Cálculo diferencial - Texto de aula

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Universidade Paulista – UNIP 
Campus Brasília 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Análise Matemática 
Prof. Dr. Fabio Nogueira Carlucci 
Aula ao vivo - Data: 23/04/2020 
 
O Cálculo Diferencial 
 
Preliminares 
 
Os objetivos dessa aula são estudar, de forma rigorosa, os resultados básicos do 
cálculo diferencial, e não os métodos e técnicas que são objetos de um curso 
preliminar de cálculo. 
 
1. A derivada 
 
Definição 1. Seja , onde é um intervalo aberto, tal que 
 , é derivável em . O limite, 
 
 
 
 
 
 
 
se existe e é finito, é chamado de derivada da função no ponto . 
 
As notações usadas para indicar o valor desse limite são 
 
 ou ou 
 
 
 ou 
 
Na Física, em Mecânica e na Matemática, em Geometria Diferencial, é comum se 
considerar funções do tempo , como por exemplo, e , nesse caso, é 
comum utilizar a notação da derivada constituída de uma letra encimada por um 
ponto, como e etc. 
 
Substituindo-se por , pode-se escrever a derivada na forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde . 
De forma análoga, podem-se definir as derivadas laterais à esquerda e à direita, 
respectivamente, por 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
onde 
 
i) , lê-se: tendendo a zero pela esquerda, que significa que estamos 
tendendo a por valores menores que 0, por exemplo, podemos gerar a 
sequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de valores para , que converge para 0 por valores menores que 0. 
 
ii) , lê-se : tendendo a zero pela direita, que significa que estamos 
tendendo a por valores maiores do que , por exemplo, podemos gerar a 
sequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de valores para , que converge para 0 por valores maiores que 0. 
 
A função é derivável em se, e somente se, as derivadas laterais existem e 
são iguais, ou seja, 
 ⇔ 
 
 . 
 
Essas definições de derivadas laterais podem ser aplicadas aos extremos 
esquerdo e direito, respectivamente, do intervalo aberto . 
 
Exemplo 1. Considere a função , tal que e 
 . Não existe a derivada lateral esquerda , pois para a função 
não está definida. Mas, existe a derivada lateral direita , pois para a 
função está definida e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, não existe a derivada dessa função para x , mas existe a derivada 
lateral direita para . 
 
 
Exercício 1. Seja um número real fixado e tal que , para 
todo real. Obter a derivada de . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é , tal que , para todo . 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 2. Seja tal que . Obter a derivada de . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Se , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , não é derivável para . 
 
Resposta: A derivada é tal que 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que no ponto , o gráfico de forma um bico. Isto 
caracteriza que a função não tem derivada nesse ponto, pois as derivadas laterais 
são diferentes e, consequentemente, não há reta tangente ao gráfico dessa função 
no ponto de abscissa . 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 3. Seja tal que . Obter a derivada de . 
 
Solução: 
 
 ⇒ ⇒ 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é tal que . 
 
        








x
yy = abs(x); -3.000000 <= x <= 3.000000
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 4. Seja e considere a função tal que . 
Obter a derivada de . 
 
Solução: 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 (Teorema do Binômio) 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é , tal que . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 5. Seja tal que . Obter a derivada de . 
 
Solução: 
 
Digressão sobre algumas relações trigonométricas 
 
a) Das fórmulas de adição de arcos, temos 
 
 
 
 
Subtraindo membro a membro, temos 
 
 (*) 
 
Fazendo-se uma mudança de variáveis dada por 
 
 
 temos 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Substituindo em (*), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) limite trigonométrico fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
Usando (a) e (b), vamos calcular a derivada de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois e ⇒ 
 
 
 = 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é tal que . 
 
------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 6. Seja 
 tal que . Obter a derivada de . 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 7. Seja tal que 
 
 
. Obter a derivada de . 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8. Seja tal que 
 
 
. Obter a derivada de . 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
Resoluções 
 
Exercício 6. Seja 
 tal que . Obter a derivada de . 
 
Solução: Seja , temos 
 
 ⇒ ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é 
 tal que 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 7. Seja tal que 
 
 
. Obter a derivada de . 
 
Solução: Seja um número real diferente de zero. 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A derivada é tal que 
 
 
. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 8. Seja tal que 
 
 
. Obter a derivada de . 
 
Solução: Seja um número real 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 ⇒Resposta: A derivada é tal que 
 
 
 
 
 
2. A diferencial 
 
Pelos cursos preliminares de cálculo, sabe-se que se pode interpretar o 
valor da derivada de uma função , em um ponto , como sendo 
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função. 
 
Para obter o coeficiente angular da reta tangente, traça-se inicialmente uma 
reta S secante passando pelos pontos e 
e, a seguir,modifica-se a posição dessa secante fazendo-se . 
 
Portanto, podemos escrever a equação da reta tangente por 
 
 
 
Definição 2. A diferencial da função , tal que , no ponto 
 , é definida pelo produto 
 . 
 
 
 
Na figura, a diferencial da função , no ponto , é a medida do 
segmento RS, que representa a diferença entre a ordenada do ponto R, que 
pertence à reta tangente ao gráfico da função no ponto P, e a ordenada do ponto 
S, dada por . Pode-se observar que a variação da função, nesse caso, 
é a diferença entre a ordenada do ponto Q e a ordenada do ponto S, dada por 
 . 
 
No , tem-se 
 
 
 ⇒ ⇒ 
 
Diz-se que a função é diferenciável em um ponto de seu domínio 
 se , à medida que . 
 
No caso de função a uma variável, se a função é derivável em um ponto 
de seu domínio, então é diferenciável nesse ponto e a diferencial de é dada por 
 
Nota: Para funções de mais de uma variável a condição é necessária, mas não é suficiente. 
 
Para a função identidade , a diferencial é , 
consequentemente, em geral, denota-se a diferencial por 
 
 
Desse resultado segue que a diferencial de dividida pela diferencial de 
no ponto é igual à derivada da função , isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2. Calcule a diferencial da função , no ponto de 
abscissa e . 
 
Solução: ⇒ 
 
 ⇒ ⇒ ⇒ 
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Exercício 9. Calcule a diferencial das funções dadas nos seguintes casos: 
 
a) ; e 
 
b) 
 
 
 ; e 
 
c) 
 
 ; e 
 
d) ; e 
 
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Exercício 10. Considere a função , mostre que , 
qualquer que seja . 
 
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Exercício 11. Usando o fato que calcule, aproximadamente: 
a) 
 
b) o acréscimo sofrido pela área de um quadrado de lado , quando varia de 3 
para 3,01. 
 
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Exercício 12. O custo de produção de certo produto é . 
Atualmente, o nível de produção é de 25 unidades. Calcule, aproximadamente, 
usando diferencial de uma função, quanto varia o custo de forem produzidas 25,5 
unidades. 
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Exercício 13. A função receita de uma empresa é , sendo 
o número de unidades produzidas. Atualmente, o nível de produção é de 40 
unidades e a empresa pretende reduzir a produção em 0,6 unidades. Usando 
diferencial de uma função calcule, aproximadamente, a variação correspondente 
da receita. 
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Exercício 14. Uma empresa produz mensalmente uma quantidade de um produto 
dada pela função de produção 
 
 , sendo a quantidade de trabalho 
envolvida (em homens-hora). Atualmente, utilizam-se 900 homens-hora por mês. 
Calcule, aproximadamente, qual o acréscimo na quantidade produzida quando se 
passa a utilizar 950 homens-hora. 
 
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Bons Estudos!