Conceito e Definição de Matrizes

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Conceito e De�nição de Matrizes
Objetivo(s) - proporcionar condições para que o aluno possa compreender noções de matrizes.
Conceito e de�nição de matrizes
 Imagine que você é dono de uma empresa e solicitou a produção dos três primeiros dias. Após
isso, o gerente de operação informa o seu pedido da seguinte forma:
“Foram produzidas: três mesas, quatro cadeiras, oito escrivaninhas no primeiro dia; no segundo dia,
duas mesas, três cadeiras, cinco escrivaninhas; e, no terceiro dia, quatro mesas, quatro cadeiras, uma
escrivaninha.”
Nota-se que essa não é a melhor forma de representar os dados, pois estes poderiam ter sido
alocados em tabelas, da seguinte forma:
Mesa Cadeira Escrivaninha
1º Dia  3 4 8
2º Dia  2 3 5
3º Dia  4 4 1
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A essa tabela de dados, damos o nome de Matriz.
Uma de�nição a respeito da Matriz pode ser dada da seguinte forma:
Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem
uma ordem m x n, sendo m ≥1 e n≥1.
Uma matriz m × n é uma tabela de números dispostos em m linhas e n colunas.
Geralmente, dispomos os elementos de uma matriz entre colchetes.
 
Lê-se: matriz A de ordem três por três.
 
 
 
Lê-se: matriz A de ordem dois por três.
 
 
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Lê-se: matriz A de ordem dois por dois.
 
 
De um modelo geral, as matrizes são indicadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas acompanhadas de seus índices.
O primeiro indica as linhas as quais o elemento pertence. Já o segundo, a sua coluna.
O modelo de uma matriz geral é dado como:
De forma simpli�cada: A = [aij] m x n, sendo m, n ∈ N*.
a11 (lê-se: a-um-um) é um elemento que está na 1ª linha e 1ª coluna;
a12 (lê-se: a-um-dois) é um elemento que está na 1ª linha e 2ª coluna;
A matriz A também pode ser indicada por:
A=(a11)m x n ou A=(aij) com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Em outra forma de representação, que será usada em algumas partes deste texto, apresenta-se
da seguinte forma:
A = [[a11 , a12 , ..., a1n],[a21, a22, ...,a2n], ..., [am1, am2, ...,amn]]
A vantagem desta forma é a sua possibilidade de inserção num texto corrente; na sintaxe do
software Mathematica, usam-se chaves no lugar de colchetes.
Assim, a i-ésima linha da matriz A é:
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[ai1 , ai2 , ..., ain], para i = 1, 2, ...,m
E a j-ésima coluna da matriz A é:
[[a1j], [a2j], ...,[amj]], para j = 1, 2, ..., n
Exercício
Construir a matriz A=[aij]2x3, tal que aij = (i + j)/2
A nossa matriz A é do tipo
Sendo a lei de formação aij = (i + j)/2, temos:
a1x1 = (1+1)/2 = 1
a1x2 = (1+2)/2 = 3/2
a1x3 = (1+3)/2 = 2
a2x1 = (2+1)/2 = 3/2
a2x2 = (2+2)/2 = 2
a2x3 = (2+3)/2 = 5/2
Logo:
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Tipos de matrizes
Quando a matriz é constituída por uma linha, é chamada de matriz linha.
 
 
Lê-se: matriz linha de ordem um por três.
 
 
Quando a matriz é constituída por uma coluna, é chamada de matriz coluna.
 
Lê-se: matriz coluna de ordem três por um.
 
 
Quando todos os elementos de uma matriz são iguais a zero, é chamada de matriz nula.
 
Lê-se: matriz coluna de ordem dois por dois.
 
Se a matriz possui o número de linhas igual ao número de colunas, neste caso, dizemos que a
matriz é quadrada de ordem n.
 
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Lê-se: matriz quadrada de ordem três.
 
