Lista de Exercicios do Fórum I

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Lista de Exercícios de Álgebra Linear – Fórum I 
ATENÇÃO: 
Esta lista é parte da atividade do Fórum I. Você deve escolher um dos exercícios a seguir e apresentar a resolução 
comentada no Fórum! No entanto, verifique se nenhum colega já apresentou a mesma solução do exercício 
escolhido, pois não será aceito resoluções já apresentadas! Não esqueça de descrever a explicação da resolução e 
de citar o número do item escolhido. 
 
1. Calcule a soma C = (cij)3x3 das matrizes A = (aij)3x3 3 B= (bij)3x3 tais que aij = i2 + j2 e bij = 2ij. 
 
2. Se A = [
2 1
3 −1
], B = [
−1 2
1 0
], e C = [
4 −1
2 1
], determine a matriz X de ordem 2 tal que 
𝑋−𝐴
2
= 
𝐵+𝑋
3
+ 𝐶. 
 
3. Resolva o sistema {
 𝑋 + 𝑌 = 3𝐴
 𝑋 − 𝑌 = 2𝐵
 , em que A = [
2 0
0 4
] e B = [
 1 5
3 0
]. 
 
4. Obtenha X e Y a partir do sistema {
 2𝑋 + 3𝑌 = 𝐴 + 𝐵
 3𝑋 + 4𝑌 = 𝐴 − 𝐵
 , em que A = [
1
3
9
] e B = [
2
5
0
] . 
 
5. Calcule o produto [
1 −1
2 2
3 4
]. [
1 2 3
4 −5 1
]. 
 
6. Considere as matrizes: 
A = (aij)4x7, definida por aij = i – j 
B = (bij)7x9, definida por bij = i 
C = (cij), C = AB 
 
Determine o elemento c23. 
7. Calcule o produto ABC, sendo dadas A = [
1 2
5 1
], B = [
1 1 1
3 2 1
] e C = [
3 1
1 0
2 −1
]. 
 
8. Resolva a equação matricial: [
1 3
−2 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
5 7
−5 9 
]. 
 
9. Resolva a equação matricial: [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
].[
1 1 1
0 1 1
0 0 1
] = [
1 0 0
1 1 0
2 1 1
] 
 
 
 
2 
 
 
10. Sabe-se que A = [
𝑥 1 2
3 𝑦 5
2 3 𝑧
], B = (bij) é uma matriz diagonal e AB = [
2 3 10
6 12 25
4 9 20
]. Determine os 
valores de x, y e z. 
 
11. Sendo A = [
1 2 −1
0 −1 2
] , B = [
2 −1
1 0
] e At a matriz transposta de A, determine o valor de 
At.B . 
 
12. Determine a inversa da matriz A = [
5 6
4 5
]. 
 
13. Determine a inversa da matriz [
1 9 5
3 1 2
6 4 4
]. 
 
14. Sendo A = [
1 2
1 4
] e B=[
2 −1
𝑥 𝑦
] duas matrizes. Se B é a inversa de A, calcule o valor de x + y. 
 
15. Prove que, se A e B são matrizes invisíveis de ordem n, então (AB)-1 = B -1 A-1. 
 
16. Calcule o determinante |
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 |. 
 
17. Calcule o determinante |
2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3. cos 𝑥
1 − 2𝑐𝑜𝑥 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2
|. 
 
18. Calcule o determinante |2𝑚
2 2𝑚4 − 𝑚
𝑚 𝑚3 − 1
|. 
 
19. Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i2, qual o determinante da matriz 
A? 
 
20. Determine x tal que |
2𝑥 3𝑥 + 2
1 𝑥
| = 0 
 
21. Determine x tal que |
2𝑥 𝑥 − 2
4𝑥 + 5 3𝑥 − 1
| = 0 
 
22. Determine o número de raízes reais e distintas da equação | 𝑥
2 −1
−1 2
| = 0. 
 
23. Calcule pela regra de Sarrus o determinante |
−3 1 7
2 1 −3
5 4 2
|. 
 
 
 
 
3 
 
 
24. Calcule pela regra de Sarrus o determinante |
9 7 11
−2 1 13
5 3 6
|. 
 
25. Calcule o valor do determinante D = |
2 𝑙𝑜𝑔55 𝑙𝑜𝑔55
5 𝑙𝑜𝑔5125 𝑙𝑜𝑔525
8 𝑙𝑜𝑔327 𝑙𝑜𝑔3243
|. 
 
26. Determine o valor de x tal que: |
1 𝑥 𝑥
2 2𝑥 1
3 𝑥 + 1 1
| = 0 
 
27. Determine o valor de x tal que: |
1 𝑥 1
1 −1 𝑥
1 −𝑥 1
| = 0 
 
28. Determine o valor de x tal que: |
1 𝑥 2
−2 𝑥 −4
1 −3 −𝑥
| = 0 
 
29. Determine o valor de x tal que: |
𝑥 − 1 2 𝑥
0 1 −1
3𝑥 𝑥 + 1 2𝑥
| = |
3𝑥 2𝑥
4 −𝑥
| 
 
30. Determine o conjunto solução da equação |
0 3𝑥 1
0 3𝑥 2
4 3𝑥 3
| = 0 
 
31. Se 0 < x < 2, determine o menor valor de x tal que: |
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 −8 −5
0 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
0 0 cos 𝑥
| = 0. 
 
