Matemática Financeira: Conceitos Fundamentais

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Faculdade de Ciências Contábeis –FACIC 
 Faculdade Visconde de Cairu – FAVIC 
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Em termos econômicos, o homem passou por diversas fases. No princípio, colhia 
diretamente da natureza os produtos de que necessitava. Com o decorrer do tempo e o 
crescimento das populações, os recursos oferecidos tornaram-se insuficientes para 
atender as necessidades de todos os indivíduos de uma dada região. Uma primeira saída 
foi expandir as áreas de exploração. Outra, após esgotada essa possibilidade, foi 
desenvolver técnicas cada vez mais sofisticadas de dominação da natureza, buscando 
levá-la a produzir aquilo de que mais necessitasse. 
 
Atualmente, o cálculo financeiro e a análise de investimentos são ferramentas 
imprescindíveis para a tomada de decisões e na gestão financeira quer seja das empresas 
ou das pessoas. 
 
Podemos definir a matemática financeira como um conjunto de técnicas e formulações 
matemáticas, com o objetivo de analisar situações financeiras envolvendo o valor do 
dinheiro no tempo. Em outras palavras, a matemática financeira representa o conjunto de 
técnicas que discutem as relações envolvendo duas variáveis principais: o dinheiro e o 
tempo. Todas as análises financeiras são respaldadas por informações representadas sob 
a forma da evolução do dinheiro no tempo. 
 
As operações financeiras são operações feitas com dinheiro com finalidade de fazê-lo 
evoluir ao longo do tempo. Para que tais operações sejam executadas, são necessários 
cálculos adequados a cada situação e o estudo desses cálculos é o objeto da Matemática 
Financeira. 
 
A matemática financeira trata do conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou 
investimentos realizados no presente terão seu valor aumentado no futuro. Inversamente, 
valores disponíveis no futuro, se considerarmos ou avaliarmos no presente, terão seus 
valores reduzidos. 
 
 
DEFINIÇÕES 
 
Em matemática financeira, alguns termos têm significados mais restritos ou mais 
específicos do que em economia geral. Para evitar possíveis ambiguidades, definiremos o 
entendimento de cada um dos termos fundamentais que serão usados a seguir. 
 
Capital: É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e 
concorda em ceder a outro temporariamente, mediante determinada remuneração. Aquele 
que cede é chamado de investidor e aquele que recebe é chamado de tomador. Os 
tomadores remuneram os investidores pela transferência do capital pela simples razão de 
que sua posse define o poder aquisitivo (e consequentemente a capacidade de satisfação 
 
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de desejos e necessidades) daqueles que o detém. Em todo o capital, devem-se 
considerar, em função dos juros produzidos, três valores conceituais distintos, a saber: 
 
 
 O valor inicial, ou capital aplicado, assim considerado no ato do seu investimento; 
 O valor final, ou montante, representado no vencimento pela soma do capital e dos juros 
correspondentes ao tempo do seu comprometimento; 
 Um certo valor intermediário, dito atual, assumido pelo capital numa data qualquer 
anterior ao vencimento, o qual corresponde à diferença entre o valor nominal do 
montante atingido na data do vencimento e os juros correspondentes que falta decorrer, 
diferença essa que equivale, à mesma taxa, à soma do capital e de seus juros 
correspondentes ao tempo decorrido. A determinação do valor atual do capital serve de 
base à operação do desconto. 
 
Portanto, sob o ponto de vista financeiro, capital é qualquer valor representado por dinheiro 
ou bens comercializáveis, aplicados com o fim de produzir juros, os quais representam a 
renda do seu investimento. A notação que será usada para indicar o capital, ou valor 
presente, ou ainda valor de aplicação será C, ou PV (present value = valor presente) nas 
calculadoras financeiras. 
 
Juro: Como se sabe, o capital é um fator de produção e, como tal, é remunerado. Assim, 
ao lado do trabalho que é remunerado com o salário, da terra que é remunerada com o 
aluguel, da capacidade administrativa que é remunerada com o lucro, da técnica que é 
remunerada com o royalty, das artes e cultura que são remuneradas com os direitos 
autorais, o capital é remunerado com os juros. A remuneração do capital no tempo é 
chamada de juros e pode ser entendida como um direito inerente ao capital. Os juros são, 
portanto, o custo do capital durante determinado período de tempo. Equivale, portanto, ao 
rendimento. A notação que será utilizada para indicar juros será j. 
 
Taxa de Juros: Também denominada custo de oportunidade do dinheiro. Representa 
umamedida relativa de incidência do valor do dinheiro no tempo. A unidade de medida de 
juros é chamada taxa de juros ou simplesmente taxa. A taxa corresponde à remuneração 
paga pelo uso, durante determinado tempo, de uma unidade de capital (taxa unitária) ou de 
cem unidades de capital (taxa centesimal ou taxa percentual). Em nossas fórmulas 
utilizaremos sempre a taxa unitária, onde taxa e tempo devem se referir à mesma unidade. 
A taxa unitária será indicada por i (interest rate = taxa de juros). 
 
Tempo: Toda transação financeira deve necessariamente prever quando e por quanto 
tempo se dará a cessão do capital. O “quando” se define pelas datas de início e término da 
operação (ou de transferência do capital do investidor para o tomador e vice-versa); o 
“quanto” (duração ou vigência da operação), pelo prazo decorrido entre essas datas, 
expresso numa certa unidade de tempo. Também denominado período de capitalização. 
Corresponde à duração (em dias, meses, trimestres, anos etc) da operação financeira. É 
comumente expresso em unidades do período a que a taxa se refere. Por convenção, em 
matemática financeira deve-se evitar alterações na taxa de juros. Quando taxa e número 
 
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de períodos apresentarem unidades diferentes, o tempo é que deve ser modificado e 
ajustado. Indicaremos o tempo pela letra n, de número de períodos. 
 
Montante: Quando um investidor aplica um capital por certo tempo a determinada taxa, no 
final desse período de tempo ele tem à sua disposição não só o valor inicial (capital) 
aplicado, mas também os juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é 
chamado montante. O montante pode, então, ser considerado como o valor final do capital 
aplicado, sendo também chamado de valor futuro ou valor acumulado. Será indicado por M 
ou FV (future value = valor futuro) nas calculadoras financeiras. 
 
Regimes financeiros de capitalização: A sucessiva incorporação dos juros ao capital 
inicial ao longo do tempo pode ser feita em dois regimes distintos. No regime de juros 
simples, os juros são calculados sobre o valor inicialmente aplicado, não incidindo, 
portanto, juros sobre juros, variando a taxa linearmente em função do tempo. No regime 
de juros compostos, a taxa de juros incide sobreo valor inicial, acrescido dos juros 
acumulados até o período anterior, variando a taxa exponencialmente em função do 
tempo. 
 
Se forem feitos gráficos para representar os dois regimes, o simples representará uma 
função do primeiro grau e o composto uma função exponencial, razão pela qual são 
também chamados de convenção linear e convenção exponencial, respectivamente. 
 
Fluxo de Caixa: Chama-se fluxo de caixa um conjunto de entradas e saídas, dispostas ao 
longo do tempo. O fluxo de caixa é geralmente representado por um diagrama constituídopor um eixo horizontal que representa a linha do tempo, tendo acima as entradas e abaixo 
as saídas de caixa. A unidade de tempo, para maior facilidade de cálculo, deve ser 
escolhida, sempre que possível, de acordo com o período de capitalização dos juros. 
Muitos problemas de juros e montante e, principalmente, de renda têm sua resolução 
facilitada quando são representados por um diagrama de fluxos de caixa. Dada a 
operação e definido o correspondente fluxo de caixa, a solução do problema será obtida 
pela aplicação das fórmulas corretas e respectivos parâmetros, devendo-se ler 
cuidadosamente o problema, atentando para o que está sendo fornecido e para o que está 
sendo pedido, anotando as frases e os dados numéricos mencionados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente 
incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nesta conceituação podem ser identificados 
dois regimes: simples (ou linear) e composto (ou exponencial). 
 
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma P.A., crescendo os 
juros de forma linear ao longo do tempo. O juro produzido em cada período é constante e 
proporcional ao capital inicial. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital 
inicial da operação, não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados. 
 
 
APLICAÇÕES PRÁTICAS 
 
Os juros simples, pela sua facilidade de cálculo, são utilizados comumente em negócios 
entre pessoas físicas. São utilizados também em operações comerciais como argumento 
de venda, pois, por esse regime, através de artifícios de cálculos, as taxas de lucro 
poderão parecer maiores e as taxas de juros menores. No mercado financeiro, só é 
utilizado em aplicações de curto prazo como open market ou overnight e em descontos de 
títulos. Para todos os papéis de renda, sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-
se o regime de capitalização composta. 
 
