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Exercícios Resolvidos de Polinômios, Equações Algébricas e 
Produtos Notáveis 
Identificando as Partes de uma Equação 
Algébrica 
Vamos analisar a equação algébrica abaixo: 
 
Ela possui dois membros. O primeiro membro é o que está à esquerda do sinal 
de igualdade, ou seja, é 2x + 3. 
Este membro possui dois termos. São eles 2x e 3. Estes termos são as duas 
parcelas de uma soma. 
O primeiro termo do primeiro membro, 2x, é formado pelo coeficiente 
numérico igual a 2 e pela parte literal x, aincógnita da equação. O segundo 
termo não possui a parte literal, é formado apenas pelo número real 3. 
Incógnita ou variável é a grandeza a ser determinada na solução de uma 
equação. 
Na página sobre termos algébricos você encontra maiores informações 
sobre coeficiente numérico e parte literal, dentre outras. 
O segundo membro está à direita do sinal de igualdade, possui apenas um 
termo sem a parte literal. É o número real 5. 
 
 
O que Vem a Ser "Solucionar uma Equação 
Algébrica"? 
Solucionar uma equação algébrica é identificar o valor numérico da incógnita, 
que ao ser substituída na equação torna-a verdadeira. 
Na equação do nosso exemplo, 1 é o valor que substituindo a incógnita x torna 
a equação verdadeira, logo x é a sua solução. 
 
Para solucionarmos uma equação, executamos uma série de operações em 
ambos os seus membros, para sempre mantermos a condição de igualdade. 
São estas as operações que tratamos nesta página. 
 
 
Principais Operações Utilizadas na 
Resolução de Equações Algébricas 
Nosso objetivo é isolarmos no primeiro membro a incógnita, obtendo assim no 
segundo membro a solução da equação. 
http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
Voltando ao nosso exemplo, em busca de nosso objetivo de deixar a incógnita 
isolada, vamos eliminar o segundo termo do primeiro membro. 
 
Como conseguí-lo? 
 
 
Adicionar um Determinado Valor a Ambos 
os Membros da Equação 
Como queremos eliminar o termo 3, que está sendo somado ao termo 2x, 
vamos subtrair 3 de ambos os membros: 
 
Como 3 - 3 = 0, eliminamos assim o termo 3. 
 
E se o mesmo estivesse sendo subtraído de 2x, em vez de estar sendo 
somado?. 
 
 
Subtrair um Determinado Valor de Ambos 
os Membros da Equação 
Neste caso a nossa equação exemplo seria: 
 
Como 3, está sendo subtraído de 2x, precisamos somar 3 a ambos os 
membros: 
 
Apenas para ressaltar, a operação precisa ser realizada em ambos os termos da 
equação para que a condição de igualdade seja mantida. 
 
 
Multiplicar Ambos os Membros da Equação 
por um Determinado Valor 
Vejamos a equação abaixo: 
 
Como objetivamos isolar no primeiro membro a incógnita x, uma forma de fazê-
lo é multiplicarmos ambos os membros por 2: 
 
Ao realizarmos tal operação podemos simplificar o denominador da fração com 
o multiplicador 2, realizando assim a eliminação desejada: 
 
Escolhemos como multiplicador exatamente o denominador da fração, para 
podermos realizar a simplificação, eliminando o denominador e isolando a 
variável x. 
 
 
Dividir Ambos os Membros da Equação por 
um Determinado Valor 
Agora vejamos a equação a seguir: 
 
O objetivo continua o mesmo, isolarmos a variável x. 
Sabemos que dividindo qualquer número, diferente de zero, por ele mesmo 
obteremos a unidade com resultado. Então vamos dividir ambos os membros 
por 2: 
 
Realizando a simplificação temos: 
 
 
 
Realizar Multiplicação Distributiva 
A propriedade distributiva da multiplicação é uma ferramenta muito útil na 
busca do isolamento da incógnita. Vamos estudar a equação abaixo: 
 
