POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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12
Módulo II
Potenciação
e
Radiciação
Módulo II – Potenciação e Radiciação
O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. 
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão.
1ª Parte:
Potenciação
1. 
Definição de Potenciação
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 
3
.
3
.
3
.
3
pode ser indicado na forma 
4
3
. Assim, o símbolo 
n
a
, sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
4
4
3
4
4
2
1
fatores
 
n
n
a
a
a
a
a
.
...
.
.
.
=
· a é a base;
· n é o expoente;
· o resultado é a potência.
Por definição temos que: 
a
a
e
a
=
=
1
0
1
Exemplos:
a) 
27
3
3
3
3
3
=
×
×
=
b) 
(
)
4
2
2
2
2
=
-
×
-
=
-
c) 
(
)
8
2
2
2
2
3
-
=
-
×
-
×
-
=
-
d) 
16
9
4
3
4
3
4
3
2
=
×
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
CUIDADO !! 
Cuidado com os sinais.
· Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
(
)
16
2
2
2
2
2
4
=
-
×
-
×
-
×
-
=
-
(
)
9
3
3
3
2
=
-
×
-
=
-
· Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
Ex. 1: 
(
)
2
2
2
2
3
-
×
-
×
-
=
-
4
3
4
2
1
=
-
×
2
4
 EMBED Equation.3 8
-
· Se 
2
x
=
, qual será o valor de “
2
x
-
”?
Observe:
(
)
4
2
2
-
=
-
, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
(
)
4
2
x
2
2
-
=
-
=
-
 
→ os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.
2.
Propriedades da Potenciação
(
)
0
;
.
.
¹
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
b
com
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
n
n
n
n
n
n
n
n
Quadro Resumo das Propriedades
(
)
n
n
m
n
m
n
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
.
=
=
=
=
=
-
×
-
+
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a) 
n
m
n
m
a
a
a
+
=
×
Ex. 1.: 
2
2
2
2
2
+
=
×
x
x
Ex. 2.: 
11
7
4
7
4
a
a
a
a
=
=
×
+
Ex. 3.: 
4
2
3
4
×
 ( neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.
1296
81
16
3
4
4
2
=
×
=
×
Obs.:
Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim:
n
m
n
m
a
a
a
+
=
×
 ou 
n
m
n
m
a
a
a
×
=
+
 Exemplo:
n
7
n
7
a
a
a
×
=
+
b) 
n
m
n
m
a
a
a
-
=
Ex. 1: 
x
x
-
=
4
4
3
3
3
Ex. 2: 
1
5
4
5
4
-
-
=
=
a
a
a
a
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
m
n
m
a
a
a
-
=
 ou 
n
m
n
m
a
a
a
=
-
 Exemplo:
x
x
a
a
a
4
4
=
-
c) 
(
)
n
m
n
m
a
a
×
=
Ex. 1: 
(
)
6
2
3
2
3
4
4
4
=
=
×
Ex. 2: 
(
)
x
x
x
b
b
b
×
×
=
=
4
4
4
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
 
(
)
n
m
n
m
a
a
×
=
 ou 
(
)
n
m
n
m
a
a
=
×
 Ex.:
(
)
(
)
4
4
4
3
3
3
x
x
x
ou
=
d)
 EMBED Equation.3 m
n
m
n
a
a
=
Ex. 1: 
2
1
2
1
x
x
x
=
=
Ex. 2: 
3
7
3
7
x
x
=
Ex. 3: 
5
25
25
2
1
=
=
Ex. 4: 
3
8
3
8
x
x
=
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
m
n
m
n
a
a
=
 ou 
m
n
m
n
a
a
=
 Ex.:
5
2
5
a
a
=
e) 
0
b
 
