Slides de Aula - Unidade II - Matemática Aplicada

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Prof. Luiz Carlos
UNIDADE II
Matemática Aplicada
 Equações são expressões matemáticas que buscam encontrar um valor 
desconhecido tendo por base algumas informações.
Exemplo: Um automóvel custa R$20.000,00. Parte do pagamento foi efetuado com 
uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 10 parcelas iguais. Qual o valor 
das parcelas?
15.000 + 10.X = 20.000
10.X = 5.000
X = 500 (ou seja, R$ 500,00)
Equações Matemáticas
Entrada Prestação Total
 São representadas sob a forma: aX + b = 0, em que “a” e “b” são constantes reais 
e “X” é a incógnita.
 A igualdade se mantém mesmo ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir um 
mesmo número em ambos os lados da equação de primeiro grau.
Equações de Primeiro Grau
 É toda desigualdade que pode ser representada sob a forma aX + b < 0, em que 
“a” e “b” são constantes reais e “X” é a incógnita.
Inequações de primeiro grau
 É necessário montar um sistema de equações para resolver equações 
envolvendo duas incógnitas.
 Resolução é possível através do método da adição ou pelo método 
da substituição.
Sistemas de Equações
Isolar uma das incógnitas na 
primeira equação e substituí-la na 
segunda equação 
 Isola-se x na primeira equação.
 Substitui-se pelo x da segunda equação. 
Exemplo
 Toda equação que possa ser representada por ax2 + bx + c = 0, em que “a”, “b” e 
“c” são constantes reais e “X” é a incógnita.
Qualquer equação do segundo grau pode ser resolvida pela fórmula:
Equações de Segundo Grau
Resolver a equação: 
Exemplo
a = 2
b= -3
c = -1
Substituindo na fórmula para y:
Ao resolvermos, pelo método da substituição, o sistema:
O resultado de x e y, respectivamente, será:
a) -1 e 8
b) 8 e - 1
c) 0 e - 8
d) 4 e - 4 
e) 1 e - 8
Interatividade
Ao resolvermos, pelo método da substituição, o sistema:
O resultado de x e y, respectivamente, será:
a) -1 e 8
b) 8 e - 1
c) 0 e - 8
d) 4 e - 4 
e) 1 e - 8
Resposta
Isolando x na primeira equação:
Substituindo x na segunda equação:
Substituindo y na primeira equação:
Alternativa a
 Razão entre dois números “a” e “b” (b0) é o quociente a:b
 Exemplo: a razão entre 3 e 2 será 3:2 ou...
 Exemplo 2: a razão inversa entre 4 e 5 será 5:4 ou...
Razão e Proporção
Primeiro Termo ou antecedente
Segundo Termo ou consequente
 Dizemos que os números a, b, c e d formam uma proporção quando a razão entre 
a e b for igual à razão entre c e d (considerando-se b e d0).
Assim, a proporção será:
 Exemplo: a razão entre 4 e 2 é proporcional à razão entre 10 e 5...
O que é uma proporção?
 Fundamental:
 Segunda: 
 Terceira:
 Quarta:
Propriedades
 A é diretamente proporcional a B se, e somente se, a razão entre 
eles for constante.
Exemplo:
Grandezas Diretamente Proporcionais
Distância (km) 80 160 240
Tempo (h) 1 2 3
 Podemos, então estabelecer uma relação entre duas grandezas (a e b).
 Exemplo: Um paciente apresenta IMC = 30 ao pesar 70 kg. 
a) Considerando proporcionalidade entre peso e IMC, qual deverá ser seu 
novo IMC caso ele tenha reduzido seu peso para 65 kg?
b) Qual a relação de grandeza que existe entre 
IMC e peso?
Portanto:
 Se A é inversamente proporcional a B, podemos dizer que...
pois
 Podemos então estabelecer uma relação entre duas grandezas (A e B).
Grandezas Inversamente Proporcionais
 Método prático para resoluções onde temos 2 valores para uma grandeza 
A e apenas 1 valor para a grandeza B.
a1 b1
x b2
Regra de Três Simples
A B
 Resolução de problemas envolvendo mais de duas grandezas proporcionais.
Propriedade:
a1 b1 c1
x b2 c2
Regra de Três Composta
A B C
A ração existente em um haras é suficiente para alimentar 30 cavalos por 40 dias. 
