GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Exercício: CCT0830_EX_A1_201902375271_V1 16/03/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada 
secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 
 
 
87 
 
30 
 97 
 
72 
 
90 
Respondido em 16/03/2020 12:29:50 
 
 
Explicação: 
c2=a2+b2 
c2=a2+b2 
c2=722+652 
c2=722+652 
c2=5184+4225 
c2=5184+4225 
c=9409 
√c=9409 
c = 97 km 
O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do 
vetor T(-12,9) a origem. 
 
 
5 u.c 
 
2 u.c 
 15 u.c 
 
4 u.c 
 
200 u.c 
Respondido em 16/03/2020 12:29:47 
 
 
Explicação: 
O modulo do vetor T(-12,9) a origem será 
√ (−12−0)2+(9−0)2 =15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 
 
 
30° 
 
60° 
 
 
45° 
 0° 
 
90° 
Respondido em 16/03/2020 12:29:51 
 
 
Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 
!!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 
 
Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O 
pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
 
 
O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) 
 
O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) 
 
O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) 
 O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) 
 
O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) 
Respondido em 16/03/2020 12:29:55 
 
 
Explicação: 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O 
pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
√ (0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2 =3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 
z = - 4 e z = 0 
Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância 
percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
 
 √ 58 u.c58u.c 
 
7 u.c 
 
10 u.c 
 
1 u.c 
 
6 u.c 
Respondido em 16/03/2020 12:30:00 
 
 
Explicação: 
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância 
percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 
Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) 
Modulo de AB que irá representar a distância = √ (3−0)2+(−2−5)2 (3−0)2+(−2−5)2= √ 32+(−7)2 =√ 58 u.c32+(−7)2=58u.c 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores 
sejam iguais. 
 
 
-1 e 0 
 
-1 e 1/2 
 
2/3 e -2 
 0 e 1/2 
 
1 e 2/3 
Respondido em 16/03/2020 12:30:04 
 
 
Explicação: 
2 + m = 2 
3 + 2n = 4 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos 
ou colineares. 
 As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu 
sentido. 
 
Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. 
 
Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
Respondido em 16/03/2020 12:30:09 
 
 
Explicação: 
Definições no conteúdo online 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores a-c e c-b. 
 
 
0° 
 135° 
 
120° 
 
270° 
 
180° 
Respondido em 16/03/2020 12:30:24 
 
 
Explicação: 
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!!=V1²+0²=1 
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2 
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135° 
 
Exercício: CCT0830_EX_A2_201902375271_V1 16/03/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são: 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
90 ; 31 ; 121 
 
121 ; 31 ; 90 
 
31 ; 90 ; 121 
 90 ; 121 ; 31 
Respondido em 16/03/2020 12:30:31 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34 034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34 −334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34 534 ⇒ z = 30,96º 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v 
 
 
3 i - 18 j 
 
17 i + 6 j 
 4 i - 17 j 
 
12 i - 8 j 
 
9 i + 4 j 
Respondido em 16/03/2020 12:30:45 
 
 
Explicação: 
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja um vetor unitário. 
 
 a=±√ 13 a=±13 
 a=±9a=±9 
 a=19a=19 
 a=±13a=±13 
 a=±3a=±3 
Respondido em 16/03/2020 12:30:49 
 
 
Explicação: 
Para que u seja unitário, ele deverá ter módulo igual a 1, logo: 
|u| = √ a2+(−2a)2+(2a)2 =1a2+(−2a)2+(2a)2=1 ⇒ a = a=±13a=±13 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja um versor (vetor unitário): 
 
 a=±13a=±13 
 a=±3a=±3 
 a=±15a=±15 
 a=±19a=±19 
 a=±9a=±9 
Respondido em 16/03/2020 12:30:44 
 
 
Explicação: 
u = (a, -2a, 2a), logo para ser um versor, temos: 
|u| = 1, √ a2+(−2a)2+(2a)2 =1a2+(−2a)2+(2a)2=1 
a2 = 1919 ⇒ a = ±13±13 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 
49° 
 
48° 
 45° 
 
47° 
 
46° 
Respondido em 16/03/2020 12:30:49 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√ 8 =42√ 8 cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√ 8 cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, 
respectivamente: 
 
 
-2, 14 e 20 
 
20, 14 e 2 
 2, -14 e -20 
 
-20, 2 e -14 
 
-14, 2 e -20 
Respondido em 16/03/2020 12:31:03 
 
 
Explicação: 
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) 
(0,-9,-12) - (-2,5,8) 
(2,-14,-20) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ? 
 
