2020331_121551_Matemática+Avançada+para+Engenharia+-+Vol+3+-+Zill_Cullen_calculo+complexo+(1)

Prévia do material em texto

8
C A P Í T U L O
Funções de Variáveis Complexas
Em disciplinas de álgebra elementar, você aprendeu a respeito da existência 
e algumas das propriedades de números complexos. Porém, em disciplinas 
como Cálculo é provável que você nunca tenha visto um número complexo. 
Cálculo introdutório consiste basicamente no estudo de funções de uma 
variável real. Em disciplinas avançadas, você pode ter utilizado números 
complexos ocasionalmente (veja as Seções 3.3 do Volume 1, 2.8 do 
Volume 2 e 1.2 deste volume). Entretanto, nos próximos quatro capítulos, 
introduziremos a análise complexa, isto é, o estudo de funções de uma 
variável complexa. Apesar de existirem similaridades entre essa análise e a 
análise real, existem muitas diferenças interessantes e algumas surpresas.
Descrição do capítulo
 8.1 Números complexos
 8.2 Potências e raízes
 8.3 Conjuntos no plano complexo
 8.4 Funções de uma variável complexa
 8.5 Equações de Cauchy-Riemann
 8.6 Funções exponenciais e logarítmicas
 8.7 Funções trigonométricas e hiperbólicas
 8.8 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas
 Exercícios de revisão
248 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
 8.1 Números complexos
Introdução � Com certeza você se deparou com números complexos em disci-
plinas anteriores de matemática. Quando você aprendeu pela primeira vez a resol-
ver uma equação quadrática ax2 � bx � c � 0 pela fórmula quadrática, você viu 
que as raízes da equação não são reais, ou seja, são complexas, quando o discri-
minante b2 – 4ac é negativo. Assim, equações simples tais como x2 � 5 � 0 e x2 
� x � 1 � 0 não têm soluções reais. Por exemplo, as raízes da última equação são 
 Se considerarmos , então as raí-
zes são escritas 
Uma definição � Duzentos anos atrás, quando os números complexos estavam 
ganhando alguma respeitabilidade na comunidade matemática, o símbolo i foi origi-
nalmente utilizado para substituir o símbolo embaraçoso Hoje, dizemos sim-
plesmente que i é a unidade imaginária, sendo definida pela propriedade i2 � �1. 
Utilizando a unidade imaginária, construímos um número complexo geral a partir de 
dois números reais.
Número complexo
Um número complexo é qualquer número da forma z � a � ib, onde a e b são 
números reais e i é unidade imaginária.
DEFINIÇÃO 8.1
 � Terminologia O número i na Definição 8.1 é denominado unidade imaginária. 
O número real x em z � x � iy é chamado de parte real de z; o número real y é cha-
mado de parte imaginária de z. As partes real e imaginária de um número complexo 
z são abreviadas como Re(z) e Im(z), respectivamente. Por exemplo, se z � 4 – 9i, 
então Re(z) � 4 e Im(z) � �9. Um múltiplo constante real da unidade imaginária é 
designado número imaginário puro. Por exemplo, z � 6i é um número imaginário 
puro. Dois números complexos são iguais se suas partes real e imaginária forem 
iguais. Como esse conceito simples é algumas vezes útil, formalizamos a última de-
claração na próxima definição.
Igualdade
Os números complexos z1 � x1 � iy1 e z2 � x2 � iy2 são iguais, z1 � z2, se Re(z1) 
� Re(z2) e Im(z1) � Im(z2).
DEFINIÇÃO 8.2
Um número complexo x � iy � 0 se x � 0 e y � 0.
Operações aritméticas � Números complexos podem ser somados, subtraídos, 
multiplicados e divididos. Essas operações são definidas a seguir, considerando z1 � 
x1 � iy1 e z2 � x2 � iy2.
Observe: A parte 
imaginária de z � 
4 – 9i é –9, e não –9i.
8.1 Números Complexos 249
As familiares leis comutativa, associativa e distributiva se aplicam aos números 
complexos.
Em vista dessas leis, não há necessidade de se memorizar as definições de adição, 
subtração e multiplicação. Para somar (subtrair) dois números complexos, simples-
mente somamos (subtraímos) as partes reais e imaginárias correspondentes. Para 
multiplicarmos dois números complexos, aplicamos a lei distributiva e o fato de que 
i2 � �1.
Exemplo 1 Adição e multiplicação
Se z1 � 2 � 4i e z2 � �3 � 8i, determine (a) z1 � z2 e (b) z1z2.
Solução � (a) Somando as partes real e imaginária dos dois números, obtemos
(b) Utilizando a lei distributiva, temos
 ❑
Não há também a necessidade de se memorizar a definição de divisão, porém, 
antes de discutirmos isso, precisamos introduzir outro conceito.
Conjugado � Se z for um número complexo, então o número obtido pela mudança 
de sinal da sua parte imaginária é chamado o complexo conjugado ou, simplesmen-
te, o conjugado de z. Se z � x � iy, então o seu conjugado é
Por exemplo, se z � 6 � 3i, então ; se z � –5 –i, então Se z 
for um número real, por exemplo, z � 7, então A partir da definição da adição, 
pode-se mostrar facilmente que o conjugado de uma soma de dois números comple-
xos é a soma dos conjugados:
Além disso, temos as três propriedades adicionais
As definições de adição e multiplicação mostram que a soma e o produto de um nú-
mero complexo z e seu conjugado são também números reais:
 (1)
 (2)
250 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
A diferença entre um número complexo z e seu conjugado é um número imaginário 
puro:
 (3)
Como x � Re(z) e y � Im(z), (1) e (3) resultam em duas fórmulas úteis:
Entretanto, (2) é a relação importante que nos permite aproximar a divisão de uma 
maneira mais prática: para dividir z1 por z2, multiplicamos tanto o numerador como o 
denominador de z1/z2 pelo conjugado de z2. Isso será ilustrado no próximo exemplo.
Exemplo 2 Divisão
Se z1 � 2 – 3i e z2 � 4 � 6i, calcule 
Solução � Nos dois itens desse exemplo, multiplicaremos o numerador e o deno-
minador pelo conjugado do denominador e então utilizaremos (2).
 
❑
Interpretação geométrica � Um número complexo z � x � iy é determinado uni-
camente por um par ordenado de números reais (x,y). A primeira e segunda entra-
das dos pares ordenados correspondem, respectivamente, às partes real e imaginária 
do número complexo. Por exemplo, o par ordenado (2, �3) corresponde ao número 
complexo z � 2 – 3i. De modo recíproco, z � 2 – 3i determina o par ordenado (2, 
�3). Dessa maneira, somos capazes de associar um número complexo z � x � iy 
com um ponto (x,y) em um plano coordenado. Porém, conforme vimos na Seção 1.1 
do Volume 2, um par ordenado de números reais pode ser interpretado como sendo as 
componentes de um vetor. Portanto, um número complexo z � x � iy pode também 
ser visto como um vetor cujo ponto inicial está na origem e cujo ponto terminal é 
(x,y). O plano coordenado ilustrado na Figura 8.1 é denominado plano complexo, ou 
simplesmente plano z. O eixo horizontal ou x é chamado de eixo real, e o eixo verti-
cal ou y é chamado de eixo imaginário. O comprimento de um vetor z, ou a distância 
a partir da origem para o ponto (x,y), é claramente A esse número real, é 
dado um nome especial.
Módulo ou valor absoluto
O módulo ou valor absoluto de z � x � iy, denotado por |z|, é o número real
 (4)
DEFINIÇÃO 8.3
Exemplo 3 Módulo de um número complexo
Se z � 2 – 3i, então ❑
y
x
z = x + iy
Figura 8.1 z como um vetor posição.
8.1 Números Complexos 251
Como a Figura 8.2 indica, a soma dos vetores z1 e z2 é o vetor z1 � z2. Para o 
triângulo apresentado na figura, sabemos que o comprimento do lado do triângulo 
correspondente ao vetor z1 � z2 não pode ser maior do que a soma dos dois lados 
restantes. Em termos de símbolos, isso significa
 (5)
O resultado em (5) é conhecido como desigualdade do triângulo e se aplica a qual-
quer soma finita:
 (6)
Aplicando (5) em z1 � z2 � (�z2), obtemos outra importante desigualdade:
 (7)
Observações
Muitas das propriedades do sistema real se aplicam ao sistema de números com-
plexos, porém existem algumas diferenças importantes. Por exemplo, não podemos 
comparar dois números complexos z1 � x1 � iy1, y1 � 0, e z2 � x2 � iy2, y2 � 0, por 
meio de desigualdades. Em outras palavras, definições tais como z1 � z2 e z2 � z1 não 
têm sentido exceto no caso para o qual os dois números z1 e z2 são reais. Podemos, 
entretanto, comparar os valores absolutos de dois números complexos. Assim, se z1 � 
3 � 4i e z2 � 5 – i, então|z1| � 5 e e consequentemente, |z1| � |z2|. Essa 
última desigualdade significa que o ponto (3,4) está mais próximo da origem do que 
o ponto (5,�1).
y
x
z1
z2
z1
z1 + z2
Figura 8.2 Soma de vetores.
EXERCÍCIOS 8.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 402.
Nos Problemas 1-26, escreva o número indicado na forma a � ib.
 1. 
 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 
 
14. 
 15. 
 
16. 
 17. 
 
18. 
 19. 
 
20. 
 21. 22. 
 23. 
 24. 
 25. 26. 
Nos Problemas 27-32, seja z � x � iy. Determine a expressão 
indicada.
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
Nos Problemas 33-36, use a Definição 8.2 para obter um número 
complexo z que satisfaça a equação indicada.
 33. 34. 
 35. 36. 
Nos Problemas 37 e 38, determine qual número complexo está 
mais próximo da origem.
 37. 38. 
 39. Prove que |z1 – z2| é a distância entre os pontos z1 e z2 no 
plano complexo.
 40. Mostre para todos os números complexos z no círculo x2 � 
y2 � 4 que |z � 6 � 8i| � 12.
252 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
 8.2 Potências e raízes
Introdução � Recorde de cálculo que um ponto (x,y) em coordenadas retangulares 
pode também ser escrito em termos de coordenadas polares (r, �). Veremos nessa 
seção que a possibilidade de expressar um número complexo z em termos de r e � 
facilita bastante a determinação de potências e raízes de z.
Forma polar � As coordenadas retangulares (x, y) e as coordenadas polares (r, �) 
estão relacionadas pelas equações x � r cos � e y � r sen � (veja a Seção 5.1). Assim, 
um número complexo não nulo z � x � iy pode ser escrito como z � (r cos �) � i(r 
sen �) ou
 (1)
Dizemos que (1) é a forma polar do número complexo z. Vemos a partir da Figura 
8.3 que a coordenada polar r pode ser interpretada como a distância a partir da origem 
para o ponto (x, y). Em outras palavras, adotamos a convenção de que r nunca seja 
negativa de modo que possamos tomar r como sendo o módulo de z, isto é, r � |z|. O 
ângulo de inclinação � do vetor z medido em radianos a partir do eixo real positivo é 
positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido no sentido 
horário. O ângulo � é denominado argumento de z e escrito como � � arg z. A partir 
da Figura 8.3, vemos que um argumento de um número complexo tem que satisfazer 
a equação tg � � y/x. As soluções dessa equação não são únicas, pois se �0 for um 
argumento de z, então necessariamente os ângulos �0 � 2�, �0 � 4�,..., são também 
argumentos. O argumento de um número complexo no intervalo �� � � � � é cha-
mado de argumento principal de z, sendo representado por Arg z. Por exemplo, Arg 
(i) � �/2.
Exemplo 1 Um número complexo na forma polar
Expresse em forma polar.
Solução � Com x � 1 e obtemos 
Agora, como o ponto se localiza no quarto quadrante, podemos tomar a 
solução de tg como sendo � � arg z � 5�/3. Decorre de (1) 
que uma forma polar do número é
Conforme vemos na Figura 8.4, o argumento de que se estende no intervalo 
(��, �], o argumento principal de z, é Arg z � � �/3. Logo, uma forma polar alter-
nativa do número complexo é
 
