EQUACAO-DA-RETA

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PROFESSORA Ma.KARMEM WERUSCA
1- EQUAÇÃO DA RETA
A primeira definição é sugestiva do fato de que um vetor não nulo paralelo a uma reta determina sua direção.
DEFINIÇÃO1: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretores dessa reta.
Sejam 
u
 um vetor diretor de uma reta 
r
 e A um ponto de 
r
.Um ponto X pertencente a 
r
, se, e somente se 
(
)
u
AX
,
 é LD(figura 14-1), ou seja, se, e somente se, existe um número real 
l
 tal que 
u
AX
l
=
. Isso equivale a 
u
A
X
l
+
=
[14.1].
Assim, a cada número real 
l
 fica associado um ponto X de 
r
 e, reciprocamente, se X é um ponto de 
r
, existe 
l
satisfazendo [14.1].Na linguagem clássica da Geometria, 
r
 é o lugar geométrico dos pontos para os quais existe 
l
 que torna verdadeira a igualdade.[14.1]
DEFINIÇÃO2: A equação [14-1] chama-se equação vetorial da reta 
r
, ou equação da reta 
r
 na forma vetorial.
OBSERVAÇÃO:
a) À equação vetorial [14-1] costuma-se acrescentar “
Â
Î
l
” entre vírgulas ou parênteses, com o intuito de reforçar o fato de que 
l
 percorre todo o conjunto dos números reais. Faremos isso facultativamente. Costuma-se também antepor à equação, separada dela por dois pontos, a letra indicativa do nome da reta. Assim, 
)
(
:
Â
Î
+
=
l
l
u
A
X
r
 significa que 
r
 é a reta determinada pelo ponto A e pelo vetor não nulo 
u
.
b) Devido á arbitrariedade da escolha do ponto e do vetor diretor, existem muitas equações vetoriais diferentes para a mesma reta. Por exemplo, se A e B são pontos de 
r
, distintos, então 
AB
 e 
BA
 são vetores diretores de 
r
, e portanto as equações 
BA
B
X
AB
B
X
BA
A
X
AB
A
X
l
l
l
l
+
=
+
=
+
=
+
=
,
,
,
 são algumas das infinitas equações vetoriais de 
.
r
c) Do ponto de vista geométrico, podemos interpretar [14-1] imaginando que 
r
 seja uma régua infinita em que o ponto zero é A e cuja escala tem 
u
 como unidade (figura 14-2).A posição de cada ponto da régua é determinada pelo valor de 
;
l
Tomemos agora um sistema de coordenadas e suponhamos que, em relação a ele, 
(
)
(
)
(
)
c
b
a
u
z
y
x
A
z
y
x
X
,
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
=
=
=
(note que, 
0
¹
u
, pelo menos uma das coordenadas 
c
b
a
,
,
 é diferente de zero).Escrevendo [14-1] em coordenadas, obtemos:
(
)
(
)
(
)
(
)
c
z
b
y
a
x
c
b
a
z
y
x
z
y
x
l
l
l
l
+
+
+
=
+
=
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
,
Ou seja,
(
)
Â
Î
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
=
+
=
l
l
l
l
,
0
0
0
c
z
z
b
y
y
a
x
x
[14-2]
Exemplos: Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto 
(
)
5
,
0
,
3
-
A
 e tem a direção do vetor 
k
j
i
v
-
+
=
2
2
.
DEFINIÇÃO3: O sistema de equações é chamado sistema de equações paramétricas da reta 
r
 na forma paramétrica.
É claro que só faz sentido entender [14-2] como um sistema de equações, pois para caracterizar pontos de 
r
 devemos considerar todas as suas três coordenadas. Apesar disso, por abuso de linguagem, vamos omitir, no dia-a-dia, a palavra sistema.Será mais cômodo referirmos-nos ao sistema [14-2] como equação paramétrica da reta 
r
 ou equações da reta 
r
 na forma paramétrica.
Como [14-2] é mera transcrição de [14-1] em coordenadas, a observação 14-3 aplica-se também às equações paramétricas.