 
REGRAS BÁSICAS 
 
Nas fórmulas, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente 
estar expressas na mesma unidade de tempo. Por exemplo, admita que um fundo de 
poupança esteja oferecendo juros de 6% a.m. e os rendimentos creditados mensalmente. 
Neste caso, o prazo a que se refere a taxa (mês) e o período de capitalização do fundo 
(mensal) são coincidentes, atendendo à regra básica. 
 
Se uma aplicação for efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa 
anual, não há coincidência nos prazos e deve ocorrer necessariamente um “rateio”. É 
indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformarem a taxa de juros anual 
para o intervalo de tempo definido pelo prazo, ou vice-versa, o que for considerado mais 
apropriado para os cálculos. Somente após a definição do prazo e da taxa na mesma 
unidade é que as fórmulas de matemática financeira podem ser operadas. 
 
 
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES 
 
Os juros são calculados multiplicando-se o valor presente, a taxa de juros e o prazo 
de aplicação. A taxa de juros e o prazo devem estar sempre na mesma unidade: 
 
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 j = Cin onde: j = valor dos juros 
 C = capital 
 i = taxa unitária de juros 
 n = prazo 
 
Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores mediante 
simples dedução algébrica: 
 
 i = 
 
 
 taxa 
 
 
 C = 
 
 
 capital 
 
 
 n = 
 
 
 tempo 
 
 
 
A taxa unitária obtém-se dividindo a percentual por 100. 
 
Ex.: 3% i = 3/100 = 0,03 
 2,5% = 2,5/100 = 0,025 
 30% = 30/100 = 0,3 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1 – Determinar os juros de um empréstimo de $60.000, a uma taxa de juros simples de 
4% a.m., durante três trimestres. 
 
C = 60.000 n = 3 trimestres = 9 meses i = 4/100 = 0,04 
 
 j = 60.000 x 0,04 x 9 = 21.600 
 
 
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2 – Qual o capital que aplicado à taxa de 4,5% a.s., durante quatro semestres rendeu 
$2.500 de juros simples? 
 
J = 2.500 n = 04 i = 4,5/100 = 0,045 
 
 
C = 2.500 = 13.888,89 
 0,045 x 4 
 
 
3 – A que taxa um capital no valor de $9.800 aplicado durante três meses rendeu 2.500 de 
juros simples? 
 
J = 2.500 C = 9.800 n = 03 
 
 i = 2.500 = 0,085, 
 9.800 x 3 
 
 
4 – Durante quanto tempo um capital de 1.000 ficou aplicado a 25% a.t., para render 1.750 
de juros simples? 
 
J = 1.750 C = 1.000 i = 25/100 = 0,25 
 
n = 1.750 = 7 trimestres, 
 1.000 x 0,25 
 
 
MONTANTE E CAPITAL 
 
Define-se montante de um capital, aplicado à taxa “i” e pelo prazo de “n” período, como 
sendo a soma do juro mais o capital inicial, isto é: 
 
 
 M = C + J 
 
 
No entanto, sabe-se que: J = Cin, logo: 
 
M = C + Cin, onde M = C (1 + in). 
 
 
Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtida através de simples 
transformação algébrica: 
 
Essa taxa é unitária e corresponde, em termos percentuais, a 
8,5% a.m. (0,085 x 100), uma vez que a taxa refere-se à mesma 
unidade de tempo usada no problema para quantificar o mesmo 
número de período “n” 
Pois a taxa utilizada no problema refere-se ao 
período trimestral 
 
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C = 
 
 
 ou C = M 
 
 
 
 
 
A expressão (1 + in) é definida como fator de capitalização dos juros simples. Ao 
multiplicar um capital corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o 
montante. 
 
O inverso, ou seja, (1/1+in) é denominado de fator de descapitalização simples ou 
fator de atualização. Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, 
apura-se o seu equivalente numa data atual. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1 – Qual é o montante de um capital de $2.500 aplicado à taxa de 18% a.s., pelo prazo de 
02 anos? 
 
 C = 2.500 i = 18/100 = 0,18 n = 04 semestres 
 
M = 2.500 ( l + 0,18 x 4) = 4.300 
 
2 – Qual o capital que aplicado à taxa de 85% a.a., durante 3 anos, deu um retorno de 
18.700? 
 
M = 18.700 i = 85/100 = 0,85 n = 03 
 
C = 18.700 = 5.267,60 
 1 + 0,85x3 
 
 
 
TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE 
 
Toda operação envolve dois prazos: o prazo a que se refere a taxa e juros; e o prazo de 
capitalização dos juros. O crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é um 
exemplo de operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao 
mêse os juros capitalizados também mensalmente. 
 
Porém, em inúmeras outras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode ser 
capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como o 
prazo da taxa será rateado ao período de capitalização. Por exemplo, sabe-se que a 
Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% a.a., a qual 
é agregada ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Têm-se 
 
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aqui dois prazos: prazo da taxa = ano e prazo de capitalização = mês. É necessário, para o 
uso das fórmulas, expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou 
transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa, o 
período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. No 
regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é 
processada pela denominada taxa proporcional de juros, que é obtida da divisão entre a 
taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros. 
 
 
EXEMPLOS 
1 – Sendo dada a taxa de juros de 24% a.a., determinar a taxa proporcional mensal. 
 
 im = 24 = 2% a.m. 
 12 
 
2 – Um capital de 500.000, se aplicado a 4% a.m. ou 24%a.s., pelo prazo de um ano, 
produz o mesmo montante de juros: 
 
 j = 500.000 x 0,04 x 12 = 240.000 
 j = 500.000 x 0,24 x 2 = 240.000 
 
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo 
intervalo de tempo, produzem o mesmo volume de juros. 
 
No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são 
consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de 
juros como proporcionais ou equivalentes. 
 
 
 
JURO EXATO E JURO COMERCIAL 
 
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações de juros simples, 
ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser 
calculado de duas maneiras: 
 
a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro 
apurado desta maneira denomina-se juro exato; 
 
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por 
este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário, que utilizaremos na 
resolução dos problemas apresentados. 
 
Por exemplo, 120% a.a. equivale, pelos critérios anunciados, à taxa diária de: 
 
 
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a) juro exato: 120  365 = 0,32876% a.d. 
 
b) juro comercial: 120  360 = 0,33333% a.d. 
 
Observaremos que o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo menor 
número de dias considerado no intervalo de tempo. 
 
 
PERÍODOS NÃO INTEIROS 
 
Podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação (n) não é um número inteiro de 
períodos a que se refere a taxa dada, sendo necessário considerarem-se frações de 
períodos para que não se cometa erro no valor final. 
 
Com taxa e prazo em unidades diferentes, procure preservar a taxa, ajustando o prazo 
para a unidade da taxa. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Reduzir 02 anos 03 meses e 12 dias: 
 
Inicialmente ajustamos o período em dias: 720d + 90d + 12d = 822 dias 
 
Ano = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no ano: 
 
822  360 = 2,283333 a 
 
Mês = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no mês: 
 
822  30 = 27,4 m 
Trimestre = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no 
trimestre: 
822  90 = 9,133333 t 
 
Semestre = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no 
semestre: 
 
822  180 = 4,566667 s 
 
Bimestre = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no bimestre: 
 
822  60 = 13,7 b 
 
 
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Quadrimestre = Dividimos a quantidade de dias encontrada pelo número de dias no 
quadrimestre: 
 
822  120 = 6,84 q 
 
b) Reduzir 14,5m a ano, meses e dias: 
 
Como 14,5m é maior que 12 meses, dividimos inicialmente por 12: 
 
 14,5m = 14,5  12 = 1,2083 a (01 ano + 0,2083 a) 
 
A parte inteira corresponde à quantidade de ano. Neste caso, 01 ano. A parte decimal 
(0,2083) multiplicamos por 12 para conhecermos a quantidades de meses: 
 
 0,2083a = 0,2083 x 12 = 2,4996m (02 meses + 0,4996 m) 
 
A parte inteira corresponde à quantidade de meses. Neste caso, 02 meses. A parte 
decimal (0,4996) multiplicamos por 30, para conhecermos a quantidade de dias 
 
 0,4996m = 0,4996 x 30 = 14,98 ≈ 15d logo: 
 
 14,5m = 1a 2m 15d 
 
c) Reduzir 4,08a a ano, meses e dias 
 
 4,08a = 4a + 0,08a = A parte inteira corresponde à quantidade de anos (quatro). A 
parte decimal (0,08) multiplicamos por 12: 
 
 0,08a = 0,08 x 12 = 0,96m = A parte inteira corresponde à quantidade de meses 
(zero). A parte decimal (0,96) multiplicamos por 30: 
 
 0,96m = 0,96 x 30 = 28,8 ≈ 29d, logo, 4,08a = 4a 29d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) Determinar o rendimento e o valor de resgate de uma aplicação de $50.000, por um 
prazo de 04 trimestres, a uma taxa de 2,5%a.m. Resp.: $15.000 e $65.000 
 
2) Determine os juros simples correspondentes a uma aplicação de R$ 25.000,00 a 
1,6% a.s., durante 02 anos. Resp.: R$ 1.600,00 
 
3) Calcular os juros recebidos por um investidor ao aplicar $25.000 durante 06 meses e 
10 dias, a uma taxa de 2%a.m. Resp.: $3.166,67 
 
4) Quero que meu capital seja aplicado a uma taxa tal que dobre em 09 meses. Qual é a 
taxa que devo usar? Resp.: 11,11% a.m. 
 
5) Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 03 anos, 3/5 
do seu valor? Resp.: 20%a.a. 
 
6) Qual a taxa mensal de juros simples para um capital triplicar em um ano? 
Resp.: 16,67% a.m. 
 
7) Durante quanto tempo deve ficar colocado um capital, à taxa de 11% ao mês, para que 
seus juros se igualem ao capital? Resp.: 9m 3d 
 
8) Determinar a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital investido por 06 
bimestres renda juros igual à metade do valor aplicado. Resp.: 4,17%a.b. 
 
9) Um capital de R$ 3.000,00 foi colocado a 5,7% a.t., durante 01 ano, 03 meses e 20 
dias. Qual o montante final? Resp.: R$3.893,00 
 
10) Em quanto tempo R$120.000,00 aplicados a 15% a.a., produziriam juros de 
$80.000,00? Resp.: 4 anos, 5 meses e 10 dias. 
 
11) O montante, após um empréstimo por 18 meses, é 8/5 do capital emprestado. Qual a 
taxa usada na operação? Resp.: 3,33% a.m. 
 
12) Determinar o capital que diminuído de seu juros 1 ano e 7 meses, à taxa de 3%aa, 
reduz-se a R$ 13.716 . R: R$ R$ 14.400,00 
 
13) A que taxa anual o capital de R$ 137.950,00 em 15 anos renderá juros equivalentes 
aos seus 3/5? Resp: 4% a.a. 
 
 
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14) Emprestei, há 1 ano e 3meses, R$ 600.000,00 e recebi hoje de juros correspondentes 
30% da importância aplicada. A que taxa anual esteve emprestado meu capital? 
Resp: 24% a.a. 
 
15) Uma geladeira é vendida à vista por R$1.500,00 ou então a prazo com R$ 450,00 de 
entrada mais uma parcela de R$1.200,00 após 04 meses. Qual a taxa mensal de juros 
simples do financiamento? Resp.: 3,57% a.m. 
 
16) Uma loja vende um equipamento, cujo preço a vista é $110.000, com uma entrada de 
$50.000 e mais um pagamento de $74.400, em 60 dias. Qual a taxa mensal de juros 
simples cobrada pela loja? Resp.: 12% ao mês 
 
17) Uma loja vende um televisor por $1.500 a vista. A prazo, vende por $1.800, sendo 
$200 de entrada e o restante após um ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada? 
Resp.: 23,06% 
 
18) Um investidor depositou $400.000,00 num banco, a prazo fixo por dois meses, à taxa 
de 3% a.m. (juros simples). Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de 
imposto de renda, determine o valor dos juros recebido. Resp.: R$ 16.800,00 
 
19) Maria Clara aplicou $82.000,00 num banco, a prazo fixo por três meses, à taxa de 6% 
a.m. (juros simples). Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 20% de imposto 
de renda, determinar o valor dos juros recebido. Resp.: R$11.808,00 
 
20) Um investidor depositou $140.000,00 num banco, a prazo fixo por seis meses, à taxa 
de 2% a.m. (juros simples). Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 25% de 
imposto de renda, determine o valor da taxa de juros simples mensal de rendimento 
líquido. Resp.: 1,5% a.m. 
 
21) Uma empresa realizou um investimento no Banco Alfa por um prazo de 24 meses, a 
uma taxa de 22%a.a. No vencimento, resgatou a aplicação e investiu todo o montante 
no Banco Beta, a uma taxa de 25% a.a. por um prazo de 32 meses, retirando ao final 
um valor de R$550.000. Qual o valor inicialmente aplicado no Banco Alfa? 
Resp.: $229.166,67 
 
22) No ano passado, dei $30.000 emprestados a um amigo que me prometeu pagá-los 
depois de 180 dias com juros simples de 12% a.m. Na data em que devia saldar a 
dívida, procurou-me para pedir mais $20.000 emprestados, propondo-se a pagá-los, 
juntamente com o montante anterior com juros de 15% a.m. após 60 dias, o que 
realmente cumpriu. Quanto me pagou? Resp.: $93.080 
 
23) Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9%a.a. Quarenta e cinco dias 
depois a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo 
prazo de 10 meses a juros simples de 6% a.a. Sabendo que pagou ao 
todo$111.250,00 de juros, calcular o valor do primeiro empréstimo. 
Resp.: $1.000.000,00 
 
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15 
 
24) Coloquei $20.000 a 10% a.m., e, noutra instituição financeira, coloquei $18.000 a 12% 
a.m. Depois de quanto tempo os montantes serão iguais? Resp. 1a 15d 
 
25) Manoel aplicou 25% do seu capital à taxa de 17% a.m. durante 05 meses. Os restantes 
75% foram aplicados a 14% a.m. durante 06 meses. Qual o capital total investido se 
ele recebeu de juros, R$168.500,00? Resp.: R$200.000,00 
 
26) Três sétimos de um capital foi posto a juros simples, durante 01 ano, à taxa de 15% 
a.m. O restante, a 13% a.m., por 16 meses. Qual o capital aplicado se a soma dos 
juros foi R$ 411.600,00. Resp.: R$210.000,00 
 
27) Dois capitais, o primeiro igual a R$1.100, e o segundo igual a R$500, estiveram 
aplicados a juros simples durante 03 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o 
segundo aplicado à taxa de 10% a.m. rendeu R$246,00 menos que o primeiro? 
Resp.: 12% a.m. 
 
28) Um capital ficou depositado durante 02 anos, à taxa de 4% a.a. Findo este período, o 
montante foi reaplicado a 6% a.a. durante 18 meses. Determinar o capital inicial, 
sabendo que o montante final foi de $17.658,00. Resp.: $15.000,00 
 
29) A diferença entre dois capitais é de $7.000 e ambos estiveram aplicados à mesma taxa 
durante 06 meses, sendo que o capital maior rendeu $2.880, enquanto o menor rendeu 
$2.250. Calcule os capitais e a taxa anual de juros. Resp.: C1 = $32.000; 
C2 = $25.000; i = 18% a.a 
 
30) Dividir um capital de $19.000 em duas partes de modo que uma parte aplicada à taxa 
de 7% a.m., durante 02 meses produza o mesmo rendimento que a outra parte 
aplicada em 03 meses à taxa de 8% a.m. Resp.: C1 = $12.000; C2 = $7.000 
 
31) Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o 
segundo a 40% a.a. Calcular os capitais sabendo que somados montam R$500, e que 
os dois produziram em um ano juros totais de R$130. Resp.: C1 = 350 C2 = 150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Chama-se título de crédito um documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de 
títulos de crédito: Nota Promissória, Duplicata, Letras de Câmbio, Cheque, Ação, 
Certificados de Depósitos, Cadernetas de Poupança, entre outros. Alguns títulos de 
crédito podem sofrer a operação de desconto, que consiste em o portador resgatar o título 
antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor do que aquele que receberia se 
aguardasse a data de seu vencimento. Os títulos de crédito que podem ser descontados 
são a Nota Promissória, a Duplicata, a Letra de Câmbio e mais recentemente o Cheque. 
Esses títulos têm sempre um valor declarado, chamado valor nominal ou valor de face, 
que corresponde ao valor que pode ser recebido pelo título na data de vencimento, que 
também vem ali declarada. 
 
Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo antes do 
seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede à 
operação de desconto. Mas, ao resgatar o título antes do vencimento, o portador não 
recebe o valor total ali declarado. Esse valor, que é o valor final ou valor nominal N do 
título, sofre um desconto d que será tanto maior quanto maior for a antecipação do 
pagamento em relação à data de vencimento. O valor recebido pelo portador se diz valor 
atual, valor líquido, valor resgatado ou ainda valor descontado do título e representa a 
diferença entre o valor nominal e o desconto feito. Indicaremos o valor atual por 
V, ( V = N – d ). 
 
 
DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” 
 
O desconto racional, também chamado desconto real, desconto verdadeiro ou desconto 
“por dentro”, é o desconto calculado sobre o valor atual do título. 
 
