2016_1A_3 - ÁLGEBRA LINEAR

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GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
FINAL 
2016.1A 28/05/2016 
CURSO 
DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D B E E D C A B C A 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA 
 
1. Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij), em 
que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. 
 
 










=
124
310
205
A
 
 
Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? 
 
a) 5 unidades 
b) 2 unidades 
c) 7 unidades 
d) 3 unidades 
e) 4 unidades 
 
SOLUÇÃO - 01 
 
 aij : Quantidade de unidade do material j 
 i : Tipo de roupa 
 
Então temos: i = 2 (tipo de roupa) 
 j = 3 (material usado) 
portanto o elemento aij = a23 = 3 
RESPOSTA: (3 UNIDADES) LETRA “D” 
 
2. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. 
Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j. 
 










2,390,371,367,355,35
4,405,402,370,371,36
0,360,386,384,366,35
 
 
Determine: a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 
 
a) 38,6ºC 
b) 37,3ºC 
c) 34,24ºC 
d) 40,4ºC 
e) 40,5ºC 
 
 










=
124
310
205
A
 
 
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DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA 
 
SOLUÇÃO 02 










2,390,371,367,355,35
4,405,402,370,371,36
0,360,386,384,366,35
 
A média para o terceiro dia de observação é: 
Cº3,37
3
1,362,376,38
=
++
 
RESPOSTA: LETRA “B” 
 
3. Determine a inversa da matriz 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Não existe esta Inversa. 
 
SOLUÇÃO 03. 
 
Sendo A = 






00
21
 e fazendo A-1 = 






dc
ba
temos: 






=








++
⇒





=











⇒=−
10
01
0
2
0
2
10
01
00
21
.
?2
1 dbca
dc
ba
IAA
 
Ora, a última igualdade não pode ser satisfeita, pois implicaria 0 = 1. Logo, a matriz 






00
21
 não admite 
inversa. 
RESPOSTA: LETRA “E” (não existe a inversa). 
 
 
04. Seja a matriz . O valor de seu determinante é: 
 
a) 3/22 
b) 3/33 
 






º390cosº120
º65º25cos
sen
sen
 
 
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c) 2/3 
d) 1 
e) zero 
 
SOLUÇÃO 04 
Determinante de ordem 2x2, cujo valor é igual: 
)º60º.(65)º30º.(cos25cos
)º120º.65º390cosº25cos
º390cosº120
º65º25cos
sensen
sensen
sen
sen
−=
−⋅=






 A matriz 






º390cosº120
º65º25cos
sen
sen
 é uma 
matriz quadrada de segunda ordem ou 
 
Sabemos que: 2
3
º60
2
3
º30cos == sene
 que podemos escrever: 
)(0º65
2
3
º25cos
2
3
zerosen =−
 
Obs.: )º90º65º25(º65º25cos =+= poissen 
RESPOSTA: LETRA “E” (ZERO). 
 
 
05. Considere a equação matricial abaixo e determine o valor de “x” para que y2 – 2y + 1 = 0. 
 
x
x
x
x
y
000
100
110
021
=
 
 
a) 1 ou 10 
b) 1 ou zero 
c) 3 ou 2 
d) 1 ou – 1 
e) 3 ou – 2 
 
05.- SOLUÇÃO 
x
x
x
x
y
000
100
110
021
=
 ou y = x
4
 (a matriz é triangular) 
 
 
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0)1(012 22 =−∴=+− yyy (Fatorando y) 
( )
111
10101
44
2
−==∴=∴=
=∴=−∴=−
xouxxxy
yyy
 
RESPOSTA: LETRA “D” 
 
6. Uma certa Faculdade tem 107 alunos nos primeiros e segundos períodos, 74 nos segundos e terceiros e 91 
nos primeiros e terceiros períodos. Represente esses dados na forma de um sistema de equação, dando sua 
forma matricial e determinando o número total de alunos da Faculdade. 
 
a) 105 
b) 107 
c) 136 
d) 64 
e) 74 
 
06. SOLUÇÃO 
Fazendo 
x = número de alunos no 1º período 
y = número de alunos no 2º período 
z = número de alunos no 3º período 
Temos o sistema: 





=++
=++
=++
→





=+
=+
=+
91101
74110
107011
91
74
107
zyx
zyx
zyx
zx
zy
yx
 
A forma matricial do sistema é: 










=










⋅










91
74
107
101
110
011
z
y
x
 
Resolvendo o sistema: 





=+
=+
=+
91
74
107
zx
zy
yx
 
Da 2ª equação: y = 74 – z 
Substituindo na 1ª equação: x + 74 – z = 107 ⇒⇒⇒⇒ x – z = 33 (4) 
 
