Unidade II

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UNIDADE II 
 
 
Capítulo 4 – Funções potências e funções polinomiais 
 
Capítulo 5 – Funções racionais 
 
Capítulo 6 – Limite e continuidade de uma função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Capítulo 4 – Funções potência e funções polinomiais 
 
Introdução 
 
Começamos este capítulo com o estudo das funções potência. Preste atenção na 
influência que o grau tem na função potência, no formato de seu gráfico, nos fenômenos 
que é possível descrever com estas funções e no que ocorre quando a variável independente 
assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos. 
A seguir, abordaremos as funções polinomiais. São as funções obtidas a partir das 
funções potências. Observe como o termo de maior grau comanda as funções polinomiais e 
o que ocorre quando a variável independente assume valores muito grandes em módulo, 
negativos ou positivos. Reconhecer o formato dos gráficos dessas funções o ajudará a 
identificar os fenômenos ou situações que é possível descrever com as mesmas. 
 
 
4.1 Funções potência 
 
No estudo de geometria, as funções potência são utilizadas com bastante frequência. 
A título de ilustração, podemos considerar o perímetro P de um quadrado como função do 
comprimento de seu lado l; essa relação é dada pela fórmula lP 4 e nos diz que o 
perímetro é diretamente proporcional ao comprimento do lado ou à potência um de seu lado 
l; significa, por exemplo, que se dobrarmos a medida do lado de um quadrado, seu 
perímetro será duplicado, ou seja, será multiplicado por 12 . 
 
Também a área A de um quadrado é função do comprimento de seu lado l e pode ser 
expressa pela equação 2lA  . Essa igualdade nos diz que a área é diretamente proporcional 
ao quadrado do comprimento do lado; isso significa, por exemplo, que se dobrarmos o lado 
de um quadrado, a medida de sua área ficará quatro vezes maior, ou seja, será multiplicada 
por 22 . 
De modo semelhante, o volume V de um cubo é função do comprimento de sua 
aresta l, função que tem a fórmula 3lV  . Essa equação estabelece que o volume do cubo é 
diretamente proporcional ao cubo de sua aresta; assim, por exemplo, se dobrarmos a aresta 
de um cubo, seu volume ficará oito vezes maior, ou seja, será multiplicado por 32 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
4.1.1 Função potência 
 
Função potência é aquela na qual a variável dependente é proporcional a uma 
potência da variável independente. As funções potência são uma importante família de 
funções; elas aparecem em muitas situações como as do item 4.1 e as exemplificadas a 
seguir. 
 
a) O volume V de uma esfera é proporcional à terceira potência de seu raio r: 3
3
4
rV  . 
Desse modo, se dobrarmos o raio de uma esfera, seu volume aumentará oito vezes: 
33
3
4
.8)2(
3
4
rrV   . 
b) A medida do lado l de um quadrado é proporcional à potência 
2
1
 da medida de sua área 
A: 2/1lA  ou lA  . Se quadruplicarmos a área de um quadrado, seu lado será 
duplicado: 2/12/1 .2)4( AAl  . 
 
c) A Lei de Newton da Gravitação diz que a força de atração gravitacional g sobre uma 
massa unitária a uma distância r da Terra é proporcional ao inverso da potência dois de 
r: 
2
1
.
r
kg  , onde k é uma constante positiva. Podemos escrever 
2r
k
g  ou 2 rkg . 
Se dobrarmos a distância r, o valor de g ficará quatro vezes menor: 
22
.
4
1
)2(
1
.
r
k
r
kg  . 
 
A Tabela 4.1 mostra a influência de potências no valor das funções. Observe como 
essas potências interferem na taxa de variação de cada função quando x varia de uma 
unidade. 
 
 
x xy  y1 
2xy  y2 
3xy  y3 
0 0 0 0 
1 1 1 1 1 1 1 
2 2 1 4 3 8 7 
3 3 1 9 5 27 19 
4 4 1 16 7 64 37 
5 5 1 25 9 125 61 
Tabela 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Na Figura 4.1, você pode observar o efeito das potências no gráfico das funções. 
 
 
Figura 4.1 
 
Em geral, uma função potência tem a forma pxkxfy  )( , em que k e p são 
constantes quaisquer. Nos itens subsequentes, vamos comparar várias funções potências 
entre si. Se possível, faça esse estudo comparativo usando uma calculadora ou um software 
(Yag, winplot) para traçado de gráficos. 
 
 
4.1.2 Funções potências inteiras e positivas 
 
Primeiramente, vamos considerar funções do tipo nxy  , sendo n um número 
inteiro positivo. Essas funções se dividem em dois grupos: o de potências ímpares e o de 
potências pares. 
Na Figura 4.2 estão os gráficos das funções xy  , 
3xy  e 
5
xy  . São funções 
potências ímpares de graus respectivamente iguais a 1, 2 e 3. 
 
 
 
Figura 4.2 
 
 
 
5 
 
Toda função potência ímpar ( xy  , 
3xy  , 
5
xy  , etc.) é crescente e seu gráfico 
é simétrico em relação à origem. Também podemos notar que o gráfico de toda função 
potência ímpar da forma nxy  , com 1n , é “retorcido” na origem; à esquerda da origem, 
o gráfico tem concavidade voltada para baixo e, à direita da origem, o gráfico é côncavo 
para cima. Ainda podemos verificar que os gráficos têm pontos comuns em 1x , 0x e 
1x ; para 10  x , o gráfico da função 5xy  está abaixo do gráfico de 3xy  que, 
por sua vez, está abaixo do gráfico de xy  ; quando x é maior do que 1, a ordem em que 
estão os gráficos é outra: o gráfico de 5xy  está acima do gráfico de 3xy  que, por sua 
vez, está acima do gráfico de xy  . 
As observações feitas anteriormente nos gráficos podem ser comprovadas por meio 
de desigualdades algébricas. Assim, querendo comparar as funções 3xy  e 
5
xy  , 
podemos investigar as soluções da inequação 53 xx  . Resolvendo essa desigualdade, 
temos: 
010)1(0 235353  xxxxxxx ou 1x . 
O resultado obtido algebricamente indica que o gráfico de 3xy  está abaixo do gráfico de 
5
xy  quando x estiver entre 1 e 0 , bem como quando x for maior do que 1. 
 
Consideremos agora as funções potências pares. Na Figura 4.3 estão os gráficos das 
funções 2xy  , 4xy  e 6xy  , que são potências pares com graus respectivamente 
iguais a 2, 4 e 6. 
 
Figura 4.3 
 
Toda função potência par ( 2xy  , 4xy  , 6xy  , etc.) é decrescente para x 
pertencente ao intervalo  0, e é crescente para x pertencente ao intervalo  ,0 . Com 
isso, o gráfico tem a forma de  e é simétrico em relação ao eixo y. Todas as funções 
potências pares têm gráficos com concavidade voltada para cima, enquanto todas as 
funções potências ímpares ( 1n ) têm gráficos côncavos para baixo se 0x e côncavos 
para cima se 0x . 
 
 
 
 
6 
 
A Figura 4.4 mostra um zoom feito no gráfico de funções potências para valores de 
x entre 0 e 1. Nesse intervalo, xy  é maior que 
2xy  , que é maior que 3xy  , e assim 
por diante. 
 
 
Figura 4.4 
 
Os valores apresentados na Tabela 4.2 confirmam o que foi observado na Figura 4.4. 
 
x 0 0,2 0,5 0,8 1 
xy  0 0,2 0,5 0,8 1 
2xy  0 0,04 0,25 0,64 1 
3xy  0 0,008 0,125 0,512 1 
5xy  0 0,0032 0,03125 0,32768 1 
Tabela 4.2 
Na Figura 4.5, aparecem os gráficos de funções potências para valores de x maiores que 1. 
Podemos constatar que, quanto maior a potência de x, mais rápido cresce a função. Assim, 
o gráfico da função 5xy  está acima do gráfico da função 4xy  que é maior do que a 
função 2xy  . 
 
Figura 4.5 
 
 
 
7 
 
O que foi constatado por meio dos gráficos é confirmado pelos valores da Tabela 4.3. 
 
x 1 2 3 4 5 
xy  1 2 3 4 5 
2xy  1 4 9 16 25 
3xy  1 8 27 64 125 
4xy  1 16 81 256 625 
5xy  1 32 243 2024 3125 
Tabela 4.3 
 
Para 1x , as potências mais altas crescem de maneira bem rápida e têm valores 
comparativamente muito maiores. Fazendo 1000x , por exemplo, 55 1000x que é mil 
vezes maior do que 44 1000x . Por outro lado, para valores de x entre zero e um, as 
potências mais altas são bem menores; fazendo 001,0x , por exemplo, 
55 )001,0(x é 
mil vezes menor do que 44 )001,0(x . 
 