Supondo que faltam “n” períodos de tempo para o vencimento do título de valor nominal 
“N” e que a instituição financeira que vai descontá-lo utiliza-se da taxa “i” de desconto 
racional e que seu valor atual Vr na data do desconto, tem-se para o desconto racional “dr” 
a expressão: 
 
 
 dr = Vrin 
 
 
Na prática, porém, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez 
que o valor atual só é conhecido após o cálculo do desconto. Substituindo-se, então, Vr , 
por V = N – d, temos: 
 
 
 
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17 
 
dr = (N - dr ) in 
 
dr = Nin- drin 
dr + drin = Nin , donde dr = in
Nin
1
 
 
 
Uma vez descontado racionalmente o título, pode-se determinar seu valor atual “Vr” pela 
diferença: 
 
Vr = N – dr Vr = 
in
Nin
N


1
 = 
in
NinNinN


1
 logo : Vr = in
N
1
v 
 
 
A operação de desconto racional pode ser considerada como a operação inversa da 
capitalização, uma vez que: 
 
PV = 
in
FV
1
 e Vr = 
in
N
1
 
 
O valor nominal do título pode ser considerado como seu valor futuro e o valor atual do 
título pode ser considerado como seu valor presente. Isso significa que, se uma pessoa 
investir certo capital em um título que vai proporcionar juros à taxa “i”, durante certo 
número de períodos “n”, e se esse título for descontado racionalmente “n” períodos antes 
do vencimento à mesma taxa “i”, seu portador vai receber, como valor atual, exatamente o 
mesmo capital aplicado. 
 
Ex.: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500, três meses antes do seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a, qual o desconto e 
quanto vai obter? 
 
a) Desconto dr = 5.500 x 0,40/12 x 3
 = 550 = $500 
 1+ 0,40/12 x 3 1,1 
 
b) Valor descontado: Vr = 5.500 - 500 = $ 5.000 
 
$5.000 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3m e à taxa de 
40% a.a, a aplicação de $ 5.000 iria render: j = 5.000 x 0,40/12 x 3 = $ 500 
 
 Observa-se que $500 é o valor dos juros que a pessoa deixa de receber (ou de 
ganhar) por saldar o compromisso antes do vencimento. Em forma literal : dr = j 
 
 
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CONCLUSÃO: No regime de juros simples, o desconto racional, aplicado ao valor 
nominal é igual ao juro devido sobre o capital (valor descontado); desde que ambos 
sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a taxa da operação é também a taxa de 
desconto, daí ser denominado de desconto por dentro. 
 
 
DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” 
 
O desconto comercial também denominado desconto “por fora”, é calculado sobre o 
valor nominal do compromisso que seja saldado “n” períodos antes de seu vencimento. 
 
 
dc = N i n 
 
Uma vez descontado comercialmente, pode-se determinar o valor atual Vc do título 
pela diferença: 
 
Vc = N – d Vc = N – Nin, 
 
Logo: Vc = N(1 – in ) e N = in
Vc
1
 
 
 
Consideremos o exemplo do item anterior onde N = 5.500, n = 3m, i = 40% a.a. 
 
dc = 5.500 x 0,40/12 x 3 = $550 
 
Vc = 5.500 (1 - 0,40/12 x 3) = $4.950 (menos do que receberia se o desconto fosse o 
racional). 
 
Nos próximos 3m e à taxa de 40% a.a, a aplicação de $ 4.950 iria render: 
 j = 4.950 x 0,40/12 x 3 = $ 495 e M= $5.445 
 
No desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizado na 
operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. dc  j 
 
 
 
DESCONTO BANCÁRIO 
 
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada (h), cobrada sobre o 
valor nominal. 
 
 
 
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19 
 
OBS.: Esta taxa de despesa bancária é referida frequentemente como sendo as despesas 
administrativas do banco ou Instituição que faz a operação. O desconto bancário pode ser 
entendido como uma extensão do desconto comercial, daí alguns autores não 
estabelecerem distinção entre esses descontos. 
 
Temos o valor do desconto bancário, por definição: 
 
 db = dc + Nh 
 db = N i n + Nh, logo: db = N (in + h) 
 
 
 
E o valor descontado bancário: Vb = N – db Vb = N – ( Nin + Nh) 
 Vb = N [1 - (in + h)], 
 
 logo Vb = N (1 – in – h) 
 
 
 
Valor Nominal bancário: N = 
hin
Vb
1
 
 
 
Ex.: Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesas 
administrativas. Sabendo-se que o título foi descontado 3m antes de seu vencimento e que 
a taxa corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto 
recebeu o proprietário do título? 
 
db = 5.500 (0,40 / 12 x 3)+0,02) = $ 660 (desconto bancário) 
Vb = 5.500 (1 - 0,40 / 12 x 3 - 0,02) - $ 4.840 (valor descontado bancário). 
 
Compare-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3m antes, com 
aquele obtido via desconto racional ($ 5.000) e via desconto comercial não corresponde à 
taxa implícita na operação. 
 
J = 4.840 x 0,40/12 x 3 = 484 e M = 5.324 
 
CONCLUSÃO: É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e 
bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação, ou 
seja, a taxa de juros efetiva ou implícita. 
 
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20 
 
TAXA EFETIVA DE DESCONTO 
 
Primeira definição: É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou 
bancário gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
 
 Taxa efetiva para desconto comercial ie = 
n
V
N
c
1
 
 
 
 Taxa efetiva p/ desconto bancário ie = 
n
V
N
b
1
 
 
 
Ex.: Vb = 100.000, n = 2m, N = 106.951,87, i = 0,03. Qual a taxa efetiva cobrada pelo 
banco? 
ie = 
2
1
000.100
87,951.106 
 = 0,0347 = 3,47% am. 
 
 
Segunda definição : É a taxa que conduz, pelo desconto racional, a um valor igual ao 
calculado pelo desconto comercial. ie = 
in
i
1
 
 
Ex.: i = 40% a.a n = 3m ie =
3.
12
40,01
12
40,0

 = 0,037 ie=3,7%a.m. 
 
No caso do desconto bancário, o único cuidado que se exige é calcular a taxa proporcional 
correspondente às despesas administrativas (h), colocando-a na mesma unidade de tempo 
da taxa de desconto. 
 
Ex.: h = 2% n = 3m , logo h = 2% ÷ 3 = 0,67%a.m. i = 40/12 = 3,33% a.m. 
 
Portanto, a taxa de desconto bancário agora é: i = 0,0333 + 0,0067 = 0,04 
 
 
ie = 0,04 = 0,045 a.m = 4,5% ao mês 
 1 – 0,04 x 3 
 
 
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21 
 
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL 
 
 
Sabemos que dc > dr e que: dr = N i n dc = N i n 
 1 + in 
 
Dividindo dc por dr : 
r
c
d
d
= 
in
Nin
Nin
1
 = 1 + in , portanto dc ÷ dr = 1 + in, 
 
 
 
onde dc = dr (1 + in) e dr = dc ÷ (1 +in) 
 
 
 
 
O desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional 
calculado para o mesmo período e à mesma taxa. 
 
 
Ex: O desconto comercial de um título descontado 3m antes de seu vencimento e à taxa 
de 40% a.a. é de $ 550. Qual é o desconto racional? 
 
 dr = dc = 550 dr = R$ 500,00 
 1 + in 1,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
 
 
 
 
1) Determinar o desconto racional das hipóteses seguintes: 
 
VALOR NOMINAL 
 
TAXA 
PRAZO DE 
ANTECIPAÇÃO 
a) $10.000 
b) 7.500 
c) 8.200 
d) 3.000 
23% a.a. 
29% a.a. 
20,5% a.a. 
26% a.a. 
03 meses 
100 dias 
01 ano e 02 meses 
03 meses e 20 dias 
 
Resp. a) $543,74 b)$559,13 c)$1.582,65 d) 220,79 
 
2) Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos 
 
VALOR NOMINAL 
 
TAXA 
PRAZO DE 
ANTECIPAÇÃO 
a) $20.000 
b) 12.500 
c) 6.420 
d) 5.000 
15,9% a.a. 
21% a.a. 
30% a.a. 
26,4% a.a. 
50 dias 
125 dias 
08 meses 
181 dias 
 
Resp. a)$19.567,88 b)$11.650,49 c)$5.350,00 d)$4.414,10 
 
3) O valor nominal de um título é de $2.700. Se o dinheiro valer 36% ao ano e o título 
for saldada 03 meses antes do vencimento, de quanto será o desconto por dentro 
obtido? Qual o valor atual? Resp. dr = $222,94 Vr = $2.477,06 
 
4) Se o desconto racional concedido for de $57,63, qual será a taxa considerada, uma 
vez que o valor nominal é de $600 e o período de antecipação cinco meses? 
Resp.: 25,5%a.a. 
 
