ALGEBRA-MATRICIAL (1)

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÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
MATRIZES
I – INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam em linhas e colunas numa tabela.em Matemática, essas tabelas são chamadas de matrizes com o advento da computação e a crescente necessidade de guardar muita informação, as matrizes adquiriram uma grande importância.
Para termos uma ideia dessa importância, basta saber o que vemos na tela de um computador é uma enorme matriz, e cada valor guardado em linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido mostrado na tela (pixel).
Em muitas análises econômicas, supõe-se que as variáveis estejam relacionadas por conjuntos de equações lineares. A álgebra matricial fornece uma notação clara e concisa para a formulação e solução de tais problemas, muitos das quais seriam de resolução extremamente difícil numa notação algébrica conveniente.
Neste capítulo, são definidas matrizes e suas operações. São considerados tipos particulares de matrizes, a transposta de uma matriz, determinantes de uma matriz, a inversa de uma matriz, são também discutidas e aplicadas à solução de sistemas de equações.
II – DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Uma matriz é uma tabela retangular de números, escrita na seguinte forma:
A = 
 ou A = 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
 EMBED Equation.3 
As letras 
ij
a
representam números reais, os elementos da matriz. Observe que 
ij
a
é o elemento da i-ésima linha e na j-ésima coluna da matriz A; A matriz A é , às vezes, denotada por (
ij
a
) ou por {
ij
a
}. Uma matriz tem m linhas e n colunas é denominada matriz m x n (leia-se “m por n”) ou matriz de ordem m x n.
Especialmente quando diferentes operações estão sendo realizadas com elas, a ordem das matrizes é freqüentemente denotada por índices, por exemplo : 
mxn
A
 ou 
(
)
mxn
ij
a
.
Ex.: Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
	Nome
	Peso(kg)
	Idade(anos)
	Altura(m)
	Ricardo
	70
	23
	1,70
	José
	60
	42
	1,60
	João
	55
	21
	1,65
	Pedro
	50
	18
	1,72
	Augusto
	66
	30
	1,68
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
68
,
1
30
66
72
,
1
18
50
65
,
1
21
55
60
,
1
42
60
70
,
1
23
70
 ou
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
68
,
1
30
66
72
,
1
18
50
65
,
1
21
55
60
,
1
42
60
70
,
1
23
70
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Ex.: Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de um ano podem ser expressas pela tabela a seguir.
	
	Janeiro
	Fevereiro
	Março
	Matemática
	20000
	32000
	45000
	Física
	15000
	18000
	25000
	Química
	16000
	17000
	23000
Se quisermos saber:
· Quantos livros de matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e segunda coluna;
· Quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e primeira coluna;
· Quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na terceira linha e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3x3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
23000
17000
16000
25000
18000
15000
45000
32000
20000
 ou 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
23000
17000
16000
25000
18000
15000
45000
32000
20000
III – ORDEM DE UMA MATRIZ
A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e o número de colunas que a constituem.Para indicá-la, escreve-se em primeiro lugar o número de linhas e em seguida o número de colunas, colocando-se entre esses dois números o sinal X.
Exemplos:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
9
8
7
3
2
1
 é uma matriz 2 x 3
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
9
8
7
6
5
4
3
2
1
 é uma matriz (quadrada) 3 x 3
IV – MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é uma matriz constituída pelo mesmo número de linhas e colunas.
Se uma matriz quadrada é de ordem n x n, isto é, se possui n linhas e n colunas, diz-se que ela é uma matriz quadrada de ordem n.
Exemplos:
1) A matriz 
[
]
3
=
A
 é quadrada de ordem 1
2) A matriz 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
2
4
4
1
A
 é quadrada de ordem 2.
NOTAÇÃO GERAL.
Para representarmos a matriz A, m x n, indicamos cada um de seus elementos com uma letra minúscula afetada de dois índices, que indicam a posição ocupada por esse elemento na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz A será representado por:
O primeiro índice i indica a linha a que pertence, e o segundo índice j, a coluna a que esse elemento pertence.
