é um mamífero então Lula é presidente” é 
igual a “A baleia ser mamífero é condição suficiente para que Lula seja presidente” ou “Lula ser 
presidente é condição necessária para que a baleia seja um mamífero”. 
É importante conhecer as expressões que podem ser utilizadas como equivalentes da 
condicional “Se p então q”, são elas: 
 
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Se p, q 
q, se p 
Quando p, q 
p implica q 
p é condição suficiente para q 
q é condição necessária para p 
Todo p é q 
 
A proposição “ Se chove então faz frio” pode ser escrita das seguintes maneiras: 
 Se chove, faz frio. 
 Faz frio, se chove. 
 Quando chove, faz frio. 
 Chover implica fazer frio. 
 Chover é condição suficiente para fazer frio. 
 Fazer frio é necessário para chover 
 Toda vez que chove faz frio 
 
Exercícios Propostos: 
5)Marque Certo (C) ou Errado (E). 
Se nasci na Bahia então sou Baiano. Logo, 
( ) Nascer na Bahia é condição suficiente para ser Baiano 
( ) Nascer na Bahia é condição necessária para ser Baiano 
( ) Ser Baiano é condição suficiente para nascer na Bahia 
( ) Ser Baiano é condição necessária para nascer na Bahia 
( ) Todo aquele que nasci na Bahia é Baiano 
( ) Todo Baiano nasci na Bahia 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O valor lógico de uma condicional é baseado na seguinte afirmação: 
 
“A condicional é FALSA, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente 
é falso” 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Das proposições “A terra é um planeta” e “A neve é preta” com os valores lógicos V e F, 
respectivamente, a proposição condicional “Se a terra é um planeta então neve é preta” é falsa. 
Já a proposição “ Se a neve é preta então a terra é um planeta” é verdadeira. 
 
Exercícios Propostos: 
6)Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) Se 3 é primo então 3 é ímpar. 
b) Se 2 é primo então 2 é ímpar. 
c) Se 2 + 3 = 6 então 4 + 4 = 9 
d) Se Tancredo teve um infarto, então Lula é o presidente do Brasil. 
e) Se Tancredo não teve um infarto, então Lula é o presidente do Brasil. 
f) Se Tancredo não teve um infarto, então Lula não é o presidente do Brasil. 
g) Se Tancredo teve um infarto, então Lula não é o presidente do Brasil. 
 
 Bicondicinal 
Quando a condicional é empregada nos dois sentidos dizemos que temos uma conexão do 
tipo bicondicional, a proposição é da forma “ p se, e somente se q” uma abreviação de : “ se p 
então q” , “ se q então p” Emprega-se o símbolo “” para o qual tem-se: 
 
“Uma bicondicionalé VERDADEIRA se e somente se as componentes possuem valores 
lógicos iguais” 
 
A tabela resume a afirmação acima: 
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A proposição bicondicional “p se e somente se q” equivale a proposição “se p então q e se q 
então p” ou seja, “ qp  ” é a mesma coisa que “    pqqp  ”. 
São também equivalentes à bicondicional as seguintes expressões: 
p se e só se q 
se p então q e se q então p 
p somente se q e q somente se p 
p é condição suficiente e necessária para q 
Todo p é q e todo q é p 
 
Pronto! O estudo dos conectivos chegou ao fim. Agora vocês têm condições de determinar o 
valor lógico de qualquer proposição composta. Antes de encerrar esta aula convém resumirmos o 
que aprendemos hoje. Observe com atenção o quadro abaixo: 
 
Estrutura 
Lógica 
É verdade quando É falso quando 
pq p e q são ambos verdadeiros 
p q pelo menos um é verdade 
p q p e q tiverem valores lógicos diferentes 
pq p for verdadeiro e o q for falso 
pq p e q tiverem valores lógicos iguais 
 
Na resolução de várias questões de lógica o conhecimento das tabelas verdade é fundamental. 
Complete a tabela abaixo e compare os valores lógicos de cada conectivo: 
 
 
p q qp  qp  p q qp  qp  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
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DEVER DE CASA 
 
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) 
Texto para os itens de 01 a 08 
 Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos e 
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam e,ou,não e então 
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-
verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir: 
01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (~ P) (~ Q) também é 
verdadeira. 
02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (~T) é falsa. 
03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) 
(~ Q) é verdadeira. 
-------------------------------------- 
Considere as sentenças abaixo. 
i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve 
ser proibido. 
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; 
conseqüentemente, muitos europeus fumam. 
 
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir: 
 
P Fumar deve ser proibido. 
Q Fumar deve ser encorajado. 
R Fumar não faz bem à saúde. 
T Muitos europeus fumam 
. 
 
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens 
seguintes. 
04. A sentença I pode ser corretamente representada por P (~ T). 
05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) (¬ R). 
06. A sentença III pode ser corretamente representada por R P. 
07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R (~ T)) P. 
08. A sentença V pode ser corretamente representada por T ((~ R) (~P)). 
Gabarito: 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. C 08. E 
 
 
 
 
Lógica Matemática 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 18 
 
Fundamentos da Lógica Aula 03 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.5. Ser capaz de construir tabelas-verdade de proposições compostas dadas; 
 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
 
 
 
Olá alunos, 
Nesta aula aprenderemos mais sobre tabela verdade. Já sabemos construir, pelo menos, cinco 
tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, 
da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional. 
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer 
outra proposição formada por duas ou mais proposições componentes. 
Antes de prosseguirmos faremos uma breve revisão; Complete a tabela abaixo e compare os 
valores lógicos de cada conectivo: 
Revisão dos conectivos 
p q qp  qp  p q qp  qp  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Estrutura 
Lógica 
É verdade quando É falso quando 
pq p e q são ambos verdadeiros 
p q pelo menos um é verdade 
p q p e q tiverem valores lógicos diferentes 
pq p for verdadeiro e o q for falso 
pq p e q tiverem valores lógicos iguais 
 
Pronto! Agora você tem todas as ferramentas necessárias para montar tabelas verdade de 
proposições mais elaboradas. Passemos à aula! 
 
