Resistência dos Materiais R3

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Resistência 
dos Materiais
Prof. Mário Moura
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 Ramo da Mecânica que estuda as
relações entre cargas externas aplicadas
a um corpo deformável e a intensidade
das forças internas que atuam dentro do
corpo. Abrange também o cálculo da
deformação do corpo e o estudo da sua
estabilidade, quando submetido a forças
externas.” (HIBBELER, 2010)
VISÃO GERAL
OBJETIVOS
 Resistência mecânica: determinar a
capacidade de um elemento, em uma
estrutura ou máquina, de resistir à ruína – resistir
às tensões internas geradas pelas ações
solicitantes; constitui o problema principal
para a análise da disciplina;
 Rigidez: calcular a capacidade de um
elemento reagir às deformações, uma vez
que as estruturas não podem se deformar
excessivamente;
 Estabilidade: atender às equações universais
de equilíbrio estático.
HIPÓTESES BÁSICAS
Continuidade Física: A matéria apresenta uma
estrutura contínua, ou seja, são
desconsiderados todos os vazios e porosidades.
 Homogeneidade: O material apresenta as
mesmas características mecânicas,
elasticidade e de resistência em todos os
pontos.
 Isotropia: O material apresenta as mesmas
características mecânicas elásticas em todas as
direções. Ex.: As madeiras apresentam, nas
direções das fibras, características mecânicas e
resistentes distintas daquelas em direção
perpendicular e portanto a madeira não é
considerada um material isótropo.
HIPÓTESES BÁSICAS
 Equilíbrio: Se uma estrutura está em equilíbrio,
cada uma de suas partes também está em
equilíbrio.
 Pequenas deformações: As deformações são
muito pequenas quando comparadas com as
dimensões da estrutura.
 Princípio de Saint-Venant: Sistemas de forças
estaticamente equivalentes causam efeitos
idênticos em pontos suficientemente afastados
da região de aplicação das cargas.
 Seções planas: A seção transversal, após a
deformação, permanece plana e normal à
linha média(eixo deformado).
HIPÓTESES BÁSICAS
Conservação das áreas: A seção transversal,
após a deformação, conserva as suas
dimensões primitivas.
 Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional
ao deslocamento.
F = k.x
onde: F é a força aplicada; k é a constante
elástica de rigidez; e x é o deslocamento;
 Princípio da superposição de efeitos: Os efeitos
causados por um sistema de forças externas
são a soma dos efeitos produzidos por cada
força considerada agindo isoladamente e
independente das outras.
ESFORÇOS SOLICITANTES
ESFORÇOS RESISTENTES
 TENSÃO – pode ser definida como sendo
força/unidade de área, ou seja:
ESFORÇOS RESISTENTES
 TENSÃO NORMAL – componente da tensão na
direção da normal externa ao plano;
resultado de um carregamento que provoca
a aproximação ou o afastamento de
moléculas que constituem o sólido.
ESFORÇOS RESISTENTES
Tração Compressão
ESFORÇOS RESISTENTES
 TENSÃO TANGENCIAL ou CISALHANTE –
componente da tensão no plano da seção;
resultado de um carregamento que provoca
um deslizamento relativo de moléculas que
constituem o sólido.
ESFORÇOS RESISTENTES
Cisalhamento Torção
DEFORMAÇÕES
Deformação: movimento relativo entre
pontos adjacentes.
Deformação linear específica: alongamento
/ encurtamento relativo.
Deformação angular ou distorção angular:
deslizamento relativo entre duas faces do
sólido.
Pode-se quantificar o movimento
relativo dos pontos adjacentes
(vértices), considerando as
deformações do paralelepípedo
retangular infinitesimal.
DEFORMAÇÕES
 Deformação linear específica: sendo dx, dy e dz os
comprimentos iniciais das arestas, na configuração
deformada os comprimentos dessas arestas tornam-se
dx+Δdx, dy+Δdy e dz+Δdz respectivamente.
Deformações 
unitárias (%):
𝒙
𝒚
𝒛
DEFORMAÇÕES
 Deformação cisalhante ou distorção: mudanças na
orientação relativa entre as faces do elemento,
envolvendo variações desprezíveis de volume. As
tensões cisalhantes causam variação de forma, isto é,
uma distorção, mas não dilatação apreciável.