5) Um título de valor nominal $1.300 foi resgatado antes do vencimento, sendo por 
isso bonificado com um desconto racional de $238,78. Considerando a taxa de 27% 
ao ano, qual foi a antecedência? Resp.: 10 meses 
 
6) O valor atual de uma promissória é de $1.449,28, tendo sido adotada a taxa de 
18% ao ano. Qual será o prazo de antecedência, se o desconto racional for de 
$50,72? Resp.: 2m10d 
 
7) Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à 
taxa de 23% ao ano. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual 
racional recebido foi de $1.921,95? Resp.: $2.100,00 
 
 
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23 
 
8) Se o desconto comercial for de $1.125, qual será o valor nominal, se a taxa 
considerada for de 27% ao ano e o prazo de antecedência 100 dias? 
Resp.: $15.000,00 
 
9) Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes: 
 
VALOR NOMINAL 
 
TAXA 
PRAZO ATÉ 
VENCIMENTO 
a) $12.500 
b) 18.000 
c) 20.000 
d) 22.000 
 
37 % a.a. 
35 % a.a. 
28 % a.a. 
27 % a.a. 
250 dias 
03 meses 
08 meses 
04 meses e 12 dias 
 
Resp.: a)$3.211,80 b)$1.575,10 c)$3.733,33 d)$2.178,00 
 
10) Determinar o valor descontado comercial das hipóteses apresentadas na questão 
anterior. Resp.: a)$9.288,20 b)$16.425,00 c)$16.266,67 d)$19.822,00 
 
11) Uma nota promissória foi descontada quatro meses antes de seu vencimento à taxa 
de 26% ao ano. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $18.266,67, qual 
seria seu valor nominal? Resp.: $20.000,00 
 
12) Um título com valor nominal de $12.000, foi descontado com antecedência de 05 
meses. Qual a taxa mensal contratada se o desconto comercial foi de $1.500? 
Resp. 2,5%a.m 
 
13) O valor nominal de um título é 15 vezes o desconto comercial a 30% ao ano. Qual 
seria o prazo de antecipação, se o desconto comercial for de $640? Resp. 2m 20d 
 
14) O valor atual de um título é de $23.600, considerando-se a taxa de 28% ao ano e o 
prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: qual é o desconto comercial? 
Resp. $1.400,00 
 
15) Se a taxa de juros corrente for de 30% ao ano, qual será o valor atual comercial se 
o desconto de um título no valor de $18.000 ocorrer 90 dias antes de seu 
vencimento? Resp. $16.650,00 
 
16) Pelo valor nominal de $10.000 uma pessoa recebeu $9.556,94 como sendo o valor 
atual comercial. Qual foi a antecipação, se a taxa de juros adotada tivesse sido de 
29% ao ano? Resp. 1m 25d 
 
17) Qual será o desconto bancário em uma operação onde o valor nominal é de $7.000 
e o prazo de antecipação é de 105 dias? Considerar juros correntes de 23,5% ao 
ano e taxa administrativa de 2%. Resp. $619,79 
 
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24 
 
18) João, necessitando comprar um carro, pediu empréstimo de $17.000 pelo prazo de 
03 meses. Sabendo-se que o Banco Alfa cobra 2% de despesas administrativas e 
que a taxa de juros de mercado é de 28,4% ao ano, qual o preço do carro, hoje? 
Resp. $15.453,00 
 
19) Se uma empresa necessitar de $10.740 para saldar uma duplicata, que 
compromisso deverá assumir para 90 dias, se a taxa corrente for de 36% ao ano e 
o banco cobrar 1,5% de taxa de serviço? Resp. $12.000,00 
 
20) Um empréstimo de $4.000 foi retirado de um banco cuja taxa administrativa é de 
2,5%. Se o desconto bancário fosse de $564 e a taxa de juros 27,84% ao ano, qual 
seria o prazo contratado para tal empréstimo? Resp. 05 meses 
 
21) Um título a vencer em 90 dias, no valor de $10.000, foi descontado comercialmente 
por $9.375. Qual é a taxa de desconto e qual a taxa efetiva? 
Resp.: i = 25%a.a. ie = 26,67%a.a. 
 
22) Uma duplicata de valor nominal de $8.000 foi descontada 90 dias antes de seu 
vencimento a 23,5% ao ano. Qual é o desconto comercial? Qual a taxa efetiva? 
Resp.: $470,00 ie=24,97%a.a 
 
23) Um fornecedor oferece 03 meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar 
pelo pagamento a vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal. Que 
taxa de juro anual efetiva está sendo cobrada? Resp.: i = 44,44%a.a. 
 
24) O Banco Alfa cobra 2% de taxa de serviço e como taxa de juros emprega 26% ao 
ano. Qual é o desconto bancário de um título com valor nominal de $3.000 e 
vencimento a 04 meses? Qual a taxa efetiva? Resp.: d = $320,00 
ie= 35,82%a.a. 
 
25) Uma empresa vai ao banco para descontar uma duplicata de $7.200 com 
vencimento a 05 meses. Se a taxa de juros for de 25% ao ano e a taxa de serviço 
de 2,5%, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetiva paga pela empresa? 
Resp.: $6.270,00 ie= 35,6%a.a. 
 
26) Se o banco exigir 2% como taxa administrativa, qual será a taxa efetiva se a taxa 
de juros corrente for de 27% ao ano e os prazos de desconto forem: a) um mês 
b) três meses c) 6 meses. Resp. a) 53,26%a.a. b) 38,36%a.a. 
c) 36,69%a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
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Quando nos referimos à capitalização composta significa dizer que os juros produzidos 
num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão 
juros. A capitalização composta caracteriza-se por representar uma função exponencial. É 
também chamado de juros sobre juros, considerando-se que a base de cálculo dos juros é 
o valor capitalizado até o período imediatamente anterior. 
 
O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital aplicado denominaremos de 
período de capitalização, assim, se mencionarmos que é capitalizado mensalmente, isto 
quer dizer que o período de capitalização é um mês e passado um mês da aplicação os 
juros serão acrescidos ao valor aplicado, passando a render juros, como o valor 
inicialmente aplicado. Em economia inflacionária recomenda-se sempre o uso de 
capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples produz distorçõesaté no 
curtíssimo prazo. 
 
Se um capital C for aplicado a uma taxa i dada para certo período, os montantes 
constituídos no fim de cada um dos n períodos em que o capital ficar aplicado serão, 
respectivamente: 
 
M1 = C (1 +i) 
M2 = M1 (1+i) = C (1 + i ) (1 + i ) = C (1 + i )
2 
M3 = M2 (1 + i ) = C (1 + i )
2 (1 + i ) = C (1 + i )3 
 
 
 
 
M = C (1 + i)n = montante no fim de n períodos 
 
 
O capital também pode ser determinado a partir do montante: 
 
C = ni
M
)1( 
 
 
 
Os juros podem ser calculados pela diferença: j = M – C 
 
 
J = C (1 + i)n – C, logo j = C [(1 + i)n – 1] C = 
 
 – 
 
 
 
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A expressão (1 + i)n é comumente chamada de fator de PV para FV, o que significa que é 
o fator que, multiplicado por PV, determina FV (fator de capitalização composta). Por razão 
análoga, a expressão (1 + i)-n (fator de descapitalização composta) é chamado d e fator de 
FV para PV. Esses dois fatores, que só dependem de “n” e “i”, são encontrados em 
tabelas financeiras para cada valor de “n” e de “i” . 
 
Podemos determinar o prazo de capitalização (n): 
 
(1 + i)n = M/C 
n log (1 + i ) = log M – log C n = 
)1log(
C log - M log
i
 
 
 
 
A taxa (i) pode ser assim determinada: 
(1 + i )n = M/C (1 + i) = n
C
M
 i = 1n
C
M
 
 
 
 
Nas calculadoras científicas ou financeiras utilizaremos as seguintes teclas para 
cálculos de capitalização composta: 
 
Yx 1/x ou x-1 log ou ln 
x y n i PV FV, 
 
cujas orientações serão vistas em sala de aula. 
 
 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAXA DE JUROS 
 
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES – Os conceitos vistos para taxas 
proporcionais e taxas equivalentes no regime de juros simples são os mesmos para o 
regime de juros compostos. No entanto, enquanto no regime de juros simples as taxas 
proporcionais se confundem, favorecendo muitas vezes até uma identidade entre esses 
dois conceitos, no regime de juros compostos a diferença entre os conceitos é essencial, 
pois as taxas proporcionais na são equivalentes e fazem capitais iguais, em tempos iguais, 
produzirem montantes diferentes. Vejamos um exemplo: 
 
Três investidores, A, B e C, tinham, cada um, $10.000 para aplicar. A aplicou a 24% a.a., B 
aplicou a 12% a.s. e C aplicou a 2% a.m. Quais os montantes de cada um deles depois de 
decorrido um ano? 
 