Qualquer uma das quatro operações estudadas acima, não nos auxilia na 
resolução desta equação, no entanto podemos distribuir o 2 que está em 
evidência, como abaixo: 
 
Agora podemos utilizar algumas das operações citadas anteriores para 
concluirmos a resolução. 
Primeiro vamos subtrair x de ambos os membros da equação: 
 
Finalmente subtraímos 2 dos dois lados: 
 
 
 
Fatoração 
Em algumas situações ao invés da distribuição, precisamos fazer uma 
fatoração, colocando um termo comum em evidência. Normalmente temos tal 
necessidade quando há mais de uma variável na equação. 
Vejamos neste outro exemplo como isolar a variável x na seguinte equação: 
 
Note que x é um fator comum aos dois termos do primeiro membro. 
Colocá-lo em evidência significa que vamos reescrever tal equação na forma de 
um produto, onde x será um dos fatores e o outro fator será formado pela soma 
dos dois termos divididos por x. 
Como x dividido por x é igual a 1 e ax dividido por x é igual a a, temos: 
 
Agora para encontrarmos o valor de x, basta dividirmos os dois termos da 
equação por (1 + a). 
 
Vejamos outros exemplos de fatoração: 
 
 
 
 
Observe que tanto no caso da propriedade distributiva, quanto no caso da 
fatoração, não foi preciso realizarmos a mesma operação em ambos os 
membros da equação, agimos só de um lado, pois tais operações não 
"desequilibram" a equação. 
 
 
Permutar um Membro com o Outro 
A qualquer momento podemos mudar os membros de lado. Se, por exemplo, 
após a realização de algumas operações chegarmos a algo como: 
 
Podemos trocar os membros de lado, o que não causará desequilíbrio na 
equação: 
 
 
 
Isolando Variáveis em Fórmulas de 
Matemática Financeira 
Agora para exemplificar a utilização de tais operações em uma situação mais 
concreta, vamos brincar um pouco de isolar variáveis de algumas fórmulas da 
matemática financeira envolvendo juros simples. 
Na verdade vamos brincar com duas fórmulas, a do montante e a dos juros 
simples. Vamos unir as duas fórmulas em uma única equação e depois 
isolarmos cada uma das suas variáveis. 
Como sabemos, a fórmula do montante em juros simples é: 
 
Já a fórmula dos juros simples é: 
 
Se você não se lembra a que se referem cada uma das variáveis envolvidas nas 
fórmulas acima, você pode acessar a página que trata sobre juros simples, ou 
então continuar a leitura desta página, pois iremos isolar cada uma das 
incógnitas e você verá do que elas se tratam. Na referida página, porém, você 
encontra maiores informações. 
Na fórmula do montante queremos isolar a variável C, que se refere ao capital 
aplicado ou valor principal. Como fazê-lo? 
http://www.matematicadidatica.com.br/JurosSimples.aspx
 
 
Isolando a Variável "C" na Fórmula do 
Montante 
Neste caso precisamos eliminar a variável j, no segundo membro, somada a C. 
 
Para isto iremos subtrair a mesma incógnita j de ambos os membros: 
 
Como j - j = 0, então: 
 
Agora é só trocarmos os membros de lado: 
 
Agora vamos substituir C por M - j na fórmula do juro simples, fundido as 
duas fórmulas em uma só: 
 
Então, após a substituição de C: 
 
Podemos escrever esta mesma fórmula omitindo os operadores de 
multiplicação, que ficará como: 
 
Está é a fórmula que usaremos na brincadeira. 
 
 
Isolando a Variável "j" 
Esta variável representa os juros da aplicação. Note que na referida fórmula ela 
ocorre duas vezes. Este é o caso mais complexo que iremos tratar aqui. 
 