Distorção (rad.):
𝒙𝒚
Deformações 
transversais:
𝒙𝒚 𝒚𝒙 𝒙𝒚
SOLICITAÇÃO AXIAL
SOLICITAÇÃO AXIAL
PROPRIEDADES MECÂNICAS
 A relação entre as tensões e as deformações, para um
determinado material, é encontrada por meio de métodos
experimentais, como o ensaio de tração ou compressão,
capazes de determinar o diagrama tensão-deformação para
um material específico.
 Esse teste é usado principalmente para determinar a relação
entre a tensão normal média e a deformação normal média
em metais, cerâmicas, polímeros e compósitos.
 Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é
colocado na máquina de testar e sujeito à tração.
 A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à
proporção que a carga aumenta.
 As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da
seção transversal da barra e a deformação específica
dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do
qual ocorre a deformação.
O ENSAIO DE TRAÇÃO
 Procedimento para o 
ensaio de tração:
 c.d.p. padronizados
 Marcas no 
comprimento L0 do 
c.d.p.
 A0 e L0 (50mm)
 Lidos durante o ensaio:
 carga (P)
 alongamento (δ) = L – L0 
(extensômetro)
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
Diagrama tensão x deformação típico para o aço estrutural – aço doce CA25/50
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
OA O material obedece à lei de Hooke  = E. (tensões diretamente proporcionais às
deformações e diagrama linear). A tensão no ponto A é p (tensão limite de
proporcionalidade). Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais.
AB Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as
tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja
aumento apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como
escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de
escoamento.
O ponto B marca o fim da zona elástica. Se tirarmos a carga no trecho   p o
descarregamento seguirá a reta OA. Para p <   e, o descarregamento deixará
sempre uma deformação residual. Por exemplo, no ponto B (  = e) admite-se uma
deformação residual 0,001.
BC Escoamento. Caracteriza-se por um aumento relativamente grande da
deformação com variação pequena da tensão. Depois do escoamento, o material
está encruado (endurecimento por deformação a frio).
No ponto B começa a zona plástica. A barra pode deformar-se plasticamente, da
ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de proporcionalidade.
Quanto mais duro é o metal, menos nítido é o escoamento.
CE No ponto D inicia-se a fase de ruptura, caracterizada pelo fenômeno da estricção,
que é uma diminuição da seção transversal do corpo de prova, numa certa região
do mesmo.
A ruptura ocorre no ponto E (r > 5%, normalmente).
As tensões correspondentes aos pontos D e E chamam-se, respectivamente, tensão
máxima (máx) e tensão de ruptura (r).
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
 Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que
resulta na diminuição da área da seção transversal. Isto não
tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até o
ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área
faz com que a tensão verdadeira seja sempre crescente
(como indicado na linha pontilhada até E´).
 É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões
limites aquelas calculadas como se a área se mantivesse com
seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão
ligeiramente menores do que os reais.
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado,
seguido de grande deformação plástica, é uma das
características do aço.
 Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama
todos os pontos citados. Para determinar o ponto de
escoamento desses materiais, convencionou-se adotar uma
deformação residual de 0,2%. A partir dessa deformação,
traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a
curva tensão-deformação.
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
Diagrama tensão x deformação típico para o aço encruado a frio – CA60
Limite de proporcionalidade e 
tensão limite de escoamento
 A posiçãodeste ponto pode não
ser determinada com precisão. Por
consequência foi adotada uma
convenção: é construída uma linha
paralela à região elástica a partir
de uma pré-deformação de 0,2%.
A intersecção desta linha com a
curva tensão x deformação é a
tensão limite de escoamento (σy).
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
 A forma do diagrama tensão x deformação depende do tipo
de material.
 Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer
grandes deformações antes da ruptura, sendo classificados
como dúcteis.
 Por outro lado, materiais frágeis ou quebradiços quebram
com valores relativamente baixos das deformações.
 As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas
metálicas e o vidro são exemplos de materiais frágeis.
ELASTICIDADE
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento,
quando carregados por tração (ou compressão).
 Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto
é, a carga é gradualmente reduzida até zero, a deformação
sofrida durante o carregamento poderá desaparecer parcial
ou totalmente. Esta propriedade do material, pela qual ele
tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade.
 Existem materiais de comportamento linearmente elástico, ou
pelo menos com uma região linear (aço, alumínio), e
materiais de comportamento não-linearmente elástico
(maioria das borrachas).
ELASTICIDADE
 Quando o material volta completamente à forma original, diz-
se que é perfeitamente elástico. Se o retorno não for total, diz-
se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a deformação
que permanece depois da retirada da carga é denominada
deformação permanente.