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A M = 10.000 (1,24)1 = 12.400,00 
B M = 10.000 (1,12)2 = 12.544,00 
C M = 10.000 (1,02)12 = 12.682,42 
 
Verifica-se nesse exemplo que, embora as taxas de 24% a.a., 12%a.s e 2% a.m sejam 
proporcionais duas a duas, quando foram aplicadas sobre capitais iguais, por prazos 
iguais, produziram montantes diferentes, sendo tanto maior o montante quanto maior for o 
número de capitalizações ocorridas durante o ano. Sendo assim, o cálculo de taxas 
equivalentes, no regime de juros compostos, não se restringe a uma simples proporção 
como ocorre no regime de juros simples. 
 
TAXA NOMINAL – Quando o período a que se refere a taxa for diferente do período de 
capitalizações, temos a taxa nominal, que é expressa normalmente para periodicidade 
anual, sendo transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional. 
 
Ex.: A taxa mensal proporcional à taxa nominal de 24% a.a. é igual a 24/12 = 2% a.m. 
 A taxa semestral proporcional à taxa nominal de 30% a.a. é igual a 30/2 = 15% a.s. 
 
TAXA EFETIVA – É a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, 
independentemente do período de capitalizações. Isto quer dizer que se um capital foi 
aplicado durante um tempo a determinada taxa, não importa o período de capitalização, 
que o resultado final, o montante, será o mesmo. Quando queremos ajustar uma taxa ao 
período de capitalização utilizaremos equivalência de taxas. 
 
TAXA EQUIVALENTE – Dizemos que duas taxas são equivalentes quando um valor é 
aplicado por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo 
resultado. A taxa equivalente é calculada através da equivalência, aplicando-se o critério 
de capitalização composta: 
 
(1+ia) = (1+id)
360 = (1+im)
12 = (1+ib)
6 = (1+it)
4 = (1+iq)
3 = (1+is)
2 
 
 
Tomemos como primeiro exemplo as aplicações daqueles três investidores: 
 
(1+is)
2 = 1,24 is = 124,1  = 11,3552% a.s. 
(1+im)
12 = 1,24 im = 124,112 1,808758% a.m. 
 
Investidor A M = 10.000 (1,14) = 12.400 
Investidor B M = 10.000 (1,113552)2 = 12.400 
Investidor C M = 10.000 (1,01808758)12 = 12.400 
 
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PRATICANDO: 
a) Qual a taxa semestral equivalente a 10% a.m.? 77,15%a.s. 
b) Qual a taxa mensal equivalente a 24% a.a.? 1,809%a.m 
c) Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m. 26,824%a.a. 
d) Qual a taxa semestral equivalente a 24% a.a? 11,355%a.s. 
e) Qual a taxa semestral equivalente a 2% a.m.? 12,616%a.s. 
f) Qual a taxa diária equivalente a 78% a.s.? 0,32085%a.d. 
g) Qual a taxa bimensal equivalente a 12% a.s.? 3,85%a.b 
h) Qual a taxa quadrimestral equivalente a 20% a.t.? 27,519%a.q. 
i) Qual a taxa trimestral equivalente a 28% a.a.? 6,366%a.t. 
j) Qual a taxa trimestral equivalente a 3% a.b? 4,534%a.t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ATENÇÃO: TAXA NOMINAL TAXA PROPORCIONAL 
 
 TAXA EFETIVA TAXA EQUIVALENTE 
 
 
1) Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 1,5% a.m., no mercado de 
capitais, capitalizável mensalmente. Se um amigo lhe pedir emprestado $12.000 por 
um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente neste 
período? Resp.: $14.347,42 
 
2) O capital de $29.200, produziu o montante de $44.000 em um ano. Considerando a 
capitalização mensal, qual é a taxa mensal de juros? Resp.:3,47% a.m. 
 
3) Qual o capital que, aplicado a 6% a.m., capitalizável mensalmente, produz o montante 
de $313.669,20 após 03 anos? Resp.: $38.500 
 
4) O capital de $25.000, aplicado à taxa de 11,36% a.s., capitalizável semestralmente, 
produz o montante de $37.800. Quanto tempo ficou aplicado? Resp.: 3s 5m 2d 
 
5) Quais os juros de $20.000, no fim de 02 anos e meio, a taxa efetiva de 20% a.a.? 
Resp.: $11.548,82 
 
6) Um capital de $140.000 rendeu $59.090 de juros numa capitalização trimestral. 
Sabendo-se que ficou aplicado dois anos, qual a taxa trimestral de juros? Qual a taxa 
efetiva anual de juros? Resp.: i = 4,5% ao trimestre e 19,25% ao ano 
 
7) Determinar o montante composto de $35.000 durante 03a 7m 25d a juros de 10% a.t., 
capitalizável trimestralmente? Resp.: $140.883,848) Calcular a taxa anual equivalente a: 
a) 5% ao mês Resp.: 79,58% 
b) 12% ao semestre Resp.: 25,44% 
c) 8% ao trimestre Resp.: 36,05% 
d) 10% ao quadrimestre Resp.: 33,1% 
 
9) Calcular a taxa mensal equivalente a: 
 a) 10% ao bimestre Resp.: 4,88% 
 b) 60% ao ano Resp.: 3,99% 
 c) 30% ao semestre Resp.: 4,46% 
 d) 15% ao trimestre Resp.: 4,76% 
 
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10) Uma pessoa deposita $45.000 numa instituição financeira por 03 anos à taxa nominal 
de 24% a.a. Calcular o montante, sabendo que no 1º ano os juros são capitalizados 
semestralmente, no 2º ano trimestralmente e no 3º ano mensalmente. Resp.: 
$90.380,36 
 
11) Uma pessoa aplicou num banco um valor que, após 09 meses, rendeu $2.480. 
Sabendo que a taxa é de 0,85% a.m., capitalização mensal, qual foi o valor aplicado? 
Resp.: $31.331,62 
 
12) Uma pessoa recebeu um montante de $606.852,26, de um capital de $500.000, à taxa 
de 2,2% a.m., capitalizável mensalmente. Calcule o tempo que este capital ficou 
empregado. Resp.: 8m 27d 
 
13) Uma pessoa emprestou um valor, para após 24 meses receber um total de 
$150.699,68. Sendo a taxa capitalizável mensalmente de 3,5% a.m., qual é o valor do 
capital emprestado? Resp.: $66.000 
 
14) Uma pessoa recebeu $106.627,10 de juros, sobre um capital de $500.000 à taxa de 
2,8% a.b., capitalizável bimestralmente. Qual o tempo que este capital ficou aplicado? 
Resp.: 7 Bimestres 
 
15) O capital de $32.000 produziu um montante de $78.371 em 1 ano. Sendo mensal a 
capitalização, qual a taxa de juros? Resp.: 7,75% a.m. 
 
16) Quanto tempo ficou aplicado um capital de $1.200 para formar um montante de $3.200, 
à taxa de 14,594177% a.m., capitalizável mensalmente? Resp.: 7m 6d 
 
17) Milena um aparelho de som há 06 meses por R$800,00. Estando o aparelho em ótimo 
estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o 
capital aplicando na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros 
compostos. Resp.: R$900,93 
 
18) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros 
efetivos de 5%a.m. pelo prazo de 25 dias. Resp.: $82,99 
 
19) Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva de 12%a.t. Se foi 
liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. Resp.: 
392,40 
 
20) Pretende-se daqui a 06 meses comprar um automóvel de R$25.000,00. Calcular a 
aplicação necessária em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de 
modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. 
Resp.: R$ 23.106,39 
 
 
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21) Uma pessoa depositou num banco um valor, a juros compostos. Sabendo que após 
seis meses tinha um saldo de $9.918,21 e, passados mais 05 meses, o saldo passou a 
$30.267,98, calcule a taxa efetiva mensal de juros e quanto foi aplicado. 
Resp.: 25% a.m. C =$2.600 
 
22) Uma pessoa depositou um valor num banco, com capitalização mensal. Sabendo que 
após oito meses o saldo era de $15.445,37 e após 12 meses, do depósito, o saldo 
passou a ser de $51.301,88, calcule o valor aplicado. Resp. $1.400 
 
23) Uma pessoa depositou um valor num banco, com capitalização mensal. Sabendo que 
após oito meses o saldo era de $15.445,37 e após 12 meses, do depósito, o saldo 
passou a ser de $51.301,88, calcule a taxa de juros. Resp.: 35% a.m. 
 