Quantos dias duraria a ração se tivéssemos apenas 20 cavalos?
a) 10 dias.
b) 30 dias.
c) 50 dias.
d) 60 dias.
e) 70 dias.
Interatividade
A ração existente em um haras é suficiente para alimentar 30 cavalos por 40 dias. 
Quantos dias duraria a ração se tivéssemos apenas 20 cavalos?
a) 10 dias.
b) 30 dias.
c) 50 dias.
d) 60 dias.
e) 70 dias.
Resposta
Fazendo: A = número de cavalos
B = número de dias
Aplicando a regra de três simples para 
parâmetros inversamente proporcionais, 
teremos:
A B
30............40 30 x
=
20 .......... X 20 40
20.x = 1200 dias
Percentagem ou porcentagem é uma medida de razão de base 100.
Exemplo:
 O percentual de álcool na gasolina é de 25%. Portanto, a cada 100 litros, temos 
25 litros de álcool e 75 litros (o restante) de gasolina nesta mistura.
Percentagem 
 Uma taxa percentual pode ser representada como decimal ou fração.
Exemplo:
ou
Para transformar um número decimal em taxa percentual basta multiplicar por 100:
Cálculos envolvendo percentagem
 Grama (g): unidade de medida de massa ou quantidade.
 Miligrama (mg): milésima parte da unidade grama.
1g = 1000 mg
 Litro (l ou L): unidade de volume ou capacidade.
 Mililitro (ml ou mL): milésima parte da unidade litro.
1L = 1000 mL
Outras subunidades importantes:
1g = 10 dg = 100 cg
Exemplos de conversão:
 Converta 200 mg em g.
 Converta 0,400g em mg.
Principais unidades de medida
 Cálculo que representa a forma como uma substância se distribui em outra.
 Para soluções será a razão entre quantidade (massa) e capacidade (volume).
onde: 
 m1 = massa do soluto
 V = volume da solução
Principais unidades:
 g.L-1 (grama por litro)
 mg.L-1 (miligrama por litro)
Concentração
 Redução da concentração de uma solução pela adição de solvente.
 Cálculo envolvendo grandezas diretamente proporcionais.
Resolvida por regra de três simples:
 Onde: C = concentração e V = volume.
 Representação: A:B (diluição de A para B)
Diluição de Doses e Soluções
Deseja-se diluir uma solução de glicose 5% de forma a obter 25 mL de uma solução 
2%. Como proceder?
5% -------------------------------- x
2% ------------------------------- 25 mL
 Portanto, iremos coletar 10 mL da solução 
5%, transferir a outro frasco e completar até 
25mL com água.
Exemplo
Concentração Volume
 Podem ser realizados pelas regras já vistas de razão e proporção.
Método da Fórmula:
Onde: 
 DP = dose prescrita; DD = dose disponível; Q = quantidade; 
x = dose a ser administrada.
Cálculo de Doses Orais
 Administre 500 mg de um fármaco 2 vezes/dia. O fármaco está disponível 
em comprimidos de 250 mg.
 Portanto, serão administrados 4 comprimidos 
no total ou dois comprimidos a cada 12h.
Exemplo
Deseja-se administrar 4g de um fármaco por dia. Sabe-se que o medicamento está 
disponível na forma de comprimidos de 500 mg. Determine quantos comprimidos 
serão administrados por dia:
a) 10 comprimidos
b) 8 comprimidos
c) 6 comprimidos
d) 4 comprimidos
e) 2 comprimidos
Interatividade
Deseja-se administrar 4g de um fármaco por dia. Sabe-se que o medicamento está 
disponível na forma de comprimidos de 500 mg. Determine quantos comprimidos 
serão administrados por dia:
a) 10 comprimidos
b) 8 comprimidos
c) 6 comprimidos
d) 4 comprimidos
e) 2 comprimidos
Resposta
Para efetuar o cálculo é necessário, converter 
para a mesma unidade.
Utilizando o método da fórmula e levando em 
consideração dose unitária, temos:
Portanto, serão administrados 8 comprimidos
por dia.
 Podemos utilizar a regra da razão e proporção ou o método da fórmula.
Exemplo: Deseja-se administrar 35 mg de um fármaco sendo que o mesmo é 
disponibilizado como 50 mg.mL-1. Como administrá-lo?