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
ij
a
A
 i-ésima linha 
 j-ésima coluna
Exemplos:
1) Construa a matriz 
[
]
3
3
x
a
A
ij
=
 para a qual 
j
i
a
ij
-
=
2
2) Construa a matriz 
[
]
4
4
x
a
A
ij
=
 para a qual : 
ï
î
ï
í
ì
>
=
<
+
=
j
sei
j
sei
j
jsei
i
a
ij
0
1
V – TIPOS PARTICULARES DE MATRIZES
Nesta seção, são discutidos quatro tipos particulares de matrizes: matrizes diagonais, matrizes identidades, matrizes nulas e matrizes transpostas.
OBS: Diagonal Principal: Matriz quadrada 
(
)
nxn
ij
a
A
=
 tal que o conjunto de seus elementos 
(
)
ij
a
 seja 
j
i
=
;
Diagonal Secundária: Matriz quadrada 
(
)
nxn
ij
a
A
=
 tal que o conjunto de seus elementos 
(
)
ij
a
 seja 
1
+
=
+
n
j
i
;
· MATRIZES DIAGONAIS
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada, cujos elementos que não pertencem a sua diagonal principal são todos nulos; portanto,
A = 
(
)
nxn
ij
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
 é uma matriz diagonal se, e somente se
0
=
ij
a
 para 
j
i
¹
 
0
¹
ij
a
 para, pelo menos, algum 
j
i
=
( se todos os elementos de uma matriz são nulos, tem-se uma matriz nula que será tratada mais adiante)
Uma matriz diagonal n x n pode ser indicada pela notação
A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
nn
a
a
0
0
11
O
 ou 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
n
a
a
0
0
1
O
 ou por 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
n
n
d
d
D
0
0
1
O
· MATRIZES IDENTIDADES
Uma matriz identidade é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal são todos iguais a um; logo 
(
)
nxn
ij
nn
n
n
a
a
a
a
a
A
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
L
M
M
L
1
1
11
 é uma matriz identidade se, e somente se 
0
=
ij
a
 para 
j
i
¹
1
=
ij
a
 para 
j
i
=
ou, de forma equivalente, uma matriz diagonal 
n
D
 é uma matriz identidade se,e somente se 
1
=
i
d
 para 
n
i
,
,
2
,
1
L
=
 . Uma matriz identidade n x n denotada por 
n
I
.
Se pré-multiplicarmos ou pós-multiplicarmos uma matriz identidade adequadamente dimensionada, ela permanece inalterada – isto é,
mxn
n
mxn
mxn
m
mxn
A
I
A
A
I
A
=
=
=
· MATRIZES NULAS
Uma matriz nula é uma matriz m x n , cujos elementos são todos iguais a zero; ela é denominada por O.Quando a matriz nula adequadamente dimensionada é somada ou subtraída de outra matriz, esta permanece inalterada , isto é, 
mxn
mxn
mxn
A
O
A
=
±
Se pré-multiplicarmos ou pós-multiplicarmos uma matriz pela matriz nula adequadamente dimensionada, o resultado será outra matriz nula – isto é:
kxn
mxn
kxm
O
A
O
=
 e 
1
1
mx
nx
mxn
O
O
A
=
· MATRIZ TRASPOSTA
Se A é uma matriz de ordemm x n, denominamos de transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por 
t
A
.
A = 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
 
t
A
= 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
n
n
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
12
1
21
11
 
· MATRIZ TRIANGULAR
Consideremos uma matriz quadrada de ordem n.
Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Dizemos que a matriz é triangular.
Exemplos:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
5
9
7
0
3
8
0
0
2
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
4
0
0
0
1
0
0
0
3
/
2
8
3
0
9
7
5
1
VI – TRANSPOSTA DE UMA SOMA OU DIFERENÇA DE MATRIZES
A transposta de uma soma ou diferença de matrizes é igual à soma ou diferença das transpostas das matrizes; assim.