4.1.3Potência zero e potências inteiras negativas 
 
A função 0xy  é a função constante 1y e seu gráfico é uma reta horizontal. 
Dizer que uma função é constante significa dizer que, para qualquer valor da variável 
independente, o valor da variável dependente é sempre o mesmo. Assim, se 1)( xf , 
podemos escrever: 1)2()()5(  fff  . 
Usualmente, as potências negativas são escritas de duas maneiras: 1 xy é a 
mesma função potência 
x
y
1
 ; a fórmula 
2 xy pode ser escrita na forma 
2
1
x
y  . 
Na Figura 4.6, estão os gráficos das funções 
x
y
1
 e 
3
1
x
y  ; na Figura 4.7, estão 
os gráficos de 
2
1
x
y  e 
4
1
x
y  . 
 
 
Figura 4.6 Figura 4.7 
 
 
 
8 
 
Para as potências negativas ímpares (Figura 4.6), os gráficos são simétricos em relação à 
origem, ao passo que as potências negativas pares (Figura 4.7) têm gráficos simétricos em 
relação ao eixo y. Para valores de x maiores que um, o gráfico da função 
4
1
x
y  está 
abaixo do gráfico da função 
2
1
x
y  ; quando x está entre zero e um, ocorre o contrário, ou 
seja, o gráfico da função 
4
1
x
y  está acima do gráfico da função 
2
1
x
y  . 
 
As funções com potências negativas são usadas para modelar diversos fenômenos ou 
situações, como a lei exibida no exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1 
A Lei de Boyle para um gás ideal estabelece uma relação exata entre a pressão p e o 
volume v, dado que a temperatura permaneça constate: kpv  . Imagine, por exemplo, 
uma quantidade fixa de ar no interior do cilindro de um motor. Movimentando-se os 
pistões, o volume de ar diminui e a pressão aumenta ou, reciprocamente, o volume aumenta 
e a pressão diminui. Reescrevendo a Lei de Boyle, temos: 
v
k
p  ou 1 vkp . A relação 
v
k
p  equivale a dizer que p é inversamente proporcional a v. Para valores positivos de k, 
o gráfico da função 
v
k
p  tem a forma ilustrada na Figura 4.8. 
 
Figura 4.8 
 
Essa curva é conhecida como uma hipérbole retangular. Por ser o valor da pressão 
sempre maior do que zero, o gráfico da Figura 4.8 apresenta apenas um ramo dessa 
hipérbole. O eixo vertical é uma assíntota da curva, mostrando que, à medida que o volume 
tende para zero, a pressão tende para infinito; o eixo horizontal também é uma assíntota da 
curva, indicando que, à medida que o volume tende para infinito, a pressão tende para zero. 
Para indicar que o volume tende para infinito, usa-se a notação v (lê-se v tende a 
infinito); para indicar que a pressão tende para zero, escrevemos 0p (lê-se p tende a 
zero). Uma reta é assíntota de uma curva quando a distância entre um ponto móvel da curva 
e essa reta fica cada vez menor; significa dizer que a distância entre um ponto móvel da 
curva e a assíntota tende para zero. 
 
 
9 
 
4.1.4 Potências fracionárias e positivas 
 
Observações feitas por biólogos têm mostrado que o número de espécies 
encontradas em uma ilha varia de acordo com o tamanho da mesma. Sendo A a área da ilha 
e N o número de espécies, tem-se aproximadamente a função 3 AkN  ou 
3/1AkN  , 
onde k é uma constante que depende da região mundial em que se encontra a ilha. 
A fórmula dessa função envolve uma potência fracionária de A, que é a variável 
independente. As funções potências fracionárias são da forma nmxky / ou n mxky  , 
com m e n inteiros, mn  e 0n . Com frequência, restringimos o domínio dessas funções 
para 0x porque raízes em que n é par não estão definidas para 0x . Muitas 
calculadoras não nos permitem elevar um número negativo a uma potência fracionária. 
 
Na Figura 4.9, aparecem os gráficos das funções xy  , 
2/1xy  e 3/1xy  . 
 
 
Figura 4.9 
 
Quando x está entre 0 e 1, o gráfico da função 3/1xy  fica acima de 2/1xy  que, por sua 
vez, fica acima de xy  . A Tabela 4.4 confirma essa observação. 
 
x xy  2/1xy  3/1xy  
0 0 0 0 
0,25 0,25 0,5 
0,49 0,49 0,7 
0,64 0,64 0,8 
0,81 0,81 0,9 
1 1 1 1 
Tabela 4.4 
 
Para 1x , a situação fica invertida: o gráfico da função 3/1xy  fica abaixo de 2/1xy  
que, por sua vez, fica abaixo de xy  . A Tabela 4.5 confirma essa observação. 
 
 
 
 
10 
 
x xy  2/1xy  3/1xy  
1 1 1 1 
25 25 5 
49 49 7 
64 64 8 
81 81 9 
100 100 10 
Tabela 4.5 
 
Na Figura 4.10, estão os gráficos de xy  , 
2xy  e 2/1xy  , com 0x . 
 
 
Figura 4.10 
 
O gráfico de 2xy  cresce cada vez mais depressa quando x aumenta; ele é côncavo 
para cima. Enquanto isso, o gráfico de 2/1xy  cresce cada vez mais devagar e é côncavo 
para baixo. A taxa de crescimento de xy  é sempre a mesma e seu gráfico não tem 
concavidade. Mesmo assim, essas três funções tendem para infinito à medida que x 
aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
4.2 Funções polinomiais 
 
As funções potências podem ser multiplicadas por um escalar e os resultados, 
somados. Por meio dessas duas operações feitas sobre funções potências com expoentes 
naturais – multiplicação por um escalar e adição – obtemos os polinômios ou as funções 
polinomiais da forma 01
2
2
1
1 axaxaxaxay
n
n
n
n 

  , em que n é um número 
natural, chamado grau do polinômio (desde que 0na ). A função linear bxmy  é a 
função polinomial 01 axay  de grau um ou do primeiro grau; a função quadrática 
cbxxay  2 é a função polinomial 01
2
2 axaxay  de grau dois ou do segundo 
grau. 
 
4.2.1 O gráfico de uma função polinomial 
 
A forma do gráfico de uma função polinomial depende do seu grau. Na Figura 4.11 
estão possíveis formas de gráficos de polinômios com na positivo, ou seja, com o 
coeficiente de nx maior do que zero. 
 
 
Figura 4.11 
 
O gráfico de polinômio de grau 2 (à esquerda) só dá uma “volta” ; o de grau 3 dá 
duas “voltas”; o de grau 4, três “voltas” e o de grau 5, quatro “voltas”. De modo geral, o 
gráfico do polinômio de grau n dá, no máximo, )1( n voltas. 
Na Figura 4.12 estão possíveis formas de gráficos de polinômios com na negativo, 
ou seja, com o coeficiente de nx menor do que zero. 
 
 
Figura 4.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
4.2.2 Como encontrar a fórmula de uma função polinomial 
 
 Por meio de exemplos, vamos estudar como fazer para encontrar a fórmula ou a 
equação de uma função polinomial, quando conhecemos seu gráfico ou uma tabela de 
valores. 
 
Exemplo 2 
Encontre uma possível fórmula para o polinômio cujo gráfico está na Figura 4.13. 
 
 
Figura 4.13 
 
As interseções horizontais indicam os zeros da função e sugerem que o polinômio precisa 
ter os fatores )3( x e )3( x . Então, podemos escrever: 
 )3()3()(  xxkxf . 
Para encontrar k, usamos o fato de que o gráfico de f corta o eixo y no ponto de ordenada 5, 
o que nos permite escrever 5)0( f . Assim, temos: 
9
5
)30()30(5  kk . 
Portanto, )3()3(
9
5
)(  xxxf ou, efetuando o produto, 5
9
5
)( 2  xxf . 
 
Outra maneira de resolver o problema é considerar o gráfico como sendo o de uma parábola 
côncava para baixo e cuja equação é do tipo cxaxf  2)( . Os pontos )0,3( , )0,3( e 
)5,0( pertencem ao gráfico de f; daí podermos escrever 0)3( f , 0)3( f e 5)0( f . 
Portanto, temos o sistema de equações: 
9
5
5
05
90






aec
ca
ca
. 
Assim, uma possível fórmula do polinômio é 5
9
5
)( 2  xxf . 
Observe que 5
81
5
)( 4  xxg também satisfaz às condições do problema: seu gráfico tem 
concavidade voltada para baixo e passa pelos pontos )0,3( , )0,3( e )5,0( . Isso nos leva a 
afirmar que o problema tem várias respostas e existem muitas funções polinomiais cujo 
gráfico se assemelha ao apresentado neste exemplo. 
 