 
55,68º 
 66,32º 
 
76,77º 
 
45º 
 
87,88º 
Respondido em 16/03/2020 12:31:08 
 
 
Explicação: 
Módulo do vetor v ⇒ 5 
Módulo do vetor s ⇒ √ 30 30 
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11 
cos x = 115√ 30 11530 
x ≈ 66,32º 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor 
de a? 
 
 
a = 0 
 
a = - 4 
 
a = 2 
 
a = - 2 
 a = 4 
Respondido em 16/03/2020 12:31:14 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
Exercício: CCT0830_EX_A3_201902375271_V1 16/03/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 2020.1 - F 
 201902375271 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
x= -2+t ; y = t ; z = -1+t 
 
x= 2+t ; y = t ; z = 1+t 
 x= -2+t ; y = t ; z= 1+t 
 
x= -2-t ; y = t ; z = 1+t 
 
x= -2+t ; y = -t ; z = 1+t 
Respondido em 16/03/2020 12:31:33 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
70x - 21y - 124 = 0 
 
-70x + 19y + 123 = 0 
 
-68x + 19y + 122 = 0 
 
-69x + 21y - 122 = 0 
 -69x + 20y + 123 = 0 
Respondido em 16/03/2020 12:31:36 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema 
formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine d(Q, r) para Q(1, 2, 3) e r: {x - y + 2z + 1 = 0 e 2x + y - z + 3 = 0. 
 
 6√ 14 √ 3 561435 
 547547 
 6√ 14 3561435 
 6√ 14 76147 
 √ 14 7147 
Respondido em 16/03/2020 12:31:33 
 
 
Explicação: 
d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]√ 3 5=6√ 1 47d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]35=6147 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com eixo das abscissas. 
 
 
y = - x - 1 
 
y = x + 2 
 
y = - x - 2 
 y = x - 2 
 
y = x - 1 
Respondido em 16/03/2020 12:31:38 
 
 
Explicação: 
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas 
No exercício a = tg 45º = 1 
y = x + b 
Como P (4, 2) pertence a reta, 
2 = 4 + b -> b = -2 
y = x - 2 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor v = 3i 2k. 
 
 
y = 3 e (x + 2)/2 = (z + 2)/3 
 
y = 3 e (x - 2)/3 = (z - 2)/2 
 
y = -3 e (x + 3)/2 = (z + 2)/2 
 y = 3 e (x + 2)/3 = (z + 2)/2 
 
y = 2 e (x + 3)/3 = (z + 3)/2 
Respondido em 16/03/2020 12:31:51 
 
 
Explicação: 
As componentes do vetor v são: {a = 3; b = 0 e c = 2. 
Tendo em vista que b = 0, a reta se acha num plano paralelo ao plano x0z e suas equações simétricas são: {y = 3 e (x + 2)/3 = (z 
+ 2)/2. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
Respondido em 16/03/2020 12:31:52 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-
y' /y" = z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam ortogonais. 
 z=-3x y=4-2t 
 z=5t 
 
 
7/2 
 
-9/2 
 
13/2 
 
-11/2 
 -15/2 
Respondido em 16/03/2020 12:31:57 
 
 
Explicação: 
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5) 
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0 
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os pontos A e B? 
 
 
8V5 
 
3V5 
 2V5 
 
V5 
 
4V5 
Respondido em 16/03/2020 12:32:00 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
Exercício: CCT0830_EX_A4_201902375271_V1 16/03/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Calcule a distância entre as retas: 
r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. 
 
 √ 40 3403 
 √ 423 423 
 403403 
 
9 
 √ 4 23423 
Respondido em 16/03/2020 12:32:24 
 
 
Explicação: 
Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, 
respectivamente, então: 
d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √ 42 3423 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-1,2,-1) é: 
 
 
r(x,y,z) = t(-1,2,-1) 
 
r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3) 
 r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1) 
 
r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3) 
 
r(x,y,z) = (0,-1,3) 
Respondido em 16/03/2020 12:32:29 
 
 
Explicação: 
A equação vetorial da reta é dada por: 
r(x,yz,) = A + tv 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a: 
 
 
a = 0 
 
a = 3/2 
 
a = 1/2 
 
a = - 3 
 a = 3 
Respondido em 16/03/2020 12:32:33 
 
 
Explicação: 
x + y = 0 e ax - 3y = 0 
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 
 
 
2x + 2y + z - 2 = 0 
 
2x + 3y + z - 6 = 0 
 
3x + 3y - z + 6 = 0 
 
-3x - 2y + z - 3 = 0 
 3x + 2y + z - 6 = 0 
Respondido em 16/03/2020 12:32:38 
 
 
Explicação: 
O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) 
+ c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 
3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 
3x + 2y + z - 6 = 0 . 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é 
corretamente representado por: 
 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
Respondido em 16/03/2020 12:32:44 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z 
x = - 3 + z 
y = - 1 + z 
será: 
 
 
v = (-2,1,0) 
 
v = (-3,2,-1) 
 v = (1,1,1) 
 
v = (0,0,0) 
 
v = (-1,0,1) 
Respondido em 16/03/2020 12:32:58 
 
 
Explicação: 
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z: 
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0) 
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1) 
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1) 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção 
de v. 
 
 
r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t 
 
r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t 
 
r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t 
 
r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t 
 r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t 
Respondido em 16/03/2020 12:33:05 
 
 
Explicação: 
Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: 
r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x + 3y - 5z + 11 = 0 é dada por: 
 
 x3x3+ 3y - z + 11 = 0 
 
 - 2x + 5y - z + 7 = 0 
 
x + y + z - 11 = 0 
 
2x - 3y - 5z - 7 = 0 
 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
Respondido em 16/03/2020 12:33:07 
 
 
Explicação: 
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretorn como n = (2,3,-5). 
Como os planos δδ e ππ são paralelos: 
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10) 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a δδ, então: 
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14 
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 
 
 
 
Exercício: CCT0830_EX_A5_201902375271_V1 16/03/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
A respeito das definições básicas de circunferência e de elipse, qual das alternativas a seguir está correta? 
 