32. Calcule o determinante usando a regra de Laplace: |
 3 4
 5 0
2 1
−1 −2
0 0
−1 0
4 0
3 3
|. 
 
33. Calcule o determinante usando a regra de Laplace: |
 1 3
 3 1
2 0
0 2
 2 3
 0 2
0 1
1 3
|. 
 
34. Verifique se ( 0, -3 , -4 ) é solução do sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
 . 
 
35. Resolva o sistema pela regra de Cramer {
2𝑥 − 𝑦 = 2
−𝑥 + 3𝑦 = −3
 . 
 
 
4 
 
 
 
36. Resolva o sistema pela regra de Cramer: {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0
 . 
 
37. Resolva o sistema pela regra de Cramer: {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
. 
 
38. Resolva, aplicando a regra de Cramer, o sistema: {
𝑥 + 𝑦 = 1
−2𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 2
𝑥 + 𝑧 = 1
. 
 
39. Resolva o sistema pela regra de Cramer: {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥−𝑦
3𝑧+2
=
𝑧+1
2𝑥+𝑦
= 1
 
 
40. Mostre que o sistema {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
5𝑥 − 𝑦 = 7
 tem solução única: 
 
41. Discuta o sistema {
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 6
 . 
 
42. Discuta o sistema {
2𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎
6𝑥 − 3𝑦 = 2
 . 
 
43. Discuta o sistema {
𝑎𝑥 − 𝑦 = 1
(𝑎 − 1)𝑥 + 2𝑎𝑦 = 4
 . 
 
44. Discuta o sistema {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 𝑚
 . 
 
45. Determine m para que o sistema, nas incógnitas x, y, z abaixo, seja compatível: 
{
𝑥 + 𝑚𝑦 − (𝑚 + 1)𝑧 = 1
𝑚𝑥 + 4𝑦 + (𝑚 − 1)𝑧 = 3
 
 
46. Determine o valor de a para que o sistema seja indeterminado. 
{
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 + 5𝑦 + 𝑎𝑧 = 0
3𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
 
 
47. Determine o valor de k, para que o sistema {
3𝑧 − 4𝑦 = 1
4𝑥 − 2𝑧 = 2
2𝑦 − 3𝑥 = 3 − 𝑘
 seja indeterminado. 
 
 
5 
 
 
48. Determine os valores de k, para que tenha solução a equação matricial. 
 
[
2 5 −3
4 10 2
6 15 −1
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
1
5
𝑘
] 
 
49. Determine os valores de k para que o sistema tenha solução única. 
{ 
𝑥 − 𝑧 = 1
𝑘𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 + 𝑘𝑦 + 3𝑧 = 1 
 
 
50. Determine os valores de a e b de modo que o sistema seja indeterminado. 
{ 
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑎
3𝑥 + 6𝑦 − 4𝑧 = 4
2𝑥 + 𝑏𝑦 − 6𝑧 = 1 
 
 
− EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO: 
 
51. (UFJF-02) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três 
categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de 
inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$13,50 pela 
locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar 
R$20,50 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada 
categoria, é igual a: 
 
(A) R$7,50 
(B) R$8,00 
(C) R$8,00 
(D) R$9,00 
(E) R$10,00 
 
52. Na matriz abaixo, resolvendo seu determinante, qual será o resultado obtido? 
 
(A) 1 
(B) sen x 
(C) sen2 x 
(D) sen3 x 
 
53. (ULBRA- 03) Determinando os valores de a e b, a fim de que o sistema {
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
2𝑥 + 𝑎𝑦 = 6
 
seja indeterminado, o produto ab é: 
 
(A) 36 (B) 24 (C) 18 (D) 12 (E) 6 
 
 
6 
 
 
54. (UFRGS-03) Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações {
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑧 = 0
. 
Então a+b+c vale: 
 
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -1 (E) -2 
 
55. (FGVRJ-03) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de 
negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, 
na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de 
dólares. 
, então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, 
respectivamente: 
 
(A) 1 e 1 
(B) 2 e 2 
(C) 2 e 3 
(D) 3 e 1 
(E) 3 e 2 
 
56. (PUCSP-03) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas 
entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. 
Sejam as matrizes: 
 
 
• os elementos de cada linha de A corresponde às quantidades dos três tipos de camisas compradas 
por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha); 
• os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; 
• os elementosde X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa; 
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: 
 
(A) R$ 53,00 
(B) R$ 55,00 
(C) R$ 57,00 
(D) R$ 62,00 
(E) R$ 65,00 
 
 
 
7 
 
 
57. (FGVSP-02) O sistema linear : {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
 : 
 
(A) é impossível 
(B) admite apenas uma solução 
(C) admite apenas duas soluções 
(D) admite apenas três soluções 
(E) admite infinitas soluções 
 
58.(UNESP-02) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir 
descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada 
elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3. 
 