 
Tabelas - Verdade 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 19 
 
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. 
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de 
proposições. 
 Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará 
exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição 
composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? 
O número de linhas da tabela depende do número “n” de proposições componentes da 
proposição composta . Por exemplo, se n =2 a tabela tem quatro linhas e se n =3, oito linhas. 
Observe as tabelas, 
 n = 2 n = 3 
p q p q r 
V V V V V 
V F V V F 
F V V F V 
F F V F F 
 F V V 
 F V F 
 F F V 
 F F F 
 
Assim para a construção prática da tabela-verdade de uma proposição composta, começa-se 
por contar o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições simples 
componentes, então a tabela-verdade contém 2
n
 linhas. E “n” colunas iniciais, uma para cada 
proposição. 
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos 
a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de 
precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência. 
 Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, 
passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem: 
 
 
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta 
~(p v ~q) 
e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, 
sempre o mesmo. Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e 
 )4)3)2~)1 e
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 20 
 
comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o 
~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos: 
 
p q ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente aos parênteses (p v ~q). 
 
p q ~q p  ~q ~(p  ~q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
Exercícios Proposto: 
1)Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) qp~  b) )q~p(~)qp(  
 
 Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdade 
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições 
simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade? 
 Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O 
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte: a 
coluna da proposiçãop será construída da seguinte forma: quatro V alternando com quatro F; a 
coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da 
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura 
inicial 
 
Vamos aprender construindo a tabela verdade da proposição )(~)~( rpqp  . 
O início é sempre o mesmo! 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 21 
 
p q r )rp(~)q~p(  
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
Exercícios Proposto: 
2)Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) )r~q()r~p(  b)    )r~p(q)rq(~p  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 22 
 
Lógica Matemática 
Estudo das Proposições Aula 04 
 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.6. Ser capaz de verificar se duas proposições dadas são equivalentes; 
1.7. Ser capaz de negar proposições dadas, por escrito ou oralmente, usando as equivalências 
lógicas; 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
Visão Sistêmica 
 Fazer Conexões 
Comunicação e expressão 
 Entender e decodificar mensagens 
 
 
 
Oi amigos! 
 Vocês cumpriram mais uma etapa no estudo dos conceitos iniciais da Lógica. Muito bem! 
Já sabem construir a tabela verdade de qualquer proposição composta. 
 Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, 
Contradição e Contingência. A tabela verdade será muito útil neste estudo. 
 
Tautologia, Contradição e Contigência 
 
 Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r, ... que a compõem. 
 Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, 
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar 
VERDADEIRO (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! 
 Se você construir a tabela-verdade de uma proposição composta, e obter todos os 
resultados da última coluna FALSOS, então estará diante de uma contradição. 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, 
r, ... que a compõem. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 23 
 
 Uma proposição composta será dita uma Contingência sempre que não for uma tautologia 
nem uma contradição. 
 Muito fácil! Se você fizer uma tabela e encontrar valores: 
1) Somente VERDADEIROS tem uma TAUTOLOGIA 
2) Somente FALSOS tem uma CONTRADIÇÃO 
3) VERDAEIRO E FALSOS tem uma CONTIGÊNCIA 
 Resolva o exercício abaixo para fixar estes conceitos. 
Exercício Proposto: Classifique as proposições compostas abaixo: 
 
a) 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
b) 
p q ~q p↔~q p  q ~ 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
c) 
p q p  q ~ 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 24 
 
Exercício Proposto: (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 
 
Proposições Logicamente Equivalentes 
Duas proposições compostas são equivalentes se têm a mesma tabela de valores lógicos. 
Observe as tabelas das proposições compostas p  q e q  p são iguais. 
 
 
p q pq 
 V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Diz –se que “p ou q” é o mesmo que “q ou p” , ou seja, “p ou q” é equivalente a “q ou p”. 
O símbolo  representa a equivalência entre as proposições. Logo, em linguagem lógica a 
equivalência acima é representada pela expressão: p  q  q  p ou p  q = q  p. 
Observe que as proposições equivalentes são maneiras diferentes de declarar a mesma coisa. 
Por exemplo, a proposição “Pedro fala inglês ou francês” é equivalente a “Pedro fala francês ou 
inglês”. 
 As equivalências são de grande utilidade, pois simplificam a negação das proposições 
compostas e facilitam o estudo da validade dos argumentos. 
 
Negação das proposições compostas 
 Negação da Disjunção: ~p  ~q 
A proposição “Não é verdade que Jô Soares é gordo ou motoqueiro” em linguagem lógica é 
dada por ~(p  q). A declaração acima é a negação da disjunção p  q. Entretanto esta negação 
pode ser realizada de outra maneira, observe a tabela : 
 
 
p q qp 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 25 
 
p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q. Ou seja, a negação da proposição “Jô Soares é gordo ou 
motoqueiro” é “Jô Soares não é gordo e não é motoqueiro” . Observe o esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A negativa de uma disjunção se faz assim: 
1º) Nega-se a primeira parte; 
2º) Nega-se a segunda parte; 
3º) Troca-se o OU por um E. 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q 
 
 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Talita é magra ou loira. 
b) Marcos é alto ou elegante. 
c) Tancredo Neves teve um infarto ou Lula é o presidente do Brasil 
d) Os preços sobem ou Pedro é justo 
 
 Negação da Conjunção: ~p  ~q 
 Negar a proposição composta “Ela é inteligente e estuda” é o mesmo que declarar “Ela não é 
inteligente ou não estuda.” . 
Não é verdade que Jô Soares é gordo ou motoqueiro” 
 
 
p q  ~ 
~ p ~ q  
Jô Soares não é gordo e não é motoqueiro 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 26 
 
 A equivalência citada acima, representada por ~(p  q)  ~p  ~q , pode ser verificada 
com a tabela abaixo: 
p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p ~q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Resumindo: 
 A negativa de uma conjunção se faz assim: 
1º) Nega-se a primeira parte; 
2º) Nega-se a segunda parte; 
3º) Troca-se o E por um OU. 
Assim ~(p  q)  ~p  ~q 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Talita é magra e loira. 
b) Marcos é alto e elegante. 
c) Jô Soares é gordo e é motoqueiro. 
d) Marcos é alto, mas é elegante. 
e) Tancredo Neves teve um infarto e Lula é o presidente do Brasil 
f) Os preços sobem e Pedro é justo 
g) 73  xx 
 
 Negação da Condicional: p  ~q 
 A negação da proposição condicional é de fácil entendimento, basta pensar na tabela verdade 
da condicional. A condicional qp é FALSA se e somente se p é verdadeira e q é falso, assim, 
~( qp )  pq. Verifique esta equivalência com a tabela: 
 
p q ~q qp ~( qp ) pq 
V V 
V F 
F V 
F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 27 
 
 
A proposição “Não é verdade que se João é professor então ele é rico” é o mesmo que 
declarar que “João é professor e não é rico”. 
 