 
Uma elipse é uma circunferência achatada. 
 
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é constante e igual ao diâmetro. 
 
Uma elipse é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, chamada de raio. 
 
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual a uma constante 2a. 
 Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, chamada de raio. 
Respondido em 16/03/2020 12:33:26 
 
 
Explicação: 
A definição de circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual a uma constante r, chamada de 
raio. A definição de elipse é: conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual à constante 2a. Portanto, a alternativa 
correta é a letra E. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à desigualdade x2−32x+252x2−32x+252 < 0. O número que 
representa a idade de São Paulo pertence ao conjunto: 
 
 
{21,22,23} 
 {15,16,17} 
 
{18,19,20} 
 
Nenhuma das alternativas 
 
{12,13,14} 
Respondido em 16/03/2020 12:33:37 
 
 
Explicação: 
x2−32x+252=(x−18)∗(x−14)x2−32x+252=(x−18)∗(x−14) 
Assim, os zero da função são 18 e 14. Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o intervalo que obedece a inequação 
será: 
14 < x < 18 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 
 
 
12 
 
1 
 
5 
 2 
 
6 
Respondido em 16/03/2020 12:33:33 
 
 
Explicação: 
Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas 
parábolas já estão em função de x, podemos fazer: 
 
Substituindo esses valores nas funções, teremos: 
 
Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: 
 
Logo, são apenas dois pontos. 
Letra C. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-1) sejam coplanares? 
 
 
- 14 
 
- 13 
 - 10 
 
- 9 
 
- 11 
Respondido em 16/03/2020 12:33:36 
 
 
Explicação: 
Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 
2 m 0 
1 -1 2 = 0 
-1 3 -1 
Logo 
2 - 2m - 12 + m = 0 
e, portanto, 
m = -10 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em M(−1,−4)M(−1,−4) e raio √ 2 2. 
 
 (x+1)2+(y+4)2=4(x+1)2+(y+4)2=4 
 (x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2 
 (x+1)2+(y+4)2=1(x+1)2+(y+4)2=1 
 (x+4)2+(y+1)2=1(x+4)2+(y+1)2=1 
 (x+4)2+(y+1)2=2(x+4)2+(y+1)2=2 
Respondido em 16/03/2020 12:33:51 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x+1)2+(y+4)2=(√ 2 )2(x+1)2+(y+4)2=(2)2 
(x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em C(2,5) e raio 3. 
 
 (x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9 
 (x−5)2+(y−2)2=6(x−5)2+(y−2)2=6 
 (x−5)2+(y−2)2=9(x−5)2+(y−2)2=9 
 (x−2)2+(y−5)2=6(x−2)2+(y−5)2=6 
 (x−2)2+(y−5)2=4(x−2)2+(y−5)2=4 
Respondido em 16/03/2020 12:33:48 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−2)2+(y−5)2=32(x−2)2+(y−5)2=32 
(x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2)Q(0,−2) e raio 44. 
 
 (x+2)2+y2=16(x+2)2+y2=16 
 (x+1)2+(y+2)2=15(x+1)2+(y+2)2=15 
 x2+(y+2)2=14x2+(y+2)2=14 
 x2+y2=16x2+y2=16 
 x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
Respondido em 16/03/2020 12:34:02 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y+2)2=42(x−0)2+(y+2)2=42 
x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Uma elipse intercepta os eixos x e y, respectivamente, em: (±4,0±4,0) e (0,±20,±2). O centro encontra-se na origem. A equação 
reduzida será: 
 
 x216x216-y24y24=1 
 x216x216+y24y24=1 
 x216x216+y216y216=1 
 x24x24+y216y216=1 
 x24x24+y24y24=1 
Respondido em 16/03/2020 12:33:58 
 
 
Explicação: 
O eixo maior encontra-se no eixo dos x. Logo: 
x216x216+y24y24=1 
 
Exercício: CCT0830_EX_A6_201902375271_V1 11/04/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determine a equação da hipérbole de focos F1(5,0) e F2(-5,0) e de vértices A1(3,0) e A2(-3,0). 
 