Nossa primeira providência será aplicarmos a propriedade distributiva, 
multiplicando M e j, que estão entre parênteses, por in: 
 
Tomamos esta medida, pois agora podemos somar jin nos dois lados, o que 
não resolveria inicialmente, de sorte a eliminarmos jin no segundo membro e 
de só haver termos com j no primeiro membro: 
 
Logo: 
 
Vamos agora colocar j em evidência, para que possamos eliminar o outro fator, 
isolando j. 
Como j dividido por j é igual a 1 e jin dividido por j é igual a in, temos: 
 
Finalmente podemos isolar j dividindo ambos os membros por 1 + in: 
 
Simplificando 1 + in do numerador, com 1 + in do denominador no primeiro 
membro, temos: 
 
 
 
Isolando a Variável "M" 
Isolar o Montante é bem mais simples. 
 
Como M - j está sendo multiplicado por in, que impede tanto M, quanto j de 
serem manipulados separadamente, vamos dividir os dois lados da equação 
por in, o que irá extinguir tal restrição, já que in será eliminado do segundomembro: 
 
Simplificando temos: 
 
Agora não tem mais segredo, para isolarmos M simplesmente somamos j nos 
dois lados: 
 
Portanto: 
 
Podemos inverter os membros da equação: 
 
Como j ocorre duas vezes, vamos colocá-lo em evidência dividindo por j, 
tanto j/in que dá 1/in, quanto j que dá 1: 
 
 
 
Isolando a Variável "M" de Outra Forma 
Da maneira que fizemos anteriormente é mais simples, mas também podemos 
proceder como se fossemos isolar j, realizando as operações até este ponto: 
 
Vamos inverter os membros da equação para deixar M no primeiro membro: 
 
É fácil percebemos que devemos dividir os dois membros por in para 
isolarmos M: 
 
Que simplificando resulta em: 
 
Como in ocorre no numerador e no denominador, podemos realizar uma 
simplificação se separarmos as duas parcelas da adição: 
 
Simplificando fica: 
 
Então colocamos j em evidência exatamente como fizemos anteriormente pela 
outra forma de isolarmos M: 
 
 
 
Isolando a Variável "i" 
Se você conseguiu assimilar a maior parte do que foi explicado até aqui, é 
muito provável que você já saiba como isolar a taxa de juros. 
 
Inicialmente vamos inverter os membros de lado: 
 
Como no primeiro membro temos uma multiplicação com três fatores, basta 
dividirmos os dois lados por todos os fatores que pretendemos eliminar no 
primeiro membro, ou seja, temos que dividir os dois membros por (M - j)n: 
 
Que após a simplificação fica igual a: 
 
 
 
Isolando a Variável "n" 
O período de tempo da aplicação é isolado de forma análoga ao isolamento da 
taxa de juros. 
 
Iniciamos invertendo os membros da equação: 
 
Dividimos os dois membros por (M - j)i para eliminarmos tais fatores do 
primeiro membro: 
 
Simplificando finalmente temos: 
 
 
Produtos Notáveis 
Em muitas expressões matemáticas é comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e 
então precisarmos calcular o produto (x + 3) . (x + 3). 
O desenvolvimento deste produto seria: 
 
Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do 
primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. 
Produtos como este são denominados produtos notáveis, pois podemos obter 
o resultado final sem precisarmos desenvolver o cálculo todo como realizado 
acima. 
Assim como no caso das tabuadas, que as memorizamos a fim de ganharmos 
agilidade na realização dos cálculos, no caso dos produtos notáveis também 
seremos beneficiados se os soubermos de cor. 
 
Quadrado da Soma de Dois Termos 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado 
do segundo termo: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Quadrado da Diferença de Dois Termos 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado 
do segundo termo: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Produto da Soma pela Diferença de Dois 
Termos 
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo: 
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Downloads.aspx
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Cubo da Soma de Dois Termos 
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três 
vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo 
termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado 
do segundo termo, mais o cubo do segundo termo: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Cubo da Diferença de Dois Termos 
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos 
três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo 
termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado 
do segundo termo, menos o cubo do segundo termo: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Quadrado da Soma de Três Termos 
O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o duas vezes o 
produto do primeiro pelo terceiro termo, mais o duas vezes o produto do 
segundo pelo terceiro termo: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 página sobre termos algébricos explicamos o que são monômios semelhantes e em seguida 
tratamos a sua soma e subtração. 
A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio. 
Vejamos alguns exemplos de polinômios: 
 
 
 
 
 
No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais possuem vários 
monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio. 
O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x3y e 2xy2. 
 