 
13 
 
 
Exemplo 3 
Encontre uma possível fórmula para a função polinomial dada pela tabela de valores: 
 
x -3 0 1 2 
)(xf 0 -12 0 0Tabela 4.6 
Na Tabela 4.6, aparecem três zeros da função, fato que sugere como possível 
fórmula para o polinômio: 
 )2()1()3()(  xxxkxf . 
Como )12,0(  é um ponto do gráfico, temos 12)0( f . Em conseqüência, podemos 
escrever: 212)20()10()30(  kk . 
Assim, uma das possíveis fórmulas para esse polinômio é: 
 
)2()1()3(2)(  xxxxf 
 
ou, resolvendo o produto, 
 
12142)( 3  xxxf . 
 
Um esboço do gráfico de f está na Figura 4.14. 
 
 
Figura 4.14 
 
Exemplo 4 
Encontre uma possível fórmula para o polinômio cujo gráfico é apresentado na Figura 4.15. 
. 
 
Figura 4.15 
 
 
14 
 
 
O gráfico se assemelha ao de um polinômio cúbico, ou seja, pode ser o gráfico de 
uma função polinomial de grau três, com zeros em 3x e em 2x . Em 3x , o 
gráfico cruza o eixo horizontal, ao passo que em 2x , o gráfico toca o eixo horizontal, 
mas não o cruza. Dizemos que 3x é um zero simples ou uma raiz simples, enquanto 
2x é um zero de segunda ordem ou uma raiz dupla da função. 
Para encontrar uma fórmula para f, imagine que seu gráfico estivesse um pouco 
mais para baixo, de modo que f tivesse um zero próximo de 3x (em 9,2x , por 
exemplo) e dois zeros perto de 2x (por exemplo, em 9,1x e em 1,2x ). Então, 
poderíamos escrever: )1,2()9,1()9,2()(  xxxkxf . Agora, deslocando o gráfico de f 
para a posição original, o zero 9,2x se desloca para 3x ; o zero 9,1x vai para 
2x e o zero 1,2x também chega em 2x . Assim, podemos escrever: 
 )2()2()3()(  xxxkxf ou 
2)2()3()(  xxkxf . 
Não é possível calcular k porque não foram dadas as coordenadas de outro ponto do 
gráfico de f fora do eixo x. Podemos atribuir a k qualquer valor positivo; com isso, iremos 
alongar ou contrair o gráfico, sem alterar os zeros da função. 
Uma raiz dupla gera um fator repetido na fórmula da função. Observe que, para 
2x , o fator 2)2( x é positivo e, para 2x , o fator 2)2( x ainda é positivo. Isso 
significa que a função f não troca de sinal na vizinhança de 2x . Por outro lado, na 
vizinhança do zero simples, 3x , a função f muda de sinal (no caso, passa de negativa 
para positiva). 
 
4.2.3 A variação de sinal de uma função polinomial 
 
Em diversas situações, interessa-nos saber como é a variação de sinal de uma 
função. Estudar o sinal de uma função é o mesmo do que determinar os valores da variável 
independente para os quais essa função ou a variável dependente é positiva ou negativa; 
merecem atenção também os zeros da função, valores da variável independente nos quais 
podem ocorrer mudanças de sinal da função. 
 
Exemplo 5 
A Figura 4.16 apresenta o gráfico da função f definida por xxy 43  , cuja fórmula pode 
ser reescrita na forma de um produto )2()2(  xxxy . 
 
 
Figura 4.16 
 
 
15 
 
 
O gráfico de f e a forma fatorada indicam que – 2, 0 e 2 são os zeros dessa função. 
Os zeros ou as raízes de f dividem o eixo x em quatro intervalos e, em cada um desses 
intervalos, a função tem o sinal indicado na Tabela 4.7. 
 
 
 -2 0 2 
– + – + 
Tabela 4.7 
 
Nos intervalos em que o gráfico de f está abaixo de eixo x, o sinal de y é negativo 
)( ; nos intervalos em que o gráfico de f está acima do eixo x , o sinal de y é positivo )( . 
Podemos fazer o estudo da variação do sinal de y combinando os sinais dos fatores 
em que se decompõe a função polinomial. Para )2()2(  xxxy , temos a Tabela 4.8. 
 
 2 0 2 
x   + + 
2x  + + + 
2x    + 
)2()2(  xxxy  +  + 
Tabela 4.8 
 
Exemplo 6 
A Figura 4.17 apresenta o gráfico de )1()3()1( 2  xxxy ou, na forma expandida, 
3222)( 234  xxxxxf . 
 
 
Figura 4.17 
Por inspeção do gráfico e da forma fatorada, concluímos que a função f tem dois 
zeros: 1x e 3x . Esses zeros dividem o eixo x em três intervalos e, em cada um deles, 
f tem um sinal, conforme indicado na Tabela 4.9. 
 
 -1 3 
– + – 
Tabela 4.9 
 
 
 
16 
 
Reiterando o que foi dito no Exemplo 6, nos intervalos em que o gráfico de f está 
abaixo do eixo x, o sinal de y é negativo )( ; no intervalo em que o gráfico de f está acima 
do eixo x, o sinal de y é positivo )( . 
 A Tabela 4.10 traz o estudo da variação de sinal de f por meio da combinação de 
sinais dos fatores presentes na lei de definição da função. 
 
 1 3 
12 x + + + 
3 x + +  
1x  + + 
)1()3()1( 2  xxxy  +  
Tabela 4.10 
 
 
 
4.2.4 Fazendo x aumentar arbitrariamente 
 
Outro aspecto que interessa no estudo de funções é saber o que acontece com a 
variável dependente quando a variável independente assume valores cada vez maiores, 
negativos ou positivos. Nos exemplos 6 e 7, abordados a seguir, vamos estar atentos a esses 
fatos. 
 
Exemplo 7 
 
O gráfico de 24)( 3  xxxf está representado na Figura 4.18 juntamente com o gráfico 
de 3)( xxg  . 
 
Figura 4.18 
 
Quando x é numericamente grande, ou seja, quando x está bem para a esquerda ou 
bem para a direita, os gráficos dessas funções ficam cada vez mais próximos. Significa que, 
 
 
17 
 
à medida que os valores de x aumentam, o valor de y no gráfico de f tende a ser igual ao 
valor de y no gráfico de g. 
A fórmula de f pode ser reescrita: )
24
1(.)(
32
3
xx
xxf  ; nessa forma, podemos 
observar que, para grandes valores de x, a expressão entre parênteses está bem perto de 1 e, 
portanto, y está bem perto de 3x . Usando símbolos matemáticos, escrevemos: 
)(
lim
)24(
lim 33 x
x
xx
x 


 
(Lê-se: “limite de 243  xx , quando x tende para mais infinito, é igual a 
limite de 3x , quando x tende para mais infinito”.) 
Essa frase nos diz que, para valores de x numericamente grandes e positivos, podemos 
trocar 24)( 3  xxxf pela função 3)( xxg  . 
De modo semelhante, para valores de x numericamente grandes e negativos, 
podemos trocar 24)( 3  xxxf pela função 3)( xxg  . Usando a sintaxe matemática, 
escrevemos: 
)(
lim
)24(
lim 33 x
x
xx
x 


 
O código )(
lim
xf
x 
 substitui a pergunta: “De que valor se aproxima )(xf quando x se 
torna arbitrariamente grande?”. 
 
Exemplo 8 
Vamos observar os gráficos das funções 4)( xxf  e xxxxxg 652)( 234  , que estão 
nas três figuras a seguir. 
 
 
Figura 4.19a 
 
Na Figura 4.19a, estamos olhando o gráfico bem de perto, os gráficos parecem 
muito diferentes. 
 
 
 
18 
 
 
Figura 4.19b 
 
Quando nos afastamos um pouco, mantendo a mesma janela, os gráficos continuam 
parecendo bastante diferentes. 
 
 
Figura 4.19c 
Entretanto, quando olhamos de longe, Figura 4.19c, esses dois gráficos são muito 
parecidos. Isso acontece porque o termo de maior grau, 4x , domina os demais termos para 
valores grandes de x. 
Na Tabela 4.11 estão os valores das duas funções e as diferenças entre elas para 
20x , 15x , 15x e 20x . 
x – 20 – 15 15 20 
4)( xxf  160 000 50 625 50 625 160 000 
xxxxxg 652)( 234  142 120 42 840 56 160 173 880 
)()( xgxf  17 880 7 785 - 5 535 - 13 880 
Tabela 4.11 
Apesar de as diferenças serem grandes quando vistas na tabela, elas são muito 
pequenas se comparadas à escala vertical ( 410 a 510 ) e, por isso, não podem ser vistas no 
gráfico. 
A observação dos gráficos da Figura 5.9 e dos valores da Tabela 5.6 nos permite 
escrever, usando a simbologia matemática: 
)(lim)652(lim 4234 xxxxx
xx 
 
O símbolo x indica que x tende para valores numericamente muito grandes, positivos 
ou negativos. 
 