(
)
'
'
'
'
nxm
nxm
nxm
mxn
mxn
mxn
C
B
A
C
B
A
±
±
=
±
±
Isto é:
(
)
(
)
nxm
ji
mxn
ij
d
d
=
'
 onde 
ij
ij
ij
ij
c
b
a
d
±
±
=
 e 
ji
ji
ji
ji
c
b
a
d
±
±
=
VII – TRANSPOSTA DE UM PRODUTO DE MATRIZES
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem inversa; portanto:
[
]
'
'
'
'
nxm
pxn
qxp
pxq
nxp
mxn
A
B
C
C
B
A
=
A operação de transposição de matrizes verifica as seguintes propriedades:
TEOREMA:
i. 
(
)
T
T
T
B
A
B
A
+
=
+
ii. 
(
)
A
A
T
T
=
iii. 
(
)
T
T
kA
kA
=
 (k, escalar).
iv. 
(
)
T
T
T
A
B
AB
=
VIII– IGUALDADE DE MATRIZES
Dizemos que duas matrizes de mesma ordem são iguais se, e somente se todos os elementos correspondentes forem iguais, isto é, se as matrizes forem idênticas.
No conjunto das matrizes de mesma ordem, a igualdade de matrizes define uma relação de equivalência; goza, então, das seguintes propriedades:
1. Reflexiva: para toda matriz A, tem-se A = A
2. Simétrica: para as matrizes A e B, se A = B então B = A
3. Transitiva: para as matrizes A, B e C, se A = B e B = C, então A = C.
IX – OPERAÇÕES COM MATRIZES
Operações análogas às operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais podem ser definidas para as matrizes. Uma vez que uma matriz é uma tabela de números, e não apenas um único número. Nesta seção serão definidas a adição e subtração de matrizes, a multiplicação de uma matriz por um escalar, e a multiplicação de matrizes.
· ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
As matrizes podem ser adicionadas ou subtraídas se, e somente se elas forem da mesma ordem, dizemos então que elas são conformáveis para a adição, a soma ou a diferença de duas matrizes m x n é uma outra matriz m x n, cujos elementos são a soma ou a diferença dos elementos correspondentes das matrizes; Assim se:
A = 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
 B = 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
Então A ± B = C onde C = 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
±
±
±
±
±
±
±
±
±
mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
L
M
L
M
M
L
L
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
= 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
Isto é : (
ij
a
) 
(
)
(
)
ij
ij
c
b
=
±
 onde 
ij
ij
ij
b
a
c
±
=
 para todo i e j.
Exemplos :
1. 
[
]
[
]
[
]
0
8
1
12
2
3
12
6
4
=
-
-
+
2. 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
+
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
4
0
3
10
0
0
4
5
3
4
0
0
2
6
5
8
3
0
0
0
3
8
6
5
4
2
3
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES
A adição de matrizes do tipo m x n para as matrizes A, B e C, conformáveis para a adição:
· É associativa 
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+
· É comutativa 
A
B
B
A
+
=
+
· Tem elemento neutro: 
A
M
A
M
=
+
$
/
 qualquer que seja A do tipo m x n 
· Todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m x n: 
M
A
A
A
=
+
$
'
'
/
OBS: Sejam as matrizes A e B, conformáveis para a adição, a adição de matrizes A – B define-se por: 
(
)
B
A
B
A
-
+
=
-
.
Matrizes de ordens diferentes não são conformáveis para a adição.
TEOREMA: Sejam X, A e B matrizes conformáveis para a adição; então vale a equivalência:
A
B
X
B
A
X
-
=
Û
=
+
OBS: Numa equação matricial, uma matriz “pode passar” de um membro para outro da equação, “mudando” o seu sinal.
· MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
Dizemos que um número real (uma matriz 1 x 1) é um escalar quando ocorre em operações envolvendo matrizes. Quando uma matriz é multiplicada por um escalar todos os elementos da matriz são multiplicadas pelo escalar (número); Assim se:
A = 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
 e k é um escalar qualquer (constante) então: 
k x 
mxn
A
 = k
mxn
A
= 
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
mn
m
m
n
n
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
· MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Duas matrizes podem ser multiplicadas se, e somente se o número de colunas de uma das matrizes for igual ao número de linhas da outra matriz.Em particular, o produto matricial AB é definido se, e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.Neste caso, diz-se que as matrizes A e B estão dispostas para multiplicação e o produto matricial tem o mesmo número de linhas que A e o mesmo número de colunas que B.Assim, uma matriz m x n pode ser multiplicada por uma matriz n x p para se obter uma matriz m x p.