Negação de uma Condicional: 
A negativa de uma condicional se faz assim: 
 1º) Mantém-se a primeira parte; E 
 2º) Nega-se a segunda parte; 
 
 
Exercício Proposto: Escreva a negação das seguintes proposições: 
a) Se ele é professor, então é instruído e educado. 
b) Se hoje é Natal então é 25 de dezembro. 
c) Se Maria foi aprovada, então estudou. 
d) Se o aluno não presta atenção, então ele não aprenderá. 
 
 Negação da Bicondicional: p q 
 A negação da bicondicional é dada pela equivalência ~( qp  )  p q . Observe que a 
disjuntiva exclusiva nega a bicondicional. Assimnegar a proposição “Hoje é natal se e somente 
se é 25 de Novembro” é o mesmo que declarar “Ou hoje é natal ou é 25 de novembro” (é 
impossível que as duas componentes sejam verdadeira simultaneamente). A equivalência vem da 
tabela abaixo: 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Negação da Disjunção Exclusiva : qp  
A análise acima nos remete a equivalência ~(p q )  qp  . Por exemplo, a proposição 
É falso que Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, é equivalente a “Te darei uma bola se e 
somente se te der uma bicicleta” 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 28 
 
 Negação da Negação : ~(~p) p (dupla negação) 
 Conforme apresentado em exemplos anteriores a negar duas vezes uma proposição nos leva a 
proposição inicial p. Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P ~p ~ ~ p 
V 
F 
O quadro abaixo resume as equivalências apresentadas acima. 
 
Proposição Composta Negação 
pq ~(p  q)  ~p  ~q 
p q ~(p  q)  ~p  ~q 
p q ~(p q )  qp  
p q ~( qp )  pq 
pq ~( qp  )  p q 
 
 
Exercício Proposto 4: Dar a negação, na linguagem corrente, das seguintes proposições: 
a) Ele disse que vai viajar de carro ou de ônibus. 
b) É falso que não está frio ou que está chovendo. 
c) A prova não foi fácil. 
d) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que sua mãe é gaúcha. 
e) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
f) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumentando. 
g) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química. 
h) Ou é nordestino ou é trabalhador. 
i) Maurício gosta de ler ou de ouvir música. 
j) Se Maria foi aprovada, então estudou. 
Não é verdade que Jô Soares não é gordo 
 
 
~ p ~ 
 p 
Jô Soares é gordo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 29 
 
k) Não é verdade que Maria estudou e foi aprovada. 
l) É falso que Maria não estudou e foi aprovada. 
m) Amália pratica natação ou gosta de dançar. 
n) Ele é professor se e somente se é instruído 
o) Se ele é professor, então é instruído e educado. 
p) Se hoje é Natal então é 25 de dezembro. 
 
Outras Equivalências 
 Comutação 
Comutar é inverter a ordem das componentes de uma proposição composta, por exemplo, p  q 
e q  p. É de fácil verificação as equivalências listadas abaixo, obtidas pela comutação das 
proposições componentes. 
p  q  q  p. 
p q  q  p. 
p ↔ q  q ↔ p. 
 
Atenção: O antecedente e conseqüente de uma condicional não podem ser comutados! Ou 
seja, qp NÃO É EQUIVALENTE a qp 
 
Exemplos: 
x > 2 e x < 3 é equivalente a x < 3 e x > 2 
“Pedro fala inglês ou francês” é equivalente a “Pedro fala francês ou inglês”. 
 
Equivalências da Condicional qp 
 Contraposição 
As proposições qp e pq ~~  são equivalentes. A proposição pq ~~  é chamada 
contrapositiva de pq. (verifique a equivalência, )~(~ pqqp  , utilizando a tabela –
verdade) 
 
 
 
 
 
 
p q ~p ~q qp pq ~~  
V V 
V F 
F V 
F F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 30 
 
 
Considerando a proposição “ Se Jô Soares é gordo então é motoqueiro” podemos declarar que “ 
Se Jô Soares não é motoqueiro então não é gordo” . Observe o esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 5: 
1)Duas grandezas x e y são tais que “se x = 2, então y = 6”. Pode-se concluir que: 
a) Se 2x , então 6y . 
a) Se y = 6, então x = 2. 
b) Se 6y , então 2x . 
c) Se x = 4, então y = 4. 
 
2)Escreva em linguagem simbólica (quando necessário) e verifique se são logicamente 
equivalentes as proposições: 
a) “Se o motorista é uma mulher, então ele é desacreditado.” e “Se o motorista é 
desacreditado, então ele é uma mulher.” 
b)“Quem tem dinheiro, não compra fiado.” e “Quem não tem, compra.” 
 
3)A proposição “Se Maurício joga futebol, então Talita toca violino.” é equivalente a: 
a) Maurício joga futebol se, e somente se, Talita toca violino. 
b) Se Maurício não joga futebol, então Talita não toca violino. 
c) Se Talita não toca violino, então Maurício não joga futebol. 
d) Se Talita toca violino, então Maurício joga futebol. 
e) Se Maurício toca violino, então Talita joga futebol. 
4) A seguinte proposição “Se o aluno estudou, então ele passou” é logicamente equivalente a: 
a) Se o aluno passou, então ele estudou. 
b) Se o aluno não passou, então ele não estudou. 
c) Se o aluno não estudou, então ele não passou 
Se Jô Soares é gordo então motoqueiro” 
 
 
p q  
~ q ~ p  
 
Se Jô Soares não é motoqueiro então não é gordo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 31 
 
 
 Implicação Material 
 
A proposição condicional pq é equivalente a disjuntiva qp~ . Observe que esta 
equivalência permite reescrever uma proposição condicional utilizando uma proposição 
disjuntiva (ou ), e vice - versa. Desta forma dizer que “Se Pedro é pedreiro, então Paulo é 
paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é 
paulista” 
 
 Verifique a equivalência )(~ qpqp  
 
p q ~p ~q qp pq ~~  
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Exercícios Proposto: Escreva em linguagem simbólica e verifique se são logicamente equivalentes 
as proposições: 
“Se eu me chamo Sônia, eu serei aprovada no concurso.” e “Eu serei aprovada no concurso, ou 
não me chamo Sônia.” 
 
