Transformada-Discreta-de-Fourier

Prévia do material em texto

1 
Transformada de Fourier 
Discreta (DFT) 
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva 
jmauricio@cear.ufpb.br 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
Transformada de Fourier em 
Tempo Discreto 
• Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
2
, 0,..., 1
k
k L
L

   
[ ] ( )Fx n X 
1
0
( ) [ ] , 0,1,2,...., 1
L
j n
n
X x n e k L

 

   
3 
t 
x(t) 
A/D 
fs = Frequência 
de amostragem 
 (sampling) 
 
Ts = 1/fs = Período de 
amostragem 
n 
x(n) 
0 1 n 
x(n) 
0 1 
N = número 
de amostras 
N-1 
Sinal amostrada utilizando um conversor 
Análogo para Digital 
4 
Exemplo 1: 
 
fs = 10 kHz 
Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) 
N = 100 amostras 
twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms 
twindow 
t 
x(t) 
A/D 
fs = Frequência 
de amostragem 
 (sampling) 
 
Ts = 1/fs = Período de 
amostragem 
n 
x(n) 
0 1 n 
x(n) 
0 1 
N = número 
de amostras 
N-1 
5 
1
0
( ) [ ] ,
2
0,1,2,...., 1,
N
j n
n
X x n e
k
k N
N

 

 

   

fs = 10 kHz 
Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) 
N = 100 amostras 
twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms 
twindow 
t 
x(t) 
A/D 
fs = Frequência 
de amostragem 
 (sampling) 
 
Ts = 1/fs = Período de 
amostragem 
n 
x(n) 
0 1 n 
x(n) 
0 1 N-1 
DFT 
Exemplo de avaliação da DFT 
L = 5 k = 0,1,2,3,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
4
0
4
2 /5
0
4
4 /5
0
4
6 /5
0
4
8 /5
0
0 0 (0) [ ]
2
1 (2 / 5) [ ]
5
4
2 (4 / 5) [ ]
5
6
3 (6 / 5) [ ]
5
8
4 (8 / 5) [ ]
5
n
j n
n
j n
n
j n
n
j n
n
k X x n
k X x n e
k X x n e
k X x n e
k X x n e

 

 

 

 

   

    

    

    

    





2
, 0,..., 1
k
k L
L

   
Módulo e Fase da DFT 
7 
0
1
2
3
4
0
4
2 /5
0
4
4 /5
0
4
6 /5
0
4
8 /5
0
0 0 (0) [ ] (0)
2
1 (2 / 5) [ ] (2 / 5)
5
4
2 (4 / 5) [ ] (4 / 5)
5
6
3 (6 / 5) [ ] (6 / 5)
5
8
4 (8 / 5) [ ] (
5
j
n
jj n
n
jj n
n
jj n
n
j n
n
k X x n X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X


 

 

 

 

    

      

      

      

     




 48 / 5) je 
• A resolução da frequência digital é dada como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
0
1
2
3
4
0 0 (0)
2
1 (2 / 5)
5
4
2 (4 / 5)
5
6
3 (6 / 5)
5
8
4 (8 / 5)
5
j
j
j
j
j
k X e
k X e
k X e
k X e
k X e





  

   

   

   

   
0
2
L

 
Resolução da Frequência Digital 
Resolução 
Definição da Transformada de 
Fourier Discreta 
• A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por: 
 
 
 
• A DFT inversa é definido por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
2
, 0,..., 1
k
k N
N

   
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1
N
j n
n
X x n e k N

 

   
1
0
1
[ ] ( ) , 0,1,2,..., 1
N
j n
k
x n X e n N
N



   
[ ] ( )Fx n X Notação: 
Propriedades da DFT 
• Linearidade 
 
 
 
 
 
• Deslocamento no tempo 
 
 
 
 
 
 
10 
   1 1Fx n X 
   2 2Fx n X 
       1 2 1 2Fax n bx n aX bX    
   00 j nFx n n e X   
• Deslocamento na frequência 
 
 
 
• Convolução 
11 
   0j n F oe x n X  
h[n]x[n] y[n]
           Fy n x n h n Y X H      
         
k
y n x n h n x k h n k


   
Propriedades da DFT 
Exemplo 2 
12 
• Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft) 
• Frequência do sinal f= 50Hz 
• Frequência de amostragem fs=1000Hz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
señal
Tamanho do sinal 
 L = 20 amostras 
Exemplo 2 
13 
• Incrementando 100 zeros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 20 40 60 80 100 120
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
señal+ruido
20 amostras 
100 zeros 
O novo tamanho 
do sinal é N = 120 
amostras 
Exemplo 2 
14 
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
2
4
6
8
10
12
rad/s
|D
F
T
|
199
0
( ) [ ] , 0,1,2,....,199j n
n
X x n e k 