DEFINIÇÃO : Dada uma matriz 
(
)
mxn
ij
a
A
=
 e uma matriz 
(
)
nxp
jk
b
B
=
, denomina-se produto de A por B a matriz 
(
)
mxp
ik
c
C
=
 tal que o elemento 
ik
c
 é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
å
=
=
Þ
=
n
j
ik
C
B
A
C
1
.
 EMBED Equation.3 nk
in
k
i
k
i
jk
ij
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
=
L
2
2
1
1
Na multiplicação matricial, a seqüência na qual a multiplicação é realizada é muito importante. Se A é m x n e B é n x m, então é possível, obter-se dois produtos matriciais AB e BA. No entanto, em geral, AB
¹
BA.No produto matricial AB, dizemos que A pré-multiplica B ou, alternativamente, B pós-multiplica A. Visto que, em geral , a pré-multiplicação e pós-multiplicação dão resultados diferentes, mesmo quando ambos estão definidos, deve-se tomar cuidado para preservar a seqüência apropriada em toda multiplicação matricial. Observe que esta precaução não é necessária na multiplicação de números.
Embora a seqüência em que as matrizes são multiplicadas afete o resultado, a ordem na qual três ou mais matrizes são multiplicadas não afeta o resultado, contanto que a seqüência seja preservada. Isto é :
(
)
(
)
pxq
nxp
mxn
pxq
nxp
mxn
pxq
nxp
mxn
C
B
A
C
B
A
C
B
A
=
=
É válida uma propriedade correspondente para a multiplicação de números.Em resumo, a adição de matrizes é comutativa. Isto é, 
A
B
B
A
+
=
+
, e associativa, isto é, 
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+
=
+
+
; a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AB
¹
BA, mas é associativa, isto é, ABC = A(BC) = (AB)C.Para números, a adição e a multiplicação são associativas e comutativas.
OBS: Quando as matrizes A e B são tais que 
A
B
B
A
.
.
=
 diz-se que A e B comutam.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO:
TEOREMA:
i. 
(
)
(
)
BC
A
C
AB
=
 (Lei Associativa)
ii. 
(
)
ACAB
C
B
A
+
=
+
 (Lei Distributiva à esquerda)
iii. 
(
)
CA
BA
A
C
B
+
=
+
 (Lei Distributiva à direita)
iv. 
(
)
(
)
(
)
kB
A
B
kA
AB
k
=
=
 k, escalar.
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação.
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3.
	País
	Vitória
	Empate
	Derrota
	Brasil
	2
	0
	1
	Escócia
	0
	1
	2
	Marrocos
	1
	1
	1
	Noruega
	1
	2
	0
Então: 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
	Número de Pontos
	Vitória
	3
	Empate 
	1
	Derrota
	0
Então: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
0
1
3
B
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a classificação:
5
0
0
1
2
3
1
:
4
0
1
1
1
3
1
:
cos
1
0
2
1
1
3
0
:
6
0
1
1
0
3
2
:
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
Noruega
Marro
Escócia
Brasil
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
5
4
1
6
AB
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:
1
4
1
3
3
4
x
x
x
AB
B
A
=
×
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
p
m
p
n
n
m
AB
B
A
´
´
´
=
×
X – MATRIZES INVERSÍVEIS
Seja A uma matriz de ordem n.Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que 
n
I
BA
AB
=
=
.Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular.
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz 
1
-
A
 (que é única) tal que 
n
I
A
A
AA
=
=
-
-
1
1
.
É evidente que 
1
-
A
 deve ser também chamada de ordem n, pois 
1
-
A
 comuta com A, e que: 
A
A
=
-
-
1
1
)
(
.
TEOREMA: “Se a matriz A é invertível, então é única a matriz B tal que 
I
A
B
B
A
=
=
.
.
,isto é, se A possui uma inversa, essa inversa é única. ”
Professora: Ma. Karrmem Werusca
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