Grau de um Polinômio 
O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau. 
O polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que 
é do grau 7. 
O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau. 
 
Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa 
Incógnita 
Em relação à variável x o polinômio -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2 é do grau 5, pois o termo de maior 
grau nesta variável é do grau 5, que é o segundo termo. 
Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y, ele é do grau 2, já que tanto no 
segundo, quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois. 
O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b. 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
Redução de Termos Semelhantes 
Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios 
através da adição algébrica dos seus termos semelhantes. 
No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo 
com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois. 
 
Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos 
de três termos, também são denominados trinômios. 
Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos 
semelhantes: 
 
 
 
 
 
Multiplicação de Polinômios 
Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da 
multiplicação de um polinômio por um polinômio. 
 
Multiplicação de um Polinômio por um Monômio 
No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos 
termos do polinômio. 
Vejamos a multiplicação abaixo: 
 
Repare que multiplicamos 7xy2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade 
distributiva da multiplicação. 
Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios, faça um 
revisão antes de prosseguir neste tema. 
Veja mais alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio 
No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos 
termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois 
realizamos a redução do polinômio resultante. 
Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-
la mais facilmente: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados. 
Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a2b por cada 
um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a2b3. 
Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo 
termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois termos do segundo. 
A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado 
após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior. 
Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação: 
 
 
 
 
 
 
 
Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros, depois 
multipliqueo polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos. 
Para a multiplicar , por exemplo, primeiro 
multiplique , que como vimos acima é igual a , então 
multiplique por . 
 
Divisão de Polinômios 
Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio, 
quanto a divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos 
individualmente. 
 
Divisão de um Polinômio por um Monômio 
Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam 
o polinômio, pelo monômio em questão. 
Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo: 
 
Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 14x3y2 por 7xy2, 
quanto 7xy3. 
Em caso de dúvida consulte a divisão de monômios, que foi explicada em detalhes na página 
sobre este tema. 
Observe mais estes exemplos: 
 
 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
 
 
Divisão de um Polinômio por um Polinômio 
Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados. 
O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de 
polinômios, dizemos que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável, 
quando o grau de todos os monômios que os compõe, em relação a esta variável, estão ordenados 
de forma crescente ou decrescente. 
O polinômio -5x4 + 6x5 - 7x3, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x5 -
 5x4 - 7x3 está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável. Observe que os 
expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3. 
Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves, vamos 
dividir 8a2 - 2ab -15b2 por2a - 3b. 
A primeira coisa a verificar é se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Se for 
menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo. 
Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a: 
 
A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais. Vamos começar 
dividindo o monômio8a2 pelo monômio 2a e colocar o quociente 4a abaixo da chave: 
 
Agora vamos multiplicar por -4a, o valor oposto do quociente, cada um dos monômios do 
divisor 2a - 3b e colocar o resultado embaixo do dividendo: 
 
Executamos então a soma dos monômios: 
 
Continuamos a divisão baixando o terceiro monômio do dividendo: 
 
Agora dividimos 10ab por 2a, que vai dar 5b e também o colocamos abaixo da chave: 
 
Multiplicamos por -5b, o valor oposto de 5b, cada um dos monômios do divisor 2a - 3b e 
colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: 
 
Por fim executamos a soma que resultará em zero, indicando uma divisão exata: 
 
Como pudemos ver o procedimento da divisão de polinômios e bastante simples e semelhante à 
divisão de números naturais. 
Para fechar o tema vamos a um outro exemplo, só que desta vez veremos uma divisão com um 
resto diferente de zero. 
Vamos dividir 2x4 - 7x3 + 3x2 por x - 2: 
 
