Sistemas Lineares e Determinantes

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Aula 06 - 16/03/2020 - Sistemas Lineares e Matrizes e Determinantes
Sistemas Lineares e Matrizes
Teorema . Se A for uma matriz nxn, as afirmações abaixo são equivalentes.
(a) A é invertível.
(b) Ax  0 tem somente a solução trivial.
(c) Ax  b tem exatamente uma solução para cada matriz b.
As matrizes x e b acima tem tamanho nx1.
Exemplo . Seja o sistemas lineares abaixo.
(1)
x  2y  3z  0
2x  5y  3z  0
x  6z  0
(2)
x  2y  3z  3
2x  5y  3z  0
x  6z  -3
a) Escreva as equações matriciais de (1) e (2)
(1)
1 2 3
2 5 3
1 0 6
x
y
z

0
0
0
(2)
1 2 3
2 5 3
1 0 6
x
y
z

3
0
3
b) Na aula anterior vimos que a matriz inversa de A é A1 
10 4 3
3 1 1
5
3 
2
3 
1
3
.
Use este fato para resolver (1) e (2).
(1) Como A posssui inversa, o sistema somente tem a solução trivial pelo teorema
acima.
Logo, x  0 , y  0, z  0.
(2) Temos que
1 2 3
2 5 3
1 0 6
x
y
z

3
0
3
Multiplicando os dois lado pela inversa de A, obtemos
10 4 3
3 1 1
5
3 
2
3 
1
3
1 2 3
2 5 3
1 0 6
x
y
z

10 4 3
3 1 1
5
3 
2
3 
1
3
3
0
3
x
y
z

21
6
4
, isto é, x  -21 , y  6, x  4.
Determinantes
Introdução
Determinante é uma função que associa a uma matriz quadrada um número real.
Um produto elementar é um produto de elementos que estão em linhas e colunas
diferentes. Esse produto elementar pode vir antecipadamente com o sinal de  ou sinal
de -. Isto vai depender onde os elementos da matriz estão. Teremos então o produto
elementar com o sinal. Determinante é a soma de todos os produtos elementares com
sinal. Podemos indicar o símbolo de deteminante de por | | ou det(A), sendo A uma
matriz quadrada.
Determinante de uma matriz 1x1
É o próprio número da matriz.
Determinante de uma matriz 2x2
A 
a11 a12
a21 a22
 detA  a11.a22  a12.a21
Exemplo
A 
5 2
3 5
 detA  5.5  2. 3  31
Determinante de uma matriz 3x3
Agora seja A 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Uma regra prática é dobrarmos as duas primeiras colunas. Somamos a flechas
direcionadas para a direita e subtraimos as flechas direcionas para a esquerda.
Exemplo. Calcule
3 7 1
0 4 5
2 1 6
3 7 1 3 1
0 4 5 0 5
2 1 6 2 6
 3.4. 6  7.5. 2  1. 0. 6  1. 4. 2  3.5. 1  1. 0. 6
72-70-0-8-150  -21
Propriedades dos Determinantes
Podemos provar as propriedades abaixo.
1) Se todos elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz A são nulos
então det(A)  0.
Exemplo.
1 2 3 4
0 0 0 0
2 8 3 4
1 8 7 10
 0 , pois a segunda linha é toda nula.
2) det(A)  det(AT.
Exemplo A 
1 2 3
2 1 4
1 3 1
,AT 
1 2 1
2 1 3
3 4 1
Você poderá calcular os dois determinantes e irá encontrar 8
3) Se multiplicarmos uma linha(coluna) de uma matriz por uma constante, então o
determinante fica multiplicado por esta constante.
Exemplo A 
1 2 3
2 1 4
1 3 1
,detA  8
B 
1.10 2.10 3.10
2 1 4
1 3 1
,detB  8.10  80
4) Se trocarmos duas linhas(colunas) de uma matriz entre si, então o determinante
troca de sinal.
A 
1 2 3
2 1 4
1 3 1
,detA  8,B 
2 1 4
1 2 3
1 3 1
,detB  8
5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) iguais é igual a zero.
Exemplo.
1 2 3 4
3 4 5 9
2 8 3 4
1 2 3 4
 0, pois a primeira e quarta linha são iguais.
6) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) proporcionais é igual
a zero.
Exemplo.
1 2 3 5
3 4 5 15
2 8 3 10
1 2 3 5
 0, pois a quarta coluna é cinco vezes a primeira
coluna.
7)O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada
por uma constante.
Exemplo. A 
1 2 3
2 1 4
1 3 1
,detA  8
B 
1 2 3
0 3 2
1 3 1
,detB  8, pois foi feita a op. em A : L2  2L1  L2
8) det(A.B)  det(A) . det(B)
9) Se A é uma matriz triangular, então det(A) é o produto das entradas na diagonal
principal.
Exemplo .
1 2 3 4
0 2 1 3
0 0 4 1
0 0 0 2
 1.2. 4. 2  8
Cálculo do Determinante de uma Matriz Quadrada de Ordem  3
Vamos fazer operações elementares sobre linhas e transformar essa matriz numa
matriz triangular.
Exemplo. Seja detA 
2 4 5 8
1 3 4 5
4 12 12 16
0 0 2 3
, calcule detA.
-detA 
1 3 4 5
2 4 5 8
4 12 12 16
0 0 2 3
, pois permutamos a segunda e primeira linha.
- 14 detA
1 3 4 5
2 4 5 8
1 3 3 4
0 0 2 3
, pois multiplicamos a terceira linha por 14 .
- 14 detA
1 3 4 5
0 2 3 2
0 0 1 1,
0 0 2 3
,não altera pois L2  2L1  L2, L3  L1  L3
- 14 detA
1 3 4 5
0 2 3 2
0 0 1 1,
0 0 0 1
,não altera pois L4  2L3  L4
- 14 detA 1.(-2).(-1).1 det(A)-8
Matriz Inversa e Determinantes
Teorema. Se A é uma matriz nxn , então as seguintes afirmações são equivalentes.
(a) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
(b) A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares.
(c) A é invertível.
(d) Ax  0 tem somente a solução trivial.
(e) Ax  b tem exatamente uma solução para cada b de Rn .
(f) det(A)  0.
Exemplo. Para quais valores de k o sistema linear abaixo é possível determinado.
x  kz  20
2x  y  3z  -3k
2x  3y  8
Temos que A 
1 0 k
2 1 3
2 3 0
e det(A)  4k-9
Para termos det(A)  0, devemos ter 4k-9  0  k  94 . Para o sistema ser possível
determinado devemos ter det(A) 0, ou seja, k  94 .