AP1-2020-1 gabarito

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Fundação CECIERJ − Vice Presidência de Educação Superior a DistÂncia
1a Avaliação Presencial de Números Complexos − 2020-1
Questão 1 Resolva no conjunto dos números complexos a equação 2x6 − 12x3 + 72 = 0.
Solução: Fazendo y = x3 a equaçaõ se torna 2y2 − 12y + 72 = 0, cujas soluções são y = 3 + 3i
√
3
ou y = 3− 3i
√
3. Queremos, assim determinar em C as soluções de x3 = 3 + 3i
√
3 e x3 = 3− 3i
√
3.
Note que 3 + 3i
√
3 = 6(
1
2
+ i
√
3
2
) = 6(cos(
π
3
+ 2kπ) + isen(
π
3
+ 2kπ)) e
3− 3i
√
3 = 6(
1
2
− i
√
3
2
) = 6(cos(
5π
3
+ 2kπ) + isen(
5π
3
+ 2kπ)), para k ∈ {0.1.2}.
No primeiro caso temos
x0 =
3
√
6(cos
π
9
+ isen
π
9
)
x1 =
3
√
6(cos
7π
9
+ isen
7π
9
)
x2 =
3
√
6(cos
13π
9
+ isen
13π
9
) e
No segundo caso temos
x0 =
3
√
6(cos
5π
9
+ isen
5π
9
)
x1 =
3
√
6(cos
11π
9
+ isen
11π
9
)
x2 =
3
√
6(cos
17π
9
+ isen
17π
9
)
Questão 2 a) (1,0 pt) Calcule sen795◦
b) (1,5 pts) Determine o menor numero natural n > 0 tal que z = (1− i
√
3)n seja um número
real.
Solução: a) Agora, temos que 795=720+75, donde sen795 = sen75. Mas, 75 = 30 + 45,
donde
sen75 = sen30 cos45 + sen45 cos30 =
√
2 +
√
6
4
.
b) Note que na forma trigonométrica (ou polar) 1− i
√
3 = 2(cos
5π
3
+ isen
5π
3
). Assim ,
z = 2n(cos(n.
5π
3
) + isen(n.
5π
3
)). Para que z seja um número real, é necessário que sen(n5π
3
) =
0. O menor natural n que cumpre essa igualdade é n=3.
Questão 3 (2,5 pts) Num experimento, uma formiga é colocada num circuito circular de raio
um. Verifica-se que ela em sua primeira parada percorre um arco de −861π
18
radianos, portanto o
trajeto foi percorrido no sentido horário. Est́ımulos são feitos para que ela, do mesmo ponto de
partida original chegue ao mesmo ponto final do trajeto anterior, percorrendo o menor arco, agora
no sentido anti-horário. Qual é a medida desse novo arco?
Solução: Como sabemos, o menor arco procuarado no sentido anti-horário é uma arco que
pertence ao intervalo [0, 2π] mas que corresponde ao mesmo ponto do ćırculo trigonométrico atingido
no trajeto original. Assim o que queremos é a determinação principal de −861π
18
.
Temos que 861 = 47× 18 + 15, ou seja, −861π
18
= −47π × 18 + 15π
18
= −47π − 15π
18
.
Assim,
−861π
18
= −48π + π − 15π
18
= −48π + 3π
18
= −48π + π
6
. O argumento principal é por-
tanto
π
6
.
Questão 4 Considere os números complexo z, tais que z7 = −2− i2
√
3. Determine o valor absoluto
e o argumento de z7. Em seguida determine todos os posśıveis valores de z e identifique, na sua
forma polar aqueles que estão situados no 2o quadrante do plano complexo.
Solução: Primeiro devemos escrever z7 = −4− i4
√
3 na forma polar. Como | − 4− i4
√
3| =
√
64 = 8 e o argumento de z7 é
4π
3
, então −4− i4
√
3 = 8(cos(4π
3
+ 2kπ) + i sen(4π
3
+ 2kπ)).
Utilizando a 2a fórrmula de Moivre temos que
Os posśıveis valores de z que satisfazem z7 = −4− i4
√
3 são z = 7
√
8(cos(4π
21
+ 2kπ
7
)+ i sen(4π
21
+
2kπ
7
)), onde k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Mas, queremos somente os números z que estão situados no 2o quadrante do plano complexo.
E, por isso,
π
2
<
4π
21
+
2kπ
7
< π
21π
42
<
8π + 12kπ
42
<
42π
42
donde
21π < 8π + 12kπ < 42π
Isto é, 21 < 12k + 8 < 42 ou 13
12
< k < 34
12
. Logo, a solução é k = 2. Portanto, a solução para
z7 = −2− i2
√
3 no 2o quadrante do plano complexo é
z1 =
7
√
8(cos 16π
21
+ i sen 16π
21
).