Aplicações de EDO's

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APLICAÇÕES DAS EDO´S
1. A taxa com que uma gota esférica se evapora é proporcional
 a sua área. Determine o raio da gota em função do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio é e que em uma hora o seu raio seja a metade.
2. Num processo quÍmico, uma substância se transforma em outra, a uma taxa proporcional a quantidade de substância não transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora, e 27, ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substância?
3. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. Após tres horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?
4. Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai a mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
 b) Calcule a concentração de sal no tanque t = 10 minutos após o início do processo.
5. Um tanque contém inicialmente 100 litros de agua pura. Então, agua salgada, contendo 30 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) Calcule em que instante a concentração de sal no tanque ser de 7,5 gramas por litro.
6. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo. Calcule a concentração limite de sal no tanque quando t → ∞ e o tempo necessário para que a concentração atinja metade deste valor.
7. Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20ºC para fora onde a temperatura é de 5∘ C. Após 1/2 minuto o termômetro marca 15∘ C.
 a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
 b) Qual sera a leitura do termômetro após 1 minuto?
 c) Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10ºC?
8. Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal 
por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A solução é drenada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio?
9. A equação diferencial para a velocidade v de uma massa m em queda sujeira a resistência do ar proporcional a velocidade instantânea é: em que k é uma cte positiva. Resolva a equação com a condição inicial v(0)=vo. Determine a velocidade limite da massa. Se a distância s está relacionada com a velocidade através da igualdade , encontre uma expressão para s, supondo que s(0)=so
10. Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5ºC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20ºC, após 5 minutos 10ºC. Qual a temperatura da sala?
11. Suponha que um aluno infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontram 1000 alunos. Considerando que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente a quantidade x de alunos infectados, mas também a quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias x(4)=50. 
12. Um composto C é formado da reação de duas substâncias A e B. A reação ocorre de forma que para cada grama de B, 4 gramas de A são usadas. A taxa com que se obtém a substância C é proporcional tanto a quantidade de A quanto a quantidade de B não transformadas. Inicialmente havia 32 gramas de A e 50 gramas de B. Determine a quantidade de C em função do tempo, sabendo-se que em 10 minutos são formados 30 gramas de C. Qual a quantidade limite de C após um longo período. Quanto restará de A e B após um longo período.
13. A população de certo microorganismo é descrita pelo problema de valor inicial: p(0)=5000 , em que t é medido em meses. Qual é o valor limite desta população? Quando a população será igual a metade deste valor limite.
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