❑
Multiplicação e divisão � A forma polar de um número complexo é especialmente 
conveniente para ser utilizada na multiplicação e divisão de dois números complexos. 
Suponha
onde �1 e �2 são quaisquer argumentos de z1 e z2, respectivamente. Logo
 (2)
e para z2 � 0,
 (3)
y
x
r
θ
θ
θ
z = x + iy
r cos
r sen
Figura 8.3 Coordenadas polares.
y
x
1 – √
–�/3
5�/3
3i
Figura 8.4 Dois argumentos de z � 1 
� .
8.2 Potências e Raízes 253
A partir das fórmulas de adição da trigonometria, (2) e (3) podem ser reescritas, res-
pectivamente, como
 (4)
e
 
(5)
A inspeção de (4) e (5) mostra que
 
(6)
e
 
(7)
Exemplo 2 Argumento de um produto e de um quociente
Vimos que Arg z1 � �/2 para z1 � i. No Exemplo 1, vimos que Arg z2 � ��/3 para 
 Assim, para
decorre de (7) que
 
❑
No Exemplo 2, utilizamos os argumentos principais de z1 e z2 e obtivemos arg(z1z2) � 
Arg(z1z2) e arg(z1/z
2) � Arg(z1/z
2). É importante observar, no entanto, que isso foi uma 
coincidência. Apesar de (7) ser verdadeira para qualquer argumento de z1 e z2, não é 
verdade, em geral, que Arg(z1z2) � Arg z1 � Arg z2 e Arg(z1/z2) � Arg z1 � Arg z2. 
Veja o Problema 39 nos Exercícios 8.2.
Potências de � z Podemos determinar potências inteiras do número complexo z a 
partir dos resultados de (4) e (5). Por exemplo, se z � r(cos � � i sen �), então, com 
z1 � z e z2 � z, (4) resulta em
Como z3 � z2z, temos que
Além disso, como arg(1) � 0, segue-se de (5) que
Continuando dessa maneira, obtemos uma fórmula para a enésima potência de z para 
qualquer inteiro n:
 (8)
Exemplo 3 Potência de um número complexo
Calcule z3 para 
Solução � No Exemplo 1, vimos que
254 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Logo, a partir de (8) com r � 2, � � ��/3 e n � 3, obtemos
 ❑
Fórmula de De Moivre � Quando temos |z| � r � 1 e assim (8) 
resulta em
 (9)
Esse último resultado é conhecido como fórmula de De Moivre e é útil para a obten-
ção de determinadas identidades trigonométricas.
Raízes � Um número w é dito ser uma raiz enésima de um número complexo não 
nulo z se wn � z. Se adotarmos w � � (cos � � i sen �) e z � r (cos � � i sen �) como 
sendo as fórmulas polares de w e z, então, com base em (8), wn � z se torna
A partir disso, concluímos que �n � r ou � � r1/n e
Igualando as partes real e imaginária, obtemos dessa equação
Essas igualdades implicam que n� � � � 2k�, onde k é um inteiro. Assim,
Com k adquirindo valores inteiros sucessivos k � 0, 1, 2,..., n – 1, obtemos n raízes 
distintas com o mesmo módulo porém argumentos diferentes. Mas para k � n ob-
temos as mesmas raízes, pois seno e co-seno são periódicos em 2�. Para ver isso, 
suponha k � n � m, onde m � 0, 1, 2,.... Assim,
e portanto 
Resumiremos esse resultado. A enésima raiz de um número complexo não nulo z 
� r (cos � � i sen �) é dada por
 
(10)
onde k � 0, 1, 2,..., n – 1.
Exemplo 4 Raízes de um número complexo
Determine as três raízes cúbicas de z � i.
Solução � Com r � 1, � � arg z � �/2, a forma polar do número indicado é z � 
cos(�/2) � i sen(�/2). A partir de (10) com n � 3, obtemos
8.2 Potências e Raízes 255
Logo, as três raízes são
 
❑
A raiz w de um número complexo z obtida por meio do argumento principal de z 
com k � 0 é algumas vezes denominada enésima raiz principal de z. No Exemplo 4, 
como Arg (i) � �/2, é a terceira raiz principal de i.
Como as raízes indicadas por (8) têm o mesmo módulo, as n raízes de um nú-
mero complexo não nulo z se situa em um círculo de raio r1/n centrado na origem do 
plano complexo. Além disso, como a diferença entre os argumentos de quaisquer 
duas raízes sucessivas é 2�/n, as n raízes estão igualmente espaçadas nesse círculo. A 
Figura 8.5 apresenta as três raízes de i igualmente espaçadas em um círculo unitário; 
o ângulo entre as raízes (vetores) wk e wk�1 é 2�/3.
Como será mostrado no próximo exemplo, as raízes de um número complexo 
não têm que ser números “agradáveis” como no Exemplo 3.
Exemplo 5 Raízes de um número complexo
Determine as quatro raízes quartas de z � 1 � i.
Solução � Nesse caso, e � � arg z � �/4. De (10) com n � 4, obtemos
Assim,
 
❑
y
x
w2
w1 w0
Figura 8.5 Três raízes cúbicas de i.
EXERCÍCIOS 8.2 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 402.
Nos Problemas 1-10, escreva o número complexo indicado na 
forma polar.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 8. 
 9. 
 
10. 
Nos Problemas 11-14, escreva o número indicado em notação 
polar na forma a � ib.
 11. 
256 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
 12. 
 13. 
 14. 
Nos Problemas 15 e 16, determine z1z2 e z1/z2. Escreva o número 
na forma a � ib.
 15. 
 16. 
Nos Problemas 17-20, escreva cada número complexo na forma 
polar. A seguir, use (4) ou (5) para obter a forma polar do número 
indicado. Escreva a forma polar na forma a � ib.
 17. 18. 
 19. 
 