 9x2+y2=1449x2+y2=144 
 9x2−y2=1449x2−y2=144 
 9x2−16y2=1449x2−16y2=144 
 16x2−9y2=14416x2−9y2=144 
 16x2−y2=14416x2−y2=144 
Respondido em 11/04/2020 21:17:27 
 
 
Explicação: 
Pelos dados do problema, temos: 
c = 5 
a = 3 
c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16 
Como os focos estão sobre o eixo Ox, teremos: 
x2a2−y2b2=1x2a2−y2b2=1 ⇒ x29−y216=1x29−y216=1 ⇒ 16x2−9y2=14416x2−9y2=144 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse. 
 
 x2+y2=1x2+y2=1 
 10x2=1010x2=10 
 10x2+y2=110x2+y2=1 
 x2+y2=10x2+y2=10 
 10x2+y2=1010x2+y2=10 
Respondido em 11/04/2020 21:17:33 
 
 
Explicação: 
Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1. 
a2=b2+c2a2=b2+c2 ⇒ a2=1+9=10a2=1+9=10 
Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos: 
x2b2+y2a2=1x2b2+y2a2=1 ⇒ x21+y210=1x21+y210=1 
10x2+y2=1010x2+y2=10 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Uma hipérbole tem equação 9x2 - 16y2 = 144. As coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade dessa hiprébole 
são, respectivamente: 
 
 F1(-5,0) e F2(-5,0), A1(-4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 
 F1(5,0) e F2(5,0), A1(4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54 
 F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 
 F1(0,-5) e F2(0,5), A1(0,-4) e A2(0,4) e a excentricidade e=54e=54 
 F1(-5,0) e F2(5,0), A1(-4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54 
Respondido em 11/04/2020 21:17:39 
 
 
Explicação: 
9x2−16y2=1449x2−16y2=144 ⇒ 9x2144−16y2144=1441449x2144−16y2144=144144 ⇒ x216−y29=1x2
16−y29=1 
A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com centro (0,0), daí: 
a2=16a2=16 ⇒ a=4a=4 
b2=9b2=9 ⇒ b=3b=3 
c2=a2+b2=16+9=25c2=a2+b2=16+9=25 ⇒ c=5c=5 
e=ca=54e=ca=54 
Logo, F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual a distância entre os focos da hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 ? 
 
 
V13 
 
7V13 
 2V13 
 
5V13 
 
4V13 
Respondido em 11/04/2020 21:17:44 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/9 - y²/4 = 1 -> a²=9 -> a=3 
 b²=4 -> b=2 
 
Mas: c² = a² + b² -> c² = 9 + 4 -> c² = 13 - c= V13 
 
Daí: F1F2 = 2c = 2V13 que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal) 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Identifique a equação canônica da cônica de equação 25x2 - 36y2 - 100x - 72y - 836 = 0. 
 
 (x−2)262−(y+1)252=1(x−2)262−(y+1)252=1 
 (x−2)262+(y+1)252=1(x−2)262+(y+1)252=1 
 (x−2)252−(y+1)262=1(x−2)252−(y+1)262=1 
 (x−2)262+(y+2)252=1(x−2)262+(y+2)252=1 
 (x−1)262−(y+2)252=1(x−1)262−(y+2)252=1 
Respondido em 11/04/2020 21:17:39 
 
 
Explicação: 
25(x2 - 4x) - 36(y2 - 2y) - 836 = 0, 
obendo o quadrado: 25[(x - 2)2 - 4] - 36[(y + 1)2 - 1] - 836 = 0, 
reescrevendo:25(x - 2)2 - 100 - 36(y + 1)2 + 36 - 836 = 0, logo 25(x - 2)2 - 36(y + 1)2 - 900 = 0, 
colocando na forma canônica: (x−2)262−(y+1)252=1(x−2)262−(y+1)252=1 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a equação da elipse de focos F1(3,0) e F2(-3,0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5,0) e A2(-5,0). 
 
 
x225+y213=1x225+y213=1 
 
x225+y214=1x225+y214=1 
 
x225+y212=1x225+y212=1 
 
x225+y215=1x225+y215=1 
 
x225+y216=1x225+y216=1 
Respondido em 11/04/2020 21:17:44 
 
 
Explicação: 
Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e c = 3. 
a2=b2+c2a2=b2+c2 
25=b2+925=b2+9 
b2=16b2=16 
Neste caso, a esquação reduzida é: 
x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 
x225+y216=1x225+y216=1 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 4x2+25y2=1004x2+25y2=100 
 
 Os focos são os pontos F1(0,√ 21 21) e F2(0,√ −21−21) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). 
 Os focos são os pontos F1(√−21−21,0) e F2(√ 21 21,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). 
 Os focos são os pontos F1(√−21−21,0) e F2(√ 21 21,0) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). 
 Os focos são os pontos F1(√−21−21,0) e F2(√ 21 21,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(5,0). 
 Os focos são os pontos F1(√ 21 21,0) e F2(√−21−21,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). 
Respondido em 11/04/2020 21:18:06 
 
 
Explicação: 
4x2+25y2=1004x2+25y2=100 ⇒ 4x2100+25y2100=1001004x2100+25y2100=100100 ⇒ 
x225+y24=1x225+y24=1 
Como 25 > 4, o eixo maior está no eixo Ox. Então: 
a2 = 25 ⇒ a = 5 
b2 = 4 ⇒ b = 2 
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 ⇒ c2 = 21 ⇒ c=√ 21 c=21 
Logo, os focos são os pontos F1(√ 21 21,0) e F2(√−21−21,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? 
 