 
 
Lê-se: matriz quadrada de ordem dois.
Consideremos a matriz F= [aij] quadrada de ordem 3.
A diagonal principal, nessa matriz, é o conjunto dos elementos aij em que i=j, ou seja, (a11, a22, ....
ann). A diagonal secundária é composta pelos elementos aij em que i+j = n+ 1.
Assim, na diagonal principal, temos os elementos aij , em que i = j (2, 3, 8), e, na diagonal
secundária, os elementos aij , em que i +i = n + 1 (5, 3, 7).
A matriz identidade (In) é uma matriz quadrada onde cada elemento da diagonal principal tem
valor 1, os demais têm o valor 0. 
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Lê-se: matriz identidade de terceira ordem.
 
Exercício
Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3.
Seguindo a lei de formação para cada elemento,
a11 = i
2 = 12 = 1
a12 = j
3 = 23 = 8
a13 = i - j = 1-3 = 2
a21 = 2 j = 2*1 = 2
a22 = i + j = 2+2 = 4
a23 = 3*i = 3*2 = 6
a31 = i = 3
a32 = j/2= 2/2=1
a33 = j = 3
 
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Os elementos da diagonal principal são (1, 4, 3) e da secundária (2, 4, 3).
Exercício
Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal
secundária da matriz:
A = (aij) de ordem 4, em que aij = (i + j)2.
Diagonal principal
aij i = j
a11 = (1+1)
2 = 4
a22 = (2+2)
2 = 16
a33 = (3+3)
2 = 36
a44 = (4+4)
2 = 64
Diagonal secundária
aij (i + j = n + 1)
a14 = (1+4)
2= 25
a23 = (2+3)
2= 25
a32 = (3+2)
2= 25
a41 = (4+1)
2= 25
(a11 + a22 + a33 + a44) + (a14 + a23 + a32 + a41) = 220
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Matriz transposta
Os elementos da primeira linha tornar-se-ão elementos da primeira coluna, da mesma forma que
todos os elementos da segunda linha tornar-se-ão elementos da segunda coluna.
Nesse sentido, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna.
Exemplo
Exercício
C11 = (2*1+1)=3
C12 = (1-2) = -1
C13 = (1-3) = -2
C21 = (2-1)=1
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C22 = (2*2+2) = 6
C23 = (2-3) = -1
C31 = (3-1)=2
C32 = (3-2) = 1
C33 = (2*3+3) = 9
Quando temos uma matriz quadrada A, de modo que At = A, ela é chamada de matriz simétrica.
Neste tipo de matriz, os elementos dispostos em relação à diagonal principal são iguais.
Exercício
Igualdade de matrizes
 
Duas matrizes, E e S, de mesma ordem, serão iguais (E=S) se, e somente se, os seus elementos de
mesma posição foram iguais, assim:
E = [aij]mxn e S = [bij]pxq sendo E = S , temos que; m=p e n=q
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  Exemplo
Portanto, as matrizes A e B são de mesma ordem e possuem os mesmos elementos, portanto são
matrizes iguais.
Exercício
Determine os números reais x e y, de modo que as matrizes Z e Q sejam iguais, dadas:
Primeiro, observamos que os elementos de
mesma posição são iguais. Sendo Z e Q
iguais, podemos formar um sistema de
equações:
Resolvendo o sistema, vamos isolar x na segunda equação:
x+y=5 (II)
x=5-y substituir na equação (I).
5(5-y)-2y=4 => 25-5y-2y=4 => -7y=-21 => y=3
Substituindo y=3 na equação (II):
x+y=5
x+3=5 => x=2
Referências
Kolmann, B.;Bill,D.R., Introdução à álgebra linear com aplicações 8ed., Rio de Janeiro, LTC 2006.
BOULOS, P. Camargo,I. Geometria analítica:um tratamento vetorial 3ed. – São Paulo, Person, 2004.
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STEINBURG, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. São Paulo, Person, 2007.
Paiva Manoel. Matemática Piva V.3, São Paulo Moderna 2009.
Figuras
Figura 01, pág 03, Estaiada. Disponível em: http://ads.tt/7SNR. Acesso em: 08 de jul. 2013.