20.Nos Problemas 21-26, use (8) para calcular a potência indicada.
 21. 22. 
 23. 24. 
 25. 
 26. 
Nos Problemas 27-32, aplique (10) para calcular todas as raí-
zes. Esboce essas raízes em um círculo apropriado centrado na 
origem.
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
Nos Problemas 33 e 34, calcule todas as soluções da equação 
indicada.
 33. 34. 
Nos Problemas 35 e 36, escreva o número complexo indicado 
primeiro na forma polar e a seguir na forma a � ib.
 35. 
 36. 
 37. Utilize o resultado (cos � � i sen �)2 � cos 2� � i sen 2� 
para obter identidades trigonométricas para cos 2� e sen 
2�.
 38. Utilize o resultado (cos � � i sen �)3 � cos 3� � i sen 3� 
para obter identidades trigonométricas para cos 3� e sen 
3�.
 39. (a) Se z1 � �1 e z2 � 5i, verifique que Arg(z1z2) � Arg(z1) 
� Arg(z2)
(b) Se z1 � �1 e z2 � �5i, verifique que Arg(z1/z2) � 
Arg(z1) � Arg(z2)
 40. Para os números complexos indicados no Problema 39, ve-
rifique nos itens (a) e (b) que
 e
 8.3 Conjuntos no plano complexo
Introdução � Nas seções anteriores, examinamos alguns fundamentos da álgebra 
e da geometria dos números complexos. Porém, apenas arranhamos a superfície do 
assunto conhecido como análise complexa; o impulso principal do nosso estudo está 
adiante. Nosso objetivo nas seções e capítulos que se seguem é examinar funções de 
uma única variável complexa z � x � iy, além do cálculo dessas funções.
Antes de introduzir a noção de uma função de uma variável complexa, precisa-
mos apresentar algumas definições e terminologias a respeito de conjuntos no plano 
complexo.
8.3 Conjuntos no Plano Complexo 257
Terminologia � Antes de discutir o conceito de funções de uma variável complexa, 
precisamos introduzir alguma terminologia essencial a respeito de conjuntos no plano 
complexo.
Considere z0 � x0 � iy0. Como é a distância 
entre os pontos z � x � iy e z0 � x0 � iy0, os pontos z � x � iy que satisfazem a 
equação
� 	 0, estão localizados em um círculo de raio � centrado no ponto z0. Veja a Figura 
8.6.
Exemplo 1 Círculos
(a) |z| � 1 é a equação de um círculo unitário centrado na origem.
(b) |z – 1 – 2i| � 5 é a equação de um círculo de raio 5 centrado em 1 � 2i. ❑
Os pontos z que satisfazem a desigualdade |z – z0| � �, � 	 0, estão localiza-
dos no interior (mas não no perímetro) de um círculo, de raio � centrado no ponto 
z0. Esse conjunto é denominado vizinhança de z0 ou um disco aberto. Um ponto 
z0 é dito ser um ponto interior de um conjunto S de um plano complexo quando 
existir alguma vizinhança de z0 que se estenda inteiramente dentro de S. Se todo 
ponto z de um conjunto S for um ponto interior, então S é um conjunto aberto. 
Veja a Figura 8.7. Por exemplo, a desigualdade Re(z) 	 1 define um plano metade 
à direita, que é um conjunto aberto. Todos os números complexos z � x � iy para 
os quais x 	 1 estão nesse conjunto. Se escolhermos, por exemplo, z0 � 1,1 � 2i, 
então uma vizinhança de z0 se localiza inteiramente no conjunto que é definido por 
|z – (1,1 � 2i)| � 0,05. Veja a Figura 8.8. Por outro lado, o conjunto S de pontos 
no plano complexo definido por Re(z) � 1 não é aberto, pois toda vizinhança de 
um ponto na reta x � 1 tem que conter pontos dentro de S e pontos fora de S. Veja 
a Figura 8.9.
x
y
|z – (1,1 + 2i)| < 0,05
z = 1,1 + 2i
x = 1
Figura 8.8 Vista ampliada do conjunto 
aberto de um ponto próximo de x � 1.
x
y
em S
fora de S
x = 1
Figura 8.9 Conjunto S não é aberto.
ρ
ρ|z – z0| =
z0
Figura 8.6 Círculo de raio �.
z0
Figura 8.7 Conjunto aberto.
258 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Exemplo 2 Conjuntos abertos
A Figura 8.10 ilustra alguns conjuntos abertos adicionais.
y
x x
y
x
y
x
y
(a) (b)
(d)(c)
Im(z) < 0
plano metade inferior
–1 < Re(z) < 1
faixa infinita
|z| > 1
exterior do círculo unitário
1 < |z| < 2
anel circular
 ❑
Figura 8.10 Quatro exemplos de conjuntos abertos.
O conjunto de números que satisfazem a desigualdade
tal como ilustrado na Figura 8.10(d), é também chamado de anel aberto.
Se toda vizinhança de um ponto z0 contiver ao menos um ponto que esteja em 
um conjunto S e ao menos um ponto que não esteja em S, então z0 é um ponto de 
contorno de S. O contorno de um conjunto S é o conjunto de todos os pontos de 
contorno de S. Para o conjunto de pontos definido por Re(z) � 1, os pontos na reta x 
� 1 são pontos de contorno. Os pontos no círculo |z – i| � 2 são pontos de contorno 
para o disco |z – i| � 2.
Se qualquer par de pontos z1 e z2 em um conjunto aberto S puder ser conectado 
por uma reta poligonal que se estenda inteiramente no conjunto, então o conjunto 
aberto S é dito ser conexo. Veja a Figura 8.11. Um conjunto conexo aberto é denomi-
nado domínio. Todos os conjuntos abertos na Figura 8.10 são conexos e portanto são 
domínios. O conjunto de números que satisfaz Re(z) � 4 é um conjunto aberto mas 
não é conexo, pois não é possível juntar pontos em qualquer lado da reta vertical x � 
4 por uma reta poligonal sem deixar o conjunto (tenha em mente que os pontos em x 
� 4 não estão no conjunto).
Uma região é um domínio no plano complexo com todos, alguns ou nenhum dos 
seus pontos de contorno. Como um conjunto conexo aberto não contém quaisquer 
pontos de contorno, ele é automaticamente uma região. Uma região contendo todos 
os seus pontos de contorno é dita ser fechada. O disco definido por |z – i| � 2 é um 
exemplo de uma região fechada, sendo referida como um disco fechado. Uma região 
pode ser nem aberta nem fechada; a região anular definida por 1 � |z – 5| � 3 contém 
apenas alguns dos seus pontos de contorno e, assim, não é aberta nem fechada.
z1
z2
Figura 8.11 Conjunto conexo.
8.4 Funções de Uma Variável Complexa 259
Observações
Muitas vezes na matemática a mesma palavra é utilizada em contextos inteiramente 
diferentes. Não confunda o conceito de “domínio” definido nessa seção com o con-
ceito de “domínio de uma função”.
EXERCÍCIOS 8.3 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 403.
Nos Problemas 1-8, esboce o gráfico da equação indicada.
 1. 2. 
 3. 
 4. 
 5. 6. 
 7. 8. 
Nos Problemas 9-22, esboce o conjunto de pontos no plano com-
plexo satisfazendo a desigualdade indicada. Determine se o con-
junto é um domínio.
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
 21. 22. 
 23. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satis-
faz |z � 1| � |z – i|.
 24. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satis-
faz |Re(z)| � |z|.
 25. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satis-
faz 
 26. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satis-
faz |z � i| � |z � i| � 1.
 8.4 Funções de uma variável complexa
Introdução � Um dos conceitos mais importantes na matemática é o de funções. 
Você deve se lembrar de disciplinas anteriores que uma função é um determinado 
tipo de correspondência entre dois conjuntos; mais especificamente, uma função f de 
um conjunto A para um conjunto B é uma regra de correspondência que determina 
para cada elemento em A um e somente um elemento em B. Se b for o elemento no 
conjunto B relacionado ao elemento a no conjunto A por f, dizemos que b é a imagem 
de a e escrevemos b � f (a). O conjunto A é denominado domínio da função f (porém 
não é necessariamente um domínio no sentido definido na Seção 8.3). O conjunto de 
todas as imagens em B é chamado de contradomínio da função. Por exemplo, supo-
nha que o conjunto A seja um conjunto de números reais definidos em 3 � x � 
 e 
que a função seja dada por então f (3) � 0, f (4) � 1, e 
assim por diante. Em outras palavras, o contradomínio de f é o conjunto dado por 0 
� y � 
. Como A é um conjunto de números reais, dizemos que f é uma função de 
uma variável real x.
Funções de uma variável complexa � Quando o domínio A na definição anterior de 
função for um conjunto de números complexos z, dizemos naturalmente que f é uma 
função de uma variável complexa z ou uma função complexa. A imagem w de um 
número complexo zserá algum número complexo u � iv, isto é,
 (1)
onde u e v são as partes real e imaginária de w, sendo funções de valores reais. Ine-
rente à definição matemática (1) está o fato de que não podemos traçar um gráfico de 
260 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
uma função complexa w � f (z), pois um gráfico exigiria quatro eixos em um sistema 
de quatro dimensões.
A seguir temos alguns exemplos de funções de uma variável complexa:
Cada uma dessas funções pode ser escrita na forma (1). Por exemplo,
Assim, u(x, y) � x2 – y2 – 4x, e v(x,y) � 2xy – 4y.
Apesar de não ser possível traçar um gráfico, uma função complexa w � f (z) 
pode ser interpretada como um mapeamento ou transformação do plano z para o 
plano w. Veja a Figura 8.12.
Exemplo 1 Imagem de uma reta vertical
Determine a imagem da reta Re(z) � 1 sob o mapeamento f(z) � z2.
Solução � Para a função f (z) � z2, temos u(x,y) � x2 – y2 e v(x,y) � 2xy. Portanto, 
Re(z) � x, e assim, pela substituição de x � 1 nas funções u e v, obtemos u � 1 – y2 e 
v � 2y. Essas são equações paramétricas de uma curva no plano w. Substituindo-se y 
� v/2 na primeira equação, elimina-se o parâmetro y e obtém-se u � 1 – v2/4. Em ou-
tras palavras, a imagem da reta na Figura 8.13(a) é a parábola apresentada na Figura 
8.13(b). ❑
No Capítulo 20, investigaremos em detalhes a ideia de f (z) como um mapea-
mento.
Deve-se notar que uma função complexa é completamente determinada pelas 
funções reais u e v. Isso significa que uma função complexa w � f (z) pode ser defi-
nida especificando-se arbitrariamente u(x, y) e v(x, y), embora u � iv não possa ser 
obtida por meio de operações familiares apenas sobre o símbolo z. Por exemplo, se 
u(x, y) � xy2 e v(x,y) � x2 – 4y3, então f(z) � xy2 � i(x2 – 4y3) é uma função de uma 
variável complexa. Para calcularmos, por exemplo, f (3 � 2i), substituímos x � 3 e y 
� 2 em u e v para obtermos f (3 � 2i) � 12 – 23i.
Funções complexas como fluxos � Podemos também interpretar uma função 
complexa w � f (z) como um fluxo de fluido bidimensional considerando o nú-
mero complexo f (z) como um vetor baseado no ponto z. O vetor f (z) especifica a 
velocidade e o sentido do fluxo em um determinado ponto z. As Figuras 8.14 e 8.15 
apresentam os fluxos correspondentes às funções complexas f1(z) � e f2(z) � z
2, 
respectivamente.
Se x(t) � iy(t) for uma representação paramétrica para o caminho de uma partí-
cula no fluxo, o vetor tangente T � x¿(t) � iy¿(t) tem que coincidir com f(x(t) � iy(t)). 
Quando f (z) � u(x,y) � iv(x,y), o caminho da partícula tem que satisfazer o sistema 
de equações diferenciais
y v
x u
z
w
(a) plano z (b) plano w
domínio de f
contrado-
mínio de f
w = f (z)
Figura 8.12 Mapeamento do plano z 
para o plano w.
y
x u
v
u = 1 – v2/4
x = 1
(a) plano z (b) plano w
Figura 8.13 A imagem de x � 1 é uma 
parábola.
y
x
Figura 8.15 f2(z) � z
2 (normalizada).
y
x
i
–i
Figura 8.14 f1(z) � (normalizada)
8.4 Funções de Uma Variável Complexa 261
Chamamos a família de soluções desse sistema como linhas de fluxo do fluxo asso-
ciado a f (z).
Exemplo 2 Linhas de fluxo
Determine as linhas de fluxo associadas às funções complexas (a) f1(z) � e (b) f2(z) 
� z2.
Solução � (a) As linhas de fluxo que correspondem a f1(z) � x – iy satisfazem o 
sistema
e portanto x(t) � c1e
t e y(t) � c2e
-t. Multiplicando essas duas equações paramétri-
cas, vemos que o ponto x(t) � iy(t) se localiza na hipérbole xy � c1c2.
(b) Para obter as linhas de fluxo que correspondem a f2(z) � (x
2 – y2) � i2xy, observe 
que dx/dt � x2 – y2, dy/dt � 2xy, e assim
Essa equação diferencial homogênea tem a solução x2 � y2 � c2y, uma família de 
círculos que têm centros no eixo y e que passam pela origem. ❑
Limites e continuidade � A definição de um limite de uma função complexa f (z) 
quando z → z0 tem a mesma aparência externa do limite para variáveis reais.
Limite de uma função
Suponha que a função f seja definida em alguma vizinhança de z0, exceto possivel-
mente no próprio z0. Então f é dito possuir um limite em z0, escrito como
se, para cada � 	 0, existir um � 	 0 tal que |f (z) – L| � � sempre que 0 � |z – z0| 
� �.
DEFINIÇÃO 8.4
Em palavras, limz→z0 f (z) � L significa que os pontos f(z) podem estar arbitraria-
mente próximos do ponto L se escolhermos o ponto z suficientemente próximo, mas 
não igual, ao ponto z0. Conforme indicado na Figura 8.16, para cada vizinhança � de 
L (definida por |f (z) – L| � �), existe uma vizinhança � de z0 (definida por |z – z0| � 
�) de modo que as imagens de todos os pontos z � z0 nessa vizinhança se localizam 
na vizinhança � de L.
A diferença fundamental entre essa definição e o conceito de limite em variáveis 
reais está no significado de z → z0. Para uma função f de uma única variável real x, 
limx→x0 f (x) � L significa que f (x) se aproxima de L quando x se aproxima de x0 a 
partir da direita de x0 ou a partir da esquerda de x0 na reta de números reais. Porém, 
como z e z0 são pontos no plano complexo, quando dizemos que limz→z0 f (z) existe, 
isso significa que f (z) se aproxima de L quando os pontos z se aproximam de z0 a 
partir de qualquer direção.
O teorema a seguir resumirá algumas propriedades dos limites:
y v
x u
D
L
z
(a) vizinhança � (b) vizinhança �
z0
f (z)
�
�
Figura 8.16 Significado geométrico de 
um limite complexo.
262 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Limite da soma, produto e 
quociente
Considere limz→z0 f (z) � L1 e limz→z0 g(z) � L2. Então:
 (i) 
 (ii) 
 (iii) 
TEOREMA 8.1
Continuidade em um ponto
Uma função f é contínua em um ponto z0 se 
DEFINIÇÃO 8.5
Como consequência do Teorema 8.1, se duas funções f e g forem contínuas em 
um ponto z0, então a soma e o produto delas serão contínuas em z0. O quociente das 
duas funções será contínuo em z0 desde que g(z0) � 0.
Uma função f definida por
 (2)
onde n é um inteiro não negativo e os coeficientes ai, i � 0, 1,..., n, são constantes 
complexas, é chamada função polinomial de grau n. Apesar de não demonstrarmos 
isso, o resultado do limite indica que a função polinomial simples f(z) � 
z é contínua em todos os lugares – isto é, em todo o plano z. Com esse resultado em 
mente e com aplicações repetidas de (ii) e (i) do Teorema 8.1, temos que uma função 
polinomial (2) é contínua em qualquer lugar. Uma função racional
onde g e h são funções polinomiais, é contínua exceto naqueles pontos nos quais h(z) 
é zero.
Derivada � A derivada de uma função complexa é definida em termos de um limi-
te. O símbolo �z usado na definição a seguir corresponde ao número complexo �x 
� i�y.
Derivada
Considere a função complexa f definida em uma vizinhança de z0. A derivada de 
f em z0 é
 