Foi dado, assim, o primeiro passo na aplicação do método analítico ao estudo da reta: já sabemos como associar a qualquer reta 
r
 um sistema de equações cujo conjunto de soluções se identifica com o conjunto dos pontos de 
r
.Cabe notar também que essa é uma via de mão dupla, isto é, fixado um sistema de coordenadas, qualquer sistema de equações da forma [14-2] descreve uma reta de 
³
E
, desde que 
c
b
a
,
,
não sejam todos nulos: trata-se da reta que contém o ponto 
(
)
0
0
0
,
,
z
y
x
 e tem o vetor 
(
)
c
b
a
,
,
 como vetor diretor.Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de 
r
 é nula , podemos isolar 
l
 no primeiro membro de cada uma das equações de [14-2]: 
(
)
(
)
c
z
z
b
y
y
a
x
x
/
,
/
)
(
,
/
0
0
0
-
=
-
=
-
=
l
l
l
.Portanto, 
c
z
z
b
y
y
a
x
x
0
0
0
-
=
-
=
-
[14-3]
Exemplo: Escreva equações paramétricas para a reta 
r
,que passa pelo ponto 
(
)
3
,
0
,
2
-
=
A
 e:
a) É paralela à reta 
6
3
4
3
5
1
:
+
=
=
-
z
y
x
s
b) É paralela à reta que passa pelos pontos 
(
)
(
)
3
,
1
,
2
,
4
,
0
,
1
=
=
C
B
c) É paralela à reta 
ï
î
ï
í
ì
-
-
=
+
=
-
=
l
l
l
1
4
2
1
:
'
z
y
x
s
DEFINIÇÃO4: O sistema de equações [14-3] é chamado sistema de equações da reta 
r
 na forma simétrica, ou por abuso de linguagem, equações da reta 
r
 na forma simétrica.
Observe que, sob a hipótese 
0
,
0
,
0
¹
¹
¹
c
b
a
, cada sistema de equações de 
r
 na forma paramétrica dá origem a um sistema de equações de 
r
 na forma simétrica.Por isso, o sistema de equações de uma reta na forma simétrica não é único.
O fato de estarmos falando na forma das equações obriga-nos a uma certa rigidez.Equações como 
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
=
-
-
=
l
l
l
2
4
2
3
1
2
z
y
x
Não são equações na forma paramétrica, pois não são estritamente da forma [14-2] (os coeficientes de x e y não são iguais a 1).Pelo mesmo motivo, e tem direção de um vetor .
2- EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA
Das equações simétricas de uma reta r 
c
z
z
b
y
y
a
x
x
0
0
0
-
=
-
=
-
 temos duas igualdades independentes entre si: 
c
z
z
a
x
x
b
y
y
a
x
x
0
0
0
0
-
=
-
-
=
-
Isolando a variável y em função de x e z em função de x temos: 
î
í
ì
+
=
+
=
q
px
z
n
mx
y
Estas equações são as equações reduzidas da reta.
EXEMPLO: Obter equações reduzidas na variável 
x
,da reta:
a) Que passa por 
(
)
3
,
0
,
4
-
A
 e tem a direção de 
(
)
5
,
4
,
2
=
v
.
b) Pelos pontos 
(
)
3
,
2
,
1
-
A
 e 
)
1
,
1
,
3
(
-
-
B
c) Pelos pontos 
(
)
3
,
2
,
1
-
A
 e 
(
)
3
,
1
,
2
-
B
d) Dada por 
ï
î
ï
í
ì
-
=
=
-
=
5
4
3
2
t
z
t
y
t
x
3- ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Sejam as retas 
1
r
, que passa pelo ponto 
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
A
 e tem a direção de um vetor 
)
,
,
(
1
1
1
1
c
b
a
v
=
, e 
2
r
, que passa pelo ponto 
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
A
e tem a direção de um vetor 
)
,
,
(
2
2
2
2
c
b
a
v
=
 (Fig 4.7)
Chama-se ângulo de duas retas 
1
r
 e 
2
r
 o menor ângulo de um vetor diretor de 
1
r
 e de um vetor diretor de 
2
r
.Logo, sendo θ este ângulo, tem-se:
2
1
2
1
.