com
 
,
b
a
b
a
n
n
n
¹
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ex. 1: 
9
4
3
2
3
2
2
2
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ex. 2: 
25
1
5
1
5
1
2
2
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
n
n
b
a
b
a
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
 ou 
n
n
n
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
 Ex.:
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
f) 
(
)
n
n
n
b
a
b
a
×
=
×
Ex. 1: 
(
)
2
2
2
a
x
a
x
×
=
×
Ex. 2: 
(
)
3
3
3
3
64
4
4
x
x
x
=
×
=
Ex. 3: 
(
)
(
)
2
2
4
2
4
4
4
2
1
4
4
4
4
81
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
=
×
=
×
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
=
×
=
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
(
)
n
n
n
b
a
b
a
×
=
×
 ou 
(
)
n
n
n
b
a
b
a
×
=
×
 Ex.:
(
)
y
x
y
x
y
x
y
x
×
=
×
=
×
=
×
2
1
2
1
2
1
g) 48
6
.
2
3
.
2
.
2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
3
3
=
=
n
n
a
1
a
=
-
Ex. 1: 
3
3
3
3
3
1
1
1
a
a
a
a
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
Ex. 2: 
4
9
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
Ex. 3: 
(
)
4
1
4
1
4
1
1
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
-
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
n
n
a
1
a
=
-
 ou 
n
n
a
a
-
=
1
Ex.:
1
3
2
1
3
2
3
2
-
×
=
×
=
x
x
x
27
3
3
3
3
1
3
9
27
3
=
CUIDADO !!!
· 
(
)
(
)
(
)
8
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
-
· 
(
)
27
1
3
1
3
1
3
3
3
3
3
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
· 
3
3
3
3
3
a
1
a
1
a
a
1
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
27
3
3
3
3
1
3
9
27
3
=
Exercícios
1) 
Calcule as potências:
a) 
2
6
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h) 
4
2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
i) 
4
2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
j) 
3
2
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o) 
2
5
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
4
2
2.
O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual é a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3 . b . (b . c)2
b) 
7
4
5
2
3
.
.
.
.
y
x
x
y
y
x
4. Sendo 
7
.
3
.
2
8
7
=
a
 e 
6
5
3
.
2
=
b
, o quociente de a por b é:
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expressão:
2
1
2
4
1
2
1
3
2
-
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
A
6. Simplificando a expressão 
2
3
3
1
.
3
4
1
2
1
.
3
2
2
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
, obtemos o número:
a) 
7
6
-
b) 
6
7
-
c) 
7
6
d) 
6
7
e) 
7
5
-
7.
Quando
3
b
e
3
1
a
-
=
-
=
, qual o valor numérico da expressão 
2
2
b
ab
a
+
-
?
8.
Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
a) 2-3 =
b) 10-2 =
c) 4-1 =
Exemplos mais complexos:
(1) 
(
)
3
3
2
3
2
3
2
1
3
2
1
3
y
x
4
1
x
1
xy
4
1
1
x
xy
4
1
x
xy
4
1
x
xy
4
=
×
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
(2) 
(
)
(
)
6
2
2
.
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
y
.
x
1
y
.
x
1
y
.
x
1
xy
1
y
.
x
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
(3) 
(
)
(
)
9
12
3
.
3
3
.
4
3
3
3
3
4
3
3
4
3
3
4
b
.
a
1
b
.
a
1
b
.
a
1
b
.
a
b
.
a
1
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
(4) 
(
)
(
)
(
)
(
)
6
8
2
3
2
4
2
2
3
4
positivo.
 
fica
par,
 
expoente
 
a
 
elevado
negativo
 
nº
6
8
2
.
3
2
.
4
2
3
2
4
2
2
3
4
2
3
4
1
1
1
.
1
.
1
.
1
.
1
.
y
a
y
a
y
a
ou
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¾
¾
¾
¾
®
¾
=
=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
×
×
-
(5) 
(
)
(
)
(
)
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
.
y
.
64
1
a
.
y
.
8
1
a
.
y
.
8
1
a
.
y
.
8
1
a
.
y
.
8
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses.
(6) 
3
4
1
2
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
 