 
V13 
 
7V13 
 2V13 
 
4V13 
 
5V13 
Respondido em 11/04/2020 21:18:01 
 
 
Explicação: 
Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 
 b²=4 => b =2 
Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 
Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 
 
Exercício: CCT0830_EX_A7_201902375271_V1 11/04/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dadas as 
matrizes A=⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠A=(1−52), B=⎛⎜⎝−403⎞⎟⎠B=(−403) e C=⎛⎜⎝−28−6⎞⎟⎠C=(−28−6) , 
 determine a soma dos elementos da matriz X tal que A - 2B + 3C - X = 0. 
 
 
 
 1 
 0 
 5 
 -6 
 -2 
Respondido em 11/04/2020 21:22:02 
 
 
Explicação: 
A - 2B + 3C - X = 0 
X =⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠(1−52)- ⎛⎜⎝−806⎞⎟⎠(−806) + ⎛⎜⎝−624−18⎞⎟⎠(−624−18) 
X = ⎛⎜⎝319−22⎞⎟⎠(319−22) 
Daí, a soma dos elementos da matriz é: 
3 + 19 - 22 = 0 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A matriz A = ⎡⎢⎣−1000−1−145−1⎤⎥⎦[−1000−1−145−1] e a matriz B = ⎡⎢⎣110182⎤⎥⎦[110182] foram multiplicadas. A matriz 
resultante dessa multiplicação será: 
 
 ⎡⎢⎣−1−8−4⎤⎥⎦[−1−8−4] 
 ⎡⎢⎣0−1−834−7⎤⎥⎦[0−1−834−7] 
 ⎡⎢⎣−1−1−8−3−47⎤⎥⎦[−1−1−8−3−47] 
 [−8−3−47][−8−3−47] 
 ⎡⎢⎣1−18−347⎤⎥⎦[1−18−347] 
Respondido em 11/04/2020 21:22:09 
 
 
Explicação: 
A matriz resultante será do tipo 3 x 2 
\[−1−1−8−3−47\]\[−1−1−8−3−47\] 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine x, y e z para que se tenha: 
(x+y24x−y)=(7zz²1)(x+y24x−y)=(7zz²1) 
 
 
x = 3, y = 2 e z = 1 
 
x = 5, y = 3 e z = 2 
 
x = 5, y = 4 e z = 3 
 x = 4, y = 3 e z = 2 
 
x = 4, y = 3 e z = 1 
Respondido em 11/04/2020 21:23:04 
 
 
Explicação: 
Podemos igualar as incógnitas aos seus correspondentes: 
z² = 4 
z = 2 
x - y = 1 x + y = 7 
Quais números em que a subtração entre eles seja 1 e a soma 7? 
3 e 4 
logo, 
x = 4 e y = 3 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j 
 (-1)i+j se i diferente de j 
 
 
 0 1 
A = 3 -2 
 1 -1 
 
 0 -1 
A = 1 0 
 -1 -1 
 
 2 -1 
A = -3 1 
 1 -1 
 0 -1 
A = -1 0 
 1 -1 
 
 0 1 
A = 3 -4 
 -2 -1 
Respondido em 11/04/2020 21:23:13 
 
 
Explicação: 
Temos que a matriz A é do tipo: 
 a11 a12 
A = a21 a22 
 a31 a32 
Daí: a11 = 0 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1 a31 = (-1)3+1=(-1)3 = -1 
 a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1 a22 = 0 a32 = (-1)3+2 = (-1)5 = -1 
 
Então a matriz será: 
 0 -1 
A = -1 0 
 1 -1 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Resolva o sistema dado abaixo: 
3x + 2y + z = 10 
x + 2y + 2z = 11 
x + y + z = 6 
 
 
x = -1; y = -2 e z = -3 
 
x = 2; ; y = 2 e z = -2 
 
x = -1, y = 3 e z = -2 
 
x = -1; y = 3 e z = -2 
 x = 1; y = 2 e z = 3 
Respondido em 11/04/2020 21:23:07 
 
 
Explicação: 
Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. equação por (-1) e some-a com a 2a. 
equação, ambas do novos sistema. Multiplique a nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 
3, substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 1 -4 -2 
Dadas as matrizes A = -5 , B = 0 e C = 8 , determine a soma dos elementos da matriz X tal que: 
 2 3 -6 
 
A - 2B +3C - X = 0. 
 
 13 
 
16 
 
15 
 
11 
 
12 
Respondido em 11/04/2020 21:23:13 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
 1 -8 -6 4 
X = A - 2B +3C -> X = -5 - 0 + 24 -> X = 19 
 2 -6 -18 -10 
 
Daí, a soma dos elementos da matriz é: 4 + 19 - 10 = 13 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Resolva o sistema linear abaixo obtendo os valores de x e y. 
7x + 3y = 23 
15x -2y = 24 
 
 
x = -1 e y = 10 
 x = 2 e y = 3 
 
x = 1 e y = 5 
 
x = 3 e y = 1 
 
x = 4 e y = -2 
Respondido em 11/04/2020 21:24:05 
 
 
Explicação: 
Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o valor de x = 2, substitua este valor em 
qualquer das equações e obterá y = 3. 
 