Dividimos o monômio 2x4 pelo monômio x, que resulta em 2x3 e o colocamos abaixo da chave: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Operacoes-Aritmeticas-Divisao.aspx
Agora vamos multiplicar por -2x3, o valor oposto do quociente, cada um dos monômios do 
divisor x - 2 e colocar o resultado embaixo do dividendo: 
 
Executamos a soma dos monômios: 
 
Continuamos a divisão baixando o último monômio do dividendo: 
 
Dividimos então -3x3 por x, que vai dar -3x2 e o colocamos também abaixo da chave: 
 
Então Multiplicamos por 3x2, que é o valor oposto de -3x2, cada um dos monômios do divisor x -
 2 e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: 
 
Como anteriormente, efetuamos a soma dos monômios: 
 
Note que o resto -3x2 é um polinômio de grau 2, que não é de grau inferior ao grau do divisor, 
que é um polinômio de grau 1, então devemos continuar a divisão. 
Dividimos -3x2 por x e colocamos o resultado -3x abaixo da chave: 
 
Multiplicamos por 3x, que é o simétrico de -3x, cada um dos monômios do divisor x - 2 e 
botamos o resultado embaixo do segundo resto parcial: 
 
Somamos então os monômios: 
 
Como tanto -6x, quanto x - 2 são de grau 1, devemos continuar a divisão: 
Dividimos então -6x por x, que vai dar -6 e também o inserimos abaixo da chave: 
 
Multiplicamos por 6, que é o simétrico de -6, novamente cada um dos monômios do divisor x -
 2 e botamos o resultado embaixo do terceiro resto parcial: 
 
Somamos mais uma vez os monômios: 
 
Agora o grau do resto -12 é igual a 0 e, portanto, inferior ao grau do divisor que é 1, então 
terminamos a divisão por aqui. 
Se você realizar a multiplicação do quociente 2x3 - 3x2 - 3x - 6 por x - 2 irá obter 2x4 -
 7x3 + 3x2 + 12 que somado a -12 resultará em 2x4 - 7x3 + 3x2, exatamente o dividendo original. 
Para verificar se você compreendeu bem o conteúdo explicado, é desejável que você realize a 
multiplicação e a soma acima, para ver se consegue chegar ao mesmo resultado final. Também 
seria muito bom se você tentasse resolver novamente todos os exemplos resolvidos nesta página. 
 
 
 
Polinômios 
Polinômios - Exercícios resolvidos 
 
01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2. 
 
 
 
RESOLUÇÃO: P(2) = -18 
 
 
 
02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b 
seja um cubo perfeito. 
 
 
 
RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 
 
 
 
03. (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual 
a: 
 
 
 
a) 10 
 
b) 12s 
 
c) 14 
 
d) 16 
 
e) 18 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x - 1) ≡ x3 + 2x + 2, então 
P(1) é igual a: 
 
 
 
a) 0 
 
b) -1 
 
c) 1 
 
d) -2 
 
e) 2 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 - 
10x3 + 24x2 + 10x - 24 por x2 - 6x + 5, são: 
 
 
 
a) -1 e 5 
 
b) -1 e -5 
 
c) 1 e -5 
 
d) 1 e 5 
 
e) 0 e 1 
 
 
 
RESPOSTA: A 
 
 
 
06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é 
igual a: 
 
 
 
a) -3 
 
b) -2 
 
c) -1 
 
d) 1 
 
e) 2 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se: 
 
 
 
a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo; 
 
b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16; 
 
c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84; 
 
d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2; 
 
e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo; 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, 
o valor de k é: 
 
 
 
a) -5 
 
b) -4 
 
c) 5 
 
d) 6 
 
e) 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + 
mx + n seja divisível por x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a: 
 
 
 
a) 72 
 
b) 0 
 
c) -36 
 
d) 36 
 
e) 58 
 
 
 
RESPOSTA: C 
 
 
 
10. Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 seja divisível por x2 - x - 2, 
devemos ter: 
 
 
 
a) m = 1 e n = 6 
 
b) m = -6 e n = -1 
 
c) m = 6 e n = 1 
 
d) m = -6 e n = 1 
 
e) m = 6 e n = -1 
 
 
 
RESPOSTA: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Literais do Segundo Grau 
 
 
1. DEFINIÇÃO: 
⇒ Se uma equação de 2º grau na variável x apresentar um ou mais coeficientes indicados por 
letras, a equação é chamada equação literal. Vejamos o exemplo. 
 