729
64
9
4
9
4
4
9
4
1
8
4
1
2
3
3
3
3
3
3
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
-
(7) 
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
=
+
×
+
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
4
1
c
2
c
2
c
4
4
1
c
2
1
c
2
2
1c
2
2
1
c
2
2
1
c
2
2
2
2
2
 EMBED Equation.3 4
1
c
4
c
4
2
+
+
ou
=
×
+
×
+
×
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
2
1
2
1
c
2
1
2
1
c
c
2
1
c
2
1
c
2
1
c
2
2
4
1
c
4
c
4
4
1
c
c
4
1
2
c
2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
2
2
2
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
(8) Simplifique as expressões:
=
×
×
+
1
n
3
3
n
2
8
4
2
 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 
2
8
3
por
.
=
×
×
+
1
n
3
2
n
2
2
2
2
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.
(
)
=
=
=
=
-
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
2
n
3
2
n
2
n
3
2
n
2
n
3
2
n
1
n
3
1
2
n
2
2
2
2
2
2
 EMBED Equation.3 n
2
2
-
 ou 
n
2
2
1
243
3
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
=
Exercícios
9.
Efetue:
a) 
=
4
6
.
a
a
b) 
=
3
8
a
a
c) 
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
3
2
2
3
2
2
b
c
a
c
ab
d) 
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
3
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
b
a
xy
b
a
y
x
e) 
(
)
=
4
3
x
f) 
=
5
3
)
(
x
g) 
=
3
2
)
2
(
x
h) 
(
)
=
3
3
2
5
b
a
i) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
4
2
3
b
a
j) 
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
2
4
3
5
2
x
ab
k) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
4
2
3
1
a
10. Sabendo que 
2
5
4
2
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
a
, determine o valor de a.
11. Simplifique as expressões:
a) 
1
n
n
2
n
3
3
3
3
E
+
+
×
×
=
b) 
(
)
(
)
1
n
1
n
n
4
2
4
E
+
-
×
=
c) 
1
n
2
n
5
100
25
G
+
+
×
=
2ª Parte:
Radiciação
1.
Definição de Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: 
(
)
1
n
e
n
a
b
b
a
n
n
³
N
Î
=
Û
=
Ex. 1: 
4
2
2
4
2
=
=
pois
Ex. 2: 
8
2
2
8
3
3
=
=
pois
Na raiz 
n
a
, temos:
· O número n é chamado índice;
· O número a é chamado radicando.
3. Cálculo da raiz por decomposição
Raízes Numéricas
144
3
2
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
2
4
=
×
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
7
2
3
7
3
3
7
2
7
3
7
3
7
-
=
-
×
+
×
-
=
+
×
-
Exemplos: 
a) 
=
×
=
2
4
3
2
144
12
3
4
3
2
3
2
3
2
1
2
2
2
2
4
2
4
=
×
=
×
=
×
=
×
b) 
=
×
=
=
3
2
3
3
5
3
3
3
3
243
=
×
3
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
×
3
2
3
3
×
ou
3
2
3
3
×
ou
3
9
3
×
Obs.:
Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
Raízes Literais
a) 
2
9
9
x
x
=
Escrever o radical 
9
x
na forma de expoente fracionário 
2
9
x
 não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.
Assim teremos:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
8
8
1
8
1
8
9
×
=
×
=
×
=
×
=
=
+
b) 
3
2
12
3
14
x
x
+
=
 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
 
3
2
4
3
2
3
12
3
2
3
12
3
2
12
x
x
x
x
x
x
x
x
×
=
×
=
×
=
×
=
Outros Exemplos:
a) 
 
3
6
3
3
6
x
27
x
.
27
×
=
2
2
1
2
3
3
3
6
3
3
x
3
x
3
x
3
3)
por 
 
divisível
 
é
 
6
 
(pois
x
3
=
×
=
×
=
×
=
b) 
3
6
3
4
3
3
6
4
y
x
48
y
x
48
×
×
=
×
×
3
2
3
3
2
2
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
6
3
por 
divisível
é
 