24) Após seis meses, determinado capital formou um montante de $1.559,95. Sendo a taxa 
de 36,9% a.t. e a capitalização mensal, qual foi o valor aplicado? Resp.: 
$777,74 
 
25) Um investidor aplicou 35% de seu capital a 14% ao ano e o restante a 18% ao ano. No 
final de dois anos, a diferença entre os montantes acumulados nas duas aplicações 
totalizou R$16.650,00. Determine o capital total investido, considerando o regime de 
juros compostos. Resp.: R$36.983,56 
 
26) João Paulo aplicou 25% de seu capital a 15% ao ano, 35% de seu capital a 18% ao 
ano e o restante a 12% ao ano, no regime de juros compostos. Determine o valor do 
principal aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de dois anos foram de 
R$8.750,00. Resp.: R$27.367.27 
 
27) Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 03 meses a juros efetivos de 5% 
a.m. e o segundo por 10 meses a juros de 4% a.m. Sabendo-se que pagou ao todo 
R$11.181,14 de juros, e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, 
calcular o valor do primeiro empréstimo. Resp.: C1 = R$10.000,00 
 
28) Um empréstimo teve no primeiro mês uma taxa de juros equivalente a 3%, no segundo 
uma taxa de 8%, no terceiro 5% e no quarto uma taxa de 10%. Qual a taxa 
acumulada? Resp.: 28,48% 
 
29) Alexandre aplicou R$40.000,00 (valor presente) em um CDB com prazo igual a 220 
dias que teve as seguintes rentabilidades: durante os primeiros 108 dias, o CDB foi 
remunerado a uma taxa igual a 2,45% a.m., e no restante do tempo a remuneração 
atingiu 22,80% a.a. Calcule a taxa de juros compostos mensal efetiva da aplicação. 
Considere o ano comercial. Resp.: i=2,0809% a.m. 
 
30) Apliquei uma quantia à taxa de 4% a.m., em regime de juros compostos. Depois de 05 
meses, a taxa foi elevada para 12% a.m. e o meu capital ficou ainda aplicado por 03 
meses a essa nova taxa, quando, então, retirei o montante de R$170.930,97. 
a) Qual era o capital inicial? Resp.: C = R$ 100.000,00 
b) A que taxa média mensal esteve aplicado? Resp.: 6,93% 
 
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Em época de inflação, é preciso muito cuidado para analisar taxas de juros nas operações 
financeiras ou taxas de crescimento de vendas ou de lucro nas operações comerciais ou 
mesmo taxa de variação de preços ou salários. Várias vezes uma taxa aparentemente alta 
fica muito baixa, ou até negativa, quando se considera a inflação do período. Tem-se, 
assim, uma taxa aparente e uma taxa real. Por taxa aparente entende-se aquela que 
vigora nas operações correntes. Taxa aparente é a que se obtém sem que seja 
considerada a inflação do período; taxa real é a obtida depois que se exclui a inflação do 
período. A taxa real considera os efeitos negativos inflacionários do período considerado. 
Para estimá-la, é necessário expurgar a perda ou o ganho inflacionário decorrente do 
processo de alta geral dos preços. Ela pode ser negativa ou positiva, dependendo se a 
taxa de inflação excedeu ou não a taxa efetiva. 
 
Suponha que um capital “C” tenha sido aplicado e tenha produzido o montante “M” no fim 
de certo período. Suponha-se, ainda, que a taxa de inflação do período tenha sido “i”. Se 
não for considerada essa inflação, a taxa de ganho do investidor será a taxa aparente ia, e 
a relação entre o capital e o montante será: 
 
 
 M = C (1 + ia) 
 
Considerando-se a inflação, é fácil perceber que o montante produzido é resultado de um 
capital acrescido da taxa real de juros i, e sucessivamente acrescido da taxa de inflação: 
 
 M = C (1 + ir) (1 + ii) 
 
 Comparando-se essas duas igualdades, tem-se: (1+ia) = (1+ir) (1+ii) em que: 
 
 
 ia = (1+ir) (1+ii) – 1 TAXAAPARENTE 
 
 
 ir = 1 + ia - 1 TAXA REAL 
 1 + ii 
 
 
 ii = 1 + ia - 1 TAXA INFLACIONÁRIA 
 1 + ir 
 
 
 
 
 
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Exemplo: O salário de um funcionário público era de $500 e, depois de um aumento 
concedido pelo governo, passou a ser de $635. 
 
a) Qual a taxa aparente e qual a taxa real de aumento desse funcionário se a inflação 
do período foi de 22,5%? 
b) E se a inflação do período foi de 28,2%? 
 
 
 a) ia = 135 = 27% 
 500 
 1+ ia 1 = 1,27 - 1 = 0,0367 ir = 3,67% 
 1 + ii 1,225 
 
A taxa aparente é de 27%, mas o aumento real do salário foi de apenas 3,67%. 
 
 
 b) i = 135 = 27% 
 500 
 ir = i + ia - 1 = 1,27 - 1 = – 0,0094 ir = – 0,94% 
 1 + ii 1,282 
 
A taxa aparente é a mesma, 27%, mas houve um decréscimo real de 0,94% no salário 
do funcionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. 
Qual a taxa de juros efetiva anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento 
anual real se a taxa de inflação foi de 5,5% a.a. Resp.: 6,17%a.a. e ir = 0,64%a.a 
 
2) Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para ganhar 80/o a.a. de 
juros reais, a uma inflação de 5% a.a. Resp. 13,4% a.a. 
 
3) A taxa de juros para aplicações de curto e médio prazo, em um banco, é de 40% a.a. 
Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 30% a.a. 
Resp. 7,69% a.a. 
 
4) Que taxa de inflação anual ocorreu para que um aplicador ganhe 12% a.a. de juros 
reais; caso a taxa aparente seja de 25% a.a. Resp. 11,61%a.a. 
 
5) Por um capital de $6.000 aplicado por 02 anos, o investidor recebeu $5.179,35 de 
juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a. 
Resp. 5%a.a. (real) 36,5% a.a.(aparente) 
 
6) Uma pessoa aplica $10.000 em uma instituição financeira que paga 7% a.a. mais a 
inflação. Que montante receberá o investidor após 03 anos, se a inflação for de 
25%a.a. Resp. M=23.926 
 
7) Uma pessoa comprou uma casa por $80.000 e vendeu-a, após 01 ano, por $120.000. 
De quanto deve ser a inflação mensal para que o investidor ganhe 10%a.a. como juros 
reais? Resp. 2,62% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Da mesma forma que os juros compostos podem ser considerados como uma sucessão 
de juros simples, calculados períodos por períodos, os descontos compostos também 
podem ser considerados como uma sucessão de descontos simples, calculados períodos 
por períodos. 
 
No sistema de capitalização composta também podem ser definidos os dois tipos de 
descontos que foram definidos para o regime de capitalização simples, isto é, o desconto 
comercial e o desconto racional. 
 
Na prática, os descontos compostos têm pouca aplicação. O racional é utilizado para 
equivalência de capitais com juros compostos e o comercial é utilizado em uma técnica de 
depreciação. Estudaremos apenas o desconto racional composto. 
 
 
DESCONTO RACIONAL 
 
 
 N = V(1 + i)n V = 
ni
N
)1( 
 D = 
ni
N
N
)1( 
 
 
 
 i = 1n
V
N
 
)1log(
loglog
i
VN
n


 ou 
)1( iLn
LnVLnN
n


 
 
 
 
A expressão desconto com taxa de juros compostos é também utilizada para significar o 
desconto racional composto, pois, analogamente ao que acontece com o desconto racional 
simples, se o valor nominal de um titulo for considerado como um valor futuro e seu valor 
atual for considerado como um valor presente, pode-se, facilmente, verificar a equivalência 
entre as fórmulas: 
 
 
 ni
FV
PV
)1( 
 e ni
N
V
)1( 
 
 
 
 
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
No regime de capitalização composta, dois (ou mais) capitais são equivalentes, com uma 
taxa dada, se seus valores, calculados em qualquer data (data focal), com essa taxa, 
forem iguais. 
 
Também nesse regime de capitalização podem-se ter capitais equivalentes com desconto 
comercial composto ou capitais equivalentes com juros compostos (ou desconto racional 
composto), conforme a sistemática de cálculo usada na equivalência. Na prática, apenas é 
utilizada a equivalência com juros compostos. 
 
Em juros compostos, segundo a teoria vista de desconto e capitalização, a data de 
comparação pode ser qualquer uma, já que, se dois capitais forem equivalentes em uma 
certa época, eles o serão em qualquer outra. Entretanto, como veremos, ao fazer a 
comparação entre duas formas de pagamento, é mais conveniente escolher uma época 
em que haja o maior número possível de capitais, a fim de facilitarmos nosso trabalho. 
 
Antes de passarmos aos exemplos, recordemos, com a figura abaixo, como se capitaliza e 
descapitaliza em juros compostos. 
 
