prova geometria analitica

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Acadêmico: Alexandre Marques de Oliveira (1852519) 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) 
Avaliação: Avaliação I - Individual Semipresencial ( Cod.:638099) ( peso.:1,50) 
Prova: 16779278 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada Questão Cancelada 
1. Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes 
espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, 
temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um 
escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do 
vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir. 
 
 a) (7, -2). 
 b) (-7, 2). 
 c) (-2, 7). 
 d) (-5, 2). 
 
 
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A 
esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - V - F - F. 
 c) V - F - F - F. 
 d) F - F - V - F. 
 * Observação: A questão número 2 foi Cancelada. 
 
3. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as 
operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um 
espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, 
precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e 
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uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por 
elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por 
escalar. 
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio 
de operações lineares. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um 
espaço. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um 
espaço. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - V - F. 
 b) V - F - V - F. 
 c) V - V - F - F. 
 d) F - V - V - F. 
 
4. Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. 
Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois 
vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso 
da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo 
é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisto, determine a área do triângulo 
formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2). Analise as opções a seguir: 
 
I- Raiz de 3. 
II- 9. 
III- Raiz de 18. 
IV- 6. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
 
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente 
conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um 
operador linear de R³ em R³: 
 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste 
operador: 
 a) 3. 
 b) 2. 
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 c) 1. 
 d) 0. 
 * Observação: A questão número 5 foi Cancelada. 
 
 
Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", 
mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas 
combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, 
escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto 
que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de 
forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de 
bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R³, classifique V para as opções 
verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) {(2,3),(-1,4)}. 
( ) {(2,3,1),(-6,-9,-3},(0,0,1)). 
( ) {(1,5,2),(3,11,2),(-4,-6,-4)}. 
( ) {(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)}. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - F. 
 b) V - V - F - F. 
 c) F - V - V - F. 
 d) F - V - F - V. 
 * Observação: A questão número 6 foi Cancelada. 
 
 
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao 
invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um 
produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao 
resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) u x v = (-10,-1,-14). 
( ) u x v = (-1,-14,-10). 
( ) u x v = (1,14,10). 
( ) u x v = (10,-1,14). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - V - F - F. 
 b) V - F - F - F. 
 c) F - F - F - V. 
 d) F - F - V - F. 
 * Observação: A questão número 7 foi Cancelada. 
 
8. Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e 
imagem de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o 
subconjunto do domínio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do 
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contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do contradomínio que 
são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisso, 
assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir: 
 
 a) O vetor (2,2) possui imagem (0,0). 
 b) O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação. 
 c) O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação. 
 d) A transformação a seguir não é um operador linear. 
 
9. No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se 
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações 
desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e 
propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas: 
 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequênciaCORRETA: 
 a) F - V - F - V. 
 b) F - F - V - V. 
 c) V - F - V - V. 
 d) V - F - F - F. 
 
10. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado 
por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear 
dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito 
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação 
linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa CORREA que apresenta um 
conjunto de vetores LI: 
 a) {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}. 
 b) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. 
 c) {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}. 
 d) {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}. 
 
Prova finalizada com 6 acertos e 4 questões erradas 
 
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