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Sistemas Robóticos-Cinemática

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Capitulo 5 
5.1 - Cinemática
5.1.1 -Representação da posição do robô
Segundo Sigward (2004), para descrever o movimento de um robô é necessário mapear sua trajetória ao longo dos eixos locais de referência. Para isso faz-se uso de uma matriz rotação em torno do eixo Z:
Onde é o angulo entre o plano inercial e o local como ilustra a figura 1.8. Para essa operação usa-se a expressão. Onde é um vetor com três componentes .
Figura 18 - Ilustração da orientação do robô do planos inercial com o local.
Fonte: Elaborado pelo autor 
Expandindo a equação em termos matriciais é possível predizer o movimento do robô no plano local como é demostrado abaixo :
5.1.2 –Cinemática Direta 
De acordo com Sigward (2004), cinemática direta indica a velocidade em termo do referencial inercial. Sendo sua equação descrita abaixo:
Para calcular o movimento do robô em torno do referencial inercial tem-se a equação:
 é a inversa da matriz rotação para esse caso especifico a inversa é igual a transposta da matriz:
Escrevendo a equação em termos matriciais: 
5.1.3 –Restrições Cinemáticas das Rodas tipo Orientada Padrão
A roda orientada padrão é ilustrada na figura 19 onde se nota é o ângulo da roda relativa ao chassi que varia com o tempo. O ponto A é expresso em coordenadas polares em termos de (distância até o ponto P ) e que é ângulo entre referencial local e .
Figura 19 – Ilustração da roda orientada padrão 
Fonte: (SIEGWART, 2004)
Conforme Sigward (2004) o primeiro passo para obter o modelo cinemático de um robô é transcrever as restrições de cada roda, isso tanto para a rotação quanto para o deslizamento no plano ortogonal/lateral da roda.
As restrições de rotação para a roda orientada padrão é dada a seguir:
As restrições de deslizamento ortogonal da roda tem que ser zero e é descrita abaixo.
5.1.4 –Restrições Cinemáticas para o robô pulverizador 
Para Sigward (2004) as rodas tem impacto nas restrições de movimento do robô no caso do pulverizador aqui desenvolvido, possui apenas rodas orientadas padrão como ilustra a figura 20. Tem-se então uma simples equação que representa as restrições de rotação.
Figura 20 – Ilustração do robô pulverizador no plano 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Para as restrições de deslizamento lateral tem-se a expressão:
.
5.1.5 –Aplicando as restrições de movimento ao robô
Como em Sigward (2004) A equação abaixo prediz o movimento do robô em relação ao referencial inercial 
A figura 21 ilustra a orientação do robô do referencial inercial com o local de theta igual a zero ( ). Sendo o carrinho simétrico ao longo do eixo X ocorre um espelhamento nos ângulos betas sendo para as rodas 1 e 2 e para as rodas 3 e 4.
Calculando os respectivos alfas para cada roda , , e : 
Figura 21 – Orientação do robô no plano
Fonte: Elaborado pelo autor
Assumindo que não haverá deslizamentos laterais da roda o termo será nulo porque o robô pulverizador não permite movimentos desse tipo a expressão se resume a :
	Fazendo uso do MATLAB pode-se calcular o movimento do robô conforme código.
%Cálculo do movimento do Robô
r=0.032; %raio da roda 
l=0.085; % distância até o ponto central P
 
 % Angulos alfas relativos a cada roda 
alfa1=(1/4)*pi;
alfa2=(3/4)*pi;
alfa3=(5/4)*pi;
alfa4=-(1/4)*pi;
% Angulos betas relativos a cada roda 
Beta1=0;
beta2=beta1+pi; % nas rodas 3 e 4 ocorre um espelhamento do ângulo por isso soma-se mais pi isso decorre pela simetria do chassi 
 
theta=0; 
 % matriz rotação inversa
InvRtheta=[cos(theta) sin(theta) 0; 
 -sin(theta) cos(theta) 0;
 0 0 1];
 
%matriz de restrições de rotação 
 
J1B=[sin(alfa1+beta1) (-cos(alfa1+beta1)) -l*cos(beta1);
 sin(alfa2+beta1) (-cos(alfa2+beta1)) -l*cos(beta1);
 sin(alfa3+beta2) (-cos(alfa3+beta2)) -l*cos(beta2);
 sin(alfa4+beta2) (-cos(alfa4+beta2)) -l*cos(beta2)];
%matriz diagonal com os raios das rodas
J2=[r 0 0 0 ;
 0 r 0 0;
 0 0 r 0;
 0 0 0 r];
 
%matriz com as velocidades angulas de cada roda 
 
Fy=[1;
 1;
 1;
 1];
%Equação do movimento para o plano inercial
 
Csi=InvRtheta*pinv(J1B)*(J2*Fy)
Csi =
 0.0453
 0.0000
 -0.0000
	Como as velocidades angulares são iguais e beta igual a zero apenas deslocamento em X já era esperado.
5.2.1 - Manobrabilidade do Robô Móvel
5.2.2- Grau de mobilidade 
	As restrições de deslizamento impõem limitações ao movimento lateral do robô:
	O rank (é o menor número de linhas ou colunas indepentes ) da matriz dá o número de restrições independente. Assim o grau de mobilidade é definido:
	Onde o número 3 representa os três graus de liberdade possíveis. A interpretação para o grau de mobilidade é a quantidade de graus controláveis baseado na mudanças de velocidades dos motores.
	Dessa formas pode –se calcular o grau de mobilidade para o robô pulverizador:
; ; ; ; 
	Sendo assim o robô pulverizador pode controlar mudando a velocidade dos seus motores um grau de liberdade hora a translação hora a rotação.
5.2.3- Grau de dirigibilidade 
	O grau de dirigibilidade é definido por:
	 se traduz nos graus de liberdade que podem ser controlados indiretamente manipulando a direção das rodas em outras palavras o robô pode controlar tanto a translação quanto a rotação pelo simples ato de mudar a direção das rodas.
Colocar em anexo o algoritmo matlab de rotação
 5.2.4- Manobrabilidade do Robô
	Em Geral grau de liberdade pode ser chamado de grau de manobrabilidade e é definido em termos de mobilidade e a dirigibilidade :
	Com essa expressão é possível calcular o grau de mobilidade do robô pulverizador:
	O seja o robô possui 3 graus de manobrabilidade ilustrado na figura 22, o significa que o robô de ir ao qualquer lugar do plano 
Figura 22 – Ilustração da mobilidade robô pulverizador
Fonte: Elaborado pelo autor
5.3.- Espaço de trabalho do robô móvel 
5.3.- Graus de liberdade 
	Graus de liberdade de um robô móvel é análogo a sua manobrabilidade. E está intimamente relacionado ao seu espaço de trabalho ET( região do mundo que o robô pode alcançar com seus movimentos) e a velocidade do espaço de trabalho VET (VET=). O VET representa quantos eixos podem ser alcançador diretamente (diretamente aqui significa mudando apenas as velocidades das rodas) simultaneamente. Dessa forma o VET governa a capacidade do robô de alcançar vários caminhos e o ET governa a capacidade de realizar várias posições. Ademais existe uma relação entre a manobrabilidade e seu respectivo ET e VET dessa forma:
	Assim sendo tem-se para o robô móvel 
	Com o espaço de trabalho igual a 3 significa que o robô pode esta alcançar uma posição X e em Y com um certo angulo em relação ao seu plano inercial
	Com o VET igual a i 1 significa que o robô pode apenas realizar um movimento por vez alterando as velocidades das rodas.