 
 
19 
 
Questionário 4 
 
Estude em um livro de Cálculoas funções potências e polinomiais. As questões propostas a 
seguir poderão ajudá-lo a reconhecer essas funções e a lidar com elas nos problemas de 
aplicação apresentados nesta unidade. 
 
1) Qual é a fórmula geral da função potência? 
2) Como é a forma do gráfico de uma função potência? 
3) O que acontece com o valor de 3xy  quando x ? E quando x ? 
4) O que acontece com o valor de 4xy  quando x ? E quando x ? 
5) Qual o domínio da função 2/1xy  ? O que acontece com o valor de 2/1xy  
quando x ? 
6) Suponha que cada gráfico da Figura 4.20 seja um polinômio. 
 
 
 
Figura 4.20 
 
Para cada um dos gráficos, responda: 
a) Qual é o menor grau possível do polinômio? Justifique sua resposta. 
b) O coeficiente da potência mais alta é positivo ou negativo? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Exercícios 4 
 
1) Sendo 3100)(  xxf , determine o valor de 
38
38
1010
)10()10(



 ff
. 
2) A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em 
t
tP
4
30)(  , em milhares 
de pessoas. Determine de quanto aumentará a população durante o quinto ano. 
3) O ponto )4,1(  é o vértice da parábola mkxxy  2 . Determine quanto vale mk  . 
4) Para produzir as x peças que entram na montagem de um automóvel, uma indústria tem 
um custo, em reais, de 50001002)( 2  xxxC . Determine o número de peças que 
devem ser fabricadas para que o custo seja mínimo. 
5) A temperatura de uma estufa, em graus centígrados, é regulada em função do tempo, de 
acordo com a lei f definida por 
2
410)(
2t
ttf  . Determine o valor da temperatura 
máxima que essa estufa pode ter. 
6) Seja a função real definida por .3)( 2 xxxf  Determine para que valores reais de x a 
desigualdade 0)1( xf é verdadeira. 
7) Resolva a inequação: 03613 24  xx . 
8) Determine o domínio da função 
4
1
)(



x
x
xf . 
 
9) Na figura, estão os gráficos de 3xy  e 250xy  . 
 
 
 
a) Identifique cada um dos gráficos. 
b) Qual é o valor de a? 
c) Escreva um texto, comparando essas duas funções. 
 
10) Compare as funções 2100)( xxf  e 31,0)( xxg  . 
 Qual delas é maior quando x ? 
 
11) Esboce os gráficos das funções 3)( xxf  , 440)( xxg  e 51,0)( xxh  . 
Escreva um texto, comparando essas funções. 
 
 
21 
 
12) Os valores de duas funções estão dados na tabela. Uma é da forma 2tay  e a outra é 
da forma 3tby  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Relacione as funções da tabela com as fórmulas. 
b) Determine o valor de a e o valor de b. 
c) Utilizando os valores encontrados no item b, calcule )7,2()2,4( gf  . 
13) De acordo com testes realizados, um carro que está a hkm/112 necessita de 54 
metros para parar. Supondo que a distância, até parar, seja proporcional ao quadrado 
da velocidade, calcule a distância, até parar, de um carro que está a uma velocidade: 
a) De hkm/56 . 
b) De hkm/224 . 
14) Descreva o que acontece com cada função quando x cresce arbitrariamente. Mais 
especificamente: 
Quando  )(, xfx ou )(xf ? Por quê? 
Quando  )(, xfx ou )(xf ? Por quê? 
a) 20703)( 23  xxxf 
b) 1000320)( 234  xxxxf 
c) 205105)( 234  xxxxxf 
d) 654 2125)( xxxxf  
e) 54)( xxxf  
15) Observando os fatores que comparecem na lei de definição da função, esboce o 
gráfico do polinômio, sem uso de meio eletrônico. Depois, confirme ou retifique a sua 
resposta, utilizando uma calculadora ou o computador. 
 
a) )3()1()2()(  xxxxf 
b) )25()4(5)( 22 xxxf  
c) )25()4(5)( 22  xxxf 
d) )25()4(5)( 222  xxxf 
16) Esboce o gráfico de cada função: 
a) 42  xy 
b) 29 xy  
c) 23 xxy  
d) 322  xxy 
t )(tf t )(tg 
2,0 4,40 1,0 3,00 
2,2 5,32 1,2 5,18 
2,4 6,34 1,4 8,23 
2,6 7,44 1,6 12,29 
2,8 8,62 1,8 17,50 
3,0 9,90 2,0 24 
 
 
22 
 
 
17) Encontre uma possível fórmula para cada um dos gráficos a seguir. Para cada função, 
obtenha os intervalos aproximados onde a função é crescente e onde é decrescente. 
 
a) b) 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
18) Encontre o polinômio cúbico representado em cada um dos gráficos a seguir: 
 
 a) b) 
 
 
 
 
 
23 
 
 
19) Transladando o gráfico de 3xy  , encontre a fórmula do polinômio cúbico do gráfico 
da figura. 
 
 
20) Esboce um possível gráfico de uma função definida para 0x e que tenha as 
seguintes propriedades: 
a) 2)0( f 
b) )(xf é crescente para 10  x 
c) )(xf é decrescente para 31  x 
d) )(xf é crescente para 3x 
e) 5)( xf quando x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Capítulo 5 – Funções racionais 
 
Introdução 
 
Começamos este capítulo com o estudo do comportamento de funções racionais. 
Poderemos notar que, muitas vezes, fica mais fácil esboçar o gráfico de funções quando, 
em vez de fazer uma tabela, observarmos alguns aspectos qualitativos da função. Entre 
esses aspectos qualitativos, ocupam lugar de destaque os que se referem ao comportamento 
da função para valores próximos dos zeros do denominador e os que indicam o que 
acontece com a função quando a variável independente assume valores numericamente 
muito grandes. 
A seguir, estudaremos como podemos obter novas funções a partir de uma função 
dada. Esse processo serve para abordar problemas que envolvem o deslocamento horizontal 
ou o deslocamento vertical de uma função, quando seu gráfico esta representado em um 
sistema de coordenadas cartesianas. 
5.1 Funções racionais 
 
As funções racionais resultam da divisão de polinômios e podem ser escritas na 
forma 
)(
)(
)(
xq
xp
xf  , com 0)( xq . Elas têm certa semelhança com os números racionais, 
números da forma 
q
p
x  , em que p e q são números inteiros, com 0q . Em ambos os 
casos, é preciso fazer a ressalva de que o denominador é diferente de zero, porque zero não 
pode ser divisor. 
 
5.1.1 Assíntotas do gráfico de uma função 
 
A palavra assíntota vem do grego e significa “que não pode coincidir”. Uma reta s 
chama-se assíntota de uma curva C quando a distância entre a reta s e um ponto que se 
move sobre a curva C se aproxima de zero. Na Figura 5.1, estão retas que são assíntotas das 
curvas dadas. 
 
 
Figura 5.1 
 
 
 
25 
 
Frequentemente, o gráfico de uma função racional apresenta assíntotas verticais, 
assíntotas horizontais ou assíntotas oblíquas. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de 
x que anulam o denominador. As assíntotas horizontais ocorrem quando f se aproxima de 
um determinado valor numérico à medida que x tende para um número arbitrariamente 
grande, positivo ou negativo. As assíntotas oblíquas ocorrem quando a diferença entre o 
grau do numerador e o grau do denominador, nessa ordem, for igual a um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como saber se existe assíntota horizontal? 
 
Se o gráfico de uma função y f (x) se aproxima de uma reta horizontal y c quando 
x assume valores muito grandes, positivos ou negativos, dizemos que a reta y c é 
uma assíntota horizontal. 
 
Em linguagem matemática, escrevemos: 
Se f (x) c, quando x ou f (x) c, quando x ,
então y c é uma assíntota horizontal.
   

 
 
Outro modo de escrever é: 
x x
Se lim f (x) c ou lim f (x) c, então y c
 
   é uma assíntota horizontal. 
Como saber se existe assíntota vertical? 
Se o gráfico de uma função y f (x) se aproxima de uma reta vertical x d quando x 
assume valores muito próximos de d , pela direita ou pela esquerda, dizemos que a reta 
x d é uma assíntota vertical. 
 
