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Resistência dos Materiais II CARGA AXIAL PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 1 Resumo do capítulo PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 2 Discutiremos como: Determinar a deformação de elementos carregados axialmente (sujeitos à tensão normal). Determinar as reações nos apoios quando tais reações não puderem ser determinadas estritamente pelas equações de equilíbrio. Analisar os efeitos da tensão térmica (dilatação térmica). Analisar os efeitos de concentradores de tensões. Determinar deformação inelástica. 1. Princípio de Saint-Venant PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 3 Uma barra deforma-se elasticamente quando submetida a uma carga P aplicada ao longo do seu eixo geométrico. Para o caso representado, a barra está fixada rigidamente em uma das extremidades, e a força é aplicada por meio de um furo na outra extremidade. Devido ao carregamento, a barra se deforma como indicado pelas distorções das retas antes horizontais e verticais, da grelha nela desenhada. 1. Princípio de Saint-Venant PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 4 2. Deformação axial de um elemento submetido a esforço normal PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 5 Considere-se o elemento de barra em equilíbrio submetido aos carregamentos axiais como se segue: Onde: δ → Alongamento do elemento de barra de comprimento L; dδ → Alongamento do elemento infinitesimal na seção genérica distante “x” do extremo esquerdo da barra. Considerando-se o material no regime elástico linear (Lei de Hooke), a tensão e a deformação no elemento infinitesimal são dadas por: 2. Deformação axial de um elemento submetido a esforço normal PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 6 Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja: Onde: 𝛿 = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro. L = distância entre pontos. P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade. A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x. E = módulo de elasticidade do material. 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 ∴ 𝑃 𝑥 𝐴 𝑥 = 𝐸 𝑑𝛿 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝛿 = 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝐴𝑥 2. Deformação axial de um elemento submetido a esforço normal PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 7 Em muitos casos a barra tem área da seção transversal constante A e o material é homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante. Unidades 𝑚𝑚 = 𝑁 ∙ [𝑚𝑚] 𝑁 𝑚𝑚² ∙ [𝑚𝑚2] IMPORTANTE: Geralmente o “E” é fornecido em GPA. Portanto, lembre-se que:1GPa = 1.10³ Mpa = 1.10³ N/mm² 2. Deformação axial de um elemento submetido a esforço normal PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 8 Na grande maioria das aplicações em engenharia, as peças apresentam trechos homogêneos com esforço normal e área de seção reta constantes, ou seja: 𝛿𝑇 = 𝛿1 + 𝛿2 = 𝑃1𝐿1 𝐸1𝐴1 + 𝑃2𝐿2 𝐸2𝐴2 ∴ 𝛿𝑇 = 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 2. Deformação axial de um elemento submetido a esforço normal PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 9 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE Força Interna 1. Use o método das seções para determinar a força axial interna P no elemento. 2. Se vária forças externas constantes agirem sobre o elemento, então em cada segmento do elemento se deve determinar a força interna entre quaisquer duas forças externas. 3. Para qualquer segmento, uma força de TRAÇÃO interna é POSITIVA e uma força de COMPRESSÃO interna é NEGATIVA. Deslocamento 1. A equação de deslocamento deve ser aplicada a cada segmento quando a área da seção transversal, o módulo de elasticidade ou carregamento interno mudar repentinamente. 2. Para qualquer segmento, se o deslocamento for POSITIVO indica ALONGAMENTO, se for NEGATIVO indica uma CONTRAÇÃO. 3. Exemplos de deformação axial PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 10 Exercício 1: A barra de aço A-36 mostrada ao lado é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600 mm² e ABD = 1200 mm², respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. Considerar: E(aço) = 210 GPa 3. Exemplos de deformação axial PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 11 Exercício 2: O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da barra de aço 𝛿𝐶/𝐵 e do tubo de alumínio 𝛿𝐴/𝐵? Considerar E(aço) = 200 GPa e E(alumínio) = 70 GPa. 3. Exemplos de deformação axial PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 12 Exercício 3: O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço A-36 com 8 m de comprimento medido desde a hélice até o mancal de encosto D no motor. Se o eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura de parede de 50 mm, determine a quantidade de contração axial do eixo quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre o eixo. Os apoios em B e C são mancais de deslizamento (ou seja, não exercem reações axiais). 4. Princípio de superposição de efeitos PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 13 É frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complicado. Afirma que a tensão ou deslocamento resultante é determinado pela soma algébrica das contribuições causadas por cada uma das componentes das cargas. Exemplo ilustrativo: 4. Princípio de superposição de efeitos PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 14 Para fazer o uso desse princípio deve-se atender as duas condições descritas: 1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o deslocamento a ser determinado. 