Para levar o capital A da época 1 para a época 6, basta que o multipliquemos por (1 + i)5, 
pois capitalizamos o valor A por 5 períodos ( 6 – 1 = 5); 
 
Se quisermos voltar o capital D da época 07 para a época 03, teremos de dividi-lo por 
(1 + i)4 , pois estamos agora descapitalizando o valor D por 4 períodos (7 – 3 = 4). 
 
 
Ex. 01: Uma firma empreiteira fez um empréstimo de $200.000 e ficou de pagá-lo em duas 
vezes, dentro de 4 e 6 bimestres, respectivamente, a juros de 10% a.b. Sabendo-se que as 
prestações são iguais, qual o valor de cada uma delas? 
A B 
C D 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
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37 
Usando a época zero como data de comparação (data focal zero) 
 200.000 = 
64 )1,1()1,1(
NN
 
 200.000 = 0,683013N + 0,564474N 
 1,2474873N = 200.000 
 N = 160.322,27 
 
 
Usando a época seis como data de comparação (data focal seis) 
 200.000(1,1)6 = N(1,1)2 +N 
 354.312,20 = 1,21N + N 
 2,21N = 354.312,20 
 N = 160.322,27 
 
Ex. 02: Uma indústria fez um empréstimo e ficou de pagar, depois de 05 quadrimestres, o 
montante de R$1.000.000, tendo os juros sido contratados a 12% a.q. Decorrido 01 
quadrimestre, a indústria quer liquidar a dívida com dois pagamentos iguais, efetuando o 
primeiro imediatamente e o segundo depois de 02 quadrimestres. Qual o valor de cada 
pagamento? 
 
 
 
 
Usando a data focal zero: 
35 12,1
N
12,1
N
12,1
000.000.1
 
 567.426,85 = 0,892857N + 0,71178N 
 1,604637N = 567.426,85 
 N = 353.616,96 
 
N N 
 0 1 23 4 5 quadrimestres 
N N 
0 1 2 3 4 5 6 bimestres 
200.000 
1.000.000 
 
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38 
Usando a data focal cinco 
 1.000.000 = N(1,12)4 + N(1,12)2 
 1.000.000 = 1,573519N + 1,254400N 
 2,827919N = 1.000.000 
 N = 353.616,92 
 
 
Ex. 03: O preço a vista de uma casa é de $500.000. O vendedor facilita a transação, 
propondo o seguinte: 100.000 de entrada, duas parcelas semestrais de $200.000 cada e 
um pagamento final de $157.010,59. Se a taxa contratada for de 3% a.m., de hoje a quanto 
tempo será o último pagamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a data focal zero 
500.000 = 100.000 + 
n126 03,1
59,010.157
03,1
000.200
03,1
000.200
 
500.000 – 100.000 – 167.498,85 – 140.275,97 = 
n03,1
59,010.157
 
92.225,17 = 
n03,1
59,010.157 
 
Considerando que $157.010,59 representa o valor nominal e $92.225,17 representa o valor 
atual à taxa de desconto de 3%a.m., nos resta calcular o prazo para o pagamento deste 
valor final usando a fórmula: 
 
)1log(
loglog
i
VN
n


 = 
03,1log
17,225.92log59,010.157log 
 = 18 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
157.010,59 100.000 200.000 200.000 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .................... 
n meses 
 
500.000 
 
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 CONSIDERAR, EM TODAS AS QUESTÕES, JUROS COMPOSTOS; 
 A TAXA SERÁ SEMPRE EFETIVA, COM EXCEÇÃO DAS QUESTÕES QUE 
MENCIONAR TAXA NOMINAL. 
 
1) Um título de valor nominal de $20.000 foi resgatado três meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratada a taxa de juros compostos de 2,5% a.m. Qual o 
valor do desconto? Resp. 1.428, 
 
2) Ao descontar uma NP no valor de $5.000 no vencimento, a financeira informou que 
sua taxa efetiva de desconto composto era de 30% a.a. Se o desconto fosse efetuado 
02 meses antes do vencimento, qual seria o valor líquido recebido? Resp. $4.786, 
 
3) Numa operação de desconto, o possuidor de um título recebeu $10.000 como valor de 
resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de 06 meses e o desconto composto de 
$1.402, pergunta-se qual foi a taxa de juros anual adotada. Resp.: 30% a.a. 
 
4) Numa antecipação de 06 meses, o desconto composto foi de $720. Qual o valor 
nominal do título, supondo-se uma taxa de 30% a.a? Resp.: $5.856, 
 
5) Uma empresa prevê pagamentos de $250.000 daqui a um, dois e três meses. Quanto 
deverá aplicar hoje, à taxa de 1,6%a.m. para fazer frente a esses pagamentos? 
Resp.: $726.624,98 
 
6) Um terno é vendido em uma loja por $800 de entrada mais uma parcela de $400 após 
um mês. Um comprador propõe dar $200 de entrada. Nessas condições, qual o valor 
da parcela mensal, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 
4%a.m.? Resp.: $1.024 
 
7) Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 01 ano, no 
valor de $15.000, e o segundo em 01 ano e meio, no valor de $25.000. O cliente aceita 
assinando uma Nota Promissória, com vencimento para 06 meses. Sabendo-se que a 
taxa de juros considerada na operação foi de 30% a.a., qual o valor da Nota 
Promissória em seu vencimento? Resp.: $32.386,64 
 
 
 
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8) Certa pessoa contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: 
o primeiro de $2.500 e o segundo, 06 meses após o primeiro, de $3.500. Contudo, no 
vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, o devedor propôs 
adiamento de sua dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de $4.000 daí a 03 
meses e o saldo em 09 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5% a.m., qual 
o saldo restante? Res.; $2.252,51 
 
9) Um carro está a venda por $20.000 de entrada e $20.000 após 06 meses. Um 
comprador propõe pagar $25.000 como segunda parcela, o que será feito, entretanto, 
após 08 meses. Neste caso, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros de 
mercado for de 2%a.m. Resp.: $16.422,16 
 
10) Um sítio é posto a venda em uma imobiliária por $500.000 a vista. Como alternativa, a 
imobiliária propõe: entrada de $100.000, uma parcela de $200.000 para 01 ano e dois 
pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 06 meses e o segundo em 01 ano e meio. 
Qual o valor destes pagamentos, se a taxa de juros adotada for de 5% a.m.? Resp.: 
$248.449,30 
 
11) Uma fábrica de tecidos fez um empréstimo para pagar em 04 prestações mensais 
iguais, bimestrais e consecutivas, no valor de $100.000 cada, vencendo a primeira 
dois bimestres após o empréstimo. Se, agora, a fábrica quiser saldar a dívida com dois 
pagamentos iguais, efetuando o primeiro quatro bimestres após o empréstimo e o 
segundo três bimestres após o primeiro pagamento, qual o valor de cada um desses 
novos pagamentos, supondo-se para a segunda transação a taxa de 10% a.b.? 
 Resp.: $240.909,90 
 
12) Um conjunto de sofás é vendido a vista por $1.500 ou a prazo em três prestações 
mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo 
da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera a 
uma taxa de juros compostos de 5%a.m. Resp.: $559,92 
 
13) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.000, podendo também ser financiado da 
seguinte forma: Entrada de 30%, duas parcelas mensais e consecutivas, sendo a 
segunda igual ao dobro da primeira e vencendo a primeira dois meses após a compra. 
 Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4%a.m.? 
Resp.: $770,04 e $1.554,08 
 
14) Carlos pretende vender um equipamento pelo preço de $50.000 a vista. Entretanto, 
em face das dificuldades de venda a vista, está disposto a fazer o seguinte plano de 
pagamento: 
 
 Entrada de $10.000 mais $10.000 no fim de três meses e duas parcelas, sendo a 
segunda de 50% superior à primeira, vencíeis em seis meses e um ano, 
respectivamente. 
Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 4%a.m., qual o valor da última 
 
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Matemática Financeira 
Prof.a Vilma Vergasta – vilmavalente@globo.com 8667-9701 9292-1288 
 
41 
parcela (que vence em 01 ano)? Resp.: $27.017,60 
 
15) Carlos pretende vender o seu terreno pelo preço de $600.000 a vista. Entretanto, em 
face das dificuldades de venda a vista, está disposto a fazer o seguinte plano de 
pagamento: 
 
 Entrada de $120.000 mais $250.000 no fim de seis meses e duas parcelas, sendo a 
segunda de 50% superior à primeira, vencíeis em 01 ano e 15 meses, 
respectivamente. 
 Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 6%a.m., qual o valor da última 
parcela (que vence em 15 meses)? Resp.: $405.782 
 
16) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro de $250.000 exigível em 03 meses, 
o segundo de $300.000 exigível em 06 meses e o terceiro de $450.000 exigível em 09 
meses. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $1.542.683. 
Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%, determine o 
prazo do novo título. Resp.: 12 meses 
 
17) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro