Deflexão em Vigas e Eixos

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Deflexão em vigas e eixos 
A	deflexão	de	uma	viga	ou	um	eixo	deve	ser	limitada	para	que	se	forneça	estabilidade;	e	no	
caso	específico	de	vigas	para	se	prevenir	a	formação	de	trincas	ou	ruptura	de	materiais	
frágeis.	
Adicionalmente	o	cálculo	do	deslocamento	de	uma	viga	–	comumente	chamado	de	flecha	–	e	
a	determinação	do	ângulo	de	rotação	da	viga	–	comumente	chamado	de		giro	-		são	
procedimentos	imprescindíveis	para	se	encontrar	as	reações	de	estruturas	estaticamente	
indeterminadas.	
Antes		de		se		encontrar		a		flecha		e		deflexão,		é		importante		fazer		um		esboço		da		forma	
deformada	da	viga,	que	é	representada	pela	linha	elástica.	
Linha Elástica 
Este	esboço	da	linha	elástica	procura	representar	o	comportamento	da	viga	em	relação	aos	
seus	carregamentos	e	apoios.	
De	maneira	geral	a	linha	elástica	tende	a	seguir	a	orientação	dada	pelo	diagrama	de	
momento	fletor.	Um	momento	positivo	tende	a	fazer	a	concavidade	da	viga	ficar	virada	para	
cima;	enquanto	que	um	momento	negativo	tende	a	fazer	a	concavidade	ficar	virada	para	
baixo.	
Será	considerada	uma	viga	sob	um	carregamento	simples	no	slide	a	seguir.	
Linha Elástica 
Devido	aos	apoios,	a	flecha	nestes	locais	
vale	zero.	Dentro	da	região	de	momento	
negativo		AC		a		concavidade		da		curva	
deve	ser	para	baixo.	O	ponto	de	inflexão	
–		o		local		de		momento		fletor		zero		–	
marca	o	ponto	de	alteração	da	direção	
da	concavidade.	A	partir	do	ponto	C	–	
região	 de	 momento	 positivo	 –	 a	
concavidade		da		linha		elástica		aponta	
para	cima.	
Nota-se	também	que	os	deslocamentos	
Δ		e	Δ			são	especialmente	críticos.	No	
ponto	E	o	giro	da	curva	elástica	é	zero,	e	
A	 E	
a	flecha	da	viga	pode	ser	máxima.	
Se		Δ			ou		Δ			é		maior		dependerá		da	
intensidade	das	forças	e	das	distâncias.	
A	 E	
Linha Elástica 
Observando	os	mesmos	princípios	ilustrados	no	slide	
anterior,		pode-se		construir		um		esboço		da		linha	
elástica	desta	viga	engastada.	
Lembre-se	de	quê	o	engaste	é	um	tipo	de	apoio	que	
possui	três	reações:	duas	forças	e	um	momento.	
Momento	é	o	tipo	de	reação	que	impede	o	giro,	e	
por	isso	a	rotação	no	engaste	é	zero.	
Linha Elástica 
Antes	de	se	obter	a	rotação	e	a	flecha	em	qualquer	ponto	da	linha	elástica,	é	necessário	
relacionar	o	momento	interno	ao	raio	de	curvatura	ρ	da	linha	elástica.	Para	tal,	considera-se	a	
figura	mostrada	do	qual	retira-se	um	elemento	diferencial	dx	localizado	a	uma	distância	x	da	
origem.	
Relação Momento - Curvatura 
Deve-se	“localizar”	a	coordenada	y	exatamente	sobre	o	eixo	neutro,	e	
posicionar	 sua	 origem	 ali.	 A	 partir	 do	 eixo	 neutro,	 mede-se	 os	
comprimentos	deformados	ds’	através	de	sua	localização	y.	
Ao		se		deduzir		a		equação		da		flexão	encontrou-se	uma	relação	entre	a	
deformação,	a	localização	y	e	o	raio	de	curvatura	ρ.	
		Considerando	que	trabalha-se	na	região	linear	elástica,	as	
seguintes	relações	são	válidas:	
Pode-se	obter:	
Relação Momento - Curvatura 
ρ	–	raio	da	curvatura	no	ponto	da	linha	elástica	(1/ρ	é	chamado	de		ρ	é	chamado	de	curvatura);	
M	–	esforço	interno	de	flexão	no	ponto	considerado;	
E	–	Módulo	de	elasticidade	do	material;	
I	–	Momento	de	inércia	em	relação	ao	eixo	neutro.	
O	sinal	de	ρ	depende	da	direção	do	momento.	Quando	M	for	positivo,	ρ	fica	acima	da	viga;	
quando	M	for	negativo,	ρ	fica	abaixo	da	viga.	
Relação Momento - Curvatura 
A	equação	da	linha	elástica	será	definida	pelas	coordenadas	v	e	x.	Assim	para	que	se	possa	
escrever	a	flecha	v	=	f(x)	deve-se	representar	a	curvatura	(1/ρ	é	chamado	de		ρ)	em	termos	de	v	e	de	x.	Toma-	
se	a	definição	do	cálculo	para	que	se	possa	escrever:	
Junto	com	a	equação	apresentada	no	slide	anterior	obtém-se:	
Método da Integração 
Exceto	por	alguns	casos	específicos	de	geometria	simplificada,	esta	equação	é	de	difícil	
resolução.	Ela	representa	uma	equação	diferencial	não-linear	de	segunda	ordem.	
