65,66

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: coordenadas no plano, distância entre dois pontos, razão entre dois segMentos, baricentro e colinearidade
frente: MateMática i
018.269 - 143535/19
AULAS 65 e 66
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Sistema cartesiano ortogonal
Plano cartesiano
Sendo P(x, y) um ponto do plano cartesiano, ele poderá 
pertencer a um dos eixos coordenados ou a um dos quatro quadrantes. 
Veja:
y
x
1º Q2º Q
4º Q3º Q
(–, +)
(–, –) (+, –)
(+, +)
x < 0
y > 0
x < 0
y < 0
x > 0
y < 0
0
x > 0
y > 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Note: 
 → →
Ox Eixo das abscissas
Oy Eixo das ordenadas
Ponto no plano cartesiano
ee
y
yp
xp
P Coordenadas
do ponto
(xp, yp)
x0
Note: 
 ∈ − → ∈ − →
P eixo x P(x, 0)
P eixo y P(0, y)
Bissetriz dos quadrantes ímpares
45º
45º
45º
45ºP
P(x, y) ∈ bissetriz13 ⇔ y = x
x1
y1
x2
y2
Logo, dizemos que y = x é a equação da bissetriz dos 
quadrantes ímpares.
Bissetri dos quadrantes pares
45º
45º
45º
45º
P
P(x, y) ∈ bissetriz24 ⇔ y = –x
x1
y1
x2
y2
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Módulo de estudo
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Logo, dizemos que y = –x é a equação da bissetriz dos 
qudrantes pares.
Distância entre dois pontos
yB
yA
xB
xB
xB
xA
xA
yBdAB yA
C
B
A
�����
�
�
�
�
�
Dados os dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-
se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os 
dois pontos por extremidade. Sendo A(x
A
, y
B
) e B(x
B
, y
B
), aplicando 
PItágoras, temos:
Note que:
AB2
 
= AC2 + BC2
AB2
 
= (x
B
 – x
A
)2 + (y
B
 – y
A
)2
d x x y y
ou
d x y
AB B A B A
AB
= −( ) + −( )
= ( ) + ( )
2 2
2 2
∆ ∆
Segmentos orientados
Segmento orientado: diz-se que um segmento de reta é orientado 
se estão indicadas sua origem e sua extremidade entre os pontos que o 
definem. Na figura a seguir, temos a representação de reta MN.
M N eixo das abscissas
É possível orientar esse segmento no sentido de M para N, ou 
então, de N para M.
Escolhendo o sentido de M para N, obtemos o segmento 
orientado MN
� ���
 de origem M e extremidade N. Por outro lado, a medida 
algébrica do segmento orientado dependerá da orientação escolhida 
e é igual à diferença entre a abscissa da extremidade e a abscissa da 
origem do segmento.
Logo:
•	 Se M (origem) e N (extremidade), então MN x xN M
� ���
= − ;
• Se N (origem) e M (extremidade), então NM x xM N
� ���
= − .
Razão entre segmentos colineares e 
coordenadas do ponto de divisão
Na figura a seguir, se os pontos A(x
A
, y
A
) e B(x
B
, y
B
), distintos, são 
as extremidades de um segmento orientado AB
� ��
, então as coordenadas 
(x
p
, x
p
) de um ponto P que divide o segmento dado na razão r
AP
PB
=
� ��
��� 
(com r ≠	–1), são:
yB
yP
yA
xA xP xB x
B
P
A
y
Segundo o Teorema de Tales, pode-se concluir que:
r
AP
PB
x x
x x
y y
y y
P A
B P
P A
B P
= =
−
−
=
−
−
� ��
���
Dessa forma, determina-se as coordenadas do ponto P(x
P
, y
P
):
x x
x x
r x x r x r x
x r x x r x
x r x
P A
B P
P A B P
P P A B
P A
−
−
= ⇒ − = ⋅ − ⋅ ⇒
⇒ + ⋅ = + ⋅ ⇒
⇒ ⋅ +( )=1 ++ ⋅ ⇒
⇒ =
+ ⋅
+
≠−
⇒ =
+ ⋅
+
r x
x
x r x
r
com r
Ana amente
y
y r y
r
c
B
P
A B
P
A B
1
1
1
,
log :
, oom r ≠−1
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Módulo de estudo
Coordenadas do ponto médio de um 
segmento
Para o caso de um ponto M diminuir o segmento AB
� ��
 ao meio 
(r + 1), pelo exposto anteriormente tem-se:
y
B
M
A
xxBxMxA
y
A
y
M
y
B
A B A B
M
x 1 x x x
x
1 1 2
+ × +
· = =
+
A B A B
M
y 1 y y y
y
1 1 2
+ × +
· = =
+
Assim: M
x x y yA B A B+ +