As proposições condicionais merecem atenção pois têm suas particularidades. O quadro abaixo 
resume as propriedades das condicionais vistas nos tópicos anteriores. 
 
Contrapositiva )~(~ pqqp  
Implicação Material )(~ qpqp  
Negação da Condicional   )~(~ qpqp  
Comutação NÃO qp NÃO É EQUIVALENTE a qp 
Regra do conectivo É falso quando o antecedente for verdadeiro e 
a condição for falsa 
Expressões equivalentes na linguagem 
corrente (principais) 
p é condição suficiente para q 
q é condição necessária para p 
Todo p é q 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 32 
 
 
 
Exercício Proposto : Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, 
 a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
 b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
 c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
 d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
 e) Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 33 
 
 
 1 ª LISTA 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1) Considere as proposições p: O empregado foi demitido. e q: O patrão indenizou o 
empregado. Forme sentenças, na linguagem coloquial, que correspondam às proposições 
seguintes: 
a) a) ~p b) ~q c) qp  d) qp  
b) e) qp~  f) q~p g) ~(~p) h) pq  
2) Considere as proposições p: Cláudio fala inglês. e q: Cláudio fala alemão. Forme sentenças, 
na linguagem coloquial, que correspondam às proposições seguintes: 
a) a) qp  b) qp  c) q~p d) q~p~  
b) e) qp~  f) q~p  g) qp  h) pq  
3) Considere as proposições seguintes: 
p: Os agricultores se mobilizam. 
q: Os políticos nada fizeram. 
r: A reforma agrária continua sem solução. 
s: Os sem-terra apelam para o Presidente da República. 
E simbolize os seguintes argumentos: 
a) Os agricultores se mobilizam e, ou os políticos nada fizeram, ou a reforma agrária 
continua sem solução. 
b) Se agricultores não se mobilizam, então a reforma agrária continua sem solução. 
c) Ou os agricultores se mobilizam e os políticos nada fizeram, ou a reforma agrária 
continua sem solução e os sem-terra apelam para o Presidente da República. 
d) Ou a reforma agrária continua sem solução ou os sem-terra apelam para o 
Presidente da República, nem os agricultores se mobilizam, nem políticos nada 
fizeram. 
e) Se os agricultores se mobilizam, então os políticos nada fizeram e a reforma agrária 
continuasem solução. 
 
4) (CESPE) Suponha que 
a) p: Hoje choveu. 
b) q: José foi à praia. 
c) r: Maria foi ao comércio. 
d) Qual é a representação das sentenças abaixo? 
a) Se hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia. 
b) Hoje choveu e José foi à praia. 
 
5) (CESPE) Considere que 
p: Fumar deve ser proibido. 
q: Fumar deve ser encorajado. 
r: Fumar não faz bem à saúde. 
s: Muitos europeus fumam. 
Represente simbolicamente cada item abaixo: 
a) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
b) Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
c) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
d) Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então 
fumar deve ser proibido. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 34 
 
6) Dadas as proposições p: A neve é preta e q: A terra é um satélite, é certo afirmar que: 
a) p é verdadeira e q é falsa 
b) b)~p é verdadeira e “Se p, então q” é verdadeira 
c) p é falsa e “Se p, então q” é falsa 
d) d)p, q e “Se p, então q” são falsas 
 
7) Sejam as proposições p: Os meninos jogam e q: O cão ladra. Em linguagem corrente a 
proposição (p e ~q) fica: 
a) Os meninos não jogam e o cão ladra 
b) b)Os meninos não jogam e o cão não ladra 
c) Os meninos jogam e o cão não ladra 
d) d)Os meninos jogam e o cão ladra 
 
8) Construir as tabelas-verdade de cada proposição abaixo: 
a) q~p b) qp~  c) qp~  d) )q~p(~)qp(  
e) )rp(~)q~p(  f)   )rp()rq()qp(  
g) )r~q()r~p(  h)    )r~p(q)rq(~p  
 
9) Sabendo que os valores lógicos de p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico 
de cada uma das seguintes proposições: 
a) a) qp~  b) q~p c) q~p~  d) qp~  e) )qp(~p  
b) f)    )q~p()p~q(~)pp(~q  
c) 
10) Determine o valor lógico das seguintes proposições: 
a) 5 é um número primo e Lula é o presidente do Brasil. 
b) Não é verdade que 5 é um número primo ou Lula é o presidente do Brasil. 
c) 5 não é um número primo ou Lula não é o presidente do Brasil. 
d) Não é verdade que 5 é um número primo e Lula é o presidente do Brasil. 
e) 5 não é um número primo e Lula não é o presidente do Brasil. 
f) 5 é um número primo ou 5 não é um número primo. 
g) Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil. 
h) Se 5 é um número primo, então Lula é o presidente do Brasil. 
i) Se 5 não é um número primo, então Lula é o presidente do Brasil. 
j) Se 5 não é um número primo, então Lula não é o presidente do Brasil. 
k) Se 5 é um número primo, então Lula não é o presidente do Brasil. 
 
11) Determine o valor lógico das proposições: 
a) Se 9 + 7 = 17, então eu sou o rei da Inglaterra. 
b) Se x + 5 = 0, então 252 x . 
c) Se x > 0, então 0x . 
d) Se 81 x 11 = 811, então eu sou o rei da Holanda. 
 
12) Em uma roda de amigos Jorge, Edson e Geraldo contam fatos sobre suas namoradas. Sabe-se 
que Jorge e Edson mentiram e Geraldo falou a verdade. Determine o valor lógico das 
proposições abaixo: 
a) Se Geraldo mentiu então Jorge falou a verdade 
b) Edson falou a verdade e Geraldo mentiu 
c) Se Edson mentiu então Jorge falou a verdade 
d) Jorge falou a verdade e Geraldo mentiu 
e) Edson mentiu e Jorge falou a verdade 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 35 
 
13) Por argumento entendemos uma série de enunciados, dos quais um é a conclusão e os demais 
são as premissas, que servem para provar ou pelo menos fornecer alguma evidência para a 
conclusão. 
Exemplo: Todos os homens são mortais. (premissa) 
 Sócrates é homem. (premissa) 
 Logo, Sócrates é mortal. (conclusão) 
 
Dados os argumentos identifique as premissas e a conclusão. Represente-as simbolicamente, 
conforme o exemplo resolvido abaixo 
 
a) Se houvesse uma guerra , a humanidade seria destruída. 
Haverá uma guerra nuclear. 
Portanto, a humanidade será destruída por uma guerra nuclear. 
 