Emlinguagem matemática, escrevemos: 
Se f (x) ou f (x) , quando x d ou x d ,
então x d é uma assíntota vertical.
    

 
 
Outro modo de escrever é: 
x d x d
Se lim f (x) d ou lim f (x) d, então x d
  
   é uma assíntota vertical. 
 
 
26 
 
5.1.2 – Estudo do comportamento de funções racionais 
 
Na sequência, analisamos o comportamento de funções racionais, por meio de exemplos. 
 
 
Exemplo 1 
A Figura 5.2 apresenta o gráfico da função racional 
4
9
)(
2
2



x
x
xf . O gráfico da função 
tem três ramos: um está à esquerda da reta 2x e abaixo da reta 1y ; outro está à 
direita da reta 2x e abaixo da reta 1y ; o terceiro desses ramos está entre as retas 
2x e 2x , é côncavo para cima e seu ponto mais baixo é )
4
9
,0( . O domínio da 
função é  2,2D e a variação é     ,4/91,Im . À esquerda de zero, a 
função é decrescente e, à direita de zero, a função é crescente. 
 
 
Figura 5.2 
a) A equação da função na forma de produto, 
)2()2(
)3()3(
4
9
)(
2
2






xx
xx
x
x
xf , nos 
possibilita verificar que o denominador se anula para 2x e para 2x . 
 
Os zeros do denominador sugerem a existência de assíntotas verticais. No gráfico, 
podemos observar que, quando x se aproxima de – 2 pela esquerda (ou por valores 
menores do que – 2), o valor de f vai se tornando cada vez maior e negativo. Usando 
símbolos matemáticos, escrevemos: 



 4
9
lim
2
2
2 x
x
x
 
De modo análogo, quando x se aproxima de – 2 por valores maiores do que – 2 (ou 
pela direita de – 2), o valor de f vai se tornando cada vez maior e positivo. Usando a 
sintaxe matemática, escrevemos: 



 4
9
lim
2
2
2 x
x
x
. 
 Esse comportamento da função para valores muito próximos de – 2 indica que a reta 
 2x é uma assíntota vertical do gráfico de f. 
 
 
27 
 
 
Também a reta 2x é uma assíntota vertical do gráfico de f, conforme podemos 
constatar na Figura 5.2 e por meio dos limites: 



 4
9
lim
2
2
2 x
x
x
 e 


 4
9
lim
2
2
2 x
x
x
 
Considerar o comportamento de f , quando x se aproxima de – 2 ou de 2, mostrando 
que as retas 2x e 2x são assíntotas verticais, é de grande valia para o 
traçado de um esboço do gráfico da função. 
 
b) Para ver o que acontece quando x assume valores grandes, positivos ou negativos, 
vamos observar a Tabela 5.1: 
 
 
x 
4
9
)(
2
2



x
x
xf 
10 0,94895 
100 0,99949 
1000 0,99999 
Tabela 5.1 
 
À medida que x assume valores grandes, negativos ou positivos, y se aproxima de 1. 
Para indicar que, quando x tende para valores numericamente grandes e negativos, a 
função 
4
9
)(
2
2



x
x
xf se aproxima arbitrariamente da reta 1y , escrevemos: 
1
4
9lim
2
2



 x
x
x
. 
 
De modo análogo, quando x tende para valores numericamente grandes e positivos, 
a função 
4
9
)(
2
2



x
x
xf se aproxima arbitrariamente da reta 1y . Usando a 
notação de limite, escrevemos: 
 1
4
9
lim
2
2



 x
x
x
 
 No cálculo desses limites, levamos em consideração que o numerador e o 
denominador são funções polinomiais; nesse caso, quando x , somente as 
potências mais altas realmente importam. Assim, podemos escrever: 
1lim
4
9
lim)(lim
2
2
2
2




 x
x
x
x
xf
xxx
 
 
O comportamento de f , quando x se torna arbitrariamente grande, indica que a reta 
1y é assíntota horizontal do gráfico dessa função, aspecto que nos permite fazer 
um esboço do gráfico sem recorrer a tabelas de valores. 
 
 
 
28 
 
c) Os zeros do numerador dão origem às interseções com o eixo horizontal. Fazendo 
092 x , obtemos os zeros do numerador: 3x ou 3x . Então, os pontos 
)0,3( e )0,3( são as interseções do gráfico de f com o eixo x. 
Ao fazer 0x , temos: 
4
9
)0(
40
90
)0(
2
2



 ff ; assim, o ponto 





4
9
,0 é a 
interseção do gráfico de f com o eixo vertical. 
 
d) Para valores de x maiores do que 2 ou para valores de x menores do que – 2, o 
gráfico de f fica sempre abaixo de 1y . Algebricamente, podemos mostrar isso 
fazendo 1)( xf , ou seja, resolvendo a desigualdade 1
4
9
2
2



x
x
. 
 
220
4
5
0
4
49
01
4
9
1
4
9
22
22
2
2
2
2












xoux
xx
xx
x
x
x
x
 
Para 22  x , o gráfico da função f está acima de 
4
9
y , o que podemos mostrar 
resolvendo a desigualdade 
4
9
4
9
2
2



x
x
. 
 
Exemplo 2 
 
Vamos estudar, neste exemplo, as assíntotas do gráfico da função
2
1
)(
2



x
xx
xf , que 
está apresentado na Figura 5.3. 
 
 
Figura 5.3 
 
A fórmula da função pode ser reescrita na forma 
2
1
)1(
2
1
)(
2





x
x
x
xx
xf , 
obtida por meio da divisão do numerador pelo denominador da função racional. O que está 
entre parênteses indica que a reta 1 xy é uma assíntota oblíqua do gráfico de f. Tal 
aspecto pode ser constatado algebricamente; para isso, basta considerar que, quando x 
 
 
29 
 
assume valores arbitrariamente grandes, negativos ou positivos, o termo 
2
1
x
 tende para 
zero, ou seja, que 0
2
1
lim 
 xx
; assim, a distância entre o gráfico de f e a reta 1 xy se 
aproxima arbitrariamente de zero. 
 O denominador 2x se anula para 2x , o que sugere a existência de uma 
assíntota vertical. Usando a notação de limite, podemos escrever: 








 
1124
2
1
lim
2
2 x
xx
x
 e 







 
1124
2
1
lim
2
2 x
xx
x
 
Nesses limites,  indica um número negativo arbitrariamente próximo de zero, enquanto 
 indica um número positivo tão próximo de zero quanto se queira. Esses limites 
mostram que a reta 2x é uma assíntota vertical do gráfico de f. 
 
 
Exemplo 3 
Na Figura 5.4 está o gráfico da função 
1
3
)(
2
2



x
xx
xf . 
 
 
Figura 5.4 
 
A análise do gráfico nos permite afirmar que a reta 1y é uma assíntota do gráfico 
da função f. Também podemos verificar isso algebricamente por meio do limite: 
 
1
1
1
limlim
1
3
lim
2
2
2
2



 xxx x
x
x
xx
 
 
O denominador dessa função racional não tem zeros, o que faz com que não existam 
assíntotas verticais. A função tem como raízes 3x e 0x ; é negativa no intervalo 
 0,3 e positiva quando x está no intervalo  3, ou em  ,0 . 
 
 
 
 
 
 
30 
 
5.2 Novas funções obtidas a partir de outras funções 
 
Na função linear xy  , a variável independente está elevada à potência um, 1xx  . 
Se multiplicarmos x pelo parâmetro m, obteremos a função xmy  ; se, na mesma função, 
trocarmos x por bx  , obteremos a função bxy  . De modo geral, podemos perceber a 
função bxmy  como uma nova função obtida por meio de uma seqüência de operações 
sobre a função xy  . Assim, por exemplo, a função 83  xy pode ser vista como 
resultante de operações sobre xy  : 
1) Multiplicando x por 3, temos xy 31  . 
2) Somando ( – 8 ) a 3x, temos 832  xy . 
 
No gráfico, essas operações assumem o aspecto de movimentos feitos com a função 
xy  , conforme apresentado na Figura 5.5. 
 
