Cálculo de Derivadas e Limites

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Curso GRA1569 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL ENGPD201 - 202010.ead-4824.01 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em 
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de 
uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na 
cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em 
relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função 
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte 
situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua 
altura (em metros), após t segundos, é dada por 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e dura é 
igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. O instante em que a velocidade é nula é . 
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto que a 
velocidade média para o período de tempo que começa 
quando e dura é igual a -25,6 m/s. De fato: . A 
afirmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade 
instantânea quando é igual a . 
A velocidade instantânea é dada por: 
 A afirmativa III é correta, porque o instante em que a 
velocidade é nula é . De fato: Por fim, a afirmativa IV é 
incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 
25 metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura 
 
máxima é de e . Portanto, a altura de máxima é 
de . 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, 
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de 
funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da regra prática 
de Ruffini para facilitar os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. 
Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do 
limite, a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de 
Ruffini, e , portanto, o valor do limite é igual a : . 
 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, 
para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. 
Para funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do 
polinômio, através da regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do 
polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o 
limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . 
Para fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da 
 
diferença, portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, 
por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da 
reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e 
da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta 
normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta 
normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o 
coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do 
valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da 
reta normal é igual a 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o 
líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através 
da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse 
contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, 
quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado. 
 
Resposta Selecionada: 
4,875 litros/horas. 
Resposta Correta: 
4,875 litros/horas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do 
gotejamento do líquido no recipiente em relação ao tempo, 
basta derivar a função e aplicar o ponto horas, como 
mostram os cálculos a seguir. 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em 
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de 
uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. 
Na cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em 
relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função 
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte 
situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de 
uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual 
a 40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante. 
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a 
velocidade média para o período de tempo que começa 
quando e é igual a 40,0 m/s. De fato: . A 
 
afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea 
quando é igual a . De fato: A afirmativa III é 
incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração 
quando o tempo é é igual a . De fato: 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código 
com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em 
que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º 
dígito: , em que Para descobrir qual é o código, encontre o valor das 
derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 1, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 1, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, 
obteve-se o código igual a 2114. Cálculos: 
1º dígito: , em que . 
2º dígito: , em que 
 
3º dígito: , em que 
 
4º dígito: , em que 
 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer 
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos 
fatorar as funções racionais polinomiais utilizando afatoração do polinômio que, em certas 
situações, é um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
4. 
Resposta Correta: 
4. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De 
fato, para fatorar o polinômio , utiliza-se a diferenças dos 
quadrados , portanto, , e o cálculo do limite é 
justificado da seguinte forma: . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados 
tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da 
derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar 
funções com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, F. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , 
então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto 
que se , então , pois a derivada de uma constante é 
igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se , 
então , como consta na tabela de derivadas. E, 
finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se então 
 
. Verifique que a função é uma função composta e, 
portanto, através da regra da cadeia 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a 
função é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 
(função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da 
função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir, o 
valor correto é .