Solução: 
p: Haverá uma guerra 
q: A humanidade será destruída 
Premissas  1)pq 
 2)p 
Conclusão  3)q 
 
a) Se é domingo, Miriam vai à missa. 
Miriam não foi à missa. 
Logo, não é domingo. 
 
b) Se 2 não é primo, então 3 não é ímpar. 
Mas 2 é primo. 
Logo, 3 é ímpar. 
 
c) João vai estudar ou não vai passar no concurso. 
João passou no concurso. 
Logo, João estudou. 
 
d) Trabalho ou serei aprovado em Matemática. 
Trabalhei. 
Logo, fui reprovado em Matemática. 
 
e) Se uma mulher é feia, ela é infeliz. 
Se uma mulher é infeliz, ela não casa. 
Logo, mulheres feias não casam. 
 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sergio. Assim, quando Sandra não 
abraça Sergio, João não está feliz e Daniela abraça Paulo. 
 
g) Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
h) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não 
brigou com Carla. Logo ,Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 36 
 
 
i) (Técnico Ministério Público) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. 
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo 
Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje 
vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
 
14) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 2, então y = 6”. Pode-se concluir que: 
a) Se 2x , então 6y . 
b) Se y = 6, então x = 2. 
c) Se 6y , então 2x . 
d) Se x = 4, então y = 4. 
e) Nenhuma das conclusões anteriores. 
 
15) Duas grandezas x e y são tais que “se 2x , então y = 1”. Pode-se concluir que: 
a) Se x = 2, então 1y . 
b) Se y = 1, então 2x . 
c) Se 1y , então x = 2. 
d) Se x = 0, então y = 0. 
e) Nenhuma das conclusões anteriores. 
 
16) Determine o valor lógico das proposições: 
a) Se 9 + 7 = 17, então eu sou o rei da Inglaterra. 
b) Se x + 5 = 0, então 252 x . 
c) Se x > 0, então 0x . 
d) Se 81 x 11 = 811, então eu sou o rei da Holanda. 
 
17) Escreva em linguagem simbólica (quando necessário) e verifique se são logicamente 
equivalentes as proposições: 
a) “Se eu me chamo Sônia, eu serei aprovada no concurso.” e “Eu serei aprovada no 
concurso, ou não me chamo Sônia.” 
b) “Se o motorista é uma mulher, então ele é desacreditado.” e “Se o motorista é 
desacreditado, então ele é uma mulher.” 
c) x – 1 = 0 e 12 x 
d) “Quem tem dinheiro, não compra fiado.” e “Quem não tem, compra.” 
 
18) Dadas as proposições p: A neve é preta e q: A terra é um satélite, é certo afirmar que: 
a) p é verdadeira e q é falsa 
b) b)~p é verdadeira e “Se p, então q” é verdadeira 
c) p é falsa e “Se p, então q” é falsa 
d) p, q e “Se p, então q” são falsas 
 
19) Sejam as proposições p: Os meninos jogam e q: O cão ladra. Em linguagem corrente a 
proposição (p e ~q) fica: 
a) Os meninos não jogam e o cão ladra 
b) Os meninos não jogam e o cão não ladra 
c) Os meninos jogam e o cão não ladra 
d) Os meninos jogam e o cão ladra 
 
20) A negação da proposição p: Os preços sobem e Pedro não é justo é: 
a) Os preços não sobem e Pedro não é justo 
b) Os preços sobem ou Pedro não é justo 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 37 
 
c) Os preços não sobem ou Pedro não é justo 
d) Os preços não sobem ou Pedro é justo 
 
21) Sejam as proposições p: Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4= 9 e q: 3+4 = 7 e 6 + 4 = 10. Os valores de p 
e q, nesta ordem, são: 
a) a)VeF b)VeV c)FeF d)FeV 
 
23. A negação de “ 4x ou 2x ” é: 
a) 4x e 2x 
b) 4x ou 2x 
c) 4x e 2x 
d) 4x ou 2x 
e) Se 4x , então 2x . 
 
24. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, 
a. seu esforço é condição necessária para vencer. 
b. se vocênão se esforçar, então não irá vencer. 
c. você vencerá só se você se esforçar. 
d. mesmo que se esforce, você não vencerá. 
e. seu esforço é condição suficiente para vencer. 
 
25. Considere as afirmações abaixo. 
 
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. 
 
II. A proposição “ (10 < ) ↔ (8 - 3 = 6)” é falsa. 
 
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) (~q)” é uma tautologia. 
 
É verdade o que se afirma APENAS em 
 
(A) I. 
 
(B) II. 
 
(C) III. 
 
(D) I e II. 
 
(E) I e III. 
 
 
26. Negue em linguagem corrente as seguintes proposições: 
f. As vendas diminuem e os preços aumentam. 
g. É falso que está frio ou que está chovendo. 
h. Se João passar em Física então se formará. 
i. Não tenho carro e não tenho moto. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 38 
 
27. Se p e q são proposições, então a proposição p  (~q) é equivalente a 
 
(A) ~(p → ~q) 
 
(B) ~(p → q) 
 
(C) ~q → ~p 
 
(D) ~(q → ~p) 
 
(E) ~(p q) 
 
28. Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é 
 
(A) ~q → ~p 
 
(B) ~q → p 
 
(C) ~p → ~q 
 
(D) q → ~p 
 
(E) ~(q → p) 
 
29. Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. 
(A) As proposições ~(p  q) e (~p  ~ q) não são logicamente equivalentes. 
(B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a 
proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”. 
(C) A proposição ~[ p  ~(p  q)] é logicamente falsa. 
(D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à 
proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. 
(E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa. 
 