 
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Da 4ª e da 3ª equação, vem: 
Substituindo na 2ª equação: y = 74 – 29 = 45 
O total de alunos da escola é x + y + z = 62 + 45 + 29 = 136 alunos 
RESPOSTA: (136 alunos) LETRA: “C” 
 
 
07. Considere o sistema linear: 
 
 
Qual o valor de “k” para que o sistema seja impossível. 
 
a) 2 
b) – 2 
c) 1 
d) – 1 
e) zero 
 
SOLUÇÃO 07 
Vamos discutir o sistema linear 


=+
=+
32
1
yx
kyx
 
k
k
D −== 2
21
1
 
D ≠≠≠≠ 0, ou seja, 2 – k ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ k ≠≠≠≠ 2, o sistema é possível e determinado. 
D = 0, ou seja, 2 – k = 0 ⇒⇒⇒⇒ k = 2, devemos substituir k = 2 no sistema 


=+
=+
32
12
yx
yx
 e observar as 
equações. Nessas condições, com k = 2, o sistema terá conjunto solução vazio, pois as duas 
equações são incompatíveis. 
Portanto: 
Para k ≠≠≠≠ 2, o sistema é possível e determinado; 
Para k = 2, o sistema é impossível. 
RESPOSTA: LETRA: “A 
 
 
 
 
 
 



=+
=+
32
1
yx
kyx



==⇒
=+
=−
2962
91
33
ezx
zx
zx
 
 
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8. As livrarias A, B, C, e D de uma cidade vendem livros de Cálculo do 1º ao 4º ano do Ensino Superior de uma 
mesma coleção, com preço comum estabelecido pela editora. Os dados de vendas diárias são os seguintes: 
 
Livrarias Número de livros vendidos Valor total recebido (R$) 
1º 
periodo 
2º 
periodo 
3º 
periodo 
4º 
periodo 
A 2 2 3 2 563,10 
B 2 1 2 4 566,10 
C 0 5 0 0 304,50 
D 3 2 5 1 687,90 
 
 
 
O preço de venda de cada um dos livros do 3º período: 
 
a) R$ 72,00 
b) R$ 63,90 
c) R$ 65,80 
d) R$ 60,90 
e) R$ 50,40 
 
SOLUÇÃO 08 
5y = 304,50 ∴∴∴∴ y = 60,90 
RESPOSTA: (R$ 60,90) LETRA: “D” 
 
 
09. Vetorial e v = (– 4, – 1. Considere um espaço 8, 7) um vetor neste espaço. Assinale abaixo a alternativa 
correspondente a combinação linear dos vetores v1 e v2 com o vetor v. Dados: ( ) )14,2(2,3,1 21 −=−= vev : 
 
a) 21 vv − 
b) 21 2vv − 
c) 21 32 vv − 
d) 21 2vv + 
e) 21vv 
 
09. SOLUÇÃO: 
Dados: 
Considere αααα1 e αααα2 como escalares: 
( )
)2,43,2,()7,18,4(
),4,2()2,3,()7,18,4(
)1,4,2()2,3,1(7,18,4
212121
222111
21
αααααα
αααααα
αα
−+−+=−−
−+−=−−
−+−=−−
 
 
)1,4,2()2,3,1(),7,18,4( 21 −=−=−−= vevv
 
 
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




=−
−=+−
−=+
72
1843
42
21
21
21
αα
αα
αα
, cuja solução é αααα1= 2 e αααα2 = a–3. Portanto o vetor: 2211 vvv αα += pode ser escrito 
como v = 2v1 – 3v2 
RESPOSTA: LETRA: C 
 
10. Sejam 
 
Sendo v1 e v2 autovetores de A associados respectivamente aos autovalores λλλλ1 e λλλλ2. Determine estes 
autovalores. 
Os autovalores λλλλ1 e λλλλ2 são respectivamente 
 
a) 1 e 4 
b) 2 e – 1 
c) – 1 e 2 
d) 3 e 2 
e) 4 
 
10.SOLUÇÃO: 
 Sabemos que Av = λλλλv, então: 
(1) 
( ) 12,1
2
1
2
1
22
13
2
1
22
13
111111
1
=−=∴=






−
=





−






∴





−
=





=
λλλ entãoAvvAv
veA
 
 
(2 ) 
( ) ( )
4
1,144,4
4
4
1
1
22
13
1
1
22
13
2
222222
2
=
==∴=






=











∴





=





=
λ
λλ
então
AvouAvvAv
veA
 
RESPOSTA: (1 e 4) LETRA: “A” 




=





−
=





=
1
1
2
1
,
22
13
21 vevA