Geometria Analítica: Sistemas de Coordenadas

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
Sistemas de coordenadas
Chamamos de 0 (zero) a origem, ou seja, a intersecção de duas retas em posição 
perpendicular (formando 90 graus). Os números reais indicados nas posições horizontal 
e vertical para essas duas retas perpendiculares constituem um par ordenado (a, b) no 
plano cartesiano, que é a apresentação do sistema de coordenadas. Esses pontos sobre 
duas retas, tanto na horizontal quanto na vertical, são identificados com números reais 
e atribuímos a eles coordenadas (dois pontos dispostos), uma no eixo horizontal e outra 
no eixo vertical. É importante você saber que o eixo na posição horizontal é definido pela 
coordenada da abscissa (X) e o eixo na posição vertical é definido pela coordenada da 
ordenada (Y). Essas coordenadas são um sistema cartesiano de distribuição de pontos 
(par ordenado) em posição horizontal e vertical e compreendem o plano de sistema de 
coordenada.
Para que você visualize melhor essa definição teórica, vamos começar com um par 
ordenado de números reais (a, b) e indicar ao ponto correspondente P. Vamos nos referir 
ao ponto P com o par ordenado (a, b) como “ponto (a, b)”. [Notação para intervalo aberto 
(a, b) usada para o ponto (a, b), assim podemos distinguir o significado pelo contexto.] Esse 
sistema é chamado de sistema coordenado retangular ou de coordenadas cartesianas, 
em homenagem ao grande matemático René Descartes (1596-1650). Outro brilhante 
francês, Pierre de Fermat (1601-1665), inventou os princípios da geometria analítica 
simultaneamente a Descartes. O plano fornecido por esse sistema de coordenadas, 
denominado plano coordenado ou cartesiano, que é definido pelos eixos x e y, chamados 
eixos coordenados” e divide o plano cartesiano em quatro quadrantes, os quais são 
indicados por I (primeiro quadrante), II (segundo quadrante), III (terceiro quadrante) e IV 
(quarto quadrante).
Observe na figura a seguir que o primeiro quadrante consiste nos pontos de coordenadas 
x e y positivas (números reais positivos).
2º Quadrante 1º Quadrante
P (a, b) = (3, 1)
3º Quadrante 4º Quadrante
x
y
-1
-2
1
2
1 32
3
-3
-1-2-3
Fonte: Adaptada de Ventura (2013). 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
Abscissa e ordenada
A abscissa é a coordenada horizontal de um referencial plano de coordenadas cartesianas. 
Seus pontos (números reais) se localizam no eixo X. Sendo um número real ‘a’ qualquer 
(positivo ou negativo) representando esse referencial sob a forma de um gráfico, obtemos 
a ordenada y (eixo vertical) que também se apresenta sobre números reais positivos 
e negativos ‘b’. Além disso, se medirmos a distância do ponto observado ao eixo das 
abcissas (x), paralelamente ao eixo das ordenadas (y), teremos o que chamamos de 
sistema de coordenadas cartesianas; observe a figura a seguir:
Reais positivos ‘b’
Reais positivos ‘a’
Reais negativos ‘a’
Reais negativos ‘b’
x (abscissa)
y (ordenada)
-
-
+
+
+
+ + +
-
---
Fonte: Adaptada de Miranda, Crisi e Lodovici (2015).
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A região de pontos no plano
Na representação de uma região dada por um conjunto { (x, y) / y ≤ 0 }, temos que todos 
os pontos (números reais) estarão no terceiro e no quarto quadrantes, como mostra a 
figura a seguir.
x 
y 
Sendo a representação de uma região dada por um conjunto { (x, y) / y = 2 }, temos que 
o ponto (número real) estará localizado no eixo vertical e será igual a 2, como você pode 
ver na figura seguinte.
x 
y 
y = 2
Fonte: Adaptada de Ventura (2013).
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
Se observarmos a representação de uma região dada por um conjunto {(x, y) ‒1 < x < 1}, 
veremos que todos os pontos (números reais) estarão nos limites do eixo x (abscissas 
– negativos ou positivos) e não ultrapassarão -1 e +1 no eixo vertical (ordenada), como 
mostra a fi gura a seguir.
x 
x = -1 x = 1 
y 
Como já vimos, a região de pontos em um plano consiste naqueles pontos (a, b) cuja 
coordenada x ou y está entre os números reais dados ou indicados pelo conjunto. Logo, 
a região que abrange pontos, cujas coordenadas x são 0 ou positivas, se situa no eixo y 
ou à direita dele, como indicado pelo sombreado da Imagem y ≤ 0. Veja também que 
todos os pontos de coordenada y são iguais a 2 e defi nem uma reta horizontal em uma 
unidade acima do eixo x (Imagem y = 2). Além disso, repare que, nos pontos do plano cuja 
coordenada y está entre -1 e +1, a região consiste em todos os pontos que estão entre as 
retas horizontais, conforme apresentado na Imagem x < 1.
x 0
y = 1 
y = -1 
y 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
De acordo com Stewart (2010, p. 561):
[...] a distância entre os pontos a e b sobre o eixo real é |a – b | = 
 |b – a |. Portanto, a distância entre os pontos P1 (x1, y1) e P3 (x2, y1) e 
sobre uma linha horizontal deve ser |X2 – x1| e a distância entre P2 
(x2, y2) e P3 (x2, y1) e sobre uma linha vertical deve ser |Y2 – y1| 
(STEWART, 2010, p. 561). 
Assim, para encontrarmos a distância entre dois pontos quaisquer, indicamos pelo teorema 
de Pitágoras: |P1 P2| = = . 
Logo, a fórmula da distância entre os pontos P1 (x1, y2) e P2 (x2, y2) é: 
|P1 P2| = .
Sistema de Coordenada 
Cartesiana
Tem sua formação por dois 
pontos (a, b) de números reais, 
localizados nos eixos de 
coordenadas X e Y.
Os pontos (a, b) são números 
reais e se localizam no eixo 
da abscissa X e ordenada Y.
O cálculo da distância entre 
dois pontos é deduzido pelo 
teorema de Pitágoras: 
|P1 P2| =
Caro estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela você compreendeu e 
visualizou o comportamento de um Sistema de Coordenadas Cartesianas, em um plano 
espaço, sob a orientação de números reais (a, b), localizados em eixo vertical e horizontal 
(abcissa e ordenada). 
Além disso, você viu que a movimentação de um ponto P (qualquer) sempre será 
compreendida na orientação de um par ordenado, o que dá a identificação de retas 
orientadas nos eixos de coordenadas X e Y e a determinação de um ponto P, pertencente 
a um dos eixos na coordenada. Na prática, utiliza-se o papel quadriculado, ou régua 
milimétrica e transferidor, para representação gráfica dos pontos sobre as coordenadas.
Para completar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham 
esta aula.
Até a próxima!