30. (ESAF) – Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa 
é solteira.” é: 
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. 
c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. 
d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. 
e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 
 
31. (FGV) – O Ministro da economia de um certo país afirmou, em entrevista a um jornal: 
 
SE UM PAÍS TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE NÃO PEDE MORATÓRIA. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 39 
 
No dia seguinte, o referido jornal publicou: 
 
MINISTRO AFIRMA: SE UM PAÍS NÃO TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE PEDE 
MORATÓRIA. 
 
Compare a declaração do Ministro com o que foi publicado no jornal, assinalando 
a alternativa correta: 
a) As duas afirmações são logicamente equivalentes. 
b) Se um país tem crédito e pede moratória , isto contradiz a declaração do Ministro na 
entrevista. 
c) Se um país tem crédito e não pede moratória, isto contradiz o que foi publicado no 
jornal. 
d) Se um país não tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na 
entrevista. 
 
32. (FGV) – A ciência provou que, se os pais têm olhos azuis, seus filhos também 
terão olhos azuis. João tem olhos azuis. Daí se concluí que. 
b) Os pais de João têm olhos azuis. 
c) Os pais de João não tem olhos azuis. 
d) Um dos pais de João tem olhos azuis. 
e) NDA. 
 
33. Marcos é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos 
outros dias da semana.Em qual dos dias da semana não é possível que o Marcos faça a seguinte 
afirmação: “Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.” 
a) sábado 
b) domingo 
c) segunda 
d) terça 
e) quarta 
 
34. Marcos é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos 
outros dias da semana.Em qual dos dias da semana não é possível que o Marcos faça a seguinte 
afirmação: “Menti ontem se somente se mentirei amanhã.” 
a) segunda 
b) terça 
c) quinta 
d) sexta 
e) sábado 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 40 
 
Lógica Matemática 
Estudo dos Argumentos Aula 05 
 
 
Objetivos de Ensino: 
Ao final desta aula você deve : 
1.8. Partindo de premissas de uma dada situação, ser capaz de fazer deduções lógicas, 
justificadas por meio da lógica da argumentação; 
1.9. Dado um argumento dedutivo, ser capaz de classificá-lo em válido ou inválido e justificar 
tal classificação por escrito; 
Competências: 
Competência desenvolvida na aplicação dos tópicos desta aula: 
Raciocínio lógico, crítico e analítico 
 Pensar logicamente, fazendo deduções e induções 
Comunicação e expressão 
 Fazer-se entender 
 
 
Vencemos a primeira etapa! Começaremos hoje mais um módulo. Finalmente chegamos ao 
estudo dos argumentos. Todo o trabalho desenvolvido até aqui servirá para o estudo do raciocínio 
que desde o início era nosso objeto de estudo, lembra? 
A lógica analisa formalmente argumentos ou raciocínios a fim de determinar sua validade. 
Para tanto contará com uma metodologia e regras específicas. 
Vamos ao trabalho! 
 
 O que é Argumento ? 
 Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que 
algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. 
 Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra 
proposição q. 
 Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q 
de conclusão do argumento. Assim: 
 
Argumento é uma série de enunciados, dos quais um é a conclusão e os demais são as premissas 
 
 Para determinar quais as premissas e a conclusão num argumento, podemos utilizar termos 
indicadores de conclusão e de premissas. 
 São indicadores de conclusão: portanto, por conseguinte, assim, logo, desta forma, 
resulta que, segue-se que, ... 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 41 
 
 São indicadores de premissas: visto que, pois, como, porque, desde que, dado que, 
supondo que, em vista de,... 
 No argumento, “Os partidários do socialismo histórico não são partidários de idéias 
neoliberais, pois os neoliberais defendem as privatizações, e os socialistas históricos as negam” 
identificamos o indicador de premissas “pois”, as proposições “os neoliberais defendem as 
privatizações” e “os socialistas históricos as negam” são portanto premissas. E “Os partidários 
do socialismo histórico não são partidários de idéias neoliberais” é a conclusão. 
 
“Os partidários do socialismo histórico não são partidários de idéias neoliberais, 
 
 
pois os neoliberais defendem as privatizações, e os socialistas históricos as negam 
 
 
 
 
Observe o argumento: 
 
 “Se alguém é carioca, então é brasileiro. Fernanda é brasileira. Logo, Fernanda é carioca. 
 
 
2.2 Validade de um Argumento 
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um 
argumento diremos que ele é válido ou não válido. 
Pensar que a validade de um argumento se dá pela análise da verdade de cada uma das 
premissas é um equívoco. Esse não é o papel da lógica, e sim das diversas ciências; a lógica não 
pretende saber se cada uma das premissas corresponde à realidade ou não, ou se são verdadeiras ou 
falsas. O que ela pretende analisar é se o argumento está estruturalmente bem construído, ou seja, 
se a conclusão deriva das premissas usadas. 
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) 
lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. 
Observe os argumentos abaixo: 
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os pássaros são peixes. ( F ) 
 Todos os pássaros têm asas. ( V ) 
P1 P2 
Conclusão 
Indicador de conclusão 
P1 P2 Conclusão 
Indicador de 
premissas 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 42 
 
 
Todos os peixes têm asas. ( F ) 
Todos os cães são peixes. ( F ) 
Todos os cães têm asas. ( F ) 
 
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as 
conclusões também as seriam. 
Um argumento é válido se, e somente se, sua conclusão estiver suficientementeapoiada nas 
premissas, ou ainda, na hipótese de todas as premissas serem verdadeiras, então a conclusão é 
necessariamente verdadeira. Caso contrário, se as premissas não constituírem evidência suficiente 
e necessária para a conclusão, então trata-se de um argumento inválido. Exemplos: 
Cabral era português. Logo, Cabral descobriu o Brasil. (inválido) 
Todo presidente é ancião. Todo octogenário é presidente. Logo, todo octogenário é ancião. 
(válido) 
Todos os alemães são europeus. Todos os ingleses são europeus. Logo, todos os ingleses são 
alemães. (inválido) 
Assim, podemos perceber que não é o conteúdo semântico, de que tratam as proposições, que 
garante a validade de um argumento. Ao contrário, dependendo do assunto, pode nos confundir em 
virtude de envolvimento psicológico. Por isso, para determinar a validade de um argumento, 
devemos nos atentar para sua forma, ou seja, na maneira como se combinam os enunciados 
constituintes. Exemplos: 
Se alguém é carioca, então é brasileiro. Fernanda é brasileira. Logo, Fernanda é carioca. 
Se Luiz é cristão, então é monoteísta. Luiz é monoteísta. Logo, Luiz é cristão. 
A maneira mais simples para deixar de lado o conteúdo e ater-se somente à forma é 
mediante a adoção da simbolização do argumento por meio de variáveis. 
Os dois argumentos acima, apesar de tratarem de conteúdos diferentes, estão na mesma 
forma: 
A
B.
BA.