não
4
 
pois
3
1
3
3
3
x
6
xy
2
x
6
xy
2
y
x
x
6
2
y
x
x
6
2
y
x
x
6
2
y
x
6
.
2
×
=
×
×
=
×
×
×
×
=
×
×
×
×
=
×
×
×
×
=
×
×
=
+
3
2
1
Exercícios
12. Calcule:
a) 
=
3
125
b) 
=
5
243
c) 
=
36
d) 
=
5
1
e) 
=
6
0
f) 
=
1
7
g) 
=
-
3
125
h) 
=
-
5
32
i) 
=
-
7
1
13. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) 
=
3
32
b) 
=
3
25
c) 
=
4
27
d) 
=
4
125
e) 
=
7
8
f) 
=
7
81
g) 
=
8
512
h) 
=
8
625
14. Calcule a raiz indicada:
a) 
=
2
4
a
b) 
=
6
2
36
b
a
c) 
=
4
2
9
4
b
a
d) 
=
100
2
x
e) 
=
25
16
10
a
f) 
=
4
2
100
x
g) 
=
8
121
h) 
=
5
10
5
1024
y
x
i) 
=
4
25
1
j) 
=
3
3
6
b
a
k) 
=
6
2
4
16
z
y
x
15. Simplifique os radicais:
a) 
=
5
10
x
a
b) 
=
c
b
a
2
4
c) 
=
b
a
3
d) 
=
x
a
4
25
e) 
=
3
432
f) 
=
45
3
1
3.3
Propriedades dos radicais
a) 
n
p
n
p
a
a
Û
Ex. 1: 
3
1
3
2
2
=
Ex. 2: 
2
3
3
4
4
=
Ex. 3: 
5
2
5
2
6
6
=
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja 
n
p
n
p
a
a
=
(o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
Exemplo : 
5
3
5
3
2
2
=
.
b) 
a
a
a
a
1
n
n
n
n
=
=
=
 Ex.: 
2
2
2
2
1
3
3
3
3
=
=
=
c) 
n
n
n
b
a
b
a
×
=
×
 Ex.: 
2
3
6
3
3
3
6
3
3
3
6
3
b
a
b
a
b
a
b
a
×
=
×
=
×
=
×
d) 
n
n
n
b
a
b
a
=
 Ex.: 
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a
=
=
=
e) 
(
)
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
b
b
b
b
b
=
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
×
×
1
1
1
1
Ex.: 
(
)
2
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
5
5
5
5
5
=
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
×
×
f) 
n
m
n
m
a
a
×
=
 Ex.: 
6
2
3
3
2
3
3
3
=
=
×
Exercícios
16. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:
a) 
=
100
1
b) 
=
-
16
1
c) 
=
9
4
d) 
=
-
01
,
0
e) 
=
81
,
0
f) 
=
25
,
2
17.
Calcule a raiz indicada:
a) 
9
3
a
b) 
3
48
c) 
7
t
d) 
4
12
t
18. Escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) 
=
7
b) 
=
4
3
2
c) 
=
5
2
3
d) 
=
6
5
a
e) 
=
3
2
x
f) 
=
3
1
g) 
=
3
4
1
h) 
=
5
3
3
a
19. Escreva na forma de radical:
a) 
=
5
1
2
b) 
=
3
2
4
c) 
=
4
1
x
d) 
=
-
2
1
8
e) 
=
7
5
a
f) 
(
)
=
4
1
3
b
a
g) 
(
)
=
-
5
1
2
n
m
h) 
=
-
4
3
m
20.
De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?
a) 
1
10
-
b) 
2
10
-
c) 
3
10
-
d) 
4
10
-
e) 
10
1
-
4. Operações com radicais
4.1. Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1) 
(
)
3
3
1
3
2
4
1
3
2
3
4
3
=
=
×
-
+
=
-
+
2) 
(
)
5
5
5
5
5
3
3
3
2
3
2
3
2
3
3
3
2
=
×
-
+
=
-
+
4
3
4
2
1
externos
fatores
Obs.: 
Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma.
3) 
(
)
(
)
4
3
4
2
1
reduzida
mais
ser
pode
não
5
3
2
2
5
6
3
2
2
4
5
6
5
3
2
2
2
4
-
=
-
+
-
=
-
+
-
4) 
(
)
(
)
3
2
2
4
7
2
5
3
4
2
5
7
2
3
+
-
=
-
+
×
-
=
-
-
+
Exercícios
21. Simplifique 
10
8
10
6
10
12
-
-
:
22. Determine as somas algébricas:
a) 
=
-
-
3
3
3
2
4
5
2
2
2
3
7
b) 
=
-
-
+
3
5
5
5
2
5
6
5
c) 
=
+
-
+
-
3
3
3
3
3
8
2
4
2
3
8
2
5
d) 
=
-
-
+
4
5
4
5
6
10
7
12
6
7
8
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:
a) 
=
+
-
-
45
2
63
2
20
3
28
5
b) 
=
-
-
+
-
72
9
50
15
18
13
8
5
2
8
c) 
=
-
+
-
20
10
108
6
48
12
45
6
d) 
=
-
-
10
4
1
250
4
1
90
2
3
e) 
=
+
-
+
4
4
4
4
243
9
6
2
486
96
f) 
=
+
-
+
-
3
3
3
3
3
4
5
8
2
2
16
256
5
2
32
5
g) 
=
-
-
5
5
5
2
486
64
h) 
=
-
+
3
3
3
125
24
10
729
375
81
64
81
4
24. Calcule as somasalgébricas:
a) 
=
-
+
+
-
x
x
x
x
6
4
10
b) 
=
+
-
-
b
a
b
a
144
8
9
6
81
4
c) 
=
-
-
3
3
3
1000
8
27
a
a
d) 
=
+
-
-
4
9
4
4
5
3
12
2
a
a
a
a
a
e) 
=
-
+
-
a
a
a
x
a
x
a
4
3
4
3
2
f) 
=
-
-
-
b
a
b
a
8
3
5
4
4
g) 
=
-
+
-
x
x
y
x
y
x
81
100
9
4
2
h) 
=
-
-
4
4
5
4
4
4
16
8
2
c
a
c
b
c
a
25. Considere 
m
c
m
b
m
a
36
8
,
100
2
,
9
-
=
=
=
 e determine:
a) a + b + c =
b) a –( b + c )=
c) a – b + c=
d) ( a + b ) – c=
26. Simplifique a expressão
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
10
10
5
6
3
4
4
2
2
1
y
a
a
y
y
a
.
4.2 Multiplicação
Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um:
1º caso: Radicais têm raízes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo: 
(
)
8
2
4
8
16
3
-
=
-
×
=
-
×
2º caso: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido.
Exemplos: 
a) 
15
5
3
5
3
=
×
=
×
b) 
3
4
2
3
4
3
2
3
y
x
y
x
y
x
y
x
×
×
×
=
×
×
×
 EMBED Equation.3 =
 EMBED Equation.3 3
5
3
y
x
×
 pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:
3
2
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
3
5
3
3
3
5
3
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
×
×
=
×
×
=
×
×
=
×
=
×
=
×
+
c) 
10
6
5
2
6
5
2
3
2
5
3
2
2
=
×
=
×
×
×
=
×
3º caso: Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).
Exemplos: 
a) 
4
4
2
4
1
4
2
4
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4
18
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
×
×
b) 
12
3
4
12
3
12
4
12
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
4
3
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
×
×
×
×
4º caso: Utilizando a propriedade distributiva.
Exemplo:
(
)
2
2
6
2
2
3
2
2
.
2
3
.
2
2
3
2
+
=
+
×
=
+
=
+
×
ATENÇÃO:
· 
2
2
2
2
=
+
, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.
· 
2
2
2
=
×
por que? 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
=
=
×
ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
=
=
=
¾
¾
¾
¾
®
¾
×
=
×
+
+
o
potenciaçã
de 
 