 
Figura 5.5 
 
Na função 2xy  , a variável independente está elevada à potência dois. Ao 
multiplicar 2x pelo parâmetro m, obteremos a função 2xmy  ; se trocarmos x por nx  , 
obteremos a nova função 2)( nxy  ou 22 2 nnxxy  . De modo geral, podemos 
enxergar a função cbxaxy  2 como uma nova função obtida por meio de uma 
seqüência de operações sobre 2xy  . Assim, por exemplo, a função 263 2  xxy pode 
ser vista como resultante de operações sobre 2xy  : 
1) Multiplicando 2x por 3, temos 21 3xy  . 
2) Trocando x por 1x , temos 22 )1(3  xy , ou seja, 363
2
2  xxy . 
3) Somando (– 1) a 2)1(3 x , temos 1)1(3 23  xy ou 263
2
3  xxy . 
Na Figura 5.6, aparecemessas operações como movimentos feitos com o gráfico da 
função 2xy  . 
 
 
Figura 5.6 
 
 
31 
 
 
Em geral, multiplicar uma função por uma constante expande ou contrai seu gráfico 
verticalmente. Podemos verificar isso comparando os gráficos de 2xy  , 23xy  e 
2
3
1
xy  , representados, nessa ordem, na Figura 5.7. 
 
 
 
Figura 5.7 
 
Um sinal negativo realiza uma reflexão do gráfico em torno do eixo x. Um exemplo 
desse movimento está na Figura 5.8, onde aparecem os gráficos de xxy 22  e 
)2( 2 xxy  . 
 
 
Figura 5.8 
 
Substituir x por ax  translada o gráfico para a direita, em a unidades (ou para a 
esquerda se a for negativo). Na Figura 5.9 estão, respectivamente, os gráficos das funções 
xy  , 2 xy e 2 xy . 
 
 
Figura 5.9 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Substituir y por by  translada o gráfico para cima, em b unidades (ou para baixo, 
se b for negativo). O efeito dessa troca pode ser visto na Figura 5.10 onde estão os gráficos 
das funções xxy  3 , xxy  32 e xxy  32 . 
 
 
Figura 5.10 
 
 
Questionário 5 
 
1) Comece plotando o gráfico da função xxxf 2)( 2  e, a seguir, sem plotar os 
pontos, esboce o gráfico de )1( xf , )(3 xf e 2)( xf . 
2) Como o gráfico de xxy 32  está relacionado com o gráfico de 432  xxy ? 
3) Que relação existe entre o gráfico de 1 xy e o gráfico de 12  xy ? 
4) Explique como se pode obter, a partir do gráfico de )(xfy  , o gráfico de: 
a) )(xfy  b) )5( xfy  c) )3(  xfy d) 3)(2  xfy 
 
5) Com o auxílio de um software, faça as experiências descritas a seguir: 
a) Comece plotando o gráfico da função xxxf 2)( 2  . Na mesma tela, esboce os 
gráficos de )1( xf , )(3 xf e 2)( xf . 
b) Relacione o gráfico de xxy 32  com o gráfico de 432  xxy . 
c) Relacione o gráfico de 1 xy e o gráfico de 12  xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Exercícios 5 
 
1) Para cada função racional, encontre as assíntotas, o comportamento da função quando 
x e o comportamento da função na vizinhança de qualquer assíntota vertical. 
Utilize essas informações para esboçar um gráfico. Verifique sua resposta, olhando 
para o gráfico obtido em um computador ou em uma calculadora que plote gráficos. 
 
b) 
1 4x
y
2x 1



 
c) 
4
12
2
2



x
xx
y 
d) 
8
1123
3
23



x
xx
y 
e) 
2
1 2



x
x
y 
 
2) Na figura, está o gráfico de uma função racional 
)(
)(
)(
xh
xg
xf  , sendo que g e h são 
ambas funções quadráticas. Obtenha possíveis fórmulas para )(xg e )(xh . 
 
 
Figura 5.11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Capítulo 6: Limite e continuidade de uma função 
Introdução 
 
Em estudos anteriores, utilizamos a ideia de limite para analisar alguns aspectos de 
funções. Respondemos às perguntas: a) O que ocorre com uma função quando x tende para 
um número arbitrariamente grande? b) Para que valor tende uma função, à medida que x se 
aproxima de um zero do denominador? 
Neste capítulo, vamos tratar do limite de uma função de modo mais detalhado. A 
ideia de limite serve de fundamento para o Cálculo Diferencial e Integral, ramo da 
Matemática que trata de derivadas e integrais. Aproveitaremos o conceito de limite para 
definir o que significa dizer que uma função é contínua, uma vez que em estudos 
posteriores trabalharemos com funções contínuas. 
 
6.1 Limite de uma função 
Começamos analisando a função racional 
2x 4
f (x)
x 2



. Essa função não está definida 
para x 2 ; para x 2 , seus valores podem ser obtidos mais facilmente por meio da 
expressão simplificada: 
2 (x 2)(x 2)x 4
f (x) x 2
x 2 x 2
 
   
 
. 
A Tabela 6.1 mostra que, para valores de x próximos de 2, 
2x 4
f (x)
x 2



 assume os 
mesmos valores de g(x) x 2  que, por sua vez, fica tão próximo de 4 quanto quisermos. 
 
 x 2x 4
f (x)
x 2



 
 
g(x) x 2  
 
 
1,900000 3,900000 3,900000 
1,990000 3,990000 3,990000 
1,999000 3,999000 3,999000 
1,999900 4,000000 4,000000 
 2,000000 Não existe. 4,000000 
 
 
2,000100 4,000000 4,000000 
2,001000 4,001000 4,001000 
2,010000 4,010000 4,010000 
2,100000 4,410000 4,410000 
Tabela 6.1 
 
 
 
 
35 
 
À medida que x se aproxima de 2, as funções f e g se aproximam de 4. Em símbolos 
matemáticos, escrevemos: 
2
x 2 x 2
x 4
lim lim(x 2) 4
x 2 

  

. 
(Lê-se: “limite de 
2x 4
x 2


 quando x tende a 2 é igual ao limite de x 2 quando x tende a - 
2...”) 
 
O limite nada nos diz sobre o que acontece com y quando x é igual a 2. De fato, para 
x 2 , teríamos 
22 4 0
y f (2)
2 2 0

  

, o que não tem sentido. Com o conceito de limite, 
evitamos esse problema. 
Na Figura 6.1 estão os gráficos das funções 
2x 4
f (x)
x 2



 e 2)(  xxg . Essas 
duas funções têm o mesmo comportamento para todos os valores de x, exceto para x 2 , 
valor para o qual f não existe, enquanto que g(2) 4 . Esse fato nos permite trocar a função 
f pela função g quando estivermos lidando com limites. 
 
 
 
Figura 6.1 
 
 
 
36 
 
Ao escrevermos )(lim
2
xf
x 
, queremos determinar o número do qual )(xf se 
aproxima quando x se aproxima de 2 por ambos os lados. Para isso, examinamos os valores 
de )(xf quando x tende a 2 por valores maiores do que 2 (como 2,1; 2,01; 2,001) e por 
valores menores do que 2 (como 1,009; 1,099; 1,999). Se )(xf se aproxima do mesmo 
número quando x se aproxima de 2, tanto pela direita quanto pela esquerda, então esse 
número é chamado de limite da função f quando x tende para 2. Quase sempre o limite à 
esquerda é igual ao limite à direita; se esses limites não forem iguais, dizemos que o limite 
não existe. 
 
Chamamos 
2
x 2
x 4
lim 4
x 2



 de limite lateral à direta e 
2
x 2
x 4
lim 4
x 2



 de limite 
lateral à esquerda. Quando escrevemos 
2
x 2
x 4
lim 4
x 2



, estamos garantindo que 
2 2
x 2 x 2
x 4 x 4
lim lim 4
x 2 x 2  
 
 
 
. 
Em geral, dizer que Lxf
ax


)(lim significa afirmar que os limites laterais )(lim xf
ax 
 
e )(lim xf
ax 
 existem e são iguais: 
x a x a x a
limf (x) L lim f (x) lim f (x) L
   
    
 
6.1.1 Usando um código matemático 
 
Em Matemática, costumamos usar símbolos ou códigos para indicar operadores e, 
em geral um operador substitui uma pergunta. Assim, por exemplo, na frase 81 9 , o 
operador , aplicado sobre o número 81, substitui a pergunta “qual é o número cujo 
quadrado é 81?”. A resposta a essa pergunta é o resultado da operação realizada. Para 
81 9 , é o operador que manda achar a raiz quadrada, 81 é o radicando porque está 
sujeito à radiação e 9 é a raiz quadrada. 
Na frase 
2
x 2
x 4
lim 4
x 2



, o operador 
x 2
lim

, aplicado sobre a função 
2x 4
f (x)
x 2



, 
substitui a pergunta “de que valor se aproxima a razão 
2x 4
x 2


 quando x fica bem próximo 
de 2?”. A resposta a essa pergunta é o resultado da operação realizada. Para 
2
x 2
x 4
lim 4
x 2



, 
x 2
lim

é o operador que manda procurar o que acontece com a função quando x se aproxima 
arbitrariamente de 2, a razão 
2x 4
x 2


é a lei que define a função investigada e 4 é o limite. 
Generalizando, aA frase 
x a
limf (x) L

 significa que )(xf pode ficar tão próximo do 
número L quanto desejarmos, bastando escolher x suficientemente próximo de a. Se não 
existir um número L com essa propriedade, dizemos que )(xf não tem limite quando x 
 
 
37 
 
tende para a, ou que o 
x a
lim f (x)

 não existe. Outra notação usual é Lxf )( quando 
ax  . (Lê-se “ )(xf tende a L quando x tende a a”.) 
 