Exercício: CCT0830_EX_A8_201902375271_V1 11/04/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
LINEAR 
201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 2 0 1 
Se p = 2 1 e q = -3 1 2 então pq - p² é um número. 
 3 -2 4 1 4 
 
 divisor de 144 
 
múltiplo de 7 
 
ímpar 
 
0 
 
primo 
Respondido em 11/04/2020 21:24:20 
 
 
Explicação: 
Temos: p = 2 1 = -4 -3 = -7 2 0 1 
 3 -2 e q = -3 1 2 = 8 - 3 - 4 - 4 = -3 
 4 1 4 
 
Logo: pq - p² = (-7).(-3)- (-3)² = 21 - 9 = 12 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dadas as matrizes , e , determine a matriz D 
resultante da operação A + B ¿ C. 
 
 D=⎛⎜⎝5−95−6810−852⎞⎟⎠D=(5−95−6810−852) 
 D=⎛⎜⎝16−9−841025510⎞⎟⎠D=(16−9−841025510) 
 D=⎛⎜⎝−8−9−4−2416555⎞⎟⎠D=(−8−9−4−2416555) 
 D=⎛⎜⎝−8−91624101055⎞⎟⎠D=(−8−91624101055) 
 D=⎛⎜⎝−8−512−95−8516⎞⎟⎠D=(−8−512−95−8516) 
Respondido em 11/04/2020 21:24:30 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine a soma dos elementos da inversa da matriz A = 4 1 . 
 3 0 
 
 0 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
-1/2 
Respondido em 11/04/2020 21:24:38 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
 
A-1 = adj(A) / !A! = 0 -1 = 0 1/3 
 -3 4 / -3 1 -4/3 
 
Logo: 0 + 1/3 + 1 - 4/3 = 0 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual a matriz A = (aij)4x4, em que aij = 3i - 2j? 
 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝5−3−11−2024135746810⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(5−3−11−2024135746810) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝−18027450−10−2−38−741⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(−18027450−10−2−38−741) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝−1806−4571−105−632−210⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(−1806−4571−105−632−210) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝9−71084054−11778520⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(9−71084054−11778520) 
 A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) 
Respondido em 11/04/2020 21:24:35 
 
 
Explicação: 
aij = 3i - 2j, logo: 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎜⎝a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4⎞⎟ 
⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4) 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.
4−2.23.4−2.33.4−2.4) 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere a matriz quadrada M = (mij) de 2ª ordem definida por mij = sen (π/2i-j) se i igual a j 
 cos (π/i+j) se i diferente de j. 
O valor do determinante da matriz M é igual a: 
 
 
0 
 
-1/2 
 -1/4 
 
-1 
 
-1/3 
Respondido em 11/04/2020 21:24:52 
 
 
Explicação: 
Temos que: M = m11 m12 = sen (π/2.1-1) cos 
(π/1+2) = sen π cos π/3 = 0 1/2 
 m21 m22 cos (π/2+1) sen (π/2.2-2) cos π/3 sen π/2 1/2 1 
 
Daí o determinante da matriz será: det M = 0 1/2 = -1/4 
 1/2 1 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Os valores de x tal que det A = 0 são: 
Dado: A = \[1xx22x13x+11\]\[1xx22x13x+11\] 
 
 
x = - 1/2 ou x = 2 
 
x = 1/2 ou x = -1 
 x = - 1/2 ou x = 1/2 
 
x = 0 ou x = 1/2 
 
x = 0 ou x = 1 
Respondido em 11/04/2020 21:24:57 
 
 
Explicação: 
Utilizando a regra de Sarrus para a matriz 3 x 3, det A será: 
x2−x+x2−x+1414 = 0 ⇒ x1 = −12−12 ou x2 = 1212 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule 
elemento c23 da matriz C. 
 
 
108 
 84 
 
100 
 
72 
 
96 
Respondido em 11/04/2020 21:25:07 
 
 
Explicação: 
Após efetuar as somas, a matriz C ficará assim: 
 
14 28 42 56 
28 56 84 112 
42 84 126 168 
56 112 168 224 
Mas como só nos interessa o elemento de C23... 
O elemento da C23 é 84. (Lembrando que o elemento C23 é encontrado na 2ª linha e 3ª coluna da matriz C) 
O calculo é bem simples, é 
2*3 = 6 
4*6 = 24 
6*9 = 54 
Depois basta somar, 6+24+54=84... 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = ¿ 
4i ¿ 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. 
 