Felizmente	a	equação	pode	ser	simplificada.	Como	trabalha-se	com	pequenas	deformações	
o	resultado	imediato	é	que	a	rotação	será	muito	pequena.	O	termo	que	fornece	a	rotação	é	
dado		por		dv/dx;		e		o		quadrado		deste		termo		é		completamente		negligenciável		quando	
comparável	à	unidade.	Desta	maneira	a	curvatura	pode	ser	reescrita	como:	
Método da Integração 
Esta	mesma	equação	ainda	pode	ser	apresentada	de	outras	duas	formas.	Caso	aplique-se	a	
derivada	de	ambos	os	lados	em	relação	a	x,	sabe-se	que	V	=	dM/dx:	
Com	uma	segunda	derivação	e	sabendo-se	que	w	=	dV/dx:	
Método da Integração 
-	
Note	que	o	termo	EI	aparece	em	diversos	lugares.	Este	produto	do	módulo	de	elasticidade	
pelo	segundo	momento	de	área	de	inércia	é	chamado	de	rigidez	à	flexão.	Na	grande	maioria	
dos	casos	este	produto	é	constante	ao	longo	do	comprimento	da	viga.	Assim,	pode-se	
reescrever	o	conjunto	das	três	equações:	
Método da Integração 
-	
A	solução	de	qualquer	uma	das	equações	apresentadas	necessita	de	integrações	sucessivas	
para	se	obter	v.	Para	cada	integral	é	necessário	introduzir	a	constante	de	integração	e	
resolver	a	equação	para	todas	as	constantes	para	se	obter	a	solução	de	um	problema	
particular.	
Por	exemplo,	se	o	carregamento	w	é	dado	como	uma	função	de	x	será	necessário	determinar	
quatro	constantes	de	integração.	
Entretanto	é	mais	fácil	trabalhar	com	o	momento	fletor	M	como	uma	função	de	x	e	ter	que	
determinar	somente	duas	constantes	de	integração.	
Condições de Contorno 
Na	grande	maioria	das	vezes	as	constantes	de	integração	podem	ser	determinadas	somente	
com	o	uso	das	condições	de	contorno,	conforme	mostradas	abaixo.	
Condições de Contorno 
Porém	como	nem	tudo	na	vida	é	simples,	sabe-se	que	normalmente	existem	várias	
equações	pra	definir	o	momento	fletor	de	uma	viga	–	cada	uma	definida	num	intervalo	
distinto	do	domínio,	de	maneira	que	a	união	de	todas	as	equações	fornece	o	comportamento	
completo	do	momento	fletor.	
Para	a	viga	mostrada	teríamos	três	equações.	
Quando	 cada	 uma	 das	 equações	 de	
momento	fletor	fosse	integrada	duas	vezes,	
seriam	 produzidas	 duas	 constantes	 de	
integração	 em	 cada	 –	 totalizando	 seis	
constantes	de	integração.	
Como	não	é	possível	determinar	o	valor		das	
seis	 constantes	 somente	 através	 das	
condições	de	contorno,	são	necessárias	as	
condições	de	continuidade.	
Por	exemplo	uma	vez	que	as	funções	para	a	
rotação	e	deflexão	forem	determinadas,	elas	
devem	fornecer	o	mesmo	valor	na	posição	B	
–	pois	a	linha	elástica	deve	ser	contínua.	
Condições de Continuidade 
Podemos	expressar	as	condições	de	continuidade	de	rotação	e	flexão	como:	
Assim	 pode-se	 determinar	 todas	 as	
constantes	de	integração	do	sistema.	
Condições de Continuidade 
Considera-se	a	deflexão	v	como	positiva	quando	ela	apontar	para	cima.	Da	mesma	maneira	a	
rotação	positiva	é	medida	no	sentido	anti-horário.	
Convenção de Sinais 
Exemplo 1.1 
Para	a	viga	mostrada	determine	as	equações	da	linha	elástica.	Considere	que	a	rigidez	à	
flexão	EI	é	constante.	
Exemplo 1.1 
Exemplo 1.1 
Exemplo 1.1 
Exemplo 1.1 
Exemplo 1.2 
A	viga	engastada	está	sujeita	a	uma	carga	P	na	sua	extremidade.	Determine	a	equação	da	
linha	elástica.	Considere	EI	constante.	
Exemplo 1.2 
Exemplo 1.2 
Exemplo 1.2 
Exemplo 1.3 
Considere	a	viga	mostrada.	Determine	(i)	o	local	e	magnitude	da	máxima	deflexão	e	(ii)	o	
local	e	magnitude	da	máxima	rotação.	Considere	EI	constante.	
Exemplo 1.3 
Exemplo 1.3 
Exemplo 1.3 
Exemplo 1.3 
Exemplo 1.3 
Exemplo 1.4 
Considere	a	viga	mostrada.	Determine	(i)	o	local	e	magnitude	da	máxima	deflexão	e	(ii)	o	
local	e	magnitude	da	máxima	rotação.	Considere	EI	constante.	
Exemplo 1.4 
Exemplo 1.4 
Exemplo 1.4 
Exemplo 1.4 
Exemplo 1.4