50 mg ------------------------------------------- 1 mL
35 mg ------------------------------------------- x
X = 0,70 mL
Cálculo de Doses Parenterais
 Foram prescritas 300.000 unidades de penicilina G procaína a um paciente para 
administração a cada 12 h. A penicilina G procaína está disponível em 
600.000 U em um frasco de 1,2 mL. 
 600.000 U ............................................. 1,2 mL
 300.000 U ...............................................X
 X = 0,6 mL a cada 12h ou uma dose total de 2,4 mL/dia.
Exemplo
 Forma não discursiva para a apresentação de dados.
 Informações: números ou códigos.
 Dispostas em ordens (linhas e colunas) conforme os parâmetros informados.
Elementos Essenciais:
Número.
Título (parte superior, letra minúscula e espaço simples entre linhas).
Cabeçalho (indica o conteúdo das colunas).
Notas: informações complementares.
Segue a norma NBR 14724:2011 subitem 5.9, que 
por sua vez, remete às Normas de Apresentação 
Tabular do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE (1993).
Tabelas
Interpretação de Tabelas
Região 1 filho
(%)
2 filhos 
(%)
3 ou mais filhos 
(%)
Norte 55,0 29,0 16,0
Nordeste 60,8 26,0 13,2
Sudeste 69,9 21,6 8,5
Sul 70,9 22,5 6,6
Centro-Oeste 59,3 28,8 11,9
Fonte: IBGE/Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD.
Tabela 1: Percentual de mulheres, de 24 anos de idade, que
tiveram filhos nascidos vivos (2007).
Quadro 1: XXXXXXXXXXX.
Fonte: XXXXX
 Predomínio de palavras.
 A diferença para uma tabela está no teor mais esquemático e menos estatístico.
 A apresentação dos quadros é semelhante à das tabelas, exceto pela colocação 
dos traços verticais em suas laterais e na separação das casas.
 É citado no subitem 5.8 da NBR 14724:2011 como uma das categorias 
de ilustrações.
Quadros
Tema A Descrição A
Tema B Descrição B
 A tabela tem como elemento central o dado numérico e todas as demais 
informações têm por função complementar auxiliar na compreensão 
destes dados.
 A Norma ABNT não especifica o conteúdo que deve existir em um quadro.
Exemplo
 Representação dinâmica dos dados, sendo considerados mais eficientes na 
visualização de tendências.
Tipos mais comuns são: 
 Gráficos de linhas - Ordem crescente 
 Gráficos de círculos - Proporções (%)
 Gráficos de barras - para estudos temporais, dados comparativos de 
diferentes variáveis.
Gráficos
Relação entre duas variáveis expressas em ordem crescente:
Gráfico de Linhas
Fonte: Site TecMundo
 Indicado para representar proporções ou frações dentro de um 
parâmetro estudado.
Gráfico de Círculos
Fonte: Coan Consultoria
 Indicado para estudos temporais, dados comparativos de diferentes variáveis.
Gráfico de Barras
 Um estudo buscou avaliar a excreção diária de creatinina em seis amostras de 
cobaias (camundongos) submetidas a padrões de alimentação diferentes. 
Sabendo-se que uma cobaia apresenta concentração de creatinina na ordem de 
60 mg.L-1, indique a massa de creatinina em uma amostra de 15 mL.
a) 0,90 mg
b) 0,45 mg
c) 1,80 mg
d) 2000 mg
e) 60 mg
Interatividade
 Um estudo buscou avaliar a excreção diária de creatinina em seis amostras de 
cobaias (camundongos) submetidas a padrões de alimentação diferentes. 
Sabendo-se que uma cobaia apresenta concentração de creatinina na ordem de 
60 mg.L-1, indique a massa de creatinina em uma amostra de 15 mL.
a) 0,90 mg
b) 0,45 mg
c) 1,80 mg
d) 2000 mg
e) 60 mg
Resposta
Temos que:
60 mg ---------------------------------------- 1 L
x mg ---------------------------------------- 15 mL
Devemos manter a mesma unidade (litro):
15 mL = 0,015 L
60 mg ---------------------------------------- 1 L
x mg ---------------------------------------- 0,015 L
X = 0,90 mg (alternativa a)
ATÉ A PRÓXIMA!