Analisando a matriz, podemos afirmar que: 
 
(A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11 
(B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30 
(C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40 
(D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52 
(E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45 
 
59. (FUVEST-02) S (x, y) é solução do sistema 
 
{
𝑥 +
1
𝑦
= 1
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
 então 
𝑥
𝑦
 é igual a: 
 
(A) 1 
(B) -1 
(C) 1/3 
(D) -3/2 
(E) 2/3 
 
60. (UPE-03) Discuta o sistema: 
 
 Segundo os valores de m, m Є IR: 
 
 
 
8 
 
(A) m = 6, o sistema é impossível 
(B) m ≠ 6, o sistema é indeterminado 
(C) m = 6, o sistema é determinado 
(D) m ≠ 6, o sistema é determinado 
(E) qualquer que seja o m pertencente a R, o sistema é possível. 
 
61. (UNIBAHIA-03) Considerando-se a matriz A = (
1 1 1
1 𝑥 1
𝑥 𝑥 5
) e det A = 4, pode-se afirmar que o 
valor de x é igual a: 
 
(A) -3 
(B) -1 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
62. (Unicamp - SP) Seja a um número real e seja: 
 
 
 
a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0 
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real. 
 
63. (UERJ) Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de compras passando 
pelos setores 1, 2 e 3, com uma força de módulo constante de 4 newtons, na mesma direção e mesmo 
sentido dos deslocamentos. Na matriz A abaixo, cada elemento aij indica, em joules, o trabalho da força 
que o cliente faz para deslocar o carrinho do setor i para o setor j, sendo i e j elementos do conjunto 
{1, 2, 3}. 
 
 
Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar ao setor 1, a trajetória do cliente 
descreve o perímetro de um triângulo. Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância 
de: 
 
(A) 35 
(B) 40 
(C) 45 
(D) 50 
 
9 
 
 
 
64. (UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir é positivo sempre que: 
 
(A) x > 0 
(B) x > 1 
(C) x < 1 
(D) x < 3 
(E) x > -3 
 
65. (PUC-PR) O valor de x no determinante: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
66. (PUC-MG) Sendo D o determinante da matriz mostrada na figura adiante (imagem abaixo) o 
valor positivo de x é: 
M = [
𝑥 1
1 𝑥
] e D = 8 
(A) um múltiplo de 4. 
(B) um divisor de 10. 
(C) o mínimo múltiplo comum de 3 e 5. 
(D) o máximo divisor comum de 6 e 9. 
 
67. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear é compatível e 
determinado? 
 
 
 
 
10 
 
 
 
68. (Cefet – PR) Se A =[
2 −3
−5 7
] e M =At +A−1, então o determinante da matriz M é igual a: 
 
(A) −89 
(B) −39 
(C) 0 
(D) −1 
(E) 39 
 
69. (Cefet-MG) A soma das raízes da equação |
1 1 −3
2 𝑥 1
2 1 𝑥
| = 0 é: 
(A) −5 
(B) −4 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 5 
 
70. (Cefet-MG) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, onde aij = {
2𝑖 − 3, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
. O valor 
do determinante de A é igual a: 
(A) −57 
(B) −19 
(C) 0 
(D) 19 
(E) 57 
 
71. ( U.E. Londrina –PR) Sabendo que a matriz [
5 𝑥2 2 − 𝑦
49 𝑦 3𝑥
−1 −21 0
] é igual a sua transposta, o valor 
de x + 2y é 
 
(A) −20 
(B) −1 
(C) 1 
(D) 13 
(E) 20 
 
 
 
 
11 
 
 
72. ( PUC – RS ) O sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
6𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 0
 tem mais de uma solução. O valor de a é : 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
73. (PUC – SP) Considere o seguinte sistema de equações {
6𝑥 + 2𝑦 = 4
3𝑥 + 5𝑦 = 6
𝑘𝑥 + 2𝑦 = 5
 . Esse sistema tem uma 
única solução para um certo valor real k, que é um: 
 
(A) Quadrado perfeito. 
(B) Número primo. 
(C) Número racional não inteiro. 
(D) Número negativo. 
(E) Múltiplo de 5. 
 
74. (UCDB-MT) Sendo A = [
2 3 5
4 5 𝑥
] , B = (
−2
𝑦
1
) e C = (
13
10
) matrizes reais e A.B = C, conclui-se 
que x + y é igual a: 
 
(A) −8 
(B) −4 
(C) 0 
(D) 4 
(E) 2 
 
75. (U.E – CE) Se o determinante da matriz A = (
1 2 −1
−4 3 −2
𝑛1 𝑛2 3
) é igual a 34 e o determinante da 
matriz B = (
1 − 2𝑛1 −7
−4 − 3𝑛1 −11
) é igual a −34, então n1 – n2 é igual a: 
 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
 
*Fonte: Estes exercícios são parte do livro “Fundamentos da Matemática Elementar” – Vol.4