 O processo de carregamento e descarregamento do
material pode ser repetido sucessivamente, para valores
cada vez mais altos de tração. À tensão cujo
descarregamento acarrete uma deformação residual
permanente, chama-se limite elástico.
 Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de
proporcionalidade são aproximadamente coincidentes.
 Materiais semelhantes à borracha possuem uma propriedade
– a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de
proporcionalidade.
LEI DE HOOKE
 A relação linear entre tensão e deformação pode ser
expressa por:
 é uma constante de proporcionalidade conhecida como
módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young. É o
coeficiente angular da parte linear do diagrama e é
diferente para cada material. Abaixo tabela com valores
característicos.
MÓDULO DE POISSON
 Representa a relação entre as deformações lateral e
longitudinal na faixa de elasticidade. A razão entre essas
deformações é uma constante denominada de coeficiente
ou módulo de Poisson. Pode ser expresso por:
𝑙𝑎𝑡
𝑙𝑜𝑛𝑔
 O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal
(deformação positiva) provoca contração lateral
(deformação negativa) e vice-versa.
G – módulo de cisalhamento
MÓDULO DE POISSON
 O coeficiente de Poisson é adimensional e o seu valor se
encontra entre zero e meio:
Propriedades Mecânicas dos Materiais
 Resiliência: capacidade de um material
estocar energia quando deformado
elasticamente e depois de aliviada a
carga, ter essa energia recuperada.
 O módulo de resiliência Ur representa a
energia de deformação por volume
necessária para tensionar um material de
um estado sem carregamento até à sua
tensão limite de escoamento.
 Materiais resilientes são aqueles que têm
alto limite de elasticidade e baixo módulo
de elasticidade (como os materiais
utilizados para molas).
Na região elástica linear:
ou
Propriedades Mecânicas dos Materiais
 Pode ser determinada
a partir da curva
tensão – deformação.
É a área sob a curva.
 Para que um material
seja tenaz, deve
apresentar resistência e
ductilidade. Materiais
dúcteis são mais
tenazes que os
materiais frágeis.
 Tenacidade: Representa uma medida da habilidade de um
material em absorver energia até à fratura medida
da energia necessária para romper o material.
Propriedades Mecânicas dos Materiais
 ELASTICIDADE: CAPACIDADE DE SE DEFORMAR
ELASTICAMENTE, DE TER DEFORMAÇÕES REVERSÍVEIS; A
RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO É DADA PELO
MÓDULO DE ELASTICIDADE.
 DUCTILIDADE: CAPACIDADE DE SE DEFORMAR PLASTICAMENTE,
SEM ATINGIR A RUPTURA.
 FRAGILIDADE: OPOSTO A DUCTILIDADE.
 RESILIÊNCIA: CAPACIDADE DE ARMAZENAR ENERGIA NO
CAMPO ELÁSTICO. CAPACIDADE DE RESISTIR AO CHOQUE.
 TENACIDADE (RESILIÊNCIA TOTAL): CAPACIDADE DE
ARMAZENAR ENERGIA SEM SE ROMPER.
 FLUÊNCIA: CAPACIDADE DE SE DEFORMAR LENTAMENTE,
QUANDO SUBMETIDO A TENSÕES MENORES QUE A DE
ESCOAMENTO, SOB ALTAS TEMPERATURAS.
 RESISTÊNCIA: MÁXIMA CARGA SUPORTADA.
SOLICITAÇÃO AXIAL
 EA – Rigidez axial da barra
 L/EA – Flexibilidade da barra (deformação decorrente de uma
carga unitária)
 EA/L – Rijeza da barra (força necessária para produzir uma
deformação unitária)
TENSÃO ADMISSÍVEL
 Dimensionamento: determinação das dimensões das peças.
Para tanto é preciso fixar, para cada material, a tensão
máxima que pode ser atingida, mantendo condições de
segurança, quando da aplicação de esforços. Esta tensão
recebe o nome de tensão admissível ( adm ou ).
 A relação entre a tensão máxima que o material poderia
suportar e a tensão admissível é definida como coeficiente
de segurança ( ):
adm
ou adm
 O coeficiente de segurança deve cobrir as falhas existentes
nas suposições de cálculo, nas variações involuntárias dos
materiais e os excessos excepcionais das cargas previstas.
 O dimensionamento no caso de esforço axial de tração ou
de compressão é a determinação da área da seção
transversal (A) de modo que: ou
adm
TENSÃO ADMISSÍVEL
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
 As forças P e P’ são aplicadas transversalmente ao
componente AB.