(3)
desde que o limite exista.
DEFINIÇÃO 8.6
Se o limite em (3) existir, a função f é dita ser diferenciável em z0. A derivada de 
uma função w � f (z) é também escrita dw/dz.
Do mesmo modo que em variáveis reais, diferenciação implica continuidade:
Se f for diferenciável em z0, então f é contínua em z0.
8.4 Funções de Uma Variável Complexa 263
Além disso, as regras de diferenciação são as mesmas do cálculo com variáveis 
reais. Se f e g forem diferenciáveis em um ponto z, e c for uma constante complexa, 
então:
 
(4)
 
(5)
 
(6)
 
(7)
 
(8)
A regra usual para a diferenciação de potências de z também é válida:
 
(9)
Exemplo 3 Utilizando as regras da diferenciação
Diferencie 
Solução � (a) Utilizando a regra da potência (9) junto com a regra da soma (5), 
obtemos
(b) A partir da regra do quociente (7),
 
❑
Para que uma função complexa f seja diferenciável em um ponto z0, 
 tem que aproximar do mesmo número complexo a partir de 
qualquer direção. Assim, no estudo de variáveis complexas, garantir a diferenciação de 
uma função é mais importante do que para variáveis reais. Se uma função complexa for 
composta, tal como f(z) � x � 4iy, existe uma boa chance dela não ser diferenciável.
Exemplo 4 Uma função que não é diferenciável em nenhum lugar
Mostre que afunção f (z) � x � 4iy não é diferenciável em nenhum lugar.
Solução � Com �z � �x � i�y, temos
e assim
 
(10)
Agora, se adotarmos �z → 0 ao longo de uma reta paralela ao eixo x, então �y � 
0 e o valor de (10) é 1. Por outro lado, se considerarmos �z → 0 ao longo de uma reta 
paralela ao eixo y, então �x � 0 e o valor de (10) é visto como sendo (4). Portanto, 
f (z) � x � 4iy não é diferenciável em nenhum ponto z. ❑
264 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Funções analíticas � As exigências para diferenciação são severas. No entanto, 
existe uma classe de funções de grande importância cujos membros satisfazem exi-
gências ainda mais severas. Essas funções são denominadas funções analíticas.
Analiticidade em um ponto
Uma função complexa w � f (z) é analítica em um ponto z0 se f for diferenciável 
em z0 e em todo ponto em alguma vizinhança de z0.
DEFINIÇÃO 8.7
Uma função f é analítica em um domínio D se ela for analítica em todo ponto em D.
O estudante deve ler a Definição 8.7 atentamente. Analiticidade em um ponto é 
uma propriedade de vizinhança. Analiticidade em um ponto não é, portanto, o mesmo 
que diferenciabilidade em um ponto. Deixa-se como exercício mostrar que a função 
f (z) � |z|2 é diferenciável em z � 0 mas não em qualquer outro ponto. Consequen-
temente, f (z) � |z|2 não é analítica em nenhum ponto. Contrastando, o polinômio 
simples f (z) � z2 é analítico em todos os lugares. Uma função que é analítica em 
qualquer ponto z é uma função completa. Funções polinomiais são diferenciáveis em 
qualquer ponto z, e portanto são funções complexas.
Observações
Recorde da álgebra que um número c é um zero de uma função polinomial se e so-
mente se x – c for um fator de f(x). O mesmo resultado se aplica para a análise com-
plexa. Por exemplo, como f (z) � z4 � 5z2 � 4 � (z2 � 1)(z2 � 4), os zeros de f são –i, 
i, �2i e 2i. Assim, f (z) � (z � i)(z – i)(z � 2i)(z – 2i). Além disso, a fórmula quadrá-
tica é também válida. Por exemplo, utilizando essa fórmula, podemos escrever
Veja os Problemas 21 e 22 nos Exercícios 8.4.
EXERCÍCIOS 8.4 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 403.
Nos Problemas 1-6, determine a imagem da reta indicada sob o 
mapeamento f (z) � z2.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
Nos Problemas 7-14, expresse a função indicada na forma f (z) 
� u � iv.
 7. 
 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
Nos Problemas 15-18, calcule a função dada nos pontos indicados.
 15. 
 16. 
 17. 
 18. 
Nos Problemas 19-22, o limite indicado existe. Determine o seu 
valor.
 19. 
 20. 
8.5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 265
 8.5 Equações de Cauchy-Riemann
Introdução � Na seção anterior, vimos que uma função f de uma variável comple-
xa z é analítica em um ponto z quando f for diferenciável em z e em qualquer ponto 
em alguma vizinhança de z. Essa condição é mais severa do que simplesmente dife-
renciabilidade em um ponto, pois uma função complexa pode ser diferenciável em 
um ponto z e em mais nenhum ponto. Uma função f é analítica em um domínio D se 
f for diferenciável em todos os pontos em D. Desenvolveremos agora um teste para 
analiticidade de uma função complexa f(z) � u(x,y) � iv(x,y).
Uma condição necessária para analiticidade � No próximo teorema, veremos que 
se uma função f (z) � u(x,y) �iv(x,y) for diferenciável em um ponto z, então as fun-
ções u e v têm que satisfazer um par de equações que relaciona suas derivadas parciais 
de primeira ordem. Isso resulta em uma condição necessária para a analiticidade.
Equações de Cauchy-Riemann
Suponha f (z) � u(x,y) � iv(x,y) diferenciável em um ponto z � x � iy. Então, em 
z, as derivadas parciais de primeira ordem de u e v existem e satisfazem as equa-
ções de Cauchy-Riemann
 
(1)
TEOREMA 8.2
Prova Como f ¿(z) existe, sabemos que
 
(2)
 21. 
 
22. 
Nos Problemas 23 e 24, mostre que o limite indicado não existe.
 23. 24. 
Nos Problemas 25 e 26, use (3) para obter a derivada indicada da 
função dada.
 25. 
 26. 
Nos Problemas 27-34, aplique (4)-(8) para determinar a derivada 
f ¿(z) para a função indicada.
 27. 
 28. 
 29. 
 30. 
 31. 32. 
 33. 
 
34. 
Nos Problemas 35-38, defina os pontos nos quais a função indi-
cada não será analítica.
 
35. 
 
36. 
 37. 
 
38. 
 39. Mostre que a função não é diferenciável em ne-
nhum lugar.
 40. A função f (z) � |z|2 é contínua em todo o plano complexo. 
Mostre, no entanto, que f é diferenciável somente no ponto 
z � 0. [Sugestão: Aplique (3) e considere dois casos, z � 0 
e z � 0. No segundo caso, considere que �z se aproxime de 
zero ao longo da reta paralela ao eixo x e a seguir que �z se 
aproxime de zero ao longo da reta paralela ao eixo y.]
Nos Problemas 41-44, determine as linhas de fluxo associadas à 
função complexa indicada.
 41. 42. 
 43. 44. 
Nos Problemas 45 e 46, utilize uma calculadora gráfica ou um 
computador para obter a imagem da parábola indicada sob o ma-
peamento f (z) � z2.
 45. 46. 
266 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Escrevendo f (z) � u(x,0) � iv(x,y) e �z � �x � i�y, temos a partir de (2)
 (3)
Como esse limite existe, �z pode se aproximar de zero a partir de qualquer direção 
conveniente. Em particular, se �z→0 horizontalmente, então �z � �x, e assim (3) 
se torna
 
(4)
Como f ¿(z) existe, os dois limites em (4) existem. Porém, por definição, os limites 
em (4) são as derivadas parciais primeiras de u e v em relação a x. Assim, mostramos 
que
 
(5)
Agora, se adotarmos �z→0 verticalmente, então �z � i�y e (3) se torna
 
(6)
que é o mesmo que
 
(7)
Igualando as partes real e imaginária de (5) e (7), obtemos o par de equações 
em (1). ❑
Se uma função complexa f(z) � u(x,y) � iv(x,y) for analítica por todo um domí-
nio D, então as funções reais u e v têm que satisfazer as equações de Cauchy-Riemann 
(1) em todo ponto em D.
Exemplo 1 Utilizando as equações de Cauchy-Riemann
O polinômio f (z) � z2 � z é analítico para todo z e f (z) � x2 – y2 � x � i(2xy �y). 
Assim, u(x,y) � x2 – y2 � x e v(x,y) � 2xy �y. Para qualquer ponto (x,y), vemos que 
as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
 
❑
Exemplo 2 Utilizando as equações de Cauchy-Riemann
Mostre que a função f (z) � (2x2 � y) � i(y2 – x) não é analítica em qualquer ponto.
Solução � Identificamos u(x,y) � 2x2 � y e v(x,y) � y2 – x. Agora a partir de
 
vemos que �u/�y � ��v/�x, mas que a igualdade �u/�x � �v/�y é satisfeita somente 
na reta y � 2x. Entretanto, para qualquer ponto z na reta, não há nenhuma vizinhança 
ou disco aberto próximo de z no qual f é diferenciável. Concluímos que f não é analí-
tica em nenhum lugar. ❑
8.5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 267
Por si só, as equações de Cauchy-Riemann não são suficientes para garantir ana-
liticidade. Entretanto, quando adicionamos a condição de continuidade para u e v e 
as quatro derivadas parciais, pode-se mostrar que as equações de Cauchy-Riemann 
implicam analiticidade. A demonstração é longa e complicada, e portanto apresenta-
remos apenas o resultado.
Critério para analiticidade
Suponha as funções reais u(x,y) e v(x,y) contínuas e tendo derivadas parciais de 
primeira ordem contínuas em um domínio D. Se u e v satisfizerem as equações de 
Cauchy-Riemann em todos os pontos de D, então a função complexa f (z) � u(x,y) 
� iv(x,y) é analítica em D.
TEOREMA 8.3
Exemplo 3 Utilizando o Teorema 8.3
Para a função , temos
Em outras palavras, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, exceto no ponto 
onde x2 � y2 � 0, isto é, em z � 0. Concluímos a partir do Teorema 8.3 que f é analí-
tica em qualquer domínio que não contenha o ponto z � 0. ❑
Os resultados em (5) e (7) foram obtidos sob a consideração básica de que f era 
diferenciável no ponto z. Em outras palavras, (5) e (7) nos dão uma fórmula para 
calcular f ¿(z):
 