Ao pensar na frase 
x a
limf (x) L

 , que é equivalente à frase Lxf )( quando 
ax  , é essencial entender que não importa o que acontece com )(xf quando x é igual a 
a; o que interessa é o comportamento ou a tendênciade )(xf para x perto de a. 
 
É possível investigar o limite de uma função em qualquer ponto que escolhermos. 
Assim, por exemplo, 2
x 3
lim x

 é igual a 9 porque podemos fazer com que 2x fique tão 
próximo de 9 quanto quisermos, bastando considerar valores de x suficientemente próximos 
de 3. Ao atribuirmos a x valores cada vez mais próximos de 3, 2x vai ficando cada vez 
mais próximo de 9, conforme evidenciado nas igualdades: 
41,89,2 2  ; 9401,899,2 2  ; 994001,8999,2 2  ; 
61,91,3 2  ; 0601,901,3 2  ; 006001,9001,3 2  . 
 
Já que o limite não pergunta o que acontece quando 3x , não basta colocar o 3 no 
lugar de x para encontrar a resposta. O limite mede o comportamento da função nas 
proximidades de um ponto e não no ponto. 
Nem sempre é fácil investigar o que ocorre com )(xfy  quando x se aproxima de 
certo número. Seja, por exemplo, calcular de que valor se aproxima 
x
x
y
sen
 quando x se 
aproxima de zero, ou, usando a sintaxe matemática, calcular 
x
x
x
sen
lim
0
. Observe que, ao 
substituir x por zero, encontramos 
0
0
, ou seja, a expressão fica indeterminada, de modo que 
precisamos pesquisar isso de outra maneira. Podemos fazer uma tabela numérica, usando 
valores próximos de zero, e observar qual a tendência de y; em outros termos, observar para 
que valor tende y quando x tende para zero. É necessário fazer essa investigação usando 
valores de x à esquerda e à direita de zero. 
 
Outra maneira de investigar esse limite é traçar o gráfico da função com uma 
calculadora ou outro aplicativo computacional e analisar o que ocorre com y quando x se 
aproxima de zero. A Figura 6.2 apresenta o gráfico da função 
x
x
y
sen
 e nos mostra que, à 
medida que x se aproxima de zero, 
x
x
y
sen
 fica cada vez mais próximo de 1. Daí 
podermos dizer que 
x 0
sen x
lim 1
x
 . 
 
 
38 
 
 
Figura 6.2 
 
6.1.2 Cálculo de limites e gráficos 
 
Os exemplos que vêm a seguir sugerem a maneira de calcular limites algebricamente e 
apresentam o gráfico da situação estudada. É desejável que você estude esses exemplos e 
use um aplicativo computacional para fazer os respectivos gráficos. 
 
Exemplo 1 
Calcular os limites: a) 
2
52
lim
3 

 x
x
x
; b)
2
4
lim
4 

 x
x
x
; c) 
2811
56
lim
2
2
7 


 xx
xx
x
. 
Solução 
a) A função 
2
52
)(



x
x
xf é racional e está definida para 3x . Assim, não 
precisamos trocar a função e podemos escrever: 
5
1
23
56
2
52
lim
3






 x
x
x
. 
O gráfico da função 
2
52
)(



x
x
xf está na Figura 6.3. 
 
 
Figura 6.3 
 
 
 
39 
 
 
b) Ao substituir x por 4 na função 
2
4
)(



x
x
xg , encontramos 
0
0
, que não tem 
significado. Então, trocamos essa função por outra que se comporte como a função 
g para valores de x próximos de 4: 
4)2(lim
2
)2()2(
lim
2
4
lim
444







x
x
xx
x
x
xxx
. 
 Na Figura 6.4 está o gráfico da função 
2
4
)(



x
x
xg . 
 
 
Figura 6.4 
 
 
c) Também, na função 
2811
56
)(
2
2



xx
xx
xh , representada na Figura 6.5, ao fazer 
7x , encontramos 
0
0
, sinal de que h não está definida em 7x . Fazendo uma 
troca de funções, temos: 
5
3
15
4
8
lim
)4()7(
)8()7(
lim
2811
56
lim
772
2
7










 x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
 
 
 
 
40 
 
 
Figura 6.5 
 
 
 
Exemplo 2 
Calcular os limites: a) 
x 0
x
lim
x
; b)
x 1
2
lim
x 1 
; c) 
2x 0
1
lim
x
 . 
 
Solução 
 
a) A função 
x
x
y  pode ser redefinida: 






01
01
xse
xse
x
x
y . 
 Assim, podemos calcular os limites laterais: 
1limlim
00

  x
x
x
x
xx
 e 1limlim
00



  x
x
x
x
xx
. 
Como os limites laterais são diferentes, não existe 
x
x
x 0
lim

. 
Podemos observar esses limites no gráfico de
x
x
y  , apresentado na Figura 6.6. 
 
Figura 6.6 
 
 
 
41 
 
b) Na função 
1
2


x
y , representada na Figura 6.7, temos: 

 1
2
lim
1 xx
 e 
 1
2
lim
1 xx
. 
Os limites laterais se tornam arbitrariamente grandes quando x tende a 1; então, 
1
2
lim
1  xx
 não existe. 
 
 
Figura 6.7 
c) Na função 
2
1
x
y  , temos: 
 20
1
lim
xx
. A função torna-se arbitrariamente grande 
 quando x tende a 0 e o limite não existe. 
 O gráfico da função 
2
1
x
y  está na Figura 6.8. 
 
 
Figura 6.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
6.2 Continuidade de uma função 
 
No linguajar do dia a dia, um processo contínuo é aquele que ocorre sem falhas ou 
interrupções ou mudanças repentinas, como, por exemplo, o crescimento de uma planta, o 
fluxo das águas de um rio ou o aumento do volume de um balão que está sendo inflado. 
Numericamente, uma função é contínua se valores da variável independente, próximos 
entre si, geram valores da variável dependente tão próximos um do outro quanto 
desejarmos. Graficamente, uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta furos e 
nem quebras ou saltos. 
Com a ideia de limite, podemos definir com maior precisão o que significa dizer que 
)(xfy  é contínua em ax  . Suponha que )(xfy  seja contínua em algum intervalo e 
que ax  esteja nesse intervalo. Então, se x está próximo de a, sabemos que )(xf está 
próximo de )(af ; quanto mais x se aproxima de a, mais )(xf se aproxima de )(af . 
Assim, quando ax  , )()( afxf  . 
É essa aproximação ou essa tendência que usamos ao investigar, por exemplo, 
)3(lim 2
5
xx
x


. Para calcular )3(lim
2
5
xx
x


, podemos substituir x por 5 e escrever: 
105.35)3(lim 22
5


xx
x
. 
Isso se deve ao fato de a função xxy 32  ser contínua em 5x e, como consequência, 
)5()(lim
5
fxf
x


. 
Usando essa ideia, definimos continuidade de uma função em um ponto e, também 
o que é uma função contínua em um intervalo: 
 
 Uma função )(xfy  é contínua em ax  se )()(lim afxf
ax


. 
 Uma função )(xfy  é contínua em um intervalo I se for contínua em cada 
valor de x desse intervalo. 
 
A definição dada aqui nos diz o que significa uma função ser contínua em um ponto 
de seu domínio. Dizemos que uma função é contínua se ela é contínua em cada ponto de 
seu domínio. Com freqüência essas funções são descritas como aquelas cujos gráficos 
podem ser desenhados sem tirar o lápis do papel. As funções polinomiais e as funções 
racionais estudadas anteriormente são exemplos de funções contínuas em seus respectivos 
domínios. 
 
6.2.1 Verificando a continuidade de funções 
 
Para verificar se uma função é contínua em algum ponto ax  , precisamos 
investigar se a igualdade )()(lim afxf
ax


é verdadeira. Para que isso aconteça, é necessário 
que exista tanto o primeiro membro dessa igualdade, ( )f a , quanto o segundo, lim ( )
x a
f x , e 
que ambos sejam iguais, ou seja, )()(lim afxf
ax


. Nos exemplos que estão a seguir, 
estudamos a continuidade de uma função. 
 
