SISTEMAS - 1º Anos

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Material de Estudos EAD – Matemática 1º anos. 
Professor Waldir Neves Junior. 
Resolução de Sistemas 
Os Sistemas de equações são importantes para realizarmos cálculos de 
determinadas funções e certas situações problemas. Todos vocês aprenderam 
ainda no fundamental. Por isso, a proposta aqui e relembrarmos e praticá-los 
um pouco. 
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em 
determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas 
equações. Então vamos relembrar seus métodos de resolução da Substituição 
e da adição que são os mais utilizados. Porém, existem outros que você pode 
pesquisar e utilizar também. 
Relembrando os Métodos: 
Exemplos: 
Método de substituição 
 
Solução: 
 determinamos o valor de x na 1ª equação. 
x = 4 - y 
 Substituímos esse valor na 2ª equação. 
2 . (4 - y) -3y = 3 
 Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
-5y = -5 => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
y = 1 
 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, 
determinando x. 
x + y = 4 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
V = {(3, 1)} 
Método da adição 
Sendo U = , observe a solução do sistema a seguir, pelo método da 
adição. 
 
Solução: 
 Adicionamos membro a membro as equações: 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, 
determinando y: 
x + y = 10 
8 + y = 10 
y = 10 - 8 
y = 2 
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). 
V = {(8, 2)} 
 
Quando o sistemas resulta em uma equação do segundo grau: 
Alguns sistemas quando resolvidos por quaisquer um dos métodos, resultam 
em equações do 2º do segundo grau. Então, para resolvelas e encontra o 
conjunto de soluções que são as raízes da equação se faz necessário usarmos 
a formula de Bhaskara. 
Equação do 2º grau: 
Modelo: ��� + �� + � = 0 
Formula de Bhaskara: Modelo: 
� =
−� ± √�� − 4��
2�
 
Uma equação do segundo grau é toda aquela que pode ser escrita na seguinte 
forma: ax2 + bx + c = 0 
Com a, b e c como números reais e com a ≠ 0. 
Se x é a incógnita da equação do segundo grau acima, então a, b e c são 
seus coeficientes. A incógnita é o número desconhecido de uma equação, e os 
coeficientes são os números conhecidos, na maioria dos casos. 
Note que o coeficiente “a” é o número real que multiplica x2. Para o uso 
da fórmula de Bhaskara, isso sempre será verdadeiro. 
Além disso, o coeficiente “b” é o número real que multiplica x, e o coeficiente 
“c” é a parcela fixa que aparece na equação, ou seja, que não multiplica a 
incógnita. 
Sabendo disso, podemos dizer que os coeficientes da equação: 
4x2 – 4x – 24 = 0 
São: 
a = 4, b = – 4 e c = – 24 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm
Mapa Mental: Fórmula de Bháskara: 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
Lista de Exercícios 
1 – Praticando os métodos: Resolva os sistemas lineares abaixo. Lembrando 
que se resultar em uma equação do 2º grau é necessário utilizar Bhaskara para 
encontrar o conjunto de soluções. 
a) 





6
8
yx
yx
 b) 





6
8
yx
yx
 c) 





5
42
yx
yx
 
d) 





0
62
yx
yx
 e) 





43
22
yx
yx
 f) 





72
11
yx
yx
 
 
a) 





5
1
22 yx
yx
 b) 





5
5
22 yx
yx
 c) 





1422
12
yx
xy
 
 
d) 





3
32
yx
yx
 e) 





1
34
xy
yx
 f) 






1
252
2
2
yx
yx
 
2 - Nas equações abaixo, escolha o método de resolução que julgar mais 
conveniente, ou seja, isolando a incógnita, fatorando a expressão ou utilizando 
a fórmula de Bhaskara: 
a) x² - 36x = 0 b) 3x² - 27 = 0 c) x² - 8x + 15 =0 
 
d) x² + 1 = 0 e) -x² + 10x = 0 f) x² - x - 3 = 0 
 
3- A soma de dois números resulta 12, porém a diferença entre esses mesmos 
dois números resulta 10. Utilizando um sistema de equações, determine quais 
são esses números. 
4 - Determine, por meio de um sistema de equações, dois números cujo 
produto é -36, e a soma é 16. 
5 - A diferença entre dois números é 3, e a soma de seus quadrados é 65. 
Determine esses números. 
6 - A área de um retângulo é de 20m². Se o seu perímetro é 18m, quanto mede 
cada um de seus lados? 
7 – Um determinado triângulo retângulo tem hipotenusa de 13 cm e seus 
catetos possuem dimenssões desconhecidas. Calcule a área desse triângulo 
sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que X < Y. 
8 – Uma quadra esportiva retangular, com perímetro de 64 m e área de 192 �� 
tem X e Y como medidas. Calcule Comprimento e largura do retângulo 
sabendo que seu lado maior mede 2x + 2y e seu lado menor mede 2x. 
9- Um marceneiro recebeu 74 tábuas de compensado, algumas com 6 mm de 
espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas 
atingiram uma altura de 50 cm. Quantas tábuas de 8 mm ele recebeu? 
 
 
 
CURIOSIDADE: BHASKARA – O Matemático 
O estudante aprende que a formula desenvolvida por esse matemático é 
fundamental para resolver equações. Mas se fala muito pouco sobre ele. 
Então, nessa quarentena, aproveita e conheça um pouco sobre este grande 
matemático. 
 
Bhaskara (1114-1185) foi um matemático, astrólogo, astrônomo e professor 
indiano. Se tornou conhecido por ter criado a fórmula matemática aplicada na 
equação de 2° grau, embora haja controvérsias quanto a esse fato. 
Bhaskara Akaria (1114-1185), também conhecido como Bhaskara II nasceu na 
cidade de Vijayapura, na Índia, local de excelente tradição de matemáticos. 
Seu pai era astrônomo e lhe ensinou os princípios da matemática e astronomia. 
Foi chefe do observatório astronômico de Ujjain, escola de matemática muito 
bem reconhecida. Bhaskara foi especialista em estudos sobre álgebra, o que 
levou a aprofundar suas pesquisas sobre as equações e sistemas numéricos. 
Bhaskara escreveu três obras fundamentais: “Lilavati”, “Bijaganita” e 
"Siddhantasiromani". A primeira trata de questões ligadas à aritmética, ao 
passo que a segunda obra refere-se à álgebra, problemas de equações 
lineares e quadráticas, progressões aritméticas e geométricas. A última obra, 
“Siddhantasiromani”, é dividida em duas partes: a primeira trata sobre 
astronomia, a segunda, sobre a esfera. 
Bhaskara trabalhou com a questão da raiz quadrada em equações, sabendo 
que existia duas raízes na resolução da equação de segundo grau, mas não há 
registros sólidos de que a conhecida fórmula de Bhaskara seja realmente dele. 
Isso acontece por que as equações até o século XVI tinham letras, o que foi 
usado depois daquele século pelo matemático francês François Viète. 
O que se conhece no Brasil pela fórmula de Bhaskara não é comprovado pelos 
escritos e estudos encontrados por pesquisadores. As seguintes equações 
referentes ao estudo do seno e cosseno foram concebidas por ele: sen(a+b)= 
sen a .cos b + sen b .cos a/ sen(a-b)= sen a .cos b - sen b .cos a. 
Bhaskara faleceu em Ujjain, na Índia, no ano de 1185. Em 1207, foi criada uma 
instituição para estudar suas obras. 
 
Bons estudos e não se esqueçam, fiquem em casa! 
	Método de substituição 
	Método da adição