(8)
Por exemplo, sabemos que f (z) � z2 é diferenciável para todo z. Com u(x,y) � x2 – y2, 
�u/�x � 2x, v(x,y) � 2xy e �v/�x � 2y, vemos que
Recorde que analiticidade implica diferenciabilidade, mas a recíprocanão é verda-
deira. O Teorema 8.3 tem um análogo que apresenta condições suficientes para a 
diferenciabilidade:
Se as funções reais u(x,y) e v(x,y) são contínuas e têm derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas em uma vizinhança de z, e se u e v 
satisfizerem as equações de Cauchy-Riemann no ponto z, então a função 
complexa f (z) = u(x,y) + iv(x,y) é diferenciável em z, e f ¿(z) é dada por (8).
A função f (z) � x2 – y2i não é analítica em nenhum lugar. Com as identificações 
u(x,y) � x2 e v(x,y) � �y2, vemos a partir de
que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas quando y � �x. Porém, 
como as funções u, �u/�x, �u/�y, v, �v/�x e �v/�y são contínuas em todos os pontos, 
temos que f é diferenciável na reta y � �x, sendo que (8) define a derivada f ¿(z) � 
2x � �2y.
Funções harmônicas � Vimos no Capítulo 4 que a equação de Laplace �2u/�x2 � 
�
2u/�y2 � 0 ocorre em certos problemas que envolvem temperaturas de regime per-
manente. Essa equação diferencial parcial também desempenha um importante papel 
Importante.
268 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
em muitas áreas da matemática aplicada. De fato, conforme veremos, as partes real 
e imaginária de uma função analítica não podem ser escolhidas arbitrariamente, pois 
tanto u quanto v têm que satisfazer a equação de Laplace. É essa ligação entre funções 
analíticas e a equação de Laplace que torna as variáveis complexas tão essenciais no 
estudo da matemática aplicada.
Funções harmônicas
Uma função de valor real �(x,y) que tenha derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas em um domínio D e que satisfaça a equação de Laplace é dita ser har-
mônica em D.
DEFINIÇÃO 8.8
Uma fonte de funções harmônicas
Suponha f (z) � u(x,y) � iv(x,y) analítica em um domínio D. Assim, as funções 
u(x,y) e v(x,y) são funções harmônicas.
TEOREMA 8.4
Demonstração Nessa demonstração, consideraremos que u e v têm derivadas par-
ciais de segunda ordem contínuas. Como f é analítica, as equações de Cauchy-Rie-
mann são satisfeitas. Diferenciando ambos os lados de �u/�x � �v/�y em relação a x e 
diferenciando ambos os lados de �u/�y � ��v/�x em relação a y, obtemos
Considerando continuidade, as derivadas parciais trocadas são iguais. Portanto, adi-
cionando essas duas equações temos
Isso mostra que u(x,y) é harmônica.
Agora diferenciando ambos os lados de �u/�x � �v/�y em relação a y e diferen-
ciando ambos os lados de �u/�y � ��v/�x em relação a x, e subtraindo, obtemos
 
❑
Funções harmônicas conjugadas � Se f (z) � u(x,y) � iv(x,y) for analítica em um 
domínio D, então u e v são harmônicas em D. Suponha agora que u(x,y) seja uma 
função harmônica em D. É possível então obter outra função v(x,y) que seja harmôni-
ca em D de modo que u(x,y) � iv(x,y) seja uma função analítica em D. A função v é 
chamada função harmônica conjugada de u.
Exemplo 4 Função harmônica/função harmônica conjugada
(a) Verifique que a função u(x,y) � x3 –3xy2 – 5y é harmônica em todo o plano com-
plexo. (b) Obtenha a função harmônica conjugada de u.
Solução � (a) A partir das derivadas parciais
vemos que u satisfaz a equação de Laplace:
8.5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 269
(b) Como a função harmônica conjugada v tem que satisfazer as equações de Cau-
chy-Riemann, temos que ter
 
(9)
A integração parcial da primeira equação de (9) em relação a y resulta em v(x,y) 
� 3x2y – y3 � h(x). A partir disso, temos
Substituir esse resultado na segunda equação de (9) resulta em h¿(x) � 5, e portanto 
h(x) � 5x � C. Consequentemente, a função harmônica conjugada de u é v(x,y) � 
3x2y – y3 � 5x � C. A função analítica é
 ❑
Observações
Suponha que u e v sejam funções harmônicas que compreendem as partes real e ima-
ginária de uma função analítica f (z). As curvas de nível u(x,y) � c1 e v(x,y) � c2 
definidas por essas funções formam duas famílias de curvas ortogonais. (Veja o Pro-
blema 32 nos Exercícios 8.5.) Por exemplo, as curvas de nível geradas pela função 
analítica simples f (z) � z � x � iy são x � c1 e y � c2. A família de retas verticais 
definidas por x � c1 é claramente ortogonal à família de retas horizontais definidas 
por y � c2. Em eletrostática, se u(x,y) � c1 define as curvas equipotenciais, então a 
outra (e ortogonal) família v(x,y) � c2 define as linhas de força.
EXERCÍCIOS 8.5 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 404.
Nos Problemas 1 e 2, a função indicada é analítica para todo z. 
Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em 
todos os pontos.
 1. 2. 
Nos Problemas 3-8, mostre que a função indicada não é analítica 
em qualquer ponto.
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 
 8. 
Nos Problemas 9-14, utilize o Teorema 8.3 para mostrar que a 
função indicada é analítica em um domínio apropriado.
 9. 
 10. 
 11. 
 12. 
 13. 
 
14. 
Nos Problemas 15 e 16, determine constantes reais a, b, c e d de 
modo que a função indicada seja analítica.
 15. 
 16. 
Nos Problemas 17-20, mostre que a função indicada não é ana-
lítica em qualquer ponto, porém é diferenciável ao longo da(s) 
curva(s) indicada(s).
 17. ; eixo x
 18. ; eixos coordenados
 19. ; eixos coorde-
nados
 20. 
 21. Utilize (8) para obter a derivada da função no Problema 9.
 22. Utilize (8) para obter a derivada da função no Problema 11.
270 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Nos Problemas 23-28, verifique que a função indicada u é har-
mônica. Determine v, a função harmônica conjugada de u. Forme 
a função analítica correspondente f (z) � u � iv.
 23. 24. 
 25. 
 26. 
 27. 
 28. 
 29. Esboce as curvas de nível u(x,y) � c1 e v(x,y) � c2 da função 
analítica f (z) � z2.
 30. Considere a função f (z) � 1/z. Descreva as curvas de nível.
 31. Considere a função f(z) � z � 1/z. Descreva a curva de nível 
v(x,y) � 0.
 32. Suponha que u e v sejam funções harmônicas formando as 
partes real e imaginária de uma função analítica. Mostre 
que as curvas de nível u(x,y) � c1 e v(x,y) � c2 são ortogo-
nais. [Sugestão: Considere o gradiente de u e o gradiente 
de v. Ignore o caso no qual o vetor gradiente é o vetor 
zero.]
 8.6 Funções exponenciais e logarítmicas
Introdução � Nessa e na próxima seção, examinaremos as funções exponencial, 
logarítmica, trigonométrica e hiperbólica de uma variável complexa z. Apesar das 
definições dessas funções complexas serem motivadas pelo análogo de suas variáveis 
reais, as propriedades dessas funções complexas resultam em algumas surpresas.
Função exponencial � Recorde que em variáveis reais a função exponencial f(x) � 
ex tem as propriedades
 (1)
Certamente queremos a definição da função complexa f (z) � ez, onde z � x � iy, 
reduza ex para y � 0 e que possua as mesmas propriedades de (1).
Já utilizamos uma função exponencial comum com um expoente imaginário 
puro. A fórmula de Euler
 (2)
desempenhou um papel importante na Seção 3.3 do Volume 1. Podemos estabelecer 
formalmente o resultado em (2) utilizando a série de Maclaurin para ex, substituindo 
x por iy e rearranjando os termos:
Para z � x � iy, é natural esperarmos que
e assim, de (2), 
Inspirados por esse resultado formal, apresentamos a seguinte definição:
Função exponencial
 (3)
DEFINIÇÃO 8.9
A função exponencial ez é também representada pelo símbolo exp z. Note que (3) se 
reduz para ex quando y � 0.
8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas 271
Exemplo 1 Valor complexo da função exponencial
Calcule e1,7 � 4,2i.
Solução � Com as identificações x � 1,7 e y � 4,2, e com o auxílio de uma calcu-
ladora, temos, arredondando para quatro casas decimais,
A partir de (3), temos ❑
As partes real e imaginária de ez, u(x,y) � excos y e v(x,y) � exsen y, são contí-
nuas e têm derivadas parciais primeira contínuas em todo ponto z do plano complexo. 
Além disso, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos do 
plano complexo:
A partir do Teorema 8.3, temos que f (z) � ez é analítica para todo z; em outras pala-
vras, f é uma função completa.
Demonstraremos que ez possui as duas propriedadesdesejadas indicadas em (1). 
Primeiro, a derivada de f é dada por (5) da Seção 8.5:
Conforme desejado, estabelecemos que
A seguir, se z1 � x1 � iy1 e z2 � x2 � iy2, então, pela multiplicação dos números com-
plexos e as fórmulas de adição da trigonometria, obtemos
Em outras palavras, (4)
Deixa-se como exercício demonstrar que
Periodicidade � Ao contrário da função real ex, a função complexa f(z) � ez é peri-
ódica como período complexo 2�i. Como e2�i � cos 2� � i sen2� � 1 e, em vista de 
(4), ez�2�i � eze2�i � ez para todo z, temos f(z�2�i) � f(z). Em decorrência dessa perio-
dicidade complexa, todos os valores possíveis de f(z) � ez são considerados em qualquer 
faixa horizontal infinita de largura 2�. Logo, se dividirmos o plano complexo em faixas 
horizontais definidas por (2n – 1)� � y � (2n � 1)�, n � 0, �1, �2,..., então, confor-
me ilustrado na Figura 8.17, para qualquer ponto z na faixa �� � y � �, os valores f(z), 
f(z � 2�i), f(z � 2�i), f(z � 4�i), e assim por diante, são os mesmos. A faixa �� � y 
� � é denominada região fundamental para a função exponencial f(z) � ez. O fluxo 
correspondente sobre a região fundamental está apresentado na Figura 8.18.
Forma polar de um número complexo � Na Seção 8.2, vimos que o número comple-
xo z poderia ser escrito na forma polar como z � r(cos � � i sen�). Como ei� � cos � 
� i sen �, podemos agora escrever a forma polar de um número complexo como
x
y
z + 4�i
z + 2�i
z – 2�i
3�i 
–3�i 
z
–�i
Figura 8.17 Os valores de f(z) � ez 
nos quatro pontos são os mesmos.
y
x
�i
–�i
Figura 8.18 Fluxo sobre a região fun-
damental.
272 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Por exemplo, em forma polar, z � 1 � i é 
Comentários � Em matemática aplicada, matemáticos e engenheiros frequente-
mente resolvem o mesmo problema de formas completamente diferentes. Considere, 
por exemplo, a solução do Exemplo 10 na Seção 3.8 do Volume 1. Nesse exemplo, 
utilizamos estritamente análise real para obter a corrente de regime permanente ip(t) 
em um circuito série RLC descrito pela equação diferencial
Engenheiros eletricistas muitas vezes resolvem problemas de circuitos tais como esse 
utilizando análise complexa. Para ilustrar, vamos primeiro representar a unidade ima-
ginária pelo símbolo j para evitar confusão com a corrente i. Como a corrente i 
está relacionada à carga q por i � dq/dt, a equação diferencial é igual a
Além disso, a tensão de alimentação E0 sen 	t pode ser substituída por Im(E0e
j	t), 
onde Im significa a “parte imaginária de”. Por causa dessa última forma, o método 
dos coeficientes indeterminados sugere que assumamos uma solução na forma de um 
múltiplo constante da exponencial complexa – isto é, ip(t) � Im(Ae
j	t). Substituímos 
essa expressão na última equação diferencial, utilizamos o fato de que q é uma anti-
derivada de i, e igualamos os coeficientes de ej	t:
A quantidade Z � R � j(L	 � 1/C	) é chamada de impedância complexa do cir-
cuito. Note que o módulo da impedância complexa, foi 
representado no Exemplo 10 da Seção 3.8 do Volume 1 pela letra Z e denominado 
impedância.
Agora, em forma polar, a impedância complexa é
Portanto, A � E0/Z � E0/(|Z|e
j�), e assim a corrente de regime permanente pode ser 
escrita como
O leitor é encorajado a verificar que essa última expressão é a mesma de (35) da Se-
ção 3.8 do Volume 1.
Função logarítmica � O logaritmo de um número complexo z � x � iy, z � 0, é 
definido como o inverso da função exponencial – isto é,
 (5)
Em (5), notamos que ln z não é definido para z � 0, pois não existe valor de w para o 
qual ew � 0. Para obter as partes real e imaginária de ln z, escrevemos w � u � iv e 
aplicamos (3) e (5):
A última igualdade implica x � eu cos v e y � eu sen v. Podemos resolver essas duas 
equações para u e v. Primeiro, elevando ao quadrado e somando as equações, obtemos
8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas 273
onde loge|z| representa o logaritmo natural real do módulo de z. Depois, para resolver 
em relação a v, dividimos as duas equações para obter
Essa última equação significa que v é um argumento de z, isto é, v � � � arg z. Po-
rém, como não há argumento único para um dado número complexo z � x � iy, se � 
for um argumento de z, então ele é � � 2n�, n � 0, �1, �2,....
Logaritmo de um número 
complexo
Para z � 0 e � � arg z,
 (6)
DEFINIÇÃO 8.10
Como está claramente indicado em (6), existem infinitos valores do logaritmo 
de um número complexo z. Isso não deve ser uma grande surpresa, pois a função 
exponencial é periódica.
Em cálculo real, logaritmos de números negativos não são definidos. Como o 
próximo exemplo mostrará, esse não é o caso em cálculo complexo.
Exemplo 2 Valores complexos da função logarítmica
Determine os valores de (a) ln (�2), (b) ln i e (c) ln (–1 – i)
Solução � (a) Com � � arg (�2) � � e loge|�2| � 0,6932, temos de (6)
(b) Com � � arg (i) � �/2 e loge|i| � loge1 � 0, temos a partir de (6) que
Em outras palavras, ln i � �i/2, �3�i/2, 5�i/2, �7�i/2, e assim por diante.
(c) Com � � arg(–1 – i) � 5�/4 e loge|–1 – i| � loge � 0,3466, temos de (6)
 
❑
Exemplo 3 Resolvendo uma equação exponencial
Determine todos os valores de z de modo que ez � � i.
Solução � A partir de (5), com o símbolo w substituído por z, temos z � ln( � 
i). Agora | � i| � 2 e tg � � 1/ implica arg( � i) � �/6. Assim, (6) resulta 
em
 
❑
Valor principal � É interessante notar que, como consequência de (6), o logaritmo 
de um número real positivo tem muitos valores. Por exemplo, em cálculo real, loge 
5 tem apenas um valor: loge 5 � 1,6094, enquanto que em cálculo complexo, ln 5 � 
274 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
1,6094 � 2n�i. O valor de ln 5 que corresponde a n � 0 é o mesmo do logaritmo 
real loge 5, sendo denominado valor principal de ln 5. Relembre que na Seção 8.2 
estipulamos que o argumento principal de um número complexo, escrito Arg z, se 
localiza no intervalo (��, �]. Em geral, definimos o valor principal de ln z como 
aquele logaritmo complexo que corresponde a n � 0 e � � Arg z. Para enfatizar o 
valor principal do logaritmo, adotaremos a notação Ln z. Em outras palavras,
 (7)
Como Arg z é único, existe somente um valor de Ln z para cada z � 0.
Exemplo 4 Valores principais
Os valores principais dos logaritmos no Exemplo 2 são indicados a seguir.
(a) Como Arg (�2) � �, precisamos apenas adotar n � 0 no resultado apresentado 
no item (a) do Exemplo 2:
(b) De modo similar, como Arg(i) � �/2, adotamos n � 0 no resultado do item (b) 
do Exemplo 2 para obter
(c) No item (c) do Exemplo 2, arg (–1 – i) � 5�/4 não é o argumento principal de z 
� –1 – i. O argumento de z que se localiza no intervalo (��, �] é Arg (–1 – i) � 
–3�/4. Logo, a partir de (7) temos
 
❑
Até esse ponto, evitamos utilizar a palavra função pela razão óbvia de que ln z 
definida em (6) não é uma função na interpretação estrita da palavra. Apesar disso, é 
comum escrevermos f (z) � ln z e nos referirmos a f (z) � ln z pela frase aparentemen-
te contraditória função de múltiplos valores. Apesar de não investigarmos os detalhes, 
(6) pode ser interpretada como um conjunto infinito de funções logarítmicas (sentido 
padrão da palavra). Cada função no conjunto é chamada ramo de ln z. A função f (z) 
� Ln z é então denominada ramo principal de ln z, ou função logarítmica prin-
cipal. Para minimizar a confusão, a partir de agora utilizaremos as palavras função 
logarítmica quando nos referirmos a f (z) � ln z ou f (z) � Ln z.
Algumas propriedades familiares da função logarítmica se aplicam ao caso com-
plexo:
 (8)
As equações (8) e (9) são interpretadas no sentido de que se valores forem determina-
dos para dois dos termos, então um valor correto será designado para o terceiro termo.
Exemplo 5 Propriedades dos logaritmos
Suponha z1 � 1 e z2 � �1. Então, se adotarmos ln z1 � 2�i e ln z2 � �i, obtemos
 
❑
Como (7) da Seção 8.2 não era válida quando arg z era substituído por Arg z, (8) 
também não é verdadeira, em geral, quando lnz é substituído por Ln z. Veja os Pro-
blemas 45 e 46 nos Exercícios 8.6.
8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas 275
Analiticidade � A função logarítmica f (z) � Ln z não é contínua em z � 0, pois 
f (0) não é definida. Além disso, f (z) � Ln z é descontínua em todos os pontos do eixo 
real negativo. Isso ocorre porque a parte imaginária da função, v � Arg z, é descon-
tínua somente nesses pontos. Para ver isso, suponha x0 sendo um ponto no eixo real 
negativo. Quando z → x0 a partir do plano metade superior, Arg z → �, enquanto que 
se z → x0 a partir do plano metade inferior, então Arg z → ��. Isso significa que f (z) 
� Ln z não é analítica no eixo real não positivo. Entretanto, f(z) � Ln z é analítica por 
todo o domínio D constituído por todos os pontos no plano complexo exceto aqueles 
no eixo real não positivo. É conveniente pensar D como o plano complexo a partir do 
qual o eixo real não positivo foi retirado. Como f(z) � Ln z é o ramo principal de ln 
z, o eixo real não positivo é referido como corte de ramificação para a função. Veja 
a Figura 8.19. Deixa-se como exercício mostrar que as equações de Cauchy-Riemann 
são satisfeitas por todo esse plano cortado e que a derivada de Ln z é dada por
 
(9)
para todo z em D.
A Figura 8.20 mostra w � Ln z como um fluxo. Note que o campo vetorial não é 
contínuo ao longo do corte de ramificação.
Potências complexas � Inspirados pela identidade xa � ea ln x em variáveis reais, 
podemos definir potências complexas de um número complexo. Se 
 for um número 
complexo e z � x � iy, então z
 é definida como
 (10)
Em geral, z
 tem múltiplos valores pois ln z tem também múltiplos valores. No en-
tanto, no caso especial quando 
 � n, n � 0, �1, �2,..., (10) tem valor único, pois 
existe apenas um valor para z2, z3, z�1 e assim por diante. Para ver isso, suponha 
 � 
2 e z � rei�, onde � é qualquer argumento de z. Então,
Se utilizarmos Ln z no lugar de ln z, então (10) retorna o valor principal de z
.
Exemplo 6 Potência complexa
Determine o valor de i2i.
Solução � Com z � i, arg z � �/2 e 
 � 2i, a partir de (9) temos
onde n � 0, �1, �2,.... A inspeção da equação mostra que i2 é real para todo valor 
de n. Como �/2 é o argumento principal de z � i, obtemos o valor principal de i2i 
para n � 0. Arredondando para quatro casas decimais, esse valor principal é i2i � 
e�� � 0,0043. ❑
y
x
i
–i
Figura 8.20 w � Ln z como um fluxo.
EXERCÍCIOS 8.6 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 404.
Nos Problemas 1-10, espresse ez na forma a � ib.
 1. 
 
2. 
 3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 7. 8. 
 9. 10. 
Nos Problemas 11 e 12, expresse o número indicado na forma 
a � ib.
 11. 12. 
Nos Problemas 13-16, use a Definição 8.9 para expressar a fun-
ção indicada na forma f (z) � u � iv.
 13. 14. 
y
x
corte de 
ramificação
Figura 8.19 Corte de ramificação para 
Ln z.
276 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
 15. 16. 
Nos Problemas 17-20, verifique o resultado indicado.
 17. 18. 
 19. 20. um inteiro
 21. Mostre que f (z) � ez não é analítica em nenhum lugar.
 22. (a) Use o resultado do Problema 15 para mostrar que 
 é uma função completa.
(b) Verifique que u(x,y) � é uma função harmônica.
Nos Problemas 23-28, expresse ln z na forma a � ib.
 23. 24. 
 25. 26. 
 27. 28. 
Nos Problemas 29-34, expresse Ln z na forma a � ib.
 29. 30. 
 31. 32. 
 33. 34. 
Nos Problemas 35-38, determine todos os valores de z que satis-
fazem a equação indicada.
 35. 36. 
 37. 38. 
Nos Problemas 39-42, determine todos os valores da quantidade 
dada.
 39. 40. 
 41. 42. 
Nos Problemas 43 e 44, determine o valor principal da quantida-
de dada. Expresse as respostas na forma a � ib.
 43. 44. 
 45. Se z1 � i e z2 � �1 � i, verifique que
 46. Determine dois números complexos z1 e z2 tais que
 47. Determine se a definição indicada é verdadeira.
(a) 
(b) 
(c) 
 48. As leis de expoentes se aplicam aos números complexos 
 e 
�:
 um inteiro
Entretanto, a última lei não é válida se n for um número 
complexo. Verifique que (ii)2 � i2i, mas (i2)i � i2i.
 49. Para números complexos z que satisfazem Re(z) 	 0, mos-
tre que (7) pode ser escrita como
 50. A função indicada no Problema 49 é analítica:
(a) Verifique que u(x,y) � loge(x
2 � y2) é uma função har-
mônica.
(b) Verifique que v(x,y) � tg�1(y/x) é uma função harmôni-
ca.
 8.7 Funções trigonométricas e hiperbólicas
Introdução � Nessa seção, definiremos funções trigonométricas e hiperbólicas 
complexas. De modo análogo às funções complexas ez e Ln z definidas na seção an-
terior, essas funções estarão de acordo com as suas contrapartidas reais para valores 
reais de z. Além disso, mostraremos que as funções trigonométricas e hiperbólicas 
complexas têm as mesmas derivadas e satisfazem muitas das mesmas identidades que 
as funções trigonométricas e hiperbólicas reais.
Funções trigonométricas � Se x for uma variável real, então temos da fórmula de 
Euler que
Subtraindo e a seguir somando essas equações, vemos que as funções reais sen x e cos 
x podem ser expressas como uma combinação de funções exponenciais:
 