Exemplo: Resolver a equação 054 22  mmxx , sendo 1x . 
Solução: 
⇒ Temos: 








25
4
1
mc
mb
a
 
     
 mmSLogo
m
mmm
x
m
mmm
x
mm
x
mmmmm
x
mmm
x
























,5:
2
2
2
64
5
2
10
2
64
2
64
2
364
2
20164
1.2
5.1.444
2
1
222
22
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1. (FRANCO) Resolva as equações literais: 
 
a) 0..2 22  axax Resp:  aS  
 
b) 082 22  mmxx Resp:  mmS 2,4  
 
c) 0107 22  mmxx Resp:  mmS 2,5  
 
d) 
22 32 aaxx Resp: 






 aaS
2
3
, 
e) 02
2  bxax Resp: 







a
b
S
2
,0 
 
f) axxa 812
22  Resp: 







aa
S
2
,
6
 
 
g) 02
222  nmmxx Resp:  nmnmS  , 
 
h)   02  abxbax Resp:  abS , 
 
 
 
T E S T E S 
 
 
1. (FRANCO) O conjunto solução em *R da equação 1
12

x
x é: 
 
a)  4,3 b)  4,3 c)  4,3  d)  4,3  
 
2. (FRANCO) A equação 3
1
2
3


x
x
, em R, é verdadeira, se 2x for igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 
 
3. (FRANCO) Se 0
44
1
2

xx
, então 
x
2
 vale: 
 
a) 1 b) 
2
1
 c) 2 d) 
4
1
 
 
4. (FRANCO) Resolva a equação 
6
25
2
12
3
2 



 xx
x
x
: 
 
a)  3,1 b)  4,1 c)  4,1 d)  3,1 
 
5. (FRANCO) O conjunto solução da equação 
2
3
1
11



xx
 é: 
 
a)  2 b)  6,1 c)  3,2 d) 






3
1
,2 
 
 
 
6. (FRANCO) Se 
x
x
x
x



1
1
 então : 
 
a) 2x b) 
2
1
x 
c) 3x d) 
2
1
x 
 
7. (FRANCO) Quais valores de x satisfazem à equação: 
 
1
1
1
1
2
2



 xx
 
 
a)  2,1 b)  2,1 
c)  2 d)  2,2  
 
8. (FRANCO) A equação 1
1
1
1
2
2



 xx
 
 
a) não tem raiz real. 
b) tem duas raízes reais. 
c) tem apenas uma raiz real. 
d) admite 10 como raiz. 
 
9. (FRANCO) A equação 
5
5
5
5
5




xx
x tem 
 
a) uma única raiz. 
b) infinitas raízes 
c) exatamente duas raízes. 
d) conjunto solução vazio. 
 
10. (FRANCO) O conjunto solução da equação 032 222  nmnxxm é: 
 
a)  nn ,3 b) 






m
n
m
n 3
, 
c) 







m
n
m
n
, d) 







m
n
m
n 3
, 
 
 
 
G A B A R I T O 
 
 
1. B 
 
4. B 
 
7. C 
 
10. D 
 
2. D 
 
5. D 
 
8. C 
 
 
3. A 
 
6. D 
 
9. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LITERAIS DO 1º GRAU 
 
 
 
CONCEITO 
 
Dizemos que uma equação é literal quando apresenta pelo menos uma letra que não 
seja incógnita. 
 
