Segunda Prova - Resolução

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Cálculo I
Segunda Prova – 1º. 2013 
Valor: 35 pontos
QUESTÃO 1 
Considere as funções 
2
2
1216
f(t)3t
t
t
=+-
 e 
(
)
2t
g(t)tt2
=+×
: (a) determine as derivadas dessas funções; (b) calcule o valor da expressão 
f(4)g(2)f(1)3g(0)
¢¢
+++×
. 
Solução
a) Cálculo das derivadas:
2
23
1216632
f(t)3tf(t)6t
tt
ttt
¢
=+-Þ=-+
(
)
(
)
2tt2t
g(t)tt2g(t)(2t1)2tt2ln2
¢
=+×Þ=+×++××
.
b) Como 
2
2
1216
f(4)3453
4
4
=×+-=
, 
(
)
22
g(2)22224
=+×=
, 
3
632
f(1)6132
1
11
¢
=×-+=
×
 e 
(
)
020
g(0)(201)2002ln21
¢
=×+×++××=
, temos:
f(4)g(2)f(1)3g(0)5324323112
¢¢
+++×=+++=
.
QUESTÃO 2 
A figura abaixo traz o gráfico da função 
f(x)x2x6
=-+
 e o de sua derivada 
f
¢
.
Com base nessas informações: (a) marque na figura acima o gráfico de 
f
e o gráfico de 
f
¢
; (b) indique em que intervalo a função 
f
 é crescente e justifique sua indicação; (c) escreva a equação da tangente à curva 
f(x)x2x6
=-+
no ponto de abscissa 
x1
=-
; (d) determine as coordenadas do ponto do gráfico de 
f(x)x2x6
=-+
 em que a tangente é horizontal.
Solução
A derivada da função 
f(x)x2x6
=-+
 é 
1
f(x)2x6x
2x6
¢
=-+-×
+
.
a) Indicado no gráfico.
b) A função f é crescente para 
3x2
-<£-
, intervalo em que 
f(x)0
¢
³
.
c) A equação da tangente é da forma 
yf(1)f(1)(x1)
¢
--=-+
, sendo 
f(1)2
-=
 e 
3
f(1)
2
¢
-=-
. Assim, a equação da tangente fica 
3
y2(x1)
2
-=-+
 ou 
31
yx
22
=-+
.
d) No ponto em que a reta tangente ao gráfico de 
f(x)x2x6
=-+
é horizontal, a derivada é nula e, portanto, devemos ter: 
1
f(x)02x6x02x6x0x2
2x6
¢
=Þ-+-×=Þ---=Þ=-
+
.
Desse modo, o ponto em que a reta tangente é horizontal é 
(
)
2,22
-
.
QUESTÃO 3 
Considere o gráfico da função 
yf(x)
=
 e o de sua derivada 
2
f(x)0,75x3
¢
=-
, apresentados na figura abaixo. 
Com base nas informações desses gráficos: (a) estabeleça em que intervalos a função 
yf(x)
=
 é crescente ou decrescente; justifique sua indicação; (b) escreva a equação da reta tangente ao gráfico de 
2
f(x)0,75x3
¢
=-
 no ponto de abscissa 
x2
=-
; (c) determine a abscissa dos pontos em que a curva 
yf(x)
=
tem inclinação igual a 
15
4
.
Solução
a) A função f é crescente para 
x2oux1
£-³
, intervalos onde 
f(x)0
¢
³
.
A função f é decrescente para 
2x1
-££
, intervalo onde 
f(x)0
¢
£
.
b) A equação da reta tangente ao gráfico de 
2
f(x)0,75x3
¢
=-
 no ponto 
x2
=-
é da forma:
yf(2)f(2)(x2)
¢¢¢
--=-+
.
Como 
2
f(2)0,75(2)30
¢
-=×--=
 e 
f(2)1,5(2)3
¢¢
-=×-=-
, a equação da tangente fica:
y03(x2)ouy3x6
-=-+=--
.
c) Para obter a abscissa dos pontos em que a curva 
yf(x)
=
tem inclinação igual a 
15
4
, fazemos:
2
1515
f(x)0,75x3x3
44
¢
=Þ-=Þ=±
.
QUESTÃO 4 
Um carro, adquirido por R$50.000,00 em janeiro de 2012, sofre uma desvalorização anual de 16%. Seu valor, após t anos de uso, é dado pela função 
t
V(t)50.000(0,84)
=
. Com base nessas informações: (a) calcule o valor desse carro em janeiro de 2014; (b) determine a taxa de variação do valor desse carro para 
t4
=
; (c) estime no decorrer de que ano o valor desse carro deverá ser igual a 75% de seu preço de compra.
Solução
a) O valor desse carro em janeiro de 2014 é 
2
V(2)50.000(0,84)35280reais
==
.
b) Para achar a taxa de variação do valor desse carro para 
t4
=
, fazemos:
t
4
V(t)50.000(0,84)ln(0,84)
V(4)50.000(0,84)ln(0,84)4340,28reaisano
¢
=×
¢
=×@-
c) Para estimar em que ano o valor desse carro deverá ser igual a 75% do valor de seu preço de compra, fazemos:
tt
33ln(0,75)
5000050000(0,84)(0,84)t1,65anos
44ln(0,84)
×=Þ=Þ=@
Como o ano inicial é 2012, esse carro deverá valer R$37.500,00 no decorrer de 2013, por volta do dia 25 de julho.
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