  
0
2 2
0.052 /
120
rad seg
N
 
   

Resolução: 
Exemplo 2 
15 
• Transformação de escala (rad) x (Hz) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 1000
. 1000
( )
2 2
s
s
A Transformada de Fourier Discreta é Períodica
f
f
f
f Hz
  
 
 
 
 
Exemplo 2 
16 
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta 
(escala em Hz) 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
2
4
6
8
10
12
Hertz
|D
F
T
|
Frequência do sinal f=50Hz 
Exemplo 2 
17 
• Simetria da Transformada de Fourier Discreta 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
2
4
6
8
10
12
Hertz
|D
F
T
|
Simetria 
Considerações na Avaliação da DFT 
18 
• A adição de zeros não proporciona nenhuma informação 
adicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n]. 
 
• Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar a 
DFT de N pontos, se obtém uma melhor representação 
gráfica, devido principalmente à melhora na resolução da 
DFT. 
 
Exemplo 2 
• Simetria e Periodicidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da DFT 
19 
20 
Propriedades da DFT 
21 
Propriedades da DFT 
• Simetria 
• Período igual a 2* 
22 0 1 2 3 4 5 6 7
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
2
1
0
( ) [ ] ,
2
0,1,2,...., 1,
N
j n
n
X x n e
k
k N
N

 

 

   

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
(n
)
DFT 
N=100 
fs=10 kHz 
fo = 1 kHz 
Exemplo 3 
Transformação de escalas de  
(rad) para frequência em Hertz 
23 
2  fs 
Omega  f(Hz) 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
2
fs/2

fsf (Hz)
( )
2
sff Hz



Realizando a Transformação 
24 
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(Hz)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
fs/2 fsfo
Simetria com respeito a 
fs/2 
 
Período igual a fs 
 
 
A Largura de Banda de 
interesse é igual ao 
intervalo [0, fs/2] 
 
BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]] 
DFT de um sinal ruído branco 
Gaussiano 
• Valor médio = 0 
• Desvio padrão = 0.1 
 
25 
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r = 0 + 0.1*randn(1,1000); 
figure,hist(r,100) 
A DFT do ruído branco Gaussiano 
26 
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
DFT do 
ruído 
DFT de 2 sinais sinusoidais 
• fs = 10 kHz (Frequência de amostragem) 
• Frequência dos sinais f0=1 kHz e f1=3 kHz 
27 
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
Que acontece se a frequência do sinal de entrada f1 
é superior a fs/2 = 5000 Hz ? 
• Por exemplo, para fo = 1000 Hz e f1 = 6000 Hz 
• Sendo que a largura de banda vá de [0, 5000]Hz, o espectro do sinal de 
6000 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4000 Hz. Por 
tanto, tem-se um espectro de frequência errado. 
28 
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|F
F
T
|
Espectro de x(n)
fo Simetria de fo f1 
Simetria 
 de f1 
Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado 
respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], deve-se colocar na 
entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com 
frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais 
de entrada. 
fc=fs/2 
Filtro 
Passa 
Baixo 
1
0
( ) [ ] ,
2
0,1,2,...., 1,
N
j n
n
X x n e
k
k N
N

 

 

   
twindow 
t 
x(t) 
A/D 
n 
x(n) 
0 1 n 0 
1 N-1 
DFT 
29 
• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n] 
por uma janela w[n]: 
[ ] [ ] [ ]wh n h n w n
( ) ( ) ( )wH F H F W F 
30 
Multiplicação em 
tempo discreto 
Convolução na 
Frequência 
Análise em Frequencia usando Janelas 
• Características das Funções que caracterizam Janelas 
31 
M n M  
[ ] 1w n 
[ ] 1
n
w n
M
 
[ ] 0.5 0.5cos
n
w n
M
    
 
[ ] 0.54 0.46cos
n
w n
M
    
 
2
[ ] 0.42 0.5cos 0.08cos
n n
w n
M M
         
   
 
JANELAS 
 
Boxcar 
 
Blackman 
 
Barlett 
 
Hanning 
 
Hamming 
Análise em Frequencia usando Janelas