.
cos
v
v
v
v
=
q
, com 
2
0
p
q
£
£
 ou em coordenadas 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
cos
c
b
a
c
b
a
c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+
+
=
q
Exemplo: Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
a) 
ï
î
ï
í
ì
-
=
=
-
-
=
t
z
t
y
t
x
r
2
3
2
:
1
e
1
1
1
6
2
:
2
-
=
+
=
z
y
x
r
4- CONDIÇÕES DE PARALELISMO DE DUAS RETAS
A condição de paralelismo das retas 
1
r
 e 
2
r
 é a mesma dos vetores 
)
,
,
(
1
1
1
1
c
b
a
v
=
e 
)
,
,
(
2
2
2
2
c
b
a
v
=
que definem as direções dessas retas, isto é:
2
1
v
m
v
=
 ou 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
=
=
Exemplo: Verifique se a reta 
1
r
 , que passa pelos pontos 
)
2
,
4
,
3
(
1
-
A
e 
)
4
,
2
,
5
(
1
-
B
 , e a reta 
2
r
, que passa pelos pontos 
)
3
,
2
,
1
(
2
-
-
A
 e 
)
4
,
5
,
5
(
2
-
-
B
, são paralelas.
OBSERVAÇÕES: 
I) Seja uma reta 
1
r
, que passa por um ponto 
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
A
 e tem a direção de um vetor 
)
,
,
(
1
1
1
1
c
b
a
v
=
, expressa pelas equações:
1
1
1
1
1
1
c
z
z
b
y
y
a
x
x
-
=
-
=
-
Qualquer reta 
2
r
, paralela à reta 
1
r
, tem parâmetros diretores 
2
2
2
,
,
c
b
a
 proporcionais aos parâmetros diretores 
1
1
1
,,
c
b
a
 de 
1
r
 .Em particular , 
1
1
1
,
,
c
b
a
 são parâmetros diretores de qualquer reta paralela à reta 
1
r
. Nessas condições, se 
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
A
 é um ponto qualquer do espaço, as equações da paralela à reta 
1
r
, que passa por 
2
A
, são:
1
2
1
2
1
2
c
z
z
b
y
y
a
x
x
-
=
-
=
-
II) Se as retas 
1
r
 e 
2
r
 forem expressas, respectivamente, pelas equações reduzidas :
î
í
ì
+
=
+
=
1
1
1
1
1
:
q
x
p
z
n
x
m
y
r
 e 
î
í
ì
+
=
+
=
2
2
2
2
2
:
q
x
p
z
n
x
m
y
r
Cujas direções são dadas, respectivamente pelos vetores:
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
,
,
1
,
,
1
p
m
v
p
m
v
=
=
 A condição de paralelismo permite escrever: 
2
1
2
1
1
1
p
p
m
m
=
=
 ou 
2
1
2
1
p
p
m
m
=
=
5- CONDIÇÕES DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS
A condição de ortogonalidade das retas 
1
r
 e 
2
r
 é a mesma dos vetores 
)
,
,
(
1
1
1
1
c
b
a
v
=
 e 
)
,
,
(
2
2
2
2
c
b
a
v
=
 que definem as direções dessas retas, isto é:
0
.
2
1
=
v
v
 ou 
0
2
1
2
1
2
1
=
+
+
c
c
b
b
a
a
Exemplo: verifique se as retas 
ï
î
ï
í
ì
-
+
=
-
=
6
1
8
3
3
:
1
z
x
y
r
 e 
4
3
5
1
3
:
2
-
=
+
=
z
y
x
r
 são ortogonais.
6- CONDIÇÕES DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS
Sejam as retas 
1
r
, que passa pelo ponto 
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
A
 e tem a direção de um vetor 
)
,
,
(
1
1
1
1
c
b
a
v
=
, e 
2
r
, que passa pelo ponto 
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
A
e tem a direção de um vetor 
)
,
,
(
2
2
2
2
c
b
a
v
=
, são coplanares se os vetores 
2
1
2
1
,
A
A
e
v
v
 forem coplanares, isto é, se e somente se os vetores, 
2
1
2
1
,
,
A
A
v
v
 forem:
0
)
,
,
(
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
=
-
-
-
=
z
z
y
y
x
x
c
b
a
c
b
a
A
A
v
v
Exemplo: Verificar se as retas 
4
5
3
2
2
:
1
-
=
=
-
z
y
x
r
 
e 
3
6
1
3
1
5
:
2
-
=
+
=
-
+
z
y
x
r
 são coplanares.
_1474282141.unknown
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