Exemplos 
 
1) ax + b = 0 
 
2) 2x – a = 5b 
 
3) 6x + 5ª = a -3 
 
4) 7x – a = m – x 
 
Nessas equações, alem da incógnita x, existem outras letras ( a,b,m) que são 
chamadas de parâmetros. 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LITERAL 
 
As equações literais com uma incógnita são resolvidas do mesmo modo que as outras 
equações do 1º grau estudadas anteriormente 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Resolver a equação: 2a + 5x = 3b – 2x 
 
5x + 2x = 3b – 2a 
7x = 3b – 2a 
X = (3b-2a) / 7 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Resolver a equação : cx – 5 = 3x + 4ª 
 
Cx - 3x = 4a + 5 
X(c-3)= 4a + 5 
X = (4a + 5) / (c -3) 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) 
 
a) 5x + m = 4m (R: x = 3m/5) 
b) 3x – a = 7 (R: x = (7 + a) / 3) 
c) 3ax + 4a = 6a (R: x = 2/3) 
d) 4x – a = -x + c (R: x= (c + a)/5) 
e) Mx = 3m + 2 + x 
f) 4a + 3x = 12a + x 
g) 4x – ax + 3 = 36 
h) 5x – a = 2ax + 7 
 
2) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) 
 
a) 5( x –a) = 2x + c) 
b) 3( 2a + x) = 9a 
c) x( a + 4) = 3( x-1) 
d) 3(x -2b) – 9a – 15b = 0 
e) 3( ax – 4) = 2( x –a) – 5 
f) a( x –a) –b( x-1) = b – a 
g) 2( 2a + 3x) – 3( 3a + x) = 4a 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Resolver a equação : x /a + x / m = 5 
Solução 
mmc = am 
 
(xm/am) + (xa / am) = (5am/am) 
xm + xa = 5am 
x(m + a) = 5am 
x = 5am/(m + a) 
 
Exercícios 
 
1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) 
 
a) x/m + 3m = 4m 
b) 3x/ a – 4/a = 2 
c) x/a = 4 -2/3a 
d) (4a – x) / 3 = (x – 4a) / 2 
e) Ax + m/a = mx + 1 
f) ( x – 8a)/ 2 = 3 (3a – 2x) 
g) (x + a) /b = ((x –b) /a) + 2 
 
 
Exercícios complementares 
 
 
 
1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) 
 
a) 3x + a = 9a 
b) 2x – m = 5m – x 
c) 2x + 3c = x + 5c 
d) 3ax – 8 = ax 
e) 3ax + 5a = 7a 
f) nx – 3 = 2n + 2 
g) ax – bx = a² - b² 
h) 2( x + m ) = x – m 
i) a ( x -1) = c (1 – x) 
j) 2 ( 2x – a) = 2c/3 
 
 
2) Resolva as seguintes equações literais ( x é a incógnita): 
 
a) ( x + 1) / 2 = (c + x)/4 
b) (x – n)/ 2 = (x + n)/3 
c) (x – 4a)/2 = (4a – x)/3 
d) x/2 – a/2 = x/3 + a 
 
 
 EQUAÇÕES LITERAIS 
As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns 
termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais. 
As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são 
denominadas parâmetros. 
Exemplos: 
 ax2+ bx + c = 0 incógnita: x 
 parâmetro: a, b, c 
 ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x 
 parâmetro: a 
 
 Equações literais incompletas 
 A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das 
equações numéricas. 
 Observe os exemplos: 
 Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável. 
 Solução 
 3x2 - 12m2 = 0 
 3x2 = 12m2 
 x2 = 4m2 
 
 x= 
Logo, temos: 
 Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável. 
 Solução 
 my2 - 2aby = 0 
 y(my - 2ab)=0 
Temos, portanto, duas soluções: 
 y=0 
 ou 
 my - 2ab = 0 my = 2ab y= 
Assim: 
 
 
 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim 
resolvido: 
 my2 - 2aby= 0 
 my2 = 2aby 
 my = 2ab 
 
Desta maneira, obteríamos apenas a solução . 
O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y. 
Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando 
desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo. 
 