regra
4.3 Divisão
A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:
1º caso: Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.
Exemplo:
3
3
:
9
27
:
81
3
=
=
2º caso: Radicais têm o mesmo índice. 
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.
Exemplos:
y
x
xy
x
xy
x
xy
:
x
2
3
3
3
=
=
=
3
3
3
3
3
3
2
10
20
10
20
10
:
20
=
=
=
3º caso: Radicais com índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo:
6
6
1
6
2
3
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
2
=
=
=
=
=
=
-
-
5. Racionalização de Denominadores
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
(
)
3
3
4
3
3
4
3
3
3
4
3
4
2
=
=
×
=
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a) 
3
x
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por 
3
2
x
, pois 1 + 2 = 3.
x
x
2
x
x
2
x
x
2
x
x
x
2
x
x
x
2
3
2
3
3
3
2
3
2
1
3
2
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
×
=
×
=
×
=
×
×
=
×
+
(b) 
5
2
x
1
Temos que multiplicar numerador e denominador por 
5
3
x
, pois 2 + 3 = 5.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
5
3
5
5
5
3
5
3
2
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
5
2
=
=
=
×
=
×
+
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
7
4
3
7
2
3
7
3
7
2
3
7
3
7
2
3
7
3
7
3
7
2
3
7
2
2
2
+
=
/
+
/
=
-
+
=
-
+
=
+
+
×
-
=
-
Exercícios
27.
Calcule
a) 
=
-
+
7
3
7
5
7
6
b) 
=
-
+
18
2
50
3
2
5
c) 
=
+
+
3
3
3
3
5
24
81
2
d) 
=
×
2
3
5
4
e) 
=
×
5
5
2
2
3
f) 
=
×
3
2
3
4
g) 
=
5
2
10
8
h) 
=
-
-
2
4
.
1
.
4
5
5
2
i) 
=
-
+
2
5
.
1
.
4
6
6
2
28.
Simplifique os radicais e efetue:
a) 
=
+
-
3
3
8
8
2
2
x
x
x
x
b) 
=
+
-
-
3
3
3
3
192
24
3
2
343
4
c) 
=
-
+
+
3
2
5
3
3
4
x
x
x
x
y
x
y
29. Efetue:
a) 
=
+
-
-
3
2
9
4
2
3
x
x
a
x
x
x
a
b) 
=
-
-
+
a
a
a
a
a
3
3
5
4
4
5
c) 
=
+
+
+
-
+
32
16
4
50
25
3
8
4
2
x
x
x
d) 
=
-
-
+
-
3
2
3
7
3
a
a
a
a
b
a
b
30. Escreva na forma mais simplificada:
a) 
=
x
x
.
b) 
=
+
x
x
3
c) 
=
-
a
a
7
d) 
=
x
x
3
e) 
=
2
3
x
x
f) 
=
-
-
4
3
.
x
x
g) 
=
7
.
x
x
h) 
=
×
3
4
3
a
a
i) 
=
×
a
a
4
j) 
(
)
=
×
2
3
a
a
k) 
=
×
4
2
5
b
31. Efetue as multiplicações e divisões:
a) 
=
4
2
2
3
5
.
.
b
a
ab
a
b) 
=
2
2
3
2
4
.
4
x
a
x
a
c) 
=
x
x
.
10
3
d) 
=
y
x
y
x
xy
3
3
2
2
.
.
e) 
=
×
×
4
3
a
a
a
f) 
=
3
3
5
a
a
32.
Efetue:
a) 
=
8
3
4
2
a
a
b) 
=
4
5
6
2
3
b
a
b
a
c) 
=
3
4
3
2
xy
y
x
d) 
=
×
4
6
9
27
2
e) 
=
×
×
4
3
3
1
5
3
b
b
b
f) 
=
4
6
25
.
5
125
.
3
33.
Quando 
3
2
-
=
x
, o valor numérico da expressão 
2
3
2
-
-
x
x
 é:
a) 0
b) 1
c) –1
d) 
3
1
e) 
3
2
-
34.
Se 
6
3
=
x
 e 
3
9
=
y
:
a) x é o dobro de y;
b) 
1
=
-
y
x
c) 
y
x
=
d) y é o triplo de x;
e) 
1
=
+
y
x
35. Racionalize as frações:
a) 
x
1
b) 
4
x
2
+
c) 
x
1
3
-
d) 
3
x
4
Respostas dos Exercícios
1ª Questão:
	a)
	36
	h)
	