2
1
 
Todo argumento válido tem a seguinte regra: 
 
Considerando as premissas verdadeiras, a conclusão deverá ser verdadeira 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 43 
 
Assim para determinar a validade de um argumento devem-se considerar todas as premissas 
verdadeiras e verificar a veracidade da conclusão. 
A seguir apresentaremos alguns formas de argumentos válidos, importantes no estudo da 
validade de argumentos mais elaborados. 
 
Alguns Formas de argumentos Válidas 
Forma 
 
q
p
qp


.2
.1
 
“Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no 
concurso. Logo José será demitido do serviço.” 
 
Para verificar a validade do argumento 
 
1º) identifique as premissas e a conclusão e o reescreva na forma lógica: 
 
q
p
qp


.2
.1
 
2º) considere as premissas 1. e 2. verdadeiras: 
p
qp 
 
 
3º) Use as regras dos conectivos e determine os valores lógicos das proposições simples 
(nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
 
p
qp 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
V 
Observe que a proposição q deve ser verdadeira, pois caso contrário a condicional pq 
é falso, isto é impossível, pois é premissa. 
V 
V 
V 
V 
p q pq 
V ??? V 
 
Premissa 
(dado) Premissa 
(dado) 
q deve ser 
V 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 44 
 
 
4º) Considerando os valores das proposições verifique a conclusão, Se verdadeira então o 
argumento é válido. Caso contrário argumento inválido. 
q
p
qp


.2
.1
 
 
Observação: Todo argumento que tem a forma descrita acima é válido. 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento : “ Se BIPBIP É BOP então BOPBOP é 
BIP. Sabe-se que BIPBIP É BOP. Logo BOPBOP é BIP” 
Forma 
 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
Analisaremos o argumento acima, seguindo os passos explicados no caso anterior. 
1º) identifique as premissas e a conclusão e o reescreva na forma lógica: 
 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
2º) considere as premissas 1 e 2 verdadeiras: 
q
qp
~

 
 
3º) Use as regras dos conectivos e determine os valores lógicos das proposições simples 
(nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
q
qp
~

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido !! 
V 
V 
F 
V 
F 
V 
Observe que a proposição p deve ser falsa pois caso contrário a condicional 
pq é falsa, isto é impossível, pois é premissa. 
p q pq 
??? F V 
 
Premissa 
(dado) 
p deve ser 
F 
 
~q é V (Premissa) 
q é F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 45 
 
 
4º) Considerando os valores das proposições verifique a conclusão; 
Conclusão: ~ p é Verdadeira pois p é falso 
p
q
qp
~
~.2
.1


 
 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento “Não aumentamos os meios de 
pagamentos, pois se aumentamos os meios de pagamentos, há inflação. E, não há inflação.” 
 
 Forma 
p
q
qp


~.2
.1
 
 
Considere as premissas 1 e 2 verdadeiras e use a regra da disjunção para determinar os valores 
lógicos das proposições simples (nesse caso p e q ) envolvidas no argumento: 
 
q
qp
~.2
.1 
 
 
 
Seguindo as setas temos: 
 
Afirmação Justificativa 
~q (V) Premissa 
 q (F) Negação 
pq (V) Premissa 
 p (V) Disjunção 
 
Considerando os valores das proposições a conclusão é verdadeira logo o argumento é válido 
 
p
q
qp


~.2
.1
 
 
 
Exercício Proposto: Verifique a validade do argumento “João vai estudar ou não vai passar no 
concurso. João passou no concurso. Logo, João estudou. 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido!! 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
Conclusão Verdadeira 
Argumento Válido!! 
p q pq 
??? F V 
 
Premissa 
(dado) 
p deve ser 
V 
 
~q é V (Premissa) 
q é F 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 46 
 
 
Utilizando a técnica e as formas apresentadas acima podemos determinar a validade de 
qualquer argumento dado. Observe a questão abaixo: 
 
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, 
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: 
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. 
b) Camile e Carla não foram ao casamento. 
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. 
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. 
 e) Vera e Vanderléia não viajaram. 
 
Solução: Note que o enunciado do exercício apresenta as premissas, que são consideradas 
verdadeiras, e pede a conclusão. Assim devemos determinar os valores lógicos das proposições 
simples envolvidas e procurar nas alternativas uma declaração verdadeira que será a conclusão do 
argumento. 
 
 1.Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. 
 
 P ( ~q  ~r) 
 (F) 
 
 (F) (F) 
 
 2.Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. 
 
 ~r s 
 
 (F) (F) 
 
 3.Se Vanderléia viajou, o navio afundou. 
 
 s t 
 (F) (F) 
 
 4.Ora, o navio não afundou. 
 
 ~t 
 (V) 
Verificando a validade de cada uma das opções, concluímos “Vera e Vanderléia não 
viajaram” é a opção correta. 
Vera e Vanderléia não viajaram 
 
 ~ p  ~ s 
(F) (F) 
 
(V) (V) 
 
 (V) 
Valores das proposições: 
 
Prop. Valor Lógico 
p F 
q ??? 
r V 
s F 
t F 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 47 
 
 
Exercício proposto : Dados os argumentos identifique as premissas e a conclusão, e determine a 
sua validade 
a) Se houvesse uma guerra , a humanidade seria destruída. 
Haverá uma guerra nuclear. 
Portanto, a humanidade será destruída por uma guerra nuclear. 
 
b) Se é domingo, Miriam vai à missa. 
Miriam não foi à missa. 
Logo, não é domingo. 
 
c) Se 2 não é primo, então 3 não é ímpar. 
Mas 2 é primo. 
Logo, 3 é ímpar. 
 
d) João vai estudar ou não vai passar no concurso. 
João passou no concurso. 
Logo, João estudou. 
 
e) Se uma mulher é feia, ela é infeliz. 
Se uma mulher é infeliz, ela não casa. 
Logo, mulheres feias não casam. 
. 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sergio. Assim, quando Sandra não 
abraça Sergio, João nãoestá feliz e Daniela abraça Paulo. 
 
