6 1_Introdução_Trigonometria_1_2020 (1)

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MATEMÁTICA PRÉ CÁLCULO
TRIGONOMETRIA I
 Arcos, Ângulos e o conceito de Radiano
 O Ciclo Trigonométrico
 Seno, Cosseno e Tangente abordagem Triângulo Retângulo
 Triângulo Retângulo e Teorema de Pitágoras
 Seno, Cosseno e Tangente Abordagem Ciclo Trigonométrico
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
CONTEÚDO
Um ângulo AOB, consiste de dois raios 𝑅1 e 𝑅2
com um vértice comum O
Costuma-se interpretar o ângulo como a rotação
do raio 𝑅1 para o raio 𝑅2
Se a rotação é anti-horária o ângulo é
considerado positivo.
•
A
•
B
O•
𝑅1
𝑅2
•
A
•
B
O•
𝑅1
𝑅2
Negativo
A unidade mais tradicional de medida de ângulos 
é o Grau. 
1𝑔𝑟𝑎𝑢 =
1
360
da circunferência
Notação: 1grau ≡ 10
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
ÂNGULOS, CONCEITO E MEDIDA
•
A
•
B
O•
𝑅1
𝑅2
Positivo
Caso contrário ele é considerado negativo.
10 =
1
360
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
ÂNGULOS, CONCEITO E MEDIDA
Um arco geométrico é uma das partes
delimitadas por dois pontos sobre uma
circunferência.
Note-se que os ponto A e B definem dois
arcos denominados eAB BA
Todo arco tem um ângulo central correspondente
•
•
𝛼
𝛽
•
A
B
Ângulo 𝛼 corresponde ao arco AB
Ângulo 𝛽 corresponde ao arco BA
Define-se 1 Radiano (1 rad) como a medida do
ângulo cujo arco de circunferência tem o
mesmo comprimento que o raio do referido
círculo.
Com o intuito de utilizar os ângulos nos cálculos
da Física e das ciências em geral, houve a
necessidade de exprimir os ângulos como
números reais.
•
𝑎𝑟𝑐𝑜 = 𝑅
𝑅
1 𝑟𝑎𝑑
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
DEFINIÇÃO DE RADIANO
Raios diferentes comprimentos diferentes para
o ângulo de 1 Rad
Logo 𝜃 =
𝐴𝑟𝑐𝑜
𝑅
𝜃 =
𝑎1
𝑅1
Consequência: Em uma circunferência de raio R,
o comprimento do arco compreendido por um
ângulo de 𝜃 rad é 𝒂𝒓𝒄𝒐 = 𝑹 ∙ 𝜽
=
𝑎2
𝑅2
𝑎1
𝑎2
𝜃
𝑅1
𝑅2
O Ciclo Trigonométrico
Trata-se de uma circunferência com raio 𝑅 = 1,
que ao ser retificada fornece uma
correspondência biunívoca entre os ângulos e
os números reais no intervalo [0,2𝜋] .
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
CICLO TRIGONOMÉTRICO
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Conversão de Graus para Radianos
Dada a medida 𝐴𝑜 (em graus) de um ângulo,
podemos usar uma regra de três, para
convertê-la para radianos.
Basta notar que 360𝑜 corresponde a 2𝜋 𝑟𝑎𝑑.
Logo:
360𝑜 2𝜋
𝐴𝑜 𝑥 𝑟𝑎𝑑
⇒ 𝑥 =
2𝜋 ∙ 𝐴
360
Exemplo: Converter 870 em radianos
0
𝜋
2
𝜋 ≡ 2𝜋
3𝜋
2
𝑥 =
𝜋 ∙ 87
180
= 1,52 𝑟𝑎𝑑
=
𝜋 ∙ 𝐴
180
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FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
TRIÂNGULO RETÂNGULO E AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Imaginemos alguém subindo uma rampa plana.
Conforme nos afastamos do ponto de partida,
atingimos uma determinada altura e também
percorremos uma certa distância ao longo da
rampa.
A situação corresponde a um triângulo
retângulo ABC, como mostrado na figura a
seguir.
 𝐵
 𝐶
A Tangente do ângulo 𝑩 é definida como a
inclinação ou a taxa de variação da altura
conforme nos afastamos do ponto B.
𝑡𝑔 𝐵 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑏
𝑐
Analogamente
𝑡𝑔 𝐶 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐
𝑏
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O Seno do ângulo é definido como a razão
entre a altura e a distância percorrida. Ou seja:
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
 𝐵
 𝐶
O Cosseno do ângulo é definido como a razão
entre o afastamento e a distância percorrida.
Ou seja:
𝑐𝑜𝑠 𝐵 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝐶 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
Vemos, da fórmula de definição do cosseno, que
para calcular a projeção de um segmento, basta
multiplicar o segmento pelo cosseno do ângulo
de projeção. Assim temos, 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 e ,
analogamente, 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐶
O cateto c é denominado projeção da
hipotenusa segundo o ângulo 𝐵. Analogamente,
o cateto b é denominado projeção da
hipotenusa segundo o ângulo 𝐶.
TRIÂNGULO RETÂNGULO E AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
O CICLO TRIGONOMÉTRICO
Podemos usar o ciclo trigonométrico para
representar os arcos trigonométricos e suas
respectivas linhas trigonométricas. Como
mostrado na figura .
Duas relações importantes:
𝑡𝑔𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1
Outras definições:
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 =
1
𝑡𝑔𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥Consequência:
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RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS AGUDOS
No triângulo retângulo os dois ângulos que
não são retos somam 90º .
Esses ângulos são denominados
complementares
⍺ + 𝛽= 90𝑜
⍺
𝛽
A B
C
b
c
a
Note-se que o cateto oposto ao ângulo ⍺ é
adjacente ao ângulo 𝛽 e vice-e-versa. Isso nos
leva a concluir que
Para dois ângulos complementares ⍺ e 𝛽 temos
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽
FUNDAMENTOS DE TR IGONOMETR IA
APLICAÇÕES
1. Determine a 𝑡𝑔 𝛽 , sabendo-se que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,3
⍺
𝛽
A B
C
Como 𝛼 e 𝛽 são complementares, então cos 𝛽 = 0,3
Mas 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 1 , logo 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 0,32 = 1
𝑠𝑒𝑛𝛽 = 1 − 0,32 = 0,954𝑠𝑒𝑛2𝛽 = 1 − 0,32 ⇒
Assim, finalmente: 𝑡𝑔𝛽 =
0,954
0,3
= 3,18
2. Determine o tamanho da sombra do edifício
na figura abaixo, sabendo que 𝛼 =
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
Sombra 𝛼
ℎ = 100m
𝑡𝑔
𝜋
6
=
100
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎
0,577 =
100
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 =
100
0,577
⇒
⇒ 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 = 173,21
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APLICAÇÕES
3. Para medir a largura (𝑙) de um rio, usamos uma
árvore como referência, e dois pontos fixos na
margem oposta. Com a ajuda de um teodolito
medimos o ângulo mostrado na figura.
70o
• •
B A8m
𝑙
Determine a largura do rio:
𝑙
8
= 𝑡𝑔 700 𝑙 = 8 ∙ 𝑡𝑔700 ⇒⇒
R
R
h
•
𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑅
𝑅 + ℎ
4. Determine o valor de R na figura abaixo, em
função de ℎ e 𝛼.
𝑅 + ℎ ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑅
𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + ℎ ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑅 ℎ ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑅(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
𝑅 =
ℎ ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼
⇒
⇒
𝑙 = 8 ∙ 2,75 = 22