Aula 3 - Ângulo de Torção

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Mecânica dos Sólidos
Ângulo de Torção
Prof. Ramon Costa Nascimento
Graduação em Engenharia Civil
Ângulo de Torção
O projeto de um eixo depende de limitações na
quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo
é submetido ao torque, desse modo, o ângulo de torção
é importante quando se analisam as reações em eixos
estaticamente indeterminados.
∫
L
0
T (x) dx 
J (x) G
 =
 = Ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra.
T(x) = Torque interno na posição arbitrária x.
J(x) = Momento de inércia polar do eixo expresso em função de x.
G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.
Cálculo para Área e Torque Constantes
Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G é constante, bem 
como, a área da seção transversal e o torque aplicado também são 
constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de torção pode ser
expressa do seguinte modo:
 =
T  L
J G
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção 
transversal e o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região 
para outra, o ângulo de torção pode ser determinado a partir da adição dos 
ângulos de torção para cada segmento do eixo, assim:
 =∑
T  L
J G
Convenção de Sinais
A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da aplicação 
da regra da mão direita. Torque e ângulo serão positivos se a direção 
indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo.
EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES 
(DIAGRAMA REPRESENTATIVO)
Exemplo
1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das
extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura.
Supondo que o módulo de elasticidade de cisalhamento seja G = 80
GPa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o ângulo de torção
do conjunto. O eixo gira livremente no mancal em B.
Solução
Torque interno: 
TAC = + 150 Nm 
TCD = -130 Nm 
TDE = -170 Nm
Momento de inércia polar:
J =
2 2
 c4  0,0074
J =
J = 3,77 10−9 m4
2
Solução
 =∑
T  L
J G
 =
150 0,4
+
−130 0,3
+
−170 0,5
3,77 10−9 80 109 3,77 10−9 80 109 3,77 10−9 80109
 = − 0,212 rad
Exercícios
2) As extremidades estriadas e engrenagens acopladas e um eixo de
aço A- 36 estão su jeitas aos torques mostrados n a figura. Determine o
ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem D. O
eixo tem diâmetro de 20 mm. Dado: Gaço = 75 GPa.
Solução
TAC = - 300 N.m
TCD = - 300 + 500 = 200 N.m
TDE = - 300 + 500 + 200 = 400 N.m
J = 
π
32
. (0,02
4
) = 15,71. 10
−9
𝑚
4
𝑇 .𝐿
𝐺 . 𝐽
= 
200 𝑁.𝑚 . 0,4 𝑚
75 . 10
9
𝑁/𝑚². 15,71 . 10
−9 𝑚4
= 0,0679 rad =CD
CD CD