𝜎 = 𝑃 𝐴 , P tem relação linear com 𝜎 𝛿 = 𝑃𝐿 𝐸𝐴 , P tem relação linear com 𝛿 2. A carga não deve provocar grandes mudanças na geometria ou configuração original do elemento. P = P1 + P2 d ≠ d1 ≠ d2 5. Elemento com carga axial estaticamente indeterminado PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 15 Um elemento está estatisticamente indeterminado se as equações de equilíbrio não forem suficientes para determinar as reações no elemento. Para estabelecer uma equação adicional necessária para a solução, temos que considerar a geometria da deformação. Uma equação que indique as condições para o deslocamento é denominada CONDIÇÃO DE COMPATIBILIDADE. Exemplo: DCL (do ponto A ao B) Pelas Equações da Estática, tem-se Σ𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 𝑃 (Eq.1) 5. Elemento com carga axial estaticamente indeterminado PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 16 Pelo Princípio da Superposição, sabe- se que: A Equação de Compatibilidade deve elemento é: 𝛿𝐴/𝐵 = 0, uma vez que o deslocamento do corpo é impedido pelo engaste em ambos os lados A e B. 𝛿𝐴/𝐶 + 𝛿𝐶/𝐵 = 0 𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶 𝐴𝐸 − 𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐸 = 0 ∴ 𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶 𝐴𝐸 = 𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶 = 𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶 Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1, temos que: 𝐹𝐴 = 𝑃𝐿𝐵𝐶 𝐿 e 𝐹𝐵 = 𝑃𝐿𝐴𝐶 𝐿 (Eq.2) 5. Elemento com carga axial estaticamente indeterminado PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 17 Exercício 4: A haste de aço mostrada na Figura abaixo tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B' e a haste. Determine as reações em A e B' se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN como mostra a figura. Despreze o tamanho do colar em C. Considere E = 200 GPa. 6. Tensões e deformações térmicas PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 18 Quando há variação de temperatura, os materiais se dilatam, quando essa variação é positiva, e se comprimem, quando a variação é negativa. Para uma barra de comprimento L, submetida a uma variação ΔT, seu alongamento é dado por: 6. Tensões e deformações térmicas PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 19 Exercício 5: A chave elétrica fecha quando a as hastes de ligação CD e AB se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço rígido BDE até fechar o contatoem F. A posição original de BDE é vertical e a temperatura é 20ºC. Se AB for feita de bronze C86100 e CD, de alumínio 6061-T6, determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110ºC. PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 20 S = 0,7425 mm 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 21 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 22 Concentrações de tensão ocorrem em seções onde a área da seção transversal muda repentinamente (Ex: Furos, Entalhes, Rasgos de chaveta, Ranhuras, Redução de área, Cantos vivos, etc). Quanto mais severa a mudança, maior a concentração de tensão. Essa mudança de seção provoca uma redistribuição do campo de tensões e deformações nas suas proximidades. 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 23 Para projeto ou análise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a menor área de seção transversal. Para tanto, utiliza-se um fator de concentração de tensão, K, que foi determinado por meios experimentais e é função apenas da geometria do corpo de prova. 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝜎𝑚é𝑑 OBS1: Normalmente, a concentração de tensão em um corpo de prova dúctil submetido a um carregamento estático não terá de ser considerada no projeto. OBS2: Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos de fadiga, as concentrações de tensão se tornarão importantes. 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 24 Para projeto ou análise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a menor área de seção transversal. Para tanto, utiliza-se um fator de concentração de tensão, K, que foi determinado por meios experimentais e é função apenas da geometria do corpo de prova. 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝜎𝑚é𝑑 OBS1: Normalmente, a concentração de tensão em um corpo de prova dúctil submetido a um carregamento estático não terá de ser considerada no projeto. OBS2: Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos de fadiga, as concentrações de tensão se tornarão importantes. 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 25 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 26 7. Concentradores de tensão PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 27 Exercício 6: Se a tensão normal admissível para a barra for 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎, determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra. PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 28 P = 8571,4 N P = 5052,6 N P = 5052,6 N 6 8. Deformação inelástica PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 29 É aplicada para materiais elastoplásticos ou elástico perfeitamente plástico. 𝑃𝑝 = 𝜎𝑒 ∙ 𝐴 Carga plástica: representa a carga máxima que pode ser suportada por um material elastoplástico. 8. Deformação inelástica PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 30 𝝈𝒎á𝒙 = 𝝈𝟏 𝝈𝒎á𝒙 = 𝝈𝒆 8. Deformação inelástica PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 31 Exercício 7: A barra abaixo é feita de aço e consideramos que seja elástica perfeitamente plástica, com 𝜎𝑒 = 250𝑀𝑃𝑎. Determine: (a) O valor máximo da carga P que pode ser aplicada sem provocar o escoamento do aço. (b) O valor máximo de P que a barra pode suportar.
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