2020-1-EP-02-IEM-Gabarito

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Informática no Ensino da Matemática EP-02
Informática no Ensino da Matemática
EP/02 — 10/02/2020
ATIVIDADE 1
Estude os tutoriais do GeoGebra 5.x de 1 a 8 dispońıveis no seguinte endereço (escolha
a opção “VÍDEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html.
Neles, você aprenderá noções básicas da interface do programa e verá como construir e
manipular pontos, retas e ćırculos. Atenção: recomendamos que, além de assistir aos
tutoriais, você tente, concomitantemente, reproduzir as instruções apresentadas!
Afinal, uma coisa é ver, outra é fazer.
Implemente a construção descrita no tutorial 8, salve-a com o nome “tutorial-08.ggb” e,
então, anexe-a em uma mensagem na tarefa da Plataforma Moodle com o t́ıtulo “AE-01 do
EP-02: Construção do Tutorial 8”. Na mesma mensagem, responda à seguinte pergunta:
“O que aconteceria se, no tutorial 8, ao invés de esconder as duas circunferências, você
as tivesse apagado?”. Prazo de entrega dessa atividade: 18/02/2020.
Solução. Caso apagássemos as duas circunferências, obteŕıamos apenas o segmento de reta
inicial, uma vez que o ponto de interseção das circunferências, bem como os segmentos dele
dependentes, desapareceriam também.
ATIVIDADE 2
Desenhe um quadrilátero ABCD e, em seguida, marque os pontos médios E, F , G e H dos
segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente. Não é necessário renomear os pontos em
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sua construção (você aprenderá como renomear objetos em um próximo tutorial).
A
C
B
F
E
D
H
G
Implemente essa construção no GeoGebra 5.x, interaja com ela e responda às seguintes
questões:
(a) Quais são os pontos livres da construção?
(b) Que propriedade marcante o quadrilátero EFGH possui? Faça uma conjectura e prove-
a!
\myWhere{} “AE-02 do EP-02: Invariante Geométrico”. Prazo de entrega dessa ati-
vidade: 18/02/2020.
Solução.
(a) Os pontos livres são A, B, C e D.
(b) Conjectura: o quadrilátero EFGH é um paralelogramo. Demonstração: construa
os segmentos DB e AC, como indica a figura abaixo.
A
C
B
F
E
D
H
G
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Pelo critério LAL de semelhança de triângulos, temos que os triângulos ΔEBF e ΔABC
são semelhantes, uma vez que m(AB) = 2 ∙ m(EB), m(∠ABC) = m(∠EBF ) e
m(BC) = 2 ∙ m(FB). Portanto, podemos escrever que m(AC) = 2 ∙ m(EF ), isto
é, m(EF ) = (1/2) ∙ m(AC). Do mesmo modo, os triângulos ΔHDG e ΔADC são
semelhantes, dado que m(AD) = 2 ∙ m(HD), m(∠ADC) = m(∠HDG) e m(CD) =
2 ∙m(GD). Sendo assim, podemos escrever que m(AC) = 2 ∙m(HG), isto é, m(HG) =
(1/2) ∙ m(AC). Conclúımos então que m(EF ) = (1/2) ∙ m(AC) = m(HG). Um argu-
mento análogo mostra que m(EH) = m(FG). Com isto, demonstramos que os lados
opostos do quadrilátero EFGH possuem a mesma medida e, portanto, ele é um para-
lelogramo.
Coxeter e Greitzer atribuem este resultado ao matemático francês Pierre Varignon
(1654-1722). O teorema foi publicado depois de sua morte, em 1731. Dada a sua
simplicidade, é surpreendente que o teorema de Varignon tenha demorado tanto tempo
para ser descoberto.
ATIVIDADE 3
Trace um segmento AB. Nesse segmento marque um ponto C. Marque então um ponto D
diferente de C e, em seguida, trace o segmento CD. Construa as bissetrizes dos ângulos
ÂCD e B̂CD.
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A
B
C
D
Implemente essa construção no GeoGebra 5.x, salve-a com o nome “invariante-03.ggb” e,
então, anexe-a em uma mensagem na tarefa da Plataforma Moodle com o t́ıtulo “AE-03 do
EP-02: Invariante Geométrico”. Na mesma mensagem, responda às seguintes perguntas:
(a) Quais são os pontos livres dessa construção?
(b) Existem pontos semilivres nessa construção? Quais?
(c) Arraste os pontos livres e os pontos semilivres (caso existam) e observe o ângulo entre
as bissetrizes dos ângulos ÂCD e B̂CD. Você consegue identificar algum invariante
geométrico?
(d) Tente demonstrar o invariante geométrico que você descobriu.
Prazo de entrega dessa atividade: 18/02/2020.
Solução. Pontos livres : os pontos A, B e D. Ponto semilivre : o ponto C. Invariante
geométrico: as bissetrizes dos ângulos ÂCD e B̂CD são perpendiculares.
A BC
D
β
β
α
α
Demonstração. Sejam α o ângulo formado pela bissetriz de ÂCD com o segmento AC
e β o ângulo formado pela bissetriz de B̂CD com o segmento CB. Temos então que
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2α + 2β = 180◦ e, sendo assim, a medida do ângulo entre as bissetrizes dos ângulos ÂCD e
B̂CD é igual α + β = 90◦, o que demonstra que elas são perpendiculares.
ATIVIDADE 4
Informática é realmente uma ferramenta útil para o ensino da Matemática? No artigo
“A Aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados”, Maria Alice Gravina e
Lucila Maria Samtarosa discutem o assunto e apresentam argumentos para uma resposta
positiva. Leia o artigo e pense se você concorda ou não com as autoras. Você vê outros
aspectos positivos do uso da informática no ensino da Matemática não apresentados pelas
autoras? E aspectos negativos? O artigo está dispońıvel no link “BIBLIOTECA” na página
WEB:
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/.
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