 C=(100−1)C=(100−1) 
 C=(0110)C=(0110) 
 C=(01−10)C=(01−10) 
 C=(−100−1)C=(−100−1) 
 C=(0−1−10)C=(0−1−10) 
Respondido em 11/04/2020 21:25:39 
 
 
Explicação: 
 
 
Exercício: CCT0830_EX_A9_201902375271_V1 11/04/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Qual o cofator do elemento a13 na matriz abaixo? 
 
A=⎛⎜⎝215432768⎞⎟⎠A=(215432768) 
 
 
 3 
 
2 
 
5 
 
6 
 
4 
Respondido em 11/04/2020 21:25:58 
 
 
Explicação: 
Como i = 1 e j = 3, eliminamos a 1ª linha e a 3ª coluna da matriz A, e assim temos: 
A13 = (-1)1+3 . (4376)(4376) 
A13 = 1 . (24 - 21) = 3 
 
Fórmula do cofator: 
Aij = (-1)i-j . Dij 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Resolva, em R, a desigualdade: 
⎛⎜⎝4−12x10032⎞⎟⎠(4−12x10032) > ⎛⎜⎝1100x1002⎞⎟⎠(1100x1002) 
 
 x<−3/2x<−3/2 
 x>−1/2x>−1/2 
 x<1/2x<1/2 
 x>3/2x>3/2 
 x>−4/3x>−4/3 
Respondido em 11/04/2020 21:26:08 
 
 
Explicação: 
Calculando o determinante de cada matriz, obteremos, respectivamente: 
0 + 0 + 2x + 8 + 0 + 6x > 0 + 0 + 0 + 2x + 0 + 0 
2x + 8 + 6x > 2x 
2x + 6x - 2x > - 8 
6x > -8 
x > −8/6−8/6 (simplifique a fração) 
x > −4/3−4/3 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o cofator do elemento b22 na matriz B: 
B=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝3127193544300135⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠B=(3127193544300135) 
 
 
91 
 
85 
 
87 
 
83 
 89 
Respondido em 11/04/2020 21:26:15 
 
 
Explicação: 
Eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de B, obtemos: 
B22 = (-1)2+2 . ⎛⎜⎝327430035⎞⎟⎠(327430035) (nesta etapa calcule o determinante normalmente e depois multiplique para 
achar o cofator) 
B22 = 1 . 89 
B22 = 89 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcule o determinante: 
1/2 1/3 
 3 4 
 
 
3 
 
4 
 
2 
 
5 
 1 
Respondido em 11/04/2020 21:26:22 
 
 
Explicação: 
Para achar os o valor do determinante, em uma matriz quadrada, temos de multiplicar a11 por a22, e o mesmo em a12 por a21, e fazer 
a diferença do produto dos dois, como segue abaixo: 
D = 1/2 . 4 - 1/3 . 3 = 0,5 . 4 - 0,3333 . 3 
D = 2 - 1 = 1 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Sendo (a,b,c) a solução do 
sistema ⎧⎨⎩x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10{x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10,então 
a + 2b - c, vale: 
 
 
4 
 3 
 2 
 -4 
 
6 
Respondido em 11/04/2020 21:26:14 
 
 
Explicação: 
Temos: 
D=∣∣ 
∣∣1−2421−1033−1∣∣ 
∣∣=−1+60+24−12−4+30=97D=|1−2421−1033−1|=−1+60+24−12−4+30=97 
Da=∣∣ 
∣∣9−24−131−10103−1∣∣ 
∣∣=−9+200−156−40+26+270=291Da=|9−24−131−10103−1|=−9+200−156−40+26+270=291 
Db=∣∣ 
∣∣1942−13−10310−1∣∣ 
∣∣=13−270+80+156+18+100=97Db=|1942−13−10310−1|=13−270+80+156+18+100=97 
Dc=∣∣ 
∣∣1−2921−133310∣∣ 
∣∣=10+78+54−27+40+39=194Dc=|1−2921−133310|=10+78+54−27+40+39=194 
 
 Daí: 
a = Da/D = 291/97 = 3 
b = Db/D = 97/97 = 1 
c = Dc/D = 194/97 = 2 
 
Então: a + 2b - c = 3 + 2.1 - 2 = 3 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Calcule o valor do determinante: 
3 2 1 
1 2 5 
1 -1 0 
 
 
24 
 22 
 
26 
 
23 
 
25 
Respondido em 11/04/2020 21:26:20 
 
 
Explicação: 
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da 
terceira. 
Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma: 
D = (3 . 2 . 0) + (2 . 5 . 1) - (1 . 1 . -1) - (1 . 2 . 1) + (-1 . 5 . 3) + (0 . 1 . 2) 
D = 0 +10 -1 -2 +15 - 0 
D = 25 - 3 
D = 22 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine o valor do determinante da matriz a seguir: 
⎛⎜⎝a0000000c⎞⎟⎠(a0000000c) 
 
 abc 
 
ab 
 
bc 
 
ac 
 
2bc 
Respondido em 11/04/2020 21:26:31 
 
 
Explicação: 
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante emmatriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da 
terceira. 
Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma: 
D = (a . b . c) + (0 . 0 . 0) + (0 . 0 . 0) - (0 . b . 0) - (0 . 0 . a) - (c . 0 . 0) 
D = abc 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes ⎡⎢⎣3452k41−22⎤⎥⎦[3452k41−22]. Uma condição necessária e suficiente 
sobre k para que o sistema tenha uma única solução é: 
 
 
k diferente de zero 
 
k diferente de 4 
 k diferente de 12111211 
 k diferente de −1211−1211 
 k diferente de - 4 
Respondido em 11/04/2020 21:26:52 
 