16
81
	o)
	
25
9
	b)
	36
	i)
	
16
81
	
	
	c)
	–36
	j)
	
8
27
-
	
	
	d)
	–8
	k)
	0
	
	
	e)
	–8
	l)
	1
	
	
	f)
	1
	m)
	1
	
	
	g)
	1
	n)
	-1
	
	
2ª Questão:
	
	d)
3ª Questão:
	a)
	
2
6
3
c
b
a
	b)
	
8
x
4ª Questão:
	
	a)
5ª Questão:
	
	
4
65
 
 
A
=
6ª Questão:
	
	a)
7ª Questão:
	
	
 
9
73
8ª Questão: 
	a)
	0,125
	b)
	0,01
	c)
	0,25
9ª Questão:
	a)
	
10
a
	d)
	
4
3y
8x
	g)
	
6
8x
	j)
	
6
2
8
b
4a
25x
	b)
	
5
a
	e)
	
4
81x
	h)
	
9
6
b
a
 
125
	k)
	
8
a
 
81
	c)
	
3
8
c
b
a
 
4
	f)
	
15
x
	i)
	
8
4
b
a
 
81
	
	
10ª Questão:
	
	
36
25
 
 
a
=
11ª Questão:
	a)
	E = 3n
	b)
	F = 2n –3 
	c)
	G = 5 n + 4 . 2
	
	
12ª Questão:
	a)
	5
	c)
	6
	e)
	0
	g)
	-5
	b)
	3
	d)
	1
	f)
	7
	h)
	–2
	
	
	
	
	
	
	i)
	-1
13ª Questão:
	 a)
	
3
5
2
	c)
	
4
3
3
	e)
	
7
3
2
	g)
	
8
9
2
	b)
	
3
2
5
	d)
	
4
3
5
	f)
	
7
4
3
	h)
	
2
1
5
14ª Questão:
	a)
	2a
	d)
	
10
x
	g)
	
4
11
	j)
	
b
a
2
	b)
	
3
6ab
	e)
	
5
4a
5
	h)
	