 
 
43 
 
Exemplo 3 
 
Examine cada um dos gráficos e decida se a função correspondente é contínua em x = 0. 
 
Figura 6.9 
Solução 
 
De acordo com os gráficos apresentados na Figura 6.9, podemos concluir que a função do 
item (a) é contínua no ponto 0x porque f (0) 1 e 
x 0
lim f (x) 1

 . Todas as outras são 
descontínuas em 0x , conforme justificado a seguir: 
 a função do item (b) não é contínua em 0x porque não existe f (0) ; 
 a do item (c) não é contínua em 0x porque f (0) 2 , 
x 0
lim f (x) 1

 e, portanto, 
x 0
lim f (x) f (0)

 ; 
 a função do item (d) não é contínua em 0x porque não existe o limite 
x 0
lim f (x)

, 
uma vez que os limites laterais são diferentes, 
x 0
lim f (x) 1

 e 
x 0
lim f (x) 0

 f (0) ; 
 a função do item (e) não é contínua em 0x porque não existe f (0) ; 
 a função do item (f) não é contínua em 0x porque não existe f (0) . 
 
Exemplo 4 
 
Em cada item, verifiquese a função é contínua no ponto considerado. 
 
3 2a) y x 3x 7x 5; x 2.     
3
2
x 3x 5
b)f (x) ; x 0.
x 2x 3
 
 
 
 2c)g(x) 9 x ; x 4   . 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Solução 
 
a) A função 3 2y x 3x 7x 5    é polinomial, sendo contínua em todo seu domínio, o 
conjunto dos reais. Portanto, essa função é contínua em x 2 . 
b) A função 
3
2
x 3x 5
f (x)
x 2x 3
 

 
é uma função racional, sendo contínua em todo seu 
domínio, o conjunto  D 1, 3   . Portanto essa função é contínua em x 0 . 
c) A função 2g(x) 9 x  não é contínua em x 4 porque não existe g(4) . 
 
 
Exemplo 5 
 
Em cada item, verifique o que acontece com a função quando x se torna arbitrariamente 
grande em valor absoluto. 
a) 3 2f (x) x 7x 2x 1    
b) 
5x 3
g(x)
2x 7



 
c) 
2
3 2
4x 2x 5
h(x)
x 7x 2x 1
 

  
 
d) 
3 2
2
x 3x 2x
i(x)
3x 7x 9
 

 
 
 
Solução 
 
a) Nas funções polinomiais, quando x se torna arbitrariamente grande, o termo de 
maior grau prevalece sobre os demais. Nesse caso, o comportamento do polinômio é 
praticamente igual ao comportamento do termo de maior grau. Assim, para o item 
(a), podemos escrever: 
323 lim)127(lim xxxx
xx 
 = 
A notação x  indica que x pode assumir valores, positivos ou negativos, 
arbitrariamente grandes em módulo. 
 
 
 
 
 
b) Para as funções racionais, podemos usar a mesma ideia usada no item (a). Assim, 
podemos escrever: 
x x x
5x 3 5x 5
lim g(x) lim lim
2x 7 2x 2  

  

. 
c) De modo análogo, para a função 
2
3 2
4x 2x 5
h(x)
x 7x 2x 1
 

  
, temos: 
 
 
45 
 
 
0
4
lim
4
lim
127
524
lim
3
2
23
2



 xx
x
xxx
xx
xxx
. 
d) Finalmente, no cálculo do limite da função 
3 2
2
x 3x 2x
i(x)
3x 7x 9
 

 
, com x assumindo 
valores arbitrariamente grandes, escrevemos: 
 
3 2 3
2 2x x x x
x 3x 2x x x
limi(x) lim lim lim
3x 7x 9 3x 3   
 
    
 
 
 
Exemplo 5 
 
Verifique se a função xy  é contínua em .0x 
 
Solução 
 
Consideremos os limites laterais: 
0limlim
00

 
xx
xx
 e 0)(limlim
00

 
xx
xx
 
Então, 0lim
0


x
x
. Além disso, .0)0( f Como )0(lim
0
fx
x


, a função xy  é contínua 
em .0x A Figura 6.10 apresenta o gráfico de xy  . 
 
 
Figura 6.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Questionário 6 
 
Ao estudar seu livro de cálculo, você encontrará aplicações dos conceitos de limite e de 
continuidade. As questões a seguir podem ajudá-lo nessa tarefa. 
 
1) Explique com suas palavras o significado da equação 5)(lim
2


xf
x
. 
É possível, diante da equação acima, que se tenha 5)2( f ? Explique. 
 
2) Explique com suas palavras o significado de cada uma das equações: 
3)(lim
1


xf
x
 e 7)(lim
1


xf
x
. 
 Nessa situação, é possível que exista )(lim
1
xf
x
? Explique. 
3) Explique com suas palavras o significado de cada uma das frases: 


)(lim xf
ax
, bxf
x


)(lim e 

)(lim xf
x
 
4) Escreva uma frase usando símbolos matemáticos que expresse o fato de que uma 
função f é contínua no número 4. Dê um exemplo. 
5) Se f é contínua em   , , o que você pode dizer a respeito de seu gráfico? Dê 
um exemplo. 
 
 
Exercícios 6 
 
1) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 0
limf (x)

 
b) 
x 3
lim f (x)

 
c) 
x 3
lim f (x)

 
d) 
x 3
limf (x)

 
e) f (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
2) Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 1
limf (x)

 
b) 
x 3
lim f (x)

 
c) 
x 3
lim f (x)

 
d) 
x 3
limf (x)

 
e) f (3) 
f) 
x 2
lim f (x)

 
g) 
x 2
lim f (x)

 
h) 
x 2
lim f (x)

 
i) f ( 2) 
 
3) Para a função g cujo gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela 
existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 2
lim g(x)

 
b) 
x 2
lim g(x)

 
c) 
x 2
lim g(x)

 
d) g( 2) 
e) 
x 2
lim g(x)

 
f) 
x 2
lim g(x)

 
g) 
x 2
limg(x)

 
h) g(2) 
i) 
x 4
lim g(x)

 
j) 
x 4
lim g(x)

 
k) g(0) 
l) 
x 0
limg(x)

 
 
 
 
48 
 
4) Determine, a partir do gráfico dado, o valor do limite. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
a) 
x 3
limf (x)

 
b) 
x 1
limf (x)

 
c) 
x 3
lim f (x)

 
d) 
x 2
lim f (x)

 
e) 
x 2
lim f (x)

 
f) 
x 2
lim f (x)

 
 
5) Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as seguintes condições: 
a) 
x 0
lim f (x) 1

 
b) 
x 0
lim f (x) 1

  
c) 
x 2
lim f (x) 0

 
d) 
x 2
lim f (x) 1

 
e) f (2) 1 
f) f (0) não está definida 
 
6) Os gráficos de f e de g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o 
limite, explique por quê. 
 
 
 
a)  
x 2
lim f (x) g(x)

 
b)  
x 1
lim f (x) g(x)

 
c)  
x 0
lim f (x).g(x)

 
d) 
x 1
f (x)
lim
g(x)
 
e) 
3
x 2
lim x .f (x)

 
f) 
x 1
lim 3 f (x)

 
 
 
 
 
 
49 
 
7) Determine os limites: 
 
a) 
x 5
6
lim
x 5 
 b) 
2x 0
x 1
lim
x (x 2)


 
 
8) Calcule o limite, se existir: 
 
a) 
2
x 3
x x 12
lim
x 3
 

 
b) 
2
2x 1
x x 2
lim
x 3x 2
 
 
 
c) 
3
2x 1
x 1
lim
x 1


 
 
d) 
x 0
2 x 2
lim
x
 
 
e) 
2
x 9
x 81
lim
x 3


 
f) 
2
x 1
x x
lim
1 x


 
 
9) A partir do gráfico, estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê. 
 
 
 
 
10) A partir do gráfico, estabeleça os intervalos nos quais a função g é contínua. 
 
 
 
 
50 
 
50 
11) Estude a continuidade de cada uma das funções no intervalo  2, 2 : 
a) f (x) x 1  b) 
x
g(x)
x
 c) 2h(x) x 1  
 
12) Utilize uma calculadora ou um aplicativo computacional para estimar o limite 
x
x
x /1
0
)1(lim 

. 
 
13) Um tanque contém 5.000 litros de água pura. Salmoura com 30g de sal por litro é 
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25l / min. A concentração de 
sal após t minutos, em gramas por litro, é dada pela função 
t
t
tC


200
30
)( . O 
que acontece com a concentração quando t ?