(1)
8.7 Funções Trigonométricas e Hiperbólicas 277
Utilizando (1) como modelo, definimos agora o seno e o co-seno de uma variável 
complexa:
Seno e co-seno trigonométricos
Para qualquer número complexo z � x � iy,
 
(2)
DEFINIÇÃO 8.11
Como na trigonometria, definimos quatro funções trigonométricas adicionais em ter-
mos de sen z e cos z:
 
(3)
Quando y � 0, cada função em (2) e (3) se reduz à sua contraparte real.
Analiticidade � Como as funções exponenciais eiz e e�iz são funções completas, 
temos então que sen z e cos z são também funções complexas. Agora, conforme vere-
mos brevemente, sen z � 0 somente para números reais z � n�, n um inteiro, e cos z 
� 0 apenas para os números reais z � (2n � 1)�/2, n um inteiro. Portanto, tg z e sec 
z são analíticas exceto nos pontos z � (2n � 1)�/2, e cotg z e cosec z são analíticas 
exceto nos pontos z � n�.
Derivadas � Como (d/dz)ez � ez, a partir da regra da cadeia temos que (d/dz)eiz � 
ieiz e (d/dz)e�iz � �ie�iz. Assim,
De fato, mostra-se facilmente que as formas das derivadas das funções trigonométri-
cas complexas são as mesmas das funções reais. A seguir, resumimos os resultados.
 (4)
Identidades � As identidades trigonométricas familiares são também as mesmas 
para o caso complexo.
278 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Zeros � Para obter os zeros de sen z e cos z, precisamos expressar ambas as fun-
ções na forma u � iv. Antes de procedermos, recorde de cálculo que se y for real, 
então o seno e o co-seno hiperbólicos são definidos em termos das funções exponen-
ciais reais ey e e�y:
 
(5)
Agora, a partir da Definição 8.11 e da fórmula de Euler, obtemos, após simplificar-
mos,
Logo, a partir de (5), temos
 (6)
Deixa-se como exercício mostrar que
 (7)
De (6), (7) e cosh2y � 1 � senh2y, temos
 (8)
e (9)
Agora um número complexo é zero se e somente se |z|2 � 0. Portanto, se sen z � 0, 
então a partir de (8) temos que ter sen2x � senh2y � 0. Isso implica sen x � 0 e senh 
y � 0. Logo, x � n� e y � 0. Assim, os únicos zeros de sen z são os números reais z 
� n� � 0i � n�, n � 0, �1, �2,.... De modo similar, temos a partir de (9) que cos z 
� 0 apenas quando z � (2n � 1)�/2, n � 0, �1, �2,....
Exemplo 1 Valor complexo da função seno
A partir de (6), temos, com o auxílio de uma calculadora,
 ❑
Em trigonometria normal, estamos acostumados ao fato de que |sen x| � 1 e |cos x| 
� 1. A inspeção de (8) e (9) mostra que essas desigualdades não se aplicam para o seno 
e co-seno complexos, pois senh y pode variar de �
 a 
. Em outras palavras, é perfeita-
mente possível termos soluções para equações tais como cos z � 10.
Exemplo 2 Resolvendo uma equação trigonométrica
Resolva a equação cos z � 10.
Solução � A partir de (2), cos z � 10 é equivalente a (eiz � e�iz)/2 � 10. Multipli-
cando-se a última equação por eiz, obtém-se a equação quadráticaem eiz:
A partir da fórmula quadrática, temos Assim, para n � 0, 
�1, �2,..., temos Dividindo por i e utilizando 
 podemos expressar as soluções da equação 
indicada como z � 2n� � i loge(10 � ). ❑
8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas 279
Funções hiperbólicas � Definimos seno e co-seno hiperbólicos complexos de uma 
maneira análoga às definições reais apresentadas em (5):
Seno e co-seno hiperbólicos
Para qualquer número complexo z � x � iy,
 
(10)
DEFINIÇÃO 8.12
As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante hiperbólicas são definidas em 
termos de senh z e cosh z:
 
(11)
O seno e o co-seno hiperbólicos são funções completas, e as funções definidas 
em (11) são analíticas exceto nos pontos nos quais os denominadores são zero. É 
também fácil ver de (10) que
 
(12)
É interessante observar que, ao contrário do cálculo real, as funções trigonomé-
tricas e hiperbólicas estão relacionadas em cálculo complexo. Se substituirmos z por 
iz em todas as fórmulas de (10) e compararmos os resultados com (2), veremos que 
senh(iz) � i sen z e cosh (iz) � cos z. Essas equações nos permitem expressar sen z e 
cos z em termos de senh(iz) e cosh(iz), respectivamente. De modo similar, substituin-
do z por iz em (2), podemos expressar, respectivamente, senh z e cosh z em termos de 
sen(iz) e cos(iz). Resumimos os resultados a seguir:
 (13)
 (14)
Zeros � As relações ilustradas em (14) nos permitem obter identidades para as 
funções hiperbólicas utilizando resultados das funções trigonométricas. Por exemplo, 
para espressar senh z na forma u � iv, escrevemos senh z � �i sen(iz) na forma senh 
z � �i sen(�y � ix) e utilizamos (6):
Como sen(�y) � �sen y e cos(�y) � cos y, a equação anterior se simplifica para
 (15)
Similarmente, (16)
Decorre também diretamente de (14) que os zeros de senh z e cosh z são imaginários 
puros, sendo, respectivamente,
Periodicidade � Como sen x e cos x são periódicas em 2�, podemos demonstrar 
facilmente que sen z e cos z são também periódicas com o mesmo período real 2�. 
Por exemplo, a partir de (6), observe que
isto é, sen(z � 2�) � sen z. Exatamente da mesma maneira, segue-se de (7) que cos(z 
� 2�) � cos z. Além disso, as funções hiperbólicas senh z e cosh z têm o período 
imaginário 2�i. Esse último resultado decorre da Definição 8.12 e do fato de que ez é 
periódica com período 2�i, ou a partir de (15) e (16) e substituindo-se z por z � 2�i.
280 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
EXERCÍCIOS 8.7 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 404.
Nos Problemas 1-12, expresse a quantidade indicada na forma 
a � ib.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 
 
6. 
 7. 8. 
 9. 
 
10. 
 11. 
 
12. 
Nos Problemas 13 e 14, verifique o resultado indicado.
 13. 
 14. 
Nos Problemas 15-20, determine todos os valores de z que satis-
fazem a equação indicada.
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. 20. 
Nos Problemas 21 e 22, utilize a definição de igualdade de nú-
meros complexos para obter todos os valores de z que satisfazem 
a equação dada.
 21. 22. 
 23. Demonstre que 
 24. Demonstre que 
 25. Demonstre que 
 26. Demonstre que 
 27. Demonstre que 
 28. Demonstre que 
 29. Demonstre que 
 30. Demonstre que tg z � u � iv, onde
 31. Prove que tgh z é periódica com período �i.
 32. Prove que 
 8.8 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas
Introdução � Como funções de uma variável complexa z, vimos que as funções 
trigonométricas e hiperbólicas são periódicas. Consequentemente, essas funções não 
possuem inversas que sejam funções na interpretação estrita da palavra. As inversas 
dessas funções analíticas são funções de múltiplos valores. Conforme fizemos na Se-
ção 8.6 para a investigação da função logarítmica, retiraremos o adjetivo “múltiplos 
valores” em toda a discussão que se segue.
Seno inversa � A função seno inversa, escrita sen�1z ou arcsen z, é definida por
 (1)
A função seno inversa pode ser expressa em termos da função logarítmica. Para ver 
isso, aplicamos (1) e a definição da função seno:
A partir da última equação e da fórmula quadrática, obtemos então
 (2)
Note em (2) que não utilizamos o simbolismo comum pois sabemos da 
Seção 8.2 que (1 – z2)1/2 tem dois valores. Resolvendo (2) para w então resulta em
 (3)
8.8 Funções Trigonométricas e Hiperbólicas inversas 281
Procedendo de uma maneira similar, obtemos as inversas do co-seno e da tan-
gente como sendo
 (4)
 
(5)
Exemplo 1 Valores de uma função seno inversa
Determine todos os valores de 
Solução � A partir de (3), temos
Com a expressão anterior se torna
Esse resultado pode ser simplificado observando-se que loge( ) � loge(1/
( )) � � loge( ). Assim, para n � 0, �1, �2,...,
 
(6) ❑
Para obtermos valores particulares de, por exemplo, sen�1z, temos que escolher 
uma raiz específica de 1 – z2 e um ramo específico do logaritmo. Se escolhermos (1 
– ( )2)1/2 � (�4)1/2 � 2i e o ramo principal do logaritmo, então (6) resulta no valor 
único
Derivadas � As derivadas das três funções trigonométricas inversas consideradas 
anteriormente podem ser obtidas por diferenciação implícita. Para obter a derivada da 
função seno inversa w � sen�1z, iniciamos por diferenciar z � sen w:
Utilizando a identidade trigonométrica cos2w � sen2w � 1 (veja o Problema 28 nos 
Exercícios 8.7) na forma cos w � (1 – sen2w)1/2 � (1 – z2)1/2, obtemos
 (7)
De modo similar, temos que
 (8)
 (9)
282 CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas
Deve-se observar que as raízes quadradas utilizadas em (7) e (8) têm que ser consis-
tentes com as raízes quadradas utilizadas em (3) e (4).
Exemplo 2 Calculando uma derivada
Determine a derivada de 
Solução � No Exemplo 1, se usarmos então a mes-
ma raiz tem que ser utilizada em (7). O valor da derivada consistente com essa esco-
lha é indicado por
 
❑
Funções hiperbólicas inversas � As funções hiperbólicas inversas podem também 
ser escritas em termos de logaritmo. Resumimos esses resultados para seno, co-seno 
e tangente hiperbólicas inversas junto com suas derivadas:
 (10)
 (11)
 
(12)
 
(13)
 
(14)
 