2
4xy
	k)
	
3
2
yz
4x
	c)
	
2
ab
 
3
2
×
	f)
	
x
10
	i)
	
5
1
	
	
15ª Questão:
	a)
	
5
2
x
a
	c)
	
ab
a
×
	e)
	
3
2
6
×
	b)
	
c
b
a
2
	d)
	
x
a
2
5
	f)
	
5
16ª Questão:
	a)
	
10
1
	c)
	
3
2
	e)
	
10
9
	b)
	
4
1
-
	d)
	
10
1
-
	f)10
15
17ª Questão:
	a)
	
3
a
	b)
	
3
6
2
×
	c)
	
t
t
3
×
	d)
	
3
t
18ª Questão:
	a)
	
2
1
7
	c)
	
5
2
3
	e)
	
3
2
x
	b)
	
4
3
2
	d)
	
6
5
a
	f)
	
2
1
3
-
19ª Questão:
	a)
	
5
2
	c)
	
4
x
	e)
	
7
5
a
	g)
	
5
2
n
m
1
	b)
	
3
2
4
	d)
	
8
1
	f)
	
4
3
b
a
	h)
	
4
3
m
1
20ª Questão:
	
	c)
21ª Questão:
	
	
10
2
-
22ª Questão:
	a)
	
3
2
12
11
×
-
	b)
	
5
15
2
	c)
	
2
2
3
+
	d)
	
4
5
6
9
7
4
-
-
23ª Questão:
	a)
	
7
4
	c)
	
5
2
3
12
-
-
	e)
	
4
4
3
27
6
3
×
+
×
	g)
	
5
2
2
×
-
	b)
	
2
92
-
	d)
	
10
3
	f)
	
3
4
10
×
	h)
	
3
3
44
×
24ª Questão:
	a)
	
x
-
	c)
	
3
12
3
a
×
-
	e)
	
a
a
x
a
-
-
	g)
	
x
y
x
.
10
89
.
6
-
	b)
	
b
a
87
16
+
-
	d)
	
4
2
)
12
(
a
a
a
×
-
	f)
	
b
a
13
2
4
-
×
-
	h)
	
4
c
8
bc
×
-
25ª Questão:
	a)
	
m
25
-
	b)
	
m
31
	c)
	
m
65
-
	d)
	
m
71
26ª Questão:
	
	
a
2
y
-
27ª Questão:
	a)
	
7
8
	c)
	
3
3
13
×
	e)
	
5
4
3
×
	g)
	
2
4
	b)
	
2
14
	d)
	
10
12
 
	f)
	24
	h)
	1
	
	
	
	
	
	
	i)
	5
28ª Questão:
	a)
	
x
x
2
2
	b)
	28
	c)
	
x
x
y
)
2
7
(
-
29ª Questão:
	a)
	
x
x
a
)
(
+
	b)
	
a
a
a
)
1
2
3
(
2
-
+
	c)
	
2
5
+
x
	d)
	
)
(
4
a
b
a
-
30ª Questão:
	a)
	x
	d)
	
6
1
x
	g)
	
2
15
x
	j)
	
2
7
a
	b)
	
x
4
	e)
	x
	h)
	
3
 
5
a
	k)
	5b4
	c)
	
a
6
-
	f)
	x -7
	i)
	
 
4
3
a
	
	
31ª Questão:
	a)
	
b
a
3
8
×
	c)
	
5
4
x
 
	e)
	
12
a
a
×
	b)
	
3
2
4
2
x
a
ax
×
	d)
	
3
2
2
2
y
x
y
x
×
	f)
	
6
a
32ª Questão:
	a)
	
8
1
a
 
	c)
	
12
5
6
1
y
 
x
×
	e)
	
12
b
b
5
	b)
	
12
1
4
3
b
a
×
-
	d)
	2
	f)
	
5
3
33ª Questão:
	
	a)
34ª Questão:
	
	c)
35ª Questão:
	a)
	
x
x
	b)
	
4
x
4
2
x
2
-
-
	c)
	
x
1
x
3
3
-
+
	d)
	
x
x
4
3
2
×
�EMBED Equation.3���
O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.
Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Resultados possíveis
O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.
Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente� EMBED Equation.3 ���
A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)
Forma fatorada de 243
Forma fatorada de 144
Devemos fatorar 144
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Conservamos a base e somamos os expoentes.
� EMBED Equation.3 ���
PAGE 
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