2 2
,
Coordenadas do baricentro de um 
triângulo
Se G(x
G
; y
G
) o baricentro de um triângulo ABC, A(x
A
; y
A
), 
B(x
B
; y
B
) e C(x
C
; y
C
).
Vamos lembrar que:
• baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das medianas 
desse triângulo;
• o baricentro divide cada mediana em dois segmentos, tais que o 
que contém o vértice é o dobro do outro.
Na figura, temos:
B
U
U
U
D
G
M
C
A
1
M é o ponto médio de AC, então:·
A C
M
A C
M
x x
x
2
y y
y
2
ì +ïï =ïïïíï +ï =ïïïî
2
Condição de alinhamento de três pontos
Se os pontos P(x
P
, y
P
), Q(x
Q
, y
Q
) e R(x
R
, y
R
) são distintos e 
pertencem a uma reta não paralela aos eixos coordenados, por 
semelhança de triângulos, obtemos uma condição necessária e 
suficiente para o alinhamento desses três pontos.
y
yQ
yR
yP
xP xR xQ
R
P
O x
x
x
α
α
Q
Condição: 
x x
x x
y y
y y
x y
x y
x x
R P
Q R
R P
Q R
P P
R R
Q Q
−
−
=
−
−
⇔ =
1
1
1
0
Exercícios
01. Considere os pontos A: (0, 0), B: (2, 0) e C: (0, 3). Seja P: (x, y) o 
ponto de intersecção das bissetrizes internas do triângulo ABC. 
Então x + y é igual a
A) 
12
5 13+
B) 
8
2 11+
C) 
10
6 13+
D) 5
E) 2
02. Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A 
distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades 
de distância, é igual a
A) 
5
3
 B) 
97
3
C) 
109
3
 D) 
5
3
E) 
10
3
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Módulo de estudo
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03. Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x2 + y2 = 4 
e à reta y = 2(1 – x), então o valor do cosseno do ângulo POQ
�
A) −
3
5
 B) −
3
7
C) −
2
5
 D) −
4
5
 
E) −
1
7
04. Seja g a circunferência de equação x2 + y2 = 4. Se r e s são duas 
retas que se interceptam no ponto P = (1, 3) e são tangentes a g, 
então o cosseno do ângulo entre r e s é igual a
A) 
1
5
 B) 
7
7
C) 
1
2
 D) 
2
2
E) 2 6
5
05. Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0, 0), B (–1, 2) 
e C = (–3, 4). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste 
paralelogramo são, respectivamente:
A) p/3, 3p/4 e D = (–2, –5) 
B) p/3, 2p/3 e D = (–1, –5)
C) p/3, 2p/3 e D = (–2, –6)
D) p/4, 3p/4 e D = (–2, –6)
E) p/3, 2p/3 e D = (–2, –5)
06. O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y = 0 que tem ordenada 
máxima é
A) (0, –6)
B) (–1, –3)
C) (–1, 0)
D) (2, 3)
E) (2, –3)
07. Os pontos M(0, y), com y ≥ 0 e N 3 4,( ) pertencem a uma 
circunferência de centro C(0, 2). Considere o ponto P, do gráfico 
de f x x( ) ,= + 2 que possui ordenada y igual à do ponto M.
Desenho ilustrativo fora de escala
0
C
M
N
y
x
P
f(x) x 2= +
 A abscissa x do ponto P é igual a
A) 7 B) 7 2+
C) 7 D) 9
E) 12
08. Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de 
veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto 
reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; 
porém, com os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma 
porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos 
de retas nos gráficos:
pista de concreto
pista de asfalto
16
10
0 6
anos
25
35
 Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo 
dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra de 
asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de 
reflexão dos raios solares após
A) 8,225 anos
B) 9,375 anos
C) 10,025 anos
D) 10,175 anos
E) 9,625 anos
09. Considere o gráfico da função f(x) = log
2
 x e a reta r que passa 
pelos pontos A e B, como indicado na figura a seguir, sendo k, 
a abscissa do ponto em que a reta r intensecta o eixo Ox. Qual 
o valor de k?
O
B
k 2
x
y
r
A
0,25
f(x) = log2 x
A) 17/12 
B) 14/11
C) 12/7 
D) 11/9
E) 7/4
10. Em uma folha de fórmiga retangular ABCD, com 15 dm de 
comprimento AB por 10 dm de largura AD, um marceneiro traça 
dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro 
pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos.
 A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro 
quadrante de um sistema de eixos coordenados.
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Módulo de estudo
y (dm)
D
E C
F
A B x (dm)
 Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine 
as coordenadasdo ponto F.
11. Sejam os pontos A(0, 0), B
1
3
7
2
, ,





 C(p, q) e D
8
3
3
2
, ,





 vértices 
consecutivos do paralelogramo ABCD. Determine o valor do 
produto p ⋅ q.
12. Sejam A = {(x, y) ∈	R2/x2 – y 2 = 1} e B = {(x, y) ∈	R2/y2 = x + 1}. 
Se S é a medida da área do triângulo cujos vértices são os pontos 
de A ∩ B determine o valor de 5 3) .( )S
13. Considere os pontos A(–5, –3), B(–2, 12) e C(4, 6) e o triângulo 
ABC. Determine o coeficiente angular da reta que contém a 
mediana obtida a partir do vértice A.
14. Determine a equação da reta r da figura:
5
2
3 4 x
y
r
A) y = 3x B) y
x
=
5
18
C) y = 3x + 5 D) y
x
=
3
4
E) y = 4x + 2
15 Os coeficientes angulares das retas r
1
, r
2
, … estão em progressão 
aritmética e os lineares em progressão geométrica, ambas de 
razão 1/2. A reta r
2
 contém os pontos (0, 4) e (2, 0). A equação 
da reta r
10
 é:
A) 2 064x – 1 032y + 7 = 0
B) 1 032x – 2 064y – 7 = 0
C) 128x – 64y + 1 = 0
D) 64x – 128y – 1 = 0
E) 400x + 128y + = 0
SUPERVISOR/DIRETOR: DAWISON – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIGITADOR: ROMULO – REVISORA: 
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08
A B A A D C C B
09 10 11 12 13 14 15
A * * * * B D
– Demonstração.
* 10. r = (6, 6)
 11. 15
 12. 45
 13. 2