Exercício resolvido - calculo

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Exercício resolvido estruturas de concreto
Determinar o momento resistente de uma viga com bw=12 cm, d=17,65 para as seguintes situações;
A) As =0,5 cm²
B) As=2,0 cm²
Dados: Aço CA 50
Concreto c20
Solução;
Profundidade da Linha Neutra – LN
A) X = (As.Fyd)/0,68.bw.fcd
temos que a viga no domínio 2.
Limite de ductibilidade está no domínio 3
X=0,45.d
X lim = 0,45x17,65
Xlim=7,94 cm
Cálculo do momento:
Md=Fs.(d-0,56x)
Por conhecer a área – FS = As. Fyd
Md=As.fyd(d-0,45x)
Md = 0,5.50/1,15.(17,65-0,4.1,86)
Md = 367,52 kn/cm
Mmax=367,52/1,4= 262,51 kn/cm
Deformação máxima do ca50 – 10 por mil
A) X = (As.Fyd)/0,68.bw.fcd
temos que a viga no domínio 3.
Limite de ductibilidade está no domínio 3
X=0,45.d
X lim = 0,45x17,65
Xlim=7,94 cm
Cálculo do momento:
Md=Fs.(d-0,56x)
Por conhecer a área – FS = As. Fyd
Md=As.fyd(d-0,45x)
Md = 2.50/1,15.(17,65-0,4.7,44)
Md = 1276 kn/cm
Mmax=1276/1,4= 911,42 kn/cm
2) Altura mínima de uma seção com armadura simples
Menor altura = dmin = Máx
Md=Max
Antes da imposição x=0,45d
O momento máximo era o que levava a viga a situação de x no limite entre os domínios 3 e 4
Com a nova norma o momento é obtido utilizando o valor de x =0,45.d
x/d = Ec/Ec+Es
Md = ( 0,68.x.d-0,272.x²)bw.fcd
S=x/d = Ec/Ec+Es ; 
X=S.d
Logo
Md = (0,68. S. d² - 0,272. S².d²)bw.fcd
Resolvendo para d, a altura mínima
dmin = 2,0* rais (Md/bw.fcd)
Exercicio resolvido
Para a seção retangular a seguir, determine a altura mínima e a quantidade de armadura necessária
 Dmin
Bw=12 cm
Ca 50
C20
Md=17,08 kn/m
Dmin=2,0.raiz(1708/(12*2,0/1,4))
Dmin=19,96cm
As=Md/(z.fyd)
Z=d-0,4x
Quanto vale o x?? – 
X=0,45.dmin = 0,45*19,96 = 8,98 cm
Z=19,96-0,4*8,98 = 16,34 cm
As = 1708/(16,35*50/1,15)
As= 2,40 cm²
Se d maio ou igual dmin; A VIGA TRABALHA COM ARMADURA SIMPLES
INERCIA=B.H³/12 - 	
Se d < dmin ; a viga necessita com armadura dupla
2- ARMADURA DUPLA
Pode ocorrer na prática de a viga não poder ter a altura mínima para suportar o momento do cálculo MD
Assim temos que Mlim= momento que a seção suporta com a altura real e a armadura apenas tracionada (armadura simples As) trabalhando no limite x=045.d -dominio 3
A diferença de momentos M2=med – Mlim será resistida pela armadura de compressão (AS’) e para que seja mantido o equilíbrio por uma armadura aciona de tração.
Desta forma a viga contara com armaduras tracionada e comprimida ( armadura dupla)
Mlim: obtido impondo o limite x= 0,45 d resistido pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada AS1
M2: será resistido por uma armadura de compressão As¹ e para que seja mantido o equilíbrio armadura adicional tracionada. As2 9Alem da As, calculada com Mlim)
Aula dia 26/05/2017
1-Obter as áreas de aço necessárias para combater os momentos fletores da viga a seguir.
↓40kn ↓150kn
1 m 2m 2m
Dados adicionais: 
Bw = 15cm
H=40cm
Fck: 30 Mpa
Aço CA 50
As forças já estão com 1,4 de margem de segurança
1º
Diagrama de momento fletor
 40
 
 130
Md máx + = 130KN.M
Md min- =40 kn.M
Viga bi apoiada com uma carga concentrada no meio.
 ↓kn 
p.L/4 = 150.4/4=150
Caso a= Md max - = 40 kn.m
Dmin = 2x raiz(md/bw.fcd)
2xraiz(4000/15.3/1,4) 
Dmin=22,31
Altura mínima para trabalhar com armadura simples.
D=0,9.h 
D=0,9*40 =36 cm
Como o d>dmin = 
Por motivo de segurança pode usar o Md máximo.
Calculo para armadura simples
As = Md/E.fyd
Z=d-0,4x > quem é o x ?
X=(0,68.d+- raiz((0.68d)²-4.0,272(md/bw.fcd)) )0,544
X1= 84,6 cm
X2=5,4cm 
Logo x = 5,4 cm, pela viga ter apenas 40 cm
Dai z = 36-0,4.5,4 = 33,84
Com isso 
As = 4000/(33,84.50/1,15) = 2,72 cm²
3 barras de 12,5 cm – 3,8 cm²
Pi.d²/4
1 barra de ½ - 1,26 cm
Caso b Momento positivo de 130 kn /m
Dmin = 2x raiz(md/bw.fcd)
2xraiz(13000/15.(3/1,4) 
Dmin=40,22
Altura mínima para trabalhar com armadura simples.
D=0,9.h 
D=0,9*40 =36 cm
Como o d=36cm < dmin = 40,22 cm 
Por isso precisamos de armadura dupla
ARMADURA DUPLA – ÁREA DE AÇO
As = Mlim /(1-0,4(kx)lim)
Mlim = 0,251.bw.fcd.d²
Mlim = 10.455,90kn/cm
Md = 13000 kn.cm m2 = md-milm
M2 = 13000-10455,9 = 2544,1kn/cm
Calculo da armadura tracionada:
Kx=x/d
d’ = 0,1h - estimativa
As=10.455,9/(1-0,4.0,450.36.(50/1,15) + 2544,1/ (36 – 4).50/1,15
As = 8,146cm²+ 1,828 cm²
As = 9,97 cm²
Calculo da área comprimida:
As’ = 1,828 cm²
PARA AQUI NA ÁREA DE AÇO na prova
3 barras de 12,5 cm – 
Pi.d²/4
1 barra de ½ - 1,26 cm
Aula dia 29/07/2017
Uma questão de armadura simples
Armadura dupla
Condições de ensaio
Calcular momentos – não da
ESFORÇOS CORTANTE