(15)
Exemplo 3 Valores de um co-seno hiperbólico inverso
Determine todos os valores de cosh�1(�1),
Solução � A partir de (11) com z � �1, obtemos
Como loge1 � 0, temos para n � 0, �1, �2,...,
 ❑
EXERCÍCIOS 8.8 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 404.
Nos Problemas 1-14, determine todos os valores da quantidade 
indicada.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 Exercícios de Revisão 283
CAPÍTULO 8 EXERCÍCIOS DE REVISÃO As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 404.
Responda os Problemas 1-16 sem consultar o texto. Preencha os 
espaços ou responda verdadeiro/falso.
 1. Re((1 � i)10) � ____ e Im((1 � i)10) � ____.
 2. Se z for um ponto no terceiro quadrante, então está no 
____ quadrante.
 3. Se z � 3 � 4i, então _____
 4. i127 – 5i9 � 2i�1 � ____
 5. Se então |z| � _____
 6. Descreva a região definida por ____
 7. _____
 8. Se então Arg z � _____
 9. Se ez � 2i, então z � _____
 10. Se então z é um número imaginário puro. _____
 11. O valor principal de é _____
 12. Se então 
f (�1 � 2i) � _____
 13. Se as equações de Cauchy-Riemann forem satisfeitas em 
um ponto, então a função é necessariamente analítica nesse 
ponto. _____
 14. f (z) � ez é periódica com período _____
 15. Ln(�ie3) � _____
 16. f (z) � sen(x – iy) não é analítica em nenhum lugar. _____
Nos Problemas 17-20, escreva o número indicado na forma a � 
ib.
 17. 18. 
 19. 20. 
Nos Problemas 21-24, esboce o conjunto de pontos no plano 
complexo que satisfaz a desigualdade indicada.
 21. 22. 
 23. 24. 
 25. Veja as definições de seções cônicas em um texto de cálcu-
lo. Descreva agora o conjunto de pontos no plano complexo 
que satisfaz a equação |z – 2i| � |z � 2i| � 5.
 26. Considere z e w números complexos de modo que |z| � 1 e 
|w| � 1. Demonstre que
Nos Problemas 27 e 28, determine todasas soluções da equação 
indicada.
 27. 28. 
 29. Se f (z) � z24 – 3z20 � 4z12 – 5z6, calcule 
 30. Escreva na forma f(z) � 
u(x,y) � iv(x,y).
Nos Problemas 31 e 32, determine a imagem da reta x � 1 no 
plano w sob o mapeamento indicado.
 31. 
 32. 
Nos Problemas 33-36, determine todos os números complexos 
para os quais a declaração indicada é verdadeira.
 33. 34. 
 35. 36. 
 37. Mostre que a função f (z) � �(2xy � 5x) � i(x2 – 5y – y2) é 
analítica para todo z. Determine f ¿(z).
 38. Determine se a função
é diferenciável. Ela é analítica?
Nos Problemas 39 e 40, verifique a igualdade indicada.
 39. 
 40. 
9
C A P Í T U L O
Integração no Plano Complexo
Para definir uma integral de uma função complexa f, consideramos f definida 
ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo. Veremos nessa 
seção que a definição de uma integral complexa, suas propriedades e o 
método de cálculo são bastante similares àqueles referentes a uma integral 
de linha real no plano.
Descrição do capítulo
 9.1 Integrais de contorno
 9.2 Teorema de Cauchy-Goursat
 9.3 Independência do caminho
 9.4 Fórmulas integrais de Cauchy
 Exercícios de revisão
9.1 Integrais de Contorno 285
 9.1 Integrais de contorno
Introdução � Na Seção 3.8 do Volume 2, vimos que a definição da integral defi-
nida começa por uma função real y � f (x) definida em um intervalo [a, b] 
no eixo x. Como uma curva planar é o análogo bidimensional de um intervalo, ge-
neralizamos então a definição da integral definida para integrais de funções reais de 
duas variáveis definidas em uma curva C no plano cartesiano. Veremos nessa seção 
que uma integral complexa é definida de uma maneira muito similar àquela de uma 
integral de linha no plano cartesiano. No caso de você não ter estudado as Seções 3.8 
e 3.9 do Volume 2, recomenda-se a revisão dessas seções.
Uma definição � Integração no plano complexo é definida de um modo similar 
àquele de uma integral de linha em um plano. Em outras palavras, estaremos lidando 
com uma integral de uma função complexa f(z) definida ao longo de uma curva C no 
plano complexo. Essas curvas são definidas em termos de equações paramétricas x � 
x(t), y � y(t), a � t � b, onde t é um parâmetro real. Utilizando x(t) e y(t) como partes 
real e imaginária, podemos também descrever uma curva C no plano complexo por 
meio de uma função complexa de uma variável real t: z(t) � x(t) � iy(t), a � t � b. 
Por exemplo, x � cos t, y � sen t, 0 � t � 2�, descreve um círculo unitário centrado 
na origem. Esse círculo também pode ser descrito por z(t) � cos t � isen t, ou mesmo 
de modo mais compacto por z(t) � eit, 0 � t � 2�. As mesmas definições de curva 
suave, curva suave por partes, curva fechada e curva fechada simples indicadas na 
Seção 3.8 do Volume 2 se aplicam a essa discussão. Como antes, consideraremos a 
direção positiva em C correspondendo a valores crescentes de t. Em variáveis com-
plexas, uma curva suave por partes C é também chamada contorno ou caminho. 
Uma integral de f(z) em C é descrita como se o contorno C for 
fechado; ela é referida como integral de contorno ou integral de linha complexa.
 1. Considere f definida em todos os pontos de uma curva C definida por x � x(t), 
y � y(t), a � t � b.
 2. Divida C em n subarcos de acordo com a partição a � t0 � t1 �... � tn � b de 
[a, b]. Os pontos correspondentes na curva C são z0 � x0 � iy0 � x(t0) � iy(t0), 
z1 � x1 � iy1 � x(t1) � iy(t1),..., zn � xn � iyn � x(tn) � iy(tn). Adote �zk � zk – 
zk�1, k � 1, 2, …, n.
 3. Seja ||P|| a norma da partição – isto é, o valor máximo de |�zk|.
 4. Escolha um ponto em cada subarco.
 5. Forme o somatório 
f (z) � u(x ,y) � i v(x ,y)
Integral de contorno
Seja f definida em pontos de uma curva suave C, por sua vez definida por x � x(t), 
y � y(t), a � t � b. A integral de contorno de f ao longo de C é
 
(1)
DEFINIÇÃO 9.1
O limite em (1) existe se f for contínua em todos os pontos em C e se C for suave 
ou suave por partes. Consequentemente, daqui para frente consideraremos essas con-
dições como dadas.
C
zn –1
z
1
z
2
z
0
zn
z* n
z* 
1
z* 
2
286 CAPÍTULO 9 Integração no Plano Complexo
Um método de cálculo � Voltaremos agora para a questão do cálculo de uma inte-
gral de contorno. Para facilitar a discussão, vamos suprimir os subscritos e escrever 
(1) na forma abreviada
Isso significa (2)
Em outras palavras, uma integral de contorno é uma combinação de duas 
integrais de linha reais Agora, como x � x(t) e y 
� y(t), a � t � b, o lado direito de (2) é o mesmo que
Porém, se utilizarmos z(t) � x(t) � iy(t) para descrever C, o último resultado é o 
mesmo que quando separada em duas integrais. Assim, obtemos um 
meio prático de calcular uma integral de contorno:
Cálculo de uma integral de 
contorno
Se f for contínua em uma curva suave C dada por z(t) � x(t) � iy(t), a � t � b, 
então
 
(3)
TEOREMA 9.1
Se f for escrita em termos do símbolo z, então para calcular f(z(t)) simplesmente 
substitui-se o símbolo z por z(t). Se f não estiver escrita em termos de z, então para 
calcular f (z(t)) substitui-se x e y sempre que eles forem representados por x(t) e y(t), 
respectivamente.
Exemplo 1 Calculando uma integral de contorno
Calcule onde o contorno C é definido por x � 3t, y � t2, �1 � t � 4.
Solução � Escrevemos z(t) � 3t � it2 de modo que z¿(t) � 3 � 2it e 
 Assim,
 
❑
Exemplo 2 Calculando uma integral de contorno
Calcule onde o C é círculo x � cos t, y � sen t, 0 � t � 2�.
9.1 Integrais de Contorno 287
Solução � Nesse caso, 
Portanto,
 ❑
Para algumas curvas, a própria variável real x pode ser utilizada como parâmetro. 
Por exemplo, para calcular escrevemos 
 e integramos da maneira usual.
Propriedades � As seguintes propriedades de integrais de contorno são análogas às 
propriedades de integrais de linha:
Propriedades de integrais de 
contorno
Suponha f e g contínuas em um domínio D, e C sendo uma curva suave localizada 
inteiramente em D. Assim:
 (i) , k uma constante
 (ii) 
 (iii) , onde C é a união das curvas sua-
ves C1 e C2.
 (iv) , onde –C denota a curva tendo a orientação 
oposta à de C.
TEOREMA 9.2
As quatro partes do Teorema 9.2 também se aplicam quando C for uma curva suave 
por partes em D.
Exemplo 3 Calculando uma integral de contorno
Calcule , onde C é o contorno apresentado na Figura 9.1.
Solução � Em vista do Teorema 9.2(iii), escrevemos
Como a curva C1 é definida por y � x, faz sentido utilizar x como parâmetro. Assim, 
z(x) � x � ix, z¿(x) � 1 � i, f (z(x)) � x2 � ix2 e
A curva C2 é definida por x � 1, 1 � y � 2. Usando y como um parâmetro, temos z(y) 
� 1 � iy, z¿(y) � i e f (z(y)) � 1 � iy2. Portanto,
Finalmente, temos ❑
y
x
1 + 2i
C2
C1
1 + i
Figura 9.1 Contorno suave por partes 
no Exemplo 3.
288 CAPÍTULO 9 Integração no Plano Complexo
Existem casos na aplicação de integração complexa que é útil determinar um limite 
superior para o valor absoluto de uma integral de contorno. No próximo teorema, usare-
mos o fato de que o comprimento de uma curva plana é 
Porém, se z¿(t) � x¿(t) � iy¿(t), então e consequente-
mente s � 
Um teorema limite
Se f for contínua em uma curva suave C e se |f (z)| � M para todo z em C, então 
 onde L é o comprimento de C.
TEOREMA 9.3
Demonstração � A partir da desigualdade do triângulo (6) da Seção 8.1, podemos 
escrever
 
(4)
Agora, |�zk| pode ser interpretado como o comprimento da corda unindo os pontos zk 
e zk�1. Como a soma dos comprimentos das cordas não pode ser maior do que o com-
primento de C, (4) se torna Logo, como ||P|| → 0, a última 
desigualdade resulta em ❑
O Teorema 9.3 é frequentemente utilizado na teoria de integração complexa, sen-
do algumas vezes referido como desigualdade ML.
Exemplo 4 Um limite para uma integral de contorno
Determine um limite superior para o valor absoluto de , onde C é o 
círculo |z| � 4.
Solução � Primeiro, o comprimento s do círculo de raio 4 é 8�. A seguir, a partir 
da desigualdade (7) da Seção