g) Se Newton ou Arquimedes ganha, então Pitágoras e Gauss perdem. Ora, soube-se que 
Newton ganhou. Portanto, Pitágoras perdeu. 
 
h) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não 
brigou com Carla. Logo ,Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
 
Prof. Daniela Portes Leal Ferreira 48 
 
i) (Técnico Ministério Público) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. 
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo 
Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje 
vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
 
Até o momento, estudamos um tipo de enunciado, em que havia sempre (pelo menos) uma 
sentença apropriada para ser o ponto de partida da resolução. Na seqüência, veremos questões um 
pouco mais, digamos, interessantes: nelas, não haverá nenhuma sentença em forma de 
proposição simples ou de conjunção, de sorte que não estará previamente definido qual o ponto 
de partida da resolução. A análise se aprofunda um pouco. 
 Aprenderemos esse tipo de resolução resolvendo questões! Vamos lá! 
 
Para resolvermos esta tipo de questão, devemos: 
1º Passo) consideraremos todas as premissas verdadeiras; (como nos casos anteriores) 
2º Passo) atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples (isso é 
novidade!) 
3º Passo) Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas premissas e 
verificaremos se está correto, ou seja, se não vai ocorrer alguma contradição entre os resultados 
obtidos. 
 
Exercícios Propostos 
01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não 
estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, 
a) não durmo, estou furioso e não bebo 
b) durmo, estou furioso e não bebo 
c) não durmo, estou furioso e bebo 
d) durmo, não estou furioso e não bebo 
e) não durmo, não estou furioso e bebo 
 
02. (MPU Administrativa 2004 ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é 
inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são 
culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. 
Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, 
a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. 
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c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. 
d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 
 
03. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos 
carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é 
branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o 
Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do 
Fiesta são, respectivamente, 
a) branco, preto, azul 
b) preto, azul, branco 
c) azul, branco, preto 
d) preto, branco, azul 
e) branco, azul, preto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 2 ª LISTA 
 
2ª LISTA DE EXERCÍCIO 
 
1. Alguns dos enunciados seguintes são argumentos. Identifique quais são argumentos e, nesse 
caso, as premissas e a conclusão. 
a) Ele é Leão, pois nasceu na primeira semana de agosto. 
 
b) A economia não pode ser melhorada, já que o déficit comercial está crescendo todo dia. 
 
c) Eu não quero ir para cama, mamãe. O filme ainda não acabou. 
 
d) O edifício estava em ruínas, coberto de fuligem marrom, numa região abandonada. A 
fuga dos ratos ressoava pelos corredores. 
 
e) As pessoas talentosas como você deveriam receber uma educação superior. Você 
deveria ir para a faculdade! 
 
f) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam 
constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo. 
Assim, um ataque direto teria sido suicídio. 
 
g) “Outras leis esparsas foram impostas aos poucos, na medida em que os problemas 
foram se agravando.” 
 
h) Há alguém aqui que entende esse documento? 
 
i) Nos Estados Unidos muitas pessoas não sabem se seu país apóia ou se opõe ao governo 
da Nicarágua. 
 
j) “A construção de uma nova orientação moral impõe-se, pois estamos presenciando a 
destruição da natureza e do próprio ser humano.” 
 
k) Bem-aventurado aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado. 
 
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l) Todos os comunistas são críticos do capitalismo selvagem, porque todos os críticos do 
capitalismo selvagem são defensores de uma política econômica voltada para o lucro e 
os comunistas são defensores de uma política social mais ampla. 
 
m) O ouro conduz eletricidade, pois todo metal conduz eletricidade e o ouro é um metal. 
 
 
n) “Valeu o esforço, pois a colheita deu resultado bem melhor do que esperavam.” 
 
2. Testar a validade dos seguintes argumentos: 
 
a) Amelinha não foi trabalhar esta noite, porque usava um colar e se ela vai trabalhar, 
nunca usa um colar. 
 
b) Deve haver uma greve na universidade, pois há um piquete à porta e se existem 
piquetes, há greves. 
 
c) Somente se o governo aprovar as medidas e prover os meios para seu cumprimento, é 
que então teremos uma melhoria nas condições de vida dos trabalhadores. Ora, o 
governo aprovou as medidas e não proveu os meios para seu cumprimento. Assim, não 
teremos uma melhoria nas condições de vida dos trabalhadores. 
 
d) O presidente da empresa deverá adotar medidas de contenção de gastos ou não teremos 
um aumento substancial de salário. As medidas de contenção de gastos não foram 
aprovadas e, portanto, não serão colocadas em prática. Isso significa que não teremos 
um aumento substancial de salário. 
 
e) Qualquer que seja o índice de desemprego, ele acarreta aumento nos índices de 
criminalidade. Ora, o índice de desemprego é causado por uma política econômica 
deficiente. Logo, uma política econômica deficiente acarreta um aumento nos índices 
de criminalidade. 
 
f) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição 
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é 
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condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra 
não abraça Sérgio, João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. 
 
3. Se amanhã for feriado, então hoje José irá viajar. Ora, amanhã não será feriado. Então, pode-se 
afirmar que: 
a) José não viajará hoje. 
b) José viajará hoje. 
c) É possível que José viaje hoje. 
d) José somente viaja em véspera de feriado. 
e) José nunca viaja no feriado. 
 
4. (AFCE/TCU) Se Geraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Cris. Se Beatriz briga 
com Cris, então Cris vai ao bar. Se Cris vai ao bar, então Beto briga com Cris. Ora, Beto não 
brigou com Cris. Logo, 
a) Cris não foi ao bar e Beatriz brigou com Cris. 
b) Cris foi ao bar e Beatriz brigou com Cris. 
c) Beatriz não brigou com Cris e Geraldo não brigou com Beatriz. 
d) Beatriz brigou com Cris e Geraldo brigou com Beatriz. 
e) Beatriz não brigou com Cris e Geraldo brigou com Beatriz. 
 
5. (AFC) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então 
Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não brigou 
com Carla. Logo, 
a) Carla não ficou em casa e Beto não brigou com Glória. 
b) Carla ficou em casa e Glória foi ao cinema. 
c) Carla não ficou em casa e Glória foi ao cinema.