Equações Literais Incompletas 
a) rx²-s=0 
rx²=s 
x²=sr 
x=√s/r 
 
b) rx²-sx=0 
rx²-sx=0 
(rx²)/x=s 
rx=s 
x=s/r 
 
c) -mx²+5x=0 (-1) 
mx²-5x=0 
x(mx-5)=0 
x'=0 
mx-5=0 
mx=5 
x=5/m 
 
d) rx²=0 
x(rx)=0 
x'=0 
 
e) rx²+rx=0 
x(rx+r)=0 
x=0 
rx+r=0 
r(x+1)=0 
Como r é diferente de 0, temos que: 
x+1=0 
x=-1 
S={-1, 0} 
 
f) 9x²-k+1=0 
9x²=k-1 
x²=(k-1)/9 
x=√(k-1)/√9 
x=√(k-1)/3 
 
 
Produtos Notáveis 
 
Produtos notáveis Exemplos 
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9 
(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9 
(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9 
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6 
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8 
 
1. Quadrado da soma de dois termos 
(a+b)² = a² + b² + 2ab 
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4 
2. Quadrado da diferença de dois termos 
(a-b)² = a² + b² - 2ab 
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5 
3. Diferença de potências (ordem 2) 
a² - b² = (a+b)(a-b) 
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5) 
4. Cubo da soma de dois termos 
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada 
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)² 
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)² 
6. Cubo da diferença de dois termos 
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³ 
7. Identidade de Fibonacci 
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)² 
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)² 
8. Identidade de Platão 
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)² 
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)² 
9. Identidade de Lagrange (4 termos) 
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)² 
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)² 
10. Identidade de Lagrange (6 termos) 
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)² 
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)² 
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² 
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)² 
11. Identidade de Cauchy (n=3) 
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b) 
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7) 
12. Identidade de Cauchy (n=5) 
(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²) 
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²) 
13. Quadrado da soma de n termos 
 
sendo que i<j. 
Exemplos: 
(a+b)²=a²+b²+2(ab) 
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) 
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) 
14. Cubo da soma de n termos 
 
sendo que i<j e i<j<k. 
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença 
(a+b)² - (a-b)² = 4ab 
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9 
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença 
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) 
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²) 
17. Soma de dois cubos 
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) 
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4) 
18. Soma de dois cubos na forma fatorada 
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) 
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²) 
19. Transformação do produto na diferença de quadrados 
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]² 
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]² 
20. Diferença de potências (ordem 4) 
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²) 
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²) 
21. Diferença de potências (ordem 6) 
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²) 
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²) 
22. Diferença de potências (ordem 8) 
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4) 
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14) 
23. Produto de três diferenças 
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a) 
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1) 
24. Produto de três somas 
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc 
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5 
25. Soma de cubos das diferenças de três termos 
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a) 
Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1) 
26. Cubo da soma de três termos 
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc 
Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9 
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças 
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0 
Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0 
28. Soma de produtos de cubos com diferenças 
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c) 
Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9) 
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois 
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4 
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74 
30. Soma de quadrados de somas de dois termos 
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c² 
Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5² 
31. Produto de quadrados de fatores especiais 
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)² 
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)² 
32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1 
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²) 
Exemplo: 
(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²) 
33. Identidade de interpolação 
 
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos: 
 
 
Exercícios resolvidos: 
1) Desenvolva: 
a) (3x+y)2 
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 
b) ((1/2)+x2)2 
((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 
c) ((2x/3)+4y3)2 
((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 
d) (2x+3y)3 
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 
e) (x4+(1/x2))3 
(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) 
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5) 
(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 
 
2) Efetue as multiplicações: 
a) (x-2)(x-3) 
(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6 
b) (x+5)(x-4) 
(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20 
 
3) Simplifique as expressões: 
a) (x+y)2–x2-y2 
(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy 
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) 
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = 
x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29 
c) (2x-y)2-4x(x-y) 
(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2