avaliação parciaL FUNDAMENTOS DA ANÁLISE

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isc.: FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria 
dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 
 
(II) e (III) 
 
(III) 
 (I) e (II) 
 
(I) e (III) 
 
(II) 
Respondido em 29/04/2020 01:31:27 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: 
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único. 
 
 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈∈X e q ∈∈X. Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele 
é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X , temos que p ≤ q. 
Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X , temos que q ≤ p. 
Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈∈X e q ∈∈X. Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X, temos que p > q. Da 
mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor 
do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. 
Portanto, p = q. 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈∈X e q ∈∈X . Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X temos que p = q. Da 
mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor 
do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos então esse elemento 
é único. 
 
 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois 
elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X. Como p ∈∈X é elemento 
mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e 
já que q ∈∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo 
de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que 
p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com 
p = q. 
 Como p ∈∈X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. 
q ∈∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer 
elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ 
q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
Respondido em 29/04/2020 01:35:31 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita 
 ∞∑n=1(lnnn)∑n=1∞(lnnn) é convergente ou divergente. 
 
 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 
1, logo a série é convergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 
0, logo a série é convergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 
3, logo a série é convergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado -
3, logo a série é divergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como 
resultado ∞∞, logo a série é divergente. 
Respondido em 29/04/2020 01:37:03 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
A série infinita de termos positivos cujo termo geral é 1/n! 
é : 
 
 
 convergente de limite n! 
 convergente de limite e 
 
divergente 
 
convergente de limite 3 
 
convergente de limite 0 
Respondido em 29/04/2020 01:52:33 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Analise a convergência da série ∞∑n=1(−1)n(ln(n+1))n∑n=1∞(-
1)n(ln(n+1))n . 
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge 
ou diverge. 
 
 
 O limite de an quando n tende a infinito será 3, portanto a série 
converge absolutamente pelo teste da razão e consequentemente 
podemos dizer que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será ∞∞, portanto a 
série diverge absolutamente pelo teste da razão e 
consequentemente podemos dizer que a série diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será zero, portanto a série 
converge absolutamente pelo teste da razão e consequentemente 
podemos dizer que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será -3, portanto a 
série diverge absolutamente pelo teste da razão e 
consequentemente podemos dizer que a série diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 1, portanto a série 
converge absolutamente pelo teste da razão e consequentemente 
podemos dizer que a série converge. 
Respondido em 29/04/2020 01:58:31 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a sequência an=1−nn2an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale 
aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. 
 
 
 
1, 2/3, 5/6, 3/16 
 
-3/16, 0, -2/9, -1/4 
 
0, 1/4, 2/9, 3/16 
 0, -1/4, -2/9, -3/16 
 
0, -3/16, -2/9, -1/4 
Respondido em 29/04/2020 01:39:19 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Se |x| = |y| então é correto afirmar que 
 
 
 
x = -y 
 
x > 0 
 x = y e x = -y 
 
x = y 
 
y < 0 
Respondido em 29/04/2020 01:49:14 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...). 
 
 
 ∞∑n=1(n+1)xn−1∑n=1∞(n+1)xn-1 , |x|< 1 
 ∞∑n=1n(n+1)xn−1∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|< 1 
 ∞∑n=1n(n+1)xn−1∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|> 1 
 ∞∑n=1nxn−1∑n=1∞nxn-1 , |x|< 1 
 ∞∑n=1xn−1∑n=1∞xn-1 , |x|< 1 
Respondido em 29/04/2020 01:39:57 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Defina o Conjunto de Cantor. 
 
 
 O Conjunto de Cantor F é a interseção dos conjuntos Fn, n ∈∈N que são obtidos através 
da adição sucessiva dos terços médios abertos. 
 O Conjunto de Cantor F é a interseção dos conjuntos Fn, n ∈∈N, que são obtidos através 
da remoção sucessiva dos terços médios abertos. 
 O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈∈N , que são obtidos através da 
adição sucessiva dos terços médios abertos. 
 O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈∈N , que são obtidos através da 
remoção sucessiva dos terços médios fechados. 
 
 O Conjunto de Cantor F é a união dos conjuntos Fn, n ∈∈N, que são obtidos através da 
remoção sucessiva dos terços médios abertos. 
Respondido em 29/04/2020 02:01:56 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se 
existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Além 
disso, o interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais 
podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. 
No espaço métrico R, considere as afirmativas. 
 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. 
(III) (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). 
 
Com relação a estas afirmativas e o espaço metrico R, é CORRETO 
 
 
 
I e III somente. 
 I, II e III. 
 
III somente. 
 
I e II somente. 
 II e III somente.