 
Explicação: 
\[3452k41−22\]\[3452k41−22\] 
O determinante da matriz acima, aplicando a regra de Sarrus, é: k + 4 
Para que o sistema admita uma única solução, k + 4 deve ser diferente de zero. Logo: k é diferente de - 4. 
Exercício: CCT0830_EX_A10_201902375271_V1 11/04/2020 
Disciplina: CCT0830 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 201902375271 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que 
só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o 
cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles. 
 
 
Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg. 
 Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
 
Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg. 
 
Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg. 
 
Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg. 
Respondido em 11/04/2020 21:27:29 
 
 
Explicação: 
Peso de Carlos = x 
Peso de Ándreia = y 
Peso de Bidu = z 
eq 1: x + z = 87 
eq 2: x + y = 123 
eq 3: y + z = 66 
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2: 
(x + y) - (x + z) = 123 - 87 
y - z = 36 (eq 4) 
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4: 
(y - z) + (y + z) = 36 + 66 
2y = 102 
y = 51 
Com y = 51, temos: 
y + z = 66 
51 + z = 66 
z = 15 
Então... 
x + z = 87 
x + 15 = 87 
x = 72 
Logo, os pesos de cada um são: 
Carlos (x) = 72 Kg 
Ándreia (y) = 51 Kg 
Bidu (z) = 15 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). Determine o valor de f(3u-2v). 
 
 
(-8,52) 
 
(8,-52) 
 
(6,-52) 
 
(8,52) 
 (-8,-52) 
Respondido em 11/04/2020 21:28:08 
 
 
Explicação: 
Temos: 
3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5) 
 
Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O conjunto {(1,-1), (-2,2), (1,0)} não é uma base de R2. A afirmativa é: 
 
 
Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente independente. 
 
Falsa, pois o produto vetorial é nulo. 
 Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
 
Nada se pode concluir sobre a afirmativa 
 
Falsa, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
Respondido em 11/04/2020 21:28:03 
 
 
Explicação: 
O conjunto de vetores não é linearmente independente. Observe que os dois primeiros vetores (1, ¿1) e (¿2, 2) são múltiplos. 
Temos (¿2, 2) = ¿2 . (1, ¿1) + 0 . (1, 0) 
Logo, o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
Podemos concluir que o conjunto {(1, ¿1), (¿2, 2), (1, 0)} não é uma base de ℜ2. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine m para que o seguinte sistema seja possível e determinado. 
mx + 2y - z = 1 
x - 3y + z = 0 
x + 2z = 2 
 
 
m ≠ -4/5 
 
m ≠ -1/2 
 
m ≠ -3/4 
 m ≠ -5/6 
 
m ≠ -2/3 
Respondido em 11/04/2020 21:28:08 
 
 
Explicação: 
Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0, ou seja: 
m 2 -1 
1 -3 1 ≠ 0 ⇒ 6m ≠ -5 ⇒ ≠ -5/6 
1 0 3 
 
Logo , m ≠ -5/6 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão 
são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea 
que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x - y = 0 
 
x - 2y + 2 = 0 
 
x + y - 5 = 0 
 x + 2y - 6 = 0 
 
2x + 2y- 8 = 0 
Respondido em 11/04/2020 21:28:14 
 
 
Explicação: 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para 
um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia? 
 
 
23 carros e 38 motos 
 
53 carros e 47 motos 
 
47 motos e 53 motos 
 77 carros e 23 motos 
 
67 carros e 33 motos 
Respondido em 11/04/2020 21:28:31 
 
 
Explicação: 
c,m = carro, moto 
 
3c + 2m = 277 ........ (i) 
c + m = 100 ............ (ii) 
 
De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i): 
 
3c + 2m = 277 
3.(100-m) + 2m = 277 
300 - 3m + 2m = 277 
-m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m": 
m = -277+300 
m = 23 
====== 
 
c = 100 - m = 100 - 23 
c = 77 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A dimensão do espaço vetorial dim M5 x 5(R) é igual a: 
 
 
20 
 
5 
 
10 
 25 
 
0 
Respondido em 11/04/2020 21:28:37 
 
 
Explicação: 
A resolução é: dim M5 x 5(R) = 5 . 5 = 25 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a: 
 
 
 
8 
 5 
 
3 
 
6 
 
7 
Respondido em 11/04/2020 21:28:41 
 
 
Explicação: 
Somando todas equações, temos: 
3x+3y+3z+3t = 15 
3(x+y+z+t) =15 divida ambos os lados por 3 
(x+y+z+t) = 5