 Os esforços internos atuando no plano da seção C são
chamados forças de cisalhamento.
 Os vetores tensão atuando ao longo do plano C têm apenas
componentes cisalhantes (tangenciais).
 A tensão cisalhante deve variar ao longo da seção. Seu valor
é nulo nas superfícies superior e inferior e o valor máximo
ocorre no centro da seção.
 A tensão cisalhante média ao longo da seção é:
onde A é a área da seção transversal C.
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
G – módulo de elasticidade ao cisalhamento do material,
também conhecido como módulo de elasticidade transversal.
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
CISALHAMENTO PURO
TENSÃO ADMISSÍVEL
adm
á
máx
PROPRIEDADES MECÂNICAS
FLEXÃO SIMPLES
 Solicitações normais – são aquelas cujos esforços
solicitantes produzem tensões normais
(perpendiculares) às seções transversais dos elementos
estruturais. Os esforços que provocam tensões normais
são o momento fletor (M) e a força normal (N).
 Flexão – esforço resultante de tensões de compressão e
de tração simultaneamente aplicados em lados opostos
de uma peça estrutural.
 Flexão simples – flexão sem força normal. Ocorrendo
com a atuação de força normal tem-se a flexão
composta.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Na flexão simples (sem esforço
normal), a linha neutra passa
pelo baricentro (centróide) da
seção transversal.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
𝑓(𝑡, 𝑐) =
𝑓
𝑥
𝑓
𝑓𝑥
𝑓𝑥
𝑥
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
𝑓 𝑡, 𝑐
𝑓
𝑥
𝑓
𝑓𝑥
 𝑓𝑥
𝑥
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Sob a ação de carregamento
distribuído, surgem esforços
cortantes nas seções transversais
e, consequentemente, tensões
cisalhantes.
 Cortando-se um elemento mn por
meio de duas seções transversais
adjacentes e de dois planos
paralelos à superfície neutra, nota-
se que, devido à presença do
esforço cortante, haverá
distribuição uniforme das tensões
de cisalhamento verticais ao
longo da largura mn do elemento.
 Uma vez que o elemento
encontra-se em equilíbrio, conclui-
se que as tensões de
cisalhamento verticais são
acompanhadas portensões de
cisalhamento horizontais de
mesma intensidade (na face
perpendicular).
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 A fig. (a) representa uma pilha de
tábuas sobrepostas, submetida nas
extremidades a um momento fletor M,
que traciona as tábuas inferiores,
comprimindo as superiores, sem
provocar escorregamento entre as
tábuas.
 Já se a flexão fosse provocada pelo
carregamento mostrado em (b) (M
variável), as tábuas escorregariam,
umas sobre as outras. Se as tábuas
fossem coladas, umas às outras,
impedindo este escorregamento,
surgiriam tensões tangenciais na cola.
 Sendo a viga inteiriça, submetida
àquele carregamento (c), verifica-se
que ocorrerão tensões tangenciais
nos planos longitudinais (𝜏 ).
 A existência de uma tensão 𝜏 no
plano longitudinal da viga implica na
ocorrência de uma tensão 𝜏 , de
igual valor, na seção transversal.
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 c – tensão de cisalhamento em um dado ponto da
seção transversal;
 Q – força cortante na seção;
 Jx – momento de inércia da seção transversal em relação
à linha neutra que contém o centróide (baricentro).
 b – largura da seção na altura do ponto considerado.
 Msx – momento estático da parte da área situada acima
ou abaixo do ponto considerado, em relação à linha
neutra (LN). O momento estático da área total da seção
transversal será nulo em relação à LN, pois esta contém o
centróide.
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
TENSÕES EM SEÇÕES I / T / H
 A otimização da escolha do formato da
seção das vigas, objetivando minimizar o
valor das tensões normais decorrentes do
momento fletor, leva à utilização de seções
nas quais as áreas são afastadas da linha
neutra (perfis “I” e “T”, com mesas/abas
largas e almas/nervuras estreitas).
 Como consequência, surgirão tensões
tangenciais elevadas na alma, na altura da
linha neutra, pelo fato de a dimensão “b”
da nervura aparecer no denominador da
equação de Jourawski (ou seja, nos pontos
da viga onde a tensão normal é máxima –
arestas superior e inferior – a tensão
tangencial é nula, enquanto na linha
neutra, onde σ=0, a tensão t atinge valor
extremo).
 A descontinuidade do valor da tensão na
transição entre a mesa e a alma decorre
